1、2015年 内 蒙 古 赤 峰 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (每 小 题 给 出 的 选 项 中 只 有 一 个 符 合 题 意 ， 请 将 符 合 题 意 的 选 项 序 号 ， 在 答 题 卡的 对 应 位 置 上 按 要 求 涂 黑 ， 每 小 题 3 分 ， 共 24 分 )1. -2的 相 反 数 是 ( )A.2B. 12C. 2D.|-2|解 析 ： -2 的 相 反 数 是 2. 答 案 ： A2.为 了 加 速 内 蒙 古 经 济 建 设 ， 国 家 计 划 投 资 204.4亿 元 修 建 赤 峰 市 至 喀 左 的 “ 高 铁 ” ， 204.4亿 用
2、科 学 记 数 法 表 示 正 确 的 是 ( )A.0.2044 1011B.20.44 109C.2.044 108D.2.044 10 10解 析 ： 204.4 亿 =20440000000=2.044 1010.答 案 ： D3.下 面 四 个 “ 艺 术 字 ” 中 ， 轴 对 称 图 形 的 个 数 是 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个 解 析 ： 由 轴 对 称 图 形 的 性 质 可 知 ， 四 个 字 中 的 轴 对 称 图 形 有 ： 美 、 赤 .答 案 ： B4.如 图 ， 直 线 AB CD， 一 个 含 60 角 的 直 角 三 角 板 EFG( E=60
3、)的 直 角 顶 点 F在 直 线 AB上 ， 斜 边 EG与 AB 相 交 于 点 H， CD与 FG相 交 于 点 M.若 AHG=50 ， 则 FMD等 于 ( ) A.10B.20C.30D.50解 析 ： 直 线 AB CD， AHG=50 ， AKG= XKG=50 . CKG是 KMG的 外 角 ， KMG= CKG- G=50 -30 =20 . KMG与 FMD是 对 顶 角 ， FMD= KMG=20 .答 案 ： B.5.解 不 等 式 组 2 3 11 32xx x ， 的 解 集 在 数 轴 上 表 示 正 确 的 是 ( )A.B. C.D.解 析 ： 2 3 11
4、 3 ,2xx x ， 解 不 等 式 ， 得 x -1.解 不 等 式 ， 得 x -3，则 原 不 等 式 组 的 解 集 为 ： -3 x -1.答 案 ： C6.为 了 了 解 某 校 学 生 的 课 外 阅 读 情 况 ， 随 机 抽 查 了 10学 生 周 阅 读 用 时 数 ， 结 果 如 下 表 ： 则 关 于 这 10名 学 生 周 阅 读 所 用 时 间 ， 下 列 说 法 正 确 的 是 ( )A.中 位 数 是 6.5B.众 数 是 12 C.平 均 数 是 3.9D.方 差 是 6解 析 ： 这 10 名 学 生 周 阅 读 所 用 时 间 从 大 到 小 排 列 ，
5、 可 得 4、 4、 4、 5、 5、 5、 5、 8、 8、 12， 这 10名 学 生 周 阅 读 所 用 时 间 的 中 位 数 是 ： (5+5) 2=10 2=5， 选 项 A 不 正 确 ； 这 10名 学 生 周 阅 读 所 用 时 间 出 现 次 数 最 多 的 是 5小 时 ， 这 10名 学 生 周 阅 读 所 用 时 间 的众 数 是 5， 选 项 B不 正 确 ； (4 3+5 4+8 2+12) 10=60 10=6， 这 10名 学 生 周 阅 读 所 用 时 间 的 平 均 数 是 6， 选 项 C 不 正 确 ； 110 (4-6) 2+(4-6)2+(4-6)
6、2+(5-6)2+(5-6)2+(5-6)2+(5-6)2+(8-6)2+(8-6)2+(12-6)2= 110 4+4+4+1+1+1+1+4+4+36= 110 60=6. 这 10名 学 生 周 阅 读 所 用 时 间 的 方 差 是 6， 选 项 D正 确 .答 案 ： D.7.如 图 为 正 六 棱 柱 与 圆 锥 组 成 的 几 何 体 ， 其 俯 视 图 是 ( ) A.B.C. D.解 析 ： 如 图 为 正 六 棱 柱 与 圆 锥 组 成 的 几 何 体 ， 其 俯 视 图 是 D.答 案 ： D二 、 填 空 题 (请 把 答 案 填 写 在 答 题 卡 相 应 的 横 线
