1、2015年 内 蒙 古 通 辽 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 题 包 括 10个 小 题 , 每 小 题 3分 , 共 30分 , 每 小 题 只 有 一 个 正 确 选 项 )1. 下 列 调 查 适 合 抽 样 调 查 的 是 ( )A.审 核 书 稿 中 的 错 别 字B.对 某 社 区 的 卫 生 死 角 进 行 调 查C.对 八 名 同 学 的 身 高 情 况 进 行 调 查D.对 中 学 生 目 前 的 睡 眠 情 况 进 行 调 查解 析 : 考 查 全 面 调 查 与 抽 样 调 查 .一 般 来 说 , 对 于 具 有 破 坏 性 的 调 查 、 无 法
2、 进 行 普 查 、 普 查的 意 义 或 价 值 不 大 时 , 应 选 择 抽 样 调 查 , 对 于 精 确 度 要 求 高 的 调 查 , 事 关 重 大 的 调 查 往 往 选用 普 查 , 对 各 选 项 进 行 分 析 判 断 :A.审 核 书 稿 中 的 错 别 字 , 必 须 准 确 , 故 必 须 普 查 ;B.此 种 情 况 数 量 不 是 很 大 , 故 必 须 普 查 ; C.人 数 不 多 , 容 易 调 查 , 适 合 普 查 ;D.中 学 生 的 人 数 比 较 多 , 适 合 采 取 抽 样 调 查 ;答 案 : D.2. 4 的 算 术 平 方 根 是 (
3、)A.-2B. 2C. 2D.2解 析 : 考 查 算 术 平 方 根 , 首 先 求 出 4 的 值 是 2; 然 后 根 据 算 术 平 方 根 的 求 法 , 求 出 2的 算 术 平 方 根 : 4 2, 2的 算 术 平 方 根 是 2 , 4 的 算 术 平 方 根 是 2 .答 案 : C.3. 实 数 tan45 , 3 8, 0, 35 , 9, 13 , sin60 , 0.3131131113 (相 邻 两 个 3 之间 依 次 多 一 个 1), 其 中 无 理 数 的 个 数 是 ( )A.4B.2C.1D.3解 析 : 掌 握 无 理 数 的 三 种 形 式 : 开
4、 方 开 不 尽 的 数 , 无 限 不 循 环 小 数 , 含 有 的 数 , 结合 题 意 判 断 : 实 数 tan45 , 3 8, 0, 35 , 9, 13 , sin60 , 0.3131131113 (相 邻 两 个 3 之 间 依 次 多 一 个 1)中 , 无 理 数 有 : -35 , sin60 , 0.3131131113 (相 邻 两 个 3之 间 依 次 多 一 个 1), 共 3个 .答 案 : D. 4. 已 知 反 比 例 函 数 y=kx 的 图 象 经 过 点 (3, 2), 那 么 下 列 四 个 点 中 , 也 在 这 个 函 数 图 象 上 的是
5、( )A.(3, -2)B.(-2, -3)C.(1, -6)D.(-6, 1)解 析 : 把 已 知 点 坐 标 代 入 反 比 例 解 析 式 求 出 k 的 值 , 选 项 中 坐 标 积 为 k的 , 即 为 正 确 答 案 .把 (2, 3)代 入 反 比 例 解 析 式 得 : k=6, 反 比 例 解 析 式 为 y=6x , 则 (-2, -3)在 这 个 函 数 图 象上 .答 案 : B. 5. 下 列 说 法 中 , 正 确 的 是 ( )A. 34 x2的 系 数 是 34B. 232 a 的 系 数 是 32C.3ab2的 系 数 是 3aD.25 xy 2的 系 数
6、 是 25解 析 : 考 查 单 项 式 的 系 数 , 对 各 选 项 分 析 判 断 :A. 34 x2的 系 数 是 34 , 故 本 选 项 错 误 ;B. 232 a 的 系 数 是 32 , 故 本 选 项 错 误 ;C. 3ab 2的 系 数 是 3, 故 本 选 项 错 误 ;D. 25 xy2的 系 数 25 , 故 本 选 项 正 确 .答 案 : D.6. 如 图 , 由 几 个 相 同 的 小 正 方 体 搭 成 的 一 个 几 何 体 , 它 的 俯 视 图 为 ( ) A.B. C.D.解 析 : 考 查 简 单 组 合 体 的 三 视 图 .找 到 从 上 面 看
7、 所 得 到 的 图 形 即 可 : 从 上 面 向 下 看 , 从 左 到右 有 三 排 , 且 其 正 方 形 的 个 数 分 别 为 2、 3、 1,答 案 : D.7. 一 组 数 据 2, 0, 1, x, 3 的 平 均 数 是 2, 则 这 组 数 据 的 方 差 是 ( ) A.2B.4C.1D.3解 析 : 考 查 算 术 平 均 数 和 方 程 .先 根 据 平 均 数 的 定 义 确 定 出 x 的 值 , 再 根 据 方 差 的 计 算 公 式2 2 2 21 21( ) ( ) ( ) nS x x xx x xn 求 出 这 组 数 据 的 方 差 :由 平 均 数
8、 的 公 式 得 : (0+1+2+3+x) 5=2, 解 得 x=4;则 方 差 =(0-2) 2+(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2+(4-2)2 5=2.答 案 : A.8. 如 图 , 已 知 AB CD, 若 A=25 , E=40 , 则 C 等 于 ( )A.40B.65C.115 D.25解 析 : 考 查 平 行 线 的 性 质 .根 据 平 行 线 的 性 质 可 求 得 EFB= C, 在 AEF中 由 三 角 形 外 角 的性 质 可 求 得 EFB, 进 而 求 得 答 案 : EFB 是 AEF 的 一 个 外 角 , EFB= A+ E=25+40 =65
9、, AB CD, C= EFB=65 ,答 案 : B.9. 已 知 边 长 为 m 的 正 方 形 面 积 为 12, 则 下 列 关 于 m的 说 法 中 , 错 误 的 是 ( ) m 是 无 理 数 ; m 是 方 程 m 2-12=0 的 解 ; m 满 足 不 等 式 组 4 05 0mm ; m 是 12 的 算 术 平 方 根 .A. B. C.D. 解 析 : 对 各 个 选 项 进 行 分 析 判 断 : 考 查 算 术 平 方 根 , 无 理 数 : 边 长 为 m的 正 方 形 面 积 为 12, m 2=12, m=2 3, 3 是一 个 无 理 数 , m 是 无
10、理 数 , 结 论 正 确 ; m2=12, m是 方 程 m2-12=0 的 解 , 结 论 正 确 ; 考 察 不 等 式 组 的 解 集 . 不 等 式 组 4 05 0mm 的 解 集 是 4 m 5, m=2 3 2 2=4, m不 满 足 不 等 式 组 4 05 0mm , 结 论 不 正 确 ; m2=12, 而 且 m 0, m 是 12的 算 术 平 方 根 , 结 论 正 确 .综 上 所 述 : 关 于 m 的 说 法 中 , 错 误 的 是 .答 案 : C. 10. 菱 形 ABCD 的 一 条 对 角 线 长 为 6, 边 AB 的 长 为 方 程 y2-7y+1
11、0=0 的 一 个 根 , 则 菱 形 ABCD的 周 长 为 ( )A.8B.20C.8或 20D.10解 析 : 考 查 菱 形 的 性 质 , 因 式 分 解 发 解 一 元 二 次 方 程 .边 AB 的 长 是 方 程 y2-7y+10=0的 一 个根 , 解 方 程 求 得 x 的 值 , 根 据 菱 形 ABCD 的 一 条 对 角 线 长 为 6、 三 角 形 的 三 边 关 系 可 得 出 菱形 的 边 长 , 进 而 求 得 菱 形 ABCD的 周 长 .解 方 程 y 2-7y+10=0得 : y=2或 5, 对 角 线 长 为 6, 2+2 6, 不 能 构 成 三 角