7、 上 ， 每 小 题 3 分 ， 共 24分 ) 8.抛 物 线 y=ax2+bx+c 的 图 象 如 图 所 示 ， 则 一 次 函 数 y=ax+b 与 反 比 例 函 数 y= cx 在 同 一 平 面直 角 坐 标 系 内 的 图 象 大 致 为 ( ) A.B.C. D.解 析 ： 由 抛 物 线 可 知 ， a 0， b 0， c 0， 一 次 函 数 y=ax+b 的 图 象 经 过 第 一 、 三 、 四 象限 ， 反 比 例 函 数 y= cx 的 图 象 在 第 二 、 四 象 限 .答 案 ： B二 、 填 空 题 (请 把 答 案 填 写 在 答 题 卡 相 应 的 横
8、 线 上 ， 每 小 题 3 分 ， 共 24分 )9.因 式 分 解 ： 3a 2-6a= .解 析 ： 3a2-6a=3a(a-2).答 案 ： 3a(a-2). 10. 若 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2-(a+5)x+8a=0的 两 个 实 数 根 分 别 为 2 和 b， 则 ab= .解 析 ： 关 于 x的 一 元 二 次 方 程 x2-(a+5)x+8a=0的 两 个 实 数 根 分 别 是 2、 b， 由 韦 达 定 理 ， 得 2 52 8b ab a ， 解 得 14ab ， ab=1 4=4.答 案 ： 4.11.在 分 别 写 有 -1， 0， 1， 2
9、 的 四 张 卡 片 中 随 机 抽 取 一 张 ， 所 抽 取 的 数 字 平 方 后 等 于 1 的 概率 为 .解 析 ： 因 为 -1， 0， 1， 2的 四 张 卡 片 中 随 机 抽 取 一 张 ， 所 抽 取 的 数 字 平 方 后 等 于 1 有 2 张 ，所 以 所 抽 取 的 数 字 平 方 后 等 于 1 的 概 率 为 2 14 2 . 答 案 ： 1212.如 图 ， M、 N 分 别 是 正 方 形 ABCD边 DC、 AB 的 中 点 ， 分 别 以 AE、 BF为 折 痕 ， 使 点 D、 点 C落 在 MN的 点 G 处 ， 则 ABG是 三 角 形 . 解
10、析 ： 由 折 叠 的 性 质 可 知 AG=AD， BG=BC， 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ， AD=AB=BC. AG=AB=BG. ABG是 等 边 三 角 形 .答 案 ： 等 边 .13.如 图 ， AB是 O 的 直 径 ， OB=3， BC是 O 的 弦 ， ABC的 平 分 线 交 O 于 点 D， 连 接 OD，若 BAC=20 ， 则 弧 AD 的 长 等 于 . 解 析 ： AB是 O 的 直 径 ， ACB=90 ， BAC=20 ， ABC=90 -20 =70 ， ABC的 平 分 线 交 O 于 点 D， ABD= 12 ABC= 12 70 =35
11、， AOD=2 ABD=2 35 =70 ， 弧 AD 的 长 = 70 3180 = 76 . 答 案 ： 76 .14.如 图 ， 平 行 四 边 形 ABCD中 ， AB=AC=4， AB AC， O 是 对 角 线 的 交 点 ， 若 O 过 A、 C 两 点 ，则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 之 和 为 .解 析 ： AOB= COD， S 阴 影 =S AOB. 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， OA= 12 AC= 12 4=2. AB AC， S 阴 影 =S AOB= 12 OA AB= 12 2 4=4.答 案 ： 415.如 图 ， 四 边 形 A