12、 形 ; 菱 形 的 边 长 为 5. 菱 形 ABCD的 周 长 为 4 5=20.答 案 : B.二 、 填 空 题 (本 小 题 包 括 7 小 题 , 每 小 题 3 分 , 共 21分 )11. 在 数 1, 0, -1, |-2|中 , 最 小 的 数 是解 析 : 考 查 有 理 数 大 小 比 较 , 利 用 绝 对 值 的 代 数 意 义 化 简 后 |-2|=2, 1, 0, -1, 2 中 , 最小 的 数 是 -1, 在 数 1, 0, -1, |-2|=2中 , 最 小 的 数 是 -1.答 案 : -1.12.因 式 分 解 : x 3y-xy= 解 析 : 考 查
13、 提 公 因 式 法 与 公 式 法 进 行 因 式 分 解 的 综 合 应 用 .首 先 提 取 公 因 式 xy, 再 运 用 平 方差 公 式 进 行 二 次 分 解 :x3y-xy=xy(x2-1) (提 取 公 因 式 )=xy(x+1)(x-1). (平 方 差 公 式 )答 案 : xy(x+1)(x-1).13. 函 数 1 3y xx 中 , 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 .解 析 : 考 查 函 数 自 变 量 的 取 值 范 围 .根 据 二 次 根 式 的 性 质 和 分 式 的 意 义 , 被 开 方 数 大 于 等 于0, 且 分 母 不 为 0, 可 知
14、 : x+1 0 且 x+3 0, 解 得 : x -1.答 案 : x -1. 14. 如 图 , O是 ABC 的 外 接 圆 , 连 接 OA, OB, OBA=48 , 则 C 的 度 数 为 .解 析 : 考 查 圆 周 角 定 理 , 根 据 三 角 形 的 内 角 和 定 理 求 得 AOB的 度 数 , 再 进 一 步 根 据 圆 周 角定 理 求 解 : OA=OB, OBA=48 , OAB= OBA=48 , AOB=180 -48 2=84 , C= 12 AOB=42 ,答 案 : 42 . 15. 某 市 为 处 理 污 水 , 需 要 铺 设 一 条 长 为 50
15、00m 的 管 道 , 为 了 尽 量 减 少 施 工 对 交 通 所 造 成 的影 响 , 实 际 施 工 时 每 天 比 原 计 划 多 铺 设 20m, 结 果 提 前 15天 完 成 任 务 .设 原 计 划 每 天 铺 设 管道 x m, 则 可 得 方 程 .解 析 : 考 查 由 实 际 问 题 抽 象 出 分 式 方 程 .设 原 计 划 每 天 铺 设 管 道 x m, 则 实 际 每 天 铺 设 管 道 (x+20)m, 根 据 题 意 可 得 , 实 际 比 原 计 划少 用 15天 完 成 任 务 , 据 此 列 方 程 可 得 : 5000 5000 1520 x x
16、 .答 案 : 5000 5000 1520 x x .16. 如 图 , 在 一 张 长 为 7cm, 宽 为 5cm 的 矩 形 纸 片 上 , 现 要 剪 下 一 个 腰 长 为 4cm的 等 腰 三 角形 (要 求 : 等 腰 三 角 形 的 一 个 顶 点 与 矩 形 的 一 个 顶 点 重 合 , 其 余 的 两 个 顶 点 在 矩 形 的 边 上 ),则 剪 下 的 等 腰 三 角 形 的 面 积 为 . 解 析 : 考 查 勾 股 定 理 , 等 腰 三 角 形 的 判 定 , 矩 形 的 性 质 .因 为 等 腰 三 角 形 腰 的 位 置 不 明 确 ,所 以 分 三 种
17、情 况 进 行 讨 论 :(1) AEF为 等 腰 直 角 三 角 形 , 即 当 AE=AF=4时 , 如 图 : S AEF= 12AE AF=12 4 4=8(cm2);(2)先 利 用 勾 股 定 理 求 出 AE 边 上 的 高 BF, 再 代 入 面 积 公 式 求 解 : 当 AE=EF=4时 , 如 图 :则 BE=5-4=1, 2 2 2 24 1 15BF EF BE , 1 1 4 15 2 152 2AEFS AE BF (cm 2);(3)先 求 出 AE 边 上 的 高 DF, 再 代 入 面 积 公 式 求 解 : 当 AE=EF=4时 , 如 图 :则 DE=7
18、-4=3, 2 2 2 24 3 7DF EF DE , 1 1 4 7 2 72 2AEFS AE DF (cm 2);答 案 : 8 或 2 15或 2 7.17.一 列 数 x1, x2, x3, , 其 中 x1=12, 111n nx x (n为 不 小 于 2 的 整 数 ), 则 x2015= . 解 析 : 根 据 表 达 式 求 出 前 几 个 数 不 难 发 现 , 每 三 个 数 为 一 个 循 环 组 依 次 循 环 , 用 2015除 以3, 根 据 商 和 余 数 的 情 况 确 定 a2015的 值 即 可 :由 题 意 得 , 2 1 211 2a ,3 1 1
19、1 2a , 4 1 11 1 2a , ,依 此 类 推 , 每 三 个 数 为 一 个 循 环 组 依 次 循 环 , 2015 3=671 2, a 2015是 第 671个 循 环 组 的 第 2 个 数 , 与 a2相 同 , 即 a2015=2.答 案 : 2.三 、 解 答 题 (本 小 题 包 括 9个 小 题 , 共 69分 , 请 写 出 解 答 的 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 计 算 步 骤 )18. 计 算(1)计 算 : 0 113 27 302 tan ( ) ( ) .解 析 : (1)考 查 实 数 的 运 算 ,零 指 数 幂 ,负 整 数 指 数
20、 幂 , 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 .分 别 根 据 0 指 数幂 及 负 整 数 指 数 幂 的 计 算 法 则 、 数 的 开 方 法 则 及 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 计 算 出 各 数 , 再 根 据 实数 混 合 运 算 的 法 则 进 行 计 算 即 可 .答 案 : (1)原 式 =1+2-3 3- 33 =3-10 33 . (2)解 方 程 : 23 19 3xx x .解 析 : (2)考 查 解 分 式 方 程 .先 把 分 式 方 程 化 为 整 式 方 程 , 求 出 x 的 值 , 在 进 行 检 验 即 可 .答 案 : (2)方 程 两 边
21、同 时 乘 以 (x+3)(x-3)得 , 3+x(x+3)=x2-9, 解 得 x=4,代 入 (x+3)(x-3)得 , (4+3)(4-3)=7 0, 故 x=4 是 原 分 式 方 程 的 解 .(3)解 不 等 式 组 3 24 2 4y yy y , 并 把 解 集 在 数 轴 上 表 示 出 来 .解 析 : (3)解 一 元 一 次 不 等 式 组 , 在 数 轴 上 表 示 不 等 式 的 解 集 .分 别 求 出 各 不 等 式 的 解 集 , 再求 出 其 公 共 解 集 即 可 .答 案 : (3) 3 24 2 4y yy y , 由 得 , y 1, 由 得 , y
22、 2, 故 不 等 式 组 的 解 集 为 : 1 y 2.画 数 轴 : 19. 先 化 简 , 再 求 值 : 22a b ab ba aa ( ) , 其 中 a, b 满 足 |a-3|+(b-2)2=0.解 析 : 考 查 了 分 式 的 化 简 求 值 ; 非 负 数 的 性 质 : 绝 对 值 ; 非 负 数 的 性 质 : 偶 次 方 .原 式 括 号中 两 项 通 分 并 利 用 同 分 母 分 式 的 减 法 法 则 计 算 , 同 时 利 用 除 法 法 则 变 形 , 约 分 得 到 最 简 结 果 ,利 用 非 负 数 的 性 质 求 出 a与 b的 值 , 代 入