12、BCD中 ， AD BC， E 是 DC 上 一 点 ， 连 接 BE 并 延 长 交 AD延 长 线 于 点 F， 请你 只 添 加 一 个 条 件 ： 使 得 四 边 形 BDFC为 平 行 四 边 形 . 解 析 ： AD BC， 当 BD FC 时 ， 四 边 形 BDFC为 平 行 四 边 形 .答 案 ： BD FC.16. “ 梅 花 朵 朵 迎 春 来 ” ， 下 面 四 个 图 形 是 由 小 梅 花 摆 成 的 一 组 有 规 律 的 图 案 ， 按 图 中 规 律 ，第 n 个 图 形 中 小 梅 花 的 个 数 是 .解 析 ： 第 一 个 图 案 是 由 2个 梅 花
13、 组 成 ： 即 为 ： 2=1 2；第 二 个 图 案 是 由 9 个 梅 花 组 成 ： 即 为 ： 9=3 3；第 3 个 图 案 是 由 5 4=20个 梅 花 组 成 ： 即 为 ： 20=5 4； 第 4 个 图 案 是 由 35 个 梅 花 组 成 ： 即 为 ： 35=7 5；以 此 类 推 ： 第 n个 图 案 ， 梅 花 的 个 数 ： (2n-1)(n+1).答 案 ： (2n-1)(n+1).三 、 解 答 题 (在 答 题 卡 上 解 答 ， 在 本 试 卷 上 无 效 ， 解 答 时 要 写 出 必 要 的 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ，
14、 共 10 题 ， 满 分 102 分 )17.计 算 ： |- 12 |-( 6 - )0-sin30 +(- 12 )-2.解 析 ： 先 分 别 根 据 绝 对 值 的 性 质 、 0 指 数 幂 及 负 整 数 幂 的 计 算 法 则 、 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 分别 计 算 出 各 数 的 值 ， 再 根 据 实 数 混 合 运 算 的 法 则 进 行 计 算 即 可 .答 案 ： 原 式 = 12 -1- 12 +4=3.18.解 二 元 一 次 方 程 组 ： 2 73 2 0 x yx y ， .解 析 ： 方 程 组 利 用 加 减 消 元 法 求 出 解 即 可
15、 . 答 案 ： 2 73 2 0 x yx y ， ， 2+ 得 ： 7x=14， 即 x=2，把 x=2代 入 得 ： y=-3， 则 方 程 组 的 解 为 23xy ， 19.如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， ABC的 三 个 顶 点 坐 标 为 A(-3， 4)， B(-4， 2)， C(-2， 1)，且 A 1B1C1与 ABC 关 于 原 点 O 成 中 心 对 称 . (1)画 出 A1B1C1， 并 写 出 A1的 坐 标 ；(2)P(a， b)是 ABC 的 AC边 上 一 点 ， ABC经 平 移 后 点 P的 对 称 点 P (a+3， b+1)， 请
16、 画 出平 移 后 的 A2B2C2.解 析 ： (1)首 先 作 出 A、 B、 C 的 对 应 点 ， 然 后 顺 次 连 接 即 可 求 得 ；(2)把 ABC 的 三 个 顶 点 分 别 向 右 平 移 3 个 单 位 长 度 ， 向 上 平 移 1 个 单 位 长 度 即 可 得 到 对 应点 ， 然 后 顺 次 连 接 即 可 .答 案 ： (1)如 图 所 示 ： A1的 坐 标 是 (3， -4).(2) A2B2C2是 所 求 的 三 角 形 . 20.如 图 ， 在 一 个 18 米 高 的 楼 顶 上 有 一 信 号 塔 DC， 李 明 同 学 为 了 测 量 信 号 塔