23、计 算 即 可 求 出 值 .答 案 : 原 式 = 2 2 2 12a b a ab b a b aa a aa a b b , |a-3|+(b-2) 2=0, a-3=0, b-2=0, 即 a=3, b=2, 则 原 式 =1.20.如 图 , 建 筑 物 AB 后 有 一 座 假 山 , 其 坡 度 为 i=1: 3, 山 坡 上 E点 处 有 一 凉 亭 , 测 得 假山 坡 脚 C 与 建 筑 物 水 平 距 离 BC=25 米 , 与 凉 亭 距 离 CE=20 米 , 某 人 从 建 筑 物 顶 端 测 得 E点 的俯 角 为 45 , 求 建 筑 物 AB的 高 .(注 :
24、 坡 度 i 是 指 坡 面 的 铅 直 高 度 与 水 平 宽 度 的 比 ) 解 析 : 考 查 解 直 角 三 角 形 的 应 用 中 的 仰 角 俯 角 问 题 和 坡 度 坡 角 问 题 .作 辅 助 线 : 过 点 E 作 EF BC 于 点 F, 过 点 E 作 EN AB 于 点 N, 再 利 用 坡 度 的 定 义 以 及 勾 股 定 理 得 出 EF、 FC的 长 ,求 出 AB的 长 即 可 .答 案 : 过 点 E 作 EF BC 于 点 F, 过 点 E作 EN AB于 点 N, 建 筑 物 AB后 有 一 座 假 山 , 其 坡 度 为 i=1: 3, 设 EF=x
25、, 则 FC= 3x, CE=20 米 , x2+( 3x)2=400, 解 得 : x=10, 则 FC=10 3m, BC=25m, BF=NE=(25+10 3)m, AB=AN+BN=NE+EF=25+10 3+10=(35+10 3)m,答 : 建 筑 物 AB 的 高 为 (35+10 3)m.21. 如 图 , 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 , 若 AB=6, AD=10, ABC的 平 分 线 交 AD于 点 E, 交 CD 的延 长 线 于 点 F, 求 DF的 长 . 解 析 : 考 查 平 行 四 边 形 的 性 质 , 等 腰 三 角 形 的 判 定 与 性 质
26、 .首 先 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 可 得AB=DC=6, AD=BC=10, AB DC, 再 根 据 平 行 线 的 性 质 与 角 平 分 线 的 性 质 证 明 2= 3, 根 据 等角 对 等 边 可 得 BC=CF=10, 用 CF-CD即 可 算 出 DF的 长 .答 案 : 如 图 所 示 : 四 边 形 ABCD 为 平 行 四 边 形 , AB=DC=6, AD=BC=10, AB DC. AB DC, 1= 3,又 BF平 分 ABC, 1= 2, 2= 3, BC=CF=10, DF=CF-DC=10-6=4. 22. 如 图 , 四 边 形 ABCD中
27、 , E 点 在 AD上 , 其 中 BAE= BCE= ACD=90 , 且 BC=CE, 求 证 : ABC与 DEC 全 等 .解 析 : 考 查 全 等 三 角 形 的 判 定 .根 据 同 角 的 余 角 相 等 可 得 到 3= 5, 结 合 已 知 条 件 可 得 到 1= D, 再 加 上 BC=CE, 可 证 得 结 论 . 答 案 : BCE= ACD=90 , 3+ 4= 4+ 5, 3= 5,在 ACD中 , ACD=90 , 2+ D=90 , BAE= 1+ 2=90 , 1= D, 在 ABC和 DEC中 , 13 5DBC CE , ABC DEC(AAS).2
28、3.课 前 预 习 是 学 习 的 重 要 环 节 , 为 了 了 解 所 教 班 级 学 生 完 成 课 前 预 习 的 具 体 情 况 , 某 班 主任 对 本 班 部 分 学 生 进 行 了 为 期 半 个 月 的 跟 踪 调 查 , 他 将 调 查 结 果 分 为 四 类 : A-优 秀 , B-良 好 ,C-一 般 , D-较 差 , 并 将 调 查 结 果 绘 制 成 以 下 两 幅 不 完 整 的 统 计 图 .请 你 根 据 统 计 图 , 解 答 下 列 问 题 : (1)本 次 一 共 调 查 了 多 少 名 学 生 ?解 析 : (1)考 查 条 形 统 计 图 和 扇
29、形 统 计 图 .通 过 条 形 统 计 图 可 以 得 知 B类 人 数 , 通 过 扇 形 统 计图 可 以 得 知 B 类 占 总 人 数 的 比 例 , 用 B类 的 人 数 除 以 它 所 占 的 百 分 比 即 可 得 到 本 次 调 查 的 学生 数 .答 案 : (1)通 过 条 形 统 计 图 可 以 得 知 B类 人 数 6+4=10(人 ), 通 过 扇 形 统 计 图 可 以 得 知 B 类 占总 人 数 的 比 例 50%, 本 次 调 查 的 学 生 数 =10 50%=20(名 ).(2)C类 女 生 有 名 , D 类 男 生 有 名 , 并 将 条 形 统 计
30、 图 补 充 完 整 .解 析 : (2)考 查 条 形 统 计 图 和 扇 形 统 计 图 .用 调 查 的 总 人 数 乘 以 C类 所 占 百 分 比 得 到 C类 人 数 ,然 后 减 去 男 生 人 数 即 可 得 到 C类 女 生 人 数 , 同 理 可 求 出 D 类 男 生 人 数 , 然 后 补 全 条 形 统 计 图 .答 案 : (2)由 扇 形 统 计 图 可 知 , C 类 学 生 占 总 人 数 25%, C类 学 生 数 : 20 25%=5, C 类 学生 男 生 有 2人 , C 类 女 生 数 : 5-2=3(名 ); D类 学 生 数 : 20-3-10-
31、5=2(名 ), D 类 女 生 有 1人 , D 类 男 生 有 2-1=1(名 ); 即 C 类 女 生 有 3 名 , D类 男 生 有 1 名 . 条 形 统 计 图 为 :(3)若 从 被 调 查 的 A 类 和 C类 学 生 中 各 随 机 选 取 一 位 同 学 进 行 “ 一 帮 一 ” 互 助 学 习 , 请 用 列 表 法 或 画 树 状 图 的 方 法 求 出 所 选 同 学 中 恰 好 是 一 位 男 同 学 和 一 位 女 同 学 的 概 率 .解 析 : (3)考 查 列 表 法 与 树 状 图 法 .先 画 树 状 图 展 示 15种 等 可 能 的 结 果 数
32、, 再 找 出 恰 好 是 一位 男 同 学 和 一 位 女 同 学 的 结 果 数 , 然 后 根 据 概 率 公 式 计 算 .答 案 : (3)根 据 题 意 , 画 树 状 图 为 :共 有 15种 等 可 能 的 结 果 数 , 其 中 恰 好 是 一 位 男 同 学 和 一 位 女 同 学 的 结 果 数 为 7 种 , P(所 选 同 学 中 恰 好 是 一 位 男 同 学 和 一 位 女 同 学 )= 715.24.光 明 文 具 厂 工 人 的 工 作 时 间 : 每 月 26 天 , 每 天 8小 时 .待 遇 : 按 件 计 酬 , 多 劳 多 得 , 每 月 另 加 福
33、 利 工 资 920元 , 按 月 结 算 .该 厂 生 产 A, B 两 种 型 号 零 件 , 工 人 每 生 产 一 件 A种 型 号零 件 , 可 得 报 酬 0.85元 , 每 生 产 一 件 B 种 型 号 零 件 , 可 得 报 酬 1.5元 , 下 表 记 录 的 是 工 人小 王 的 工 作 情 况 :生 产 A种 型 号 零 件 /件 生 产 B 种 型 号 零 件 /件 总 时 间 /分2 2 706 4 170根 据 上 表 提 供 的 信 息 , 请 回 答 如 下 问 题 :(1)小 王 每 生 产 一 件 A 种 型 号 零 件 、 每 生 产 一 件 B 种 型
34、 号 零 件 , 分 别 需 要 多 少 分 钟 ?解 析 : (1)考 查 二 元 一 次 方 程 组 的 应 用 .设 小 王 生 产 一 个 A种 产 品 用 a 分 钟 , 生 产 一 个 B 种 产品 用 b分 钟 , 根 据 表 格 中 的 数 据 , 列 方 程 组 求 a、 b 的 值 .答 案 : (1)设 小 王 生 产 一 个 A 种 产 品 用 a 分 钟 , 生 产 一 个 B 种 产 品 用 b 分 钟 ; 根 据 题 意 得 2 2 706 4 170a ba b , 解 得 1520ab ,即 小 李 生 产 一 个 A 种 产 品 用 15分 钟 , 生 产