17、 的 高 度 ， 在 地面 的 A处 测 的 信 号 塔 下 端 D的 仰 角 为 30 ， 然 后 他 正 对 塔 的 方 向 前 进 了 18 米 到 达 地 面 的 B处 ， 又 测 得 信 号 塔 顶 端 C 的 仰 角 为 60 ， CD AB与 点 E， E、 B、 A 在 一 条 直 线 上 .请 你 帮 李明 同 学 计 算 出 信 号 塔 CD 的 高 度 (结 果 保 留 整 数 ， 3 1.7， 2 1.4 ) 解 析 ： 利 用 30 的 正 切 值 即 可 求 得 AE 长 ， 进 而 可 求 得 CE 长 .CE 减 去 DE 长 即 为 信 号 塔 CD的 高 度
18、 .答 案 ： 根 据 题 意 得 ： AB=18， DE=18， A=30 ， EBC=60 ，在 Rt ADE中 ， AE= tan30DE = 1833 =18 3 ， BE=AE-AB=18 3 -18，在 Rt BCE中 ， CE=BE tan60 =(18 3 -18) 3 =54-18 3 ， CD=CE-DE=54-18 3 -18 5米 .21.中 学 生 上 学 带 手 机 的 现 象 越 来 越 受 到 社 会 的 关 注 ， 为 此 媒 体 记 者 随 机 调 查 了 某 校 若 干 名 学 生 上 学 带 手 机 的 目 的 ， 分 为 四 种 类 型 ： A 接 听
19、 电 话 ； B 收 发 短 信 ； C 查 阅 资 料 ； D 游 戏 聊 天 .并 将 调 查 结 果 绘 制 成 图 1和 图 2 的 统 计 图 (不 完 整 )， 请 根 据 图 中 提 供 的 信 息 ， 解 答 下 列 问 题 ：(1)此 次 抽 样 调 查 中 ， 共 调 查 了 名 学 生 ； (2)将 图 1、 图 2补 充 完 整 ；(3)现 有 4 名 学 生 ， 其 中 A 类 两 名 ， B 类 两 名 ， 从 中 任 选 2 名 学 生 ， 求 这 两 名 学 生 为 同 一 类型 的 概 率 (用 列 表 法 或 树 状 图 法 ).解 析 ： (1)用 A 类
20、 的 人 数 除 以 该 类 所 占 的 百 分 比 即 可 得 到 总 人 数 ；(2)分 别 计 算 出 B、 D两 类 人 数 和 C、 D 两 类 所 占 百 分 比 ， 然 后 补 全 统 计 图 ；(3)先 画 树 状 图 展 示 所 有 有 12种 等 可 能 的 结 果 数 ， 再 找 出 两 名 学 生 为 同 一 类 型 的 结 果 数 ， 然后 根 据 概 率 公 式 求 解 .答 案 ： (1)100 50%=200， 所 以 调 查 的 总 人 数 为 200 名 .(2)B类 人 数 =200 25%=50(名 )； D类 人 数 =200-100-50-40=10
21、(名 )；C类 所 占 百 分 比 = 40200 100%=20%， D 类 所 占 百 分 比 = 10200 100%=5%， 如 图 ： (3)画 树 状 图 为 ：共 有 12种 等 可 能 的 结 果 数 ， 其 中 两 名 学 生 为 同 一 类 型 的 结 果 数 为 4，所 以 这 两 名 学 生 为 同 一 类 型 的 概 率 = 4 112 3 .22.如 图 ， AB 为 O 的 直 径 ， PD 切 O 于 点 C， 与 BA 的 延 长 线 交 于 点 D， DE PO 交 PO 延 长线 于 点 E， 连 接 PB， EDB= EPB. (1)求 证 ： PB是
22、的 切 线 .(2)若 PB=6， DB=8， 求 O 的 半 径 .解 析 ： (1)由 已 知 角 相 等 ， 及 对 顶 角 相 等 得 到 三 角 形 DOE与 三 角 形 POB相 似 ， 利 用 相 似 三 角形 对 应 角 相 等 得 到 OBP为 直 角 ， 即 可 得 证 ；(2)在 直 角 三 角 形 PBD 中 ， 由 PB与 DB 的 长 ， 利 用 勾 股 定 理 求 出 PD 的 长 ， 由 切 线 长 定 理 得 到PC=PB， 由 PD-PC 求 出 CD 的 长 ， 在 直 角 三 角 形 OCD中 ， 设 OC=r， 则 有 OD=8-r， 利 用 勾 股
23、定理 列 出 关 于 r 的 方 程 ， 求 出 方 程 的 解 得 到 r的 值 ， 即 为 圆 的 半 径 .答 案 (1) 在 DEO和 PBO中 ， EDB= EPB， DOE= POB， OBP= E=90 ， OB 为 圆 的 半 径 ， PB 为 圆 O 的 切 线 .(2)在 Rt PBD 中 ， PB=6， DB=8， 根 据 勾 股 定 理 得 ： PD= 2 26 8 =10， PD 与 PB都 为 圆 的 切 线 ， PC=PB=6， DC=PD-PC=10-6=4，在 Rt CDO中 ， 设 OC=r， 则 有 DO=8-r， 根 据 勾 股 定 理 得 ： (8-r
24、)2=r2+42， 解 得 ： r=3， 则 圆 的 半 径 为 3.23.如 图 ， 直 线 y=-2x+4 与 坐 标 轴 分 别 交 于 C、 B两 点 ， 过 点 C作 CD x轴 ， 点 P 是 x 轴 下 方直 线 CD上 的 一 点 ， 且 OCP与 OBC相 似 ， 求 过 点 P的 双 曲 线 解 析 式 . 解 析 ： 由 直 线 y=-2x+4与 坐 标 轴 分 别 交 于 C、 B 两 点 ， 易 得 OC=2， OB=4， 再 分 两 种 情 况 当 OBC= COP 时 ， OCP与 OBC 相 似 ， 当 OBC= CPO 时 ， OCP与 OBC 相 似 分 别
25、 求 出点 的 坐 标 ， 再 求 出 过 点 P的 双 曲 线 解 析 式 .答 案 ： 直 线 y=-2x+4与 坐 标 轴 分 别 交 于 C、 B 两 点 ， 令 y=0， 可 得 -2x+4=0， 解 得 x=2， 即 C(2， 0)， OC=2，令 x=0， 可 得 y=4， 即 B(0， 4)， OB=4， 如 图 ， 当 OBC= COP时 ， OCP BOC， OB OCOC CP ， 即 4 22 CP ， 解 得 CP=1， P(2， -1)，设 过 点 P 的 双 曲 线 解 析 式 y= kx ， 把 P点 代 入 解 得 k=-2， 过 点 P 的 双 曲 线 解
26、析 式 y=- 2x ， 如 图 ， 当 OBC= CPO时 ， OCP COB， 在 OCP和 COB中 ， OBC CPOCOB OCPOC CO ， OCP COB(AAS) CP=BO=4， P(2， -4).设 过 点 P 的 双 曲 线 解 析 式 y= kx ， 把 P点 代 入 得 -4= 2k ， 解 得 k=-8， 过 点 P 的 双 曲 线 解 析 式 y= 8x .综 上 可 得 ， 过 点 P 的 双 曲 线 的 解 析 式 为 y=- 2x 或 y= 8x .24.李 老 师 家 距 学 校 1900米 ， 某 天 他 步 行 去 上 班 ， 走 到 路 程 的 一
27、 半 时 发 现 忘 带 手 机 ， 此 时 离上 班 时 间 还 有 23分 钟 ， 于 是 他 立 刻 步 行 回 家 取 手 机 ， 随 后 骑 电 瓶 车 返 回 学 校 .已 知 李 老 师 骑电 瓶 车 到 学 校 比 他 步 行 到 学 校 少 用 20 分 钟 ， 且 骑 电 瓶 车 的 平 均 速 度 是 步 行 速 度 的 5 倍 ， 李 老 师 到 家 开 门 、 取 手 机 、 启 动 电 瓶 车 等 共 用 4 分 钟 .(1)求 李 老 师 步 行 的 平 均 速 度 ；(2)请 你 判 断 李 老 师 能 否 按 时 上 班 ， 并 说 明 理 由 .解 析 ：
28、(1)设 李 老 师 步 行 的 平 均 速 度 为 xm/分 钟 ， 骑 电 瓶 车 的 平 均 速 度 为 5xm/分 钟 ， 根 据 题意 可 得 ， 骑 电 瓶 车 走 1900米 所 用 的 时 间 比 步 行 少 20分 钟 ， 据 此 列 方 程 求 解 ；(2)计 算 出 李 老 师 从 步 行 回 家 到 骑 车 回 到 学 校 所 用 的 总 时 间 ， 然 后 和 23进 行 比 较 即 可 .答 案 ： (1)设 李 老 师 步 行 的 平 均 速 度 为 xm/分 钟 ， 骑 电 瓶 车 的 平 均 速 度 为 5xm/分 钟 ，由 题 意 得 ， 1900 1900
29、 205x x ， 解 得 ： x=76，经 检 验 ， x=76是 原 分 式 方 程 的 解 ， 且 符 合 题 意 ， 则 5x=76 5=380，答 ： 李 老 师 步 行 的 平 均 速 度 为 76m/分 钟 ， 骑 电 瓶 车 的 平 均 速 度 为 380m/分 .(2)由 (1)得 ， 李 老 师 走 回 家 需 要 的 时 间 为 ： 19002 76 =12.5(分 钟 )， 骑 车 走 到 学 校 的 时 间 为 ： 1900380 =5，则 李 老 师 走 到 学 校 所 用 的 时 间 为 ： 12.5+5+4=21.5 23，答 ： 李 老 师 能 按 时 上 班
30、 . 25.如 图 ， 四 边 形 ABCD是 边 长 为 2， 一 个 锐 角 等 于 60 的 菱 形 纸 片 ， 小 芳 同 学 将 一 个 三 角 形纸 片 的 一 个 顶 点 与 该 菱 形 顶 点 D 重 合 ， 按 顺 时 针 方 向 旋 转 三 角 形 纸 片 ， 使 它 的 两 边 分 别 交CB、 BA(或 它 们 的 延 长 线 )于 点 E、 F， EDF=60 ， 当 CE=AF 时 ， 如 图 1 小 芳 同 学 得 出 的 结论 是 DE=DF.(1)继 续 旋 转 三 角 形 纸 片 ， 当 CE AF时 ， 如 图 2 小 芳 的 结 论 是 否 成 立 ？
31、若 成 立 ， 加 以 证 明 ；若 不 成 立 ， 请 说 明 理 由 ；(2)再 次 旋 转 三 角 形 纸 片 ， 当 点 E、 F 分 别 在 CB、 BA 的 延 长 线 上 时 ， 如 图 3 请 直 接 写 出 DE 与 DF 的 数 量 关 系 ；(3)连 EF， 若 DEF的 面 积 为 y， CE=x， 求 y 与 x 的 关 系 式 ， 并 指 出 当 x 为 何 值 时 ， y有 最 小值 ， 最 小 值 是 多 少 ？解 析 ： (1)如 答 图 1， 连 接 BD.根 据 题 干 条 件 首 先 证 明 ADF= BDE， 然 后 证 明 ADF BDE(ASA)，
32、 得 DF=DE；(2)如 答 图 2， 连 接 BD.根 据 题 干 条 件 首 先 证 明 ADF= BDE， 然 后 证 明 ADF BDE(ASA)，得 DF=DE；(3)根 据 (2)中 的 ADF BDE得 到 ： S ADF=S BDE， AF=BE.所 以 DEF的 面 积 转 化 为 ： y=S BEF+S ABD.据 此 列 出 y关 于 x 的 二 次 函 数 ， 通 过 求 二 次 函 数 的 最 值 来 求 y的 最 小 值 .答 案 ： (1)DF=DE.理 由 如 下 ： 如 答 图 1， 连 接 BD. 四 边 形 ABCD 是 菱 形 ， AD=AB.又 DA
33、B=60 ， ABD是 等 边 三 角 形 ， AD=BD， ADB=60 ， DBE= DAF=60 EDF=60 ， ADF= BDE. 在 ADF与 BDE中 ， ADF BDEAD BDDAF DBE ， ， ADF BDE(ASA)， DF=DE.(2)DF=DE.理 由 如 下 ： 如 答 图 2， 连 接 BD. 四 边 形 ABCD 是 菱 形 ， AD=AB.又 DAB=60 ， ABD是 等 边 三 角 形 ， AD=BD， ADB=60 ， DBE= DAF=60 EDF=60 ， ADF= BDE. 在 ADF与 BDE 中 ， ADF BDEAD BDDAF DBE
34、， ， ADF BDE(ASA)， DF=DE.(3)由 (2)知 ， DE=DF， 又 EDF=60 ， DEF是 等 边 三 角 形 ， 四 边 形 ABCD 是 边 长 为 2 的 菱 形 ， DH= 3 ， BF=CE=x， AF=x-2， FH=AF+AH=x-2+1=x-1， DF= 21 3x = 2 2 4x x ， DG= 32 2 2 4x x ， y=S DEF= 12 EF DG= 12 2 2 4x x 32 2 2 4x x = 34 (x-1)2+ 3 34 . 当 x=1时 ， y 最 小 值 = 