35、一 个 B 种 产 品 用 20分 钟 .(2)设 小 王 某 月 生 产 A 种 型 号 零 件 x 件 , 该 月 工 资 为 y 元 , 求 y 与 x 的 函 数 关 系 式 .解 析 : (2)考 查 一 次 函 数 的 应 用 .由 题 意 得 , 可 知 存 在 关 系 式 : 月 工 资 y=生 产 一 件 A 种 产 品报 酬 x+生 产 一 件 B种 产 品 报 酬 AB月 工 作 时 间 生 产 产 品 时 间生 产 一 个 产 品 时 间 +福 利 工 资 920元 , 从 而列 出 函 数 关 系 式 .答 案 : (2)由 题 意 得 : 26 8 60 150.8
36、5 1.5 92020 xy x , 即 y=-0.275x+1856. (3)如 果 生 产 两 种 型 号 零 件 的 数 目 限 制 , 那 么 小 王 该 月 的 工 资 数 目 最 多 为 多 少 ?解 析 : (3)利 用 (2)得 到 的 函 数 关 系 式 , 根 据 一 次 函 数 的 单 调 性 求 解 .答 案 : (3)解 析 式 y=-0.275x+1856中 , y 随 x 增 大 而 减 小 , 生 产 A, B 两 种 产 品 的 数 目 又 没 有 限 制 , 当 x=0 时 , y取 最 大 值 , 即 y=1856.即 小 王 该 月 全 部 时 间 用
37、来 生 产 B 种 产 品 , 最 高 工 资 为 1856元 . 25. 如 图 , MN 是 O 的 直 径 , QN 是 O 的 切 线 , 连 接 MQ交 O 于 点 H, E为 MH上 一 点 , 连接 ME, NE, NE 交 MQ于 点 F, 且 ME2=EF EN.(1)求 证 : QN=QF.解 析 : (1)考 查 相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质 , 切 线 的 性 质 , 弦 切 角 定 理 .如 图 1, 通 过 相 似 三 角形 ( MEF MEN)的 对 应 角 相 等 推 知 , 1= EMN; 又 由 弦 切 角 定 理 、 对 顶 角 相 等 证
38、得 2= 3; 最 后 根 据 等 角 对 等 边 证 得 结 论 .答 案 : (1)证 明 : 如 图 1, ME2=EF EN, ME EFEN ME .又 MEF= MEN, MEF MEN, 1= EMN. 1= 2, 3= EMN, 2= 3, QN=QF.(2)若 点 E 到 弦 MH 的 距 离 为 1, cos Q=35 , 求 O 的 半 径 . 解 析 : (2)考 查 相 似 三 角 形 的 性 质 , 圆 周 角 、 弧 、 弦 间 的 关 系 .如 图 2, 连 接 OE交 MQ 于 点 G,设 O的 半 径 是 r.根 据 (1)中 的 相 似 三 角 形 的 性
39、 质 证 得 EMF= ENM, 所 以 由 “ 圆 周 角 、 弧 、弦 间 的 关 系 ” 推 知 点 E 是 弧 MH的 中 点 , 则 OE MQ; 然 后 通 过 解 直 角 MNE求 得 cos Q=sin GMO= 1 35rr , 则 可 以 求 r 的 值 .答 案 : (2)解 : 如 图 2, 连 接 OE交 MQ 于 点 G, 设 O的 半 径 是 r. 由 (1)知 , MEF MEN, 则 4= 5. ME=EH, OE MQ, EG=1. cos Q=35 , 且 Q+ GMO=90 , sin GMO=35 , OGOM =35 , 即 1 35rr ,解 得
40、, r=2.5, 即 O的 半 径 是 2.5.26. 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 抛 物 线 y=ax2+bx+c(a 0)的 顶 点 为 B(2, 1), 且 过 点 A(0,2), 直 线 y=x 与 抛 物 线 交 于 点 D, E(点 E 在 对 称 轴 的 右 侧 ), 抛 物 线 的 对 称 轴 交 直 线 y=x 于点 C, 交 x 轴 于 点 G, EF x轴 , 垂 足 为 F, 点 P 在 抛 物 线 上 , 且 位 于 对 称 轴 的 右 侧 , PQ x轴 , 垂 足 为 点 Q, PCQ 为 等 边 三 角 形 (1)求 该 抛 物 线 的
41、解 析 式 .解 析 : (1)设 抛 物 线 的 表 达 式 为 y=a(x-2)2+1, 抛 物 线 的 顶 点 是 (2, 1), 把 A 的 坐 标 代 入即 可 求 得 函 数 的 解 析 式 .答 案 : (1)设 抛 物 线 的 表 达 式 为 y=a(x-2)2+1, 将 点 A(0, 2)代 入 , 得 a(0-2)2+1=2,解 这 个 方 程 , 得 a=14, 抛 物 线 的 表 达 式 为 y=14(x-2)2+1=14 x2-x+2.(2)求 点 P 的 坐 标 .解 析 : (2)根 据 PCQ为 等 边 三 角 形 , 则 CGQ 中 , CQD=30 , CG
42、 的 长 度 可 以 求 得 , 根 据直 角 三 角 形 的 性 质 , 即 可 求 得 CQ 的 长 , 即 等 边 CQP的 边 长 , 将 P 的 纵 坐 标 代 入 二 次 函 数的 解 析 式 , 即 可 求 得 P 的 坐 标 .答 案 : (2)将 x=2代 入 y=x, 得 y=2, 点 C的 坐 标 为 (2, 2), 即 CG=2, PCQ为 等 边 三 角 形 CQP=60 , CQ=PQ, PQ x 轴 , CQG=30 , CQ=4, GQ=2 3, OQ=2+2 3, PQ=4,将 y=4代 入 y=14(x-2)2+1, 得 4=14 (x-2)2+1解 这 个
43、 方 程 , 得 x1=2+2 3=OQ, x2=2-2 3 0(不 合 题 意 , 舍 去 ). 点 P的 坐 标 为 (2+2 3, 4).(3)求 证 : CE=EF.解 析 : (3)解 方 程 组 即 可 求 得 E 的 坐 标 , 则 EF 的 长 等 于 E的 纵 坐 标 , 利 用 勾 股 定 理 可 以 求 得OE的 长 度 , 同 理 可 得 OC的 长 度 , 进 而 求 得 CE 的 长 度 .答 案 : (3)把 y=x代 入 y=14 x 2-x+2, 得 x=14x2-x+2解 这 个 方 程 , 得 x1=4+2 2, x2=4-2 2 2(不 合 题 意 ,
44、舍 去 ) y=4+2 2 =EF 点 E 的 坐 标 为 (4+2 2, 4+2 2) 2 2 4 4 2OE EF OF ,又 2 2 2 2OC CG OG , CE=OE-OC=4+2 2, CE=EF.(4)连 接 PE, 在 x轴 上 点 Q的 右 侧 是 否 存 在 一 点 M, 使 CQM与 CPE全 等 ? 若 存 在 , 试 求 出点 M 的 坐 标 ; 若 不 存 在 , 请 说 明 理 由 .注 : 3+2 2=( 2+1) 2.解 析 : (4)利 用 反 证 法 , 假 设 x 轴 上 存 在 一 点 , 使 CQM CPE, 可 以 证 得 EM=EF, 即 M 与 F重 合 , 与 点 E 为 直 线 y=x上 的 点 , CEF=45 即 点 M与 点 F 不 重 合 相 矛 盾 , 故 M不 存 在 .答 案 : (4)不 存 在 .如 图 , 假 设 x 轴 上 存 在 一 点 , 使 CQM CPE, 则 CM=CE, QCM= PCE QCP=60 , MCE=60 又 CE=EF, EM=EF,又 点 E 为 直 线 y=x上 的 点 , CEF=45 , 点 M与 点 F 不 重 合 . EF x 轴 , 这 与 “ 垂 线 段 最 短 ” 矛 盾 , 原 假 设 错 误 , 满 足 条 件 的 点 M 不 存 在 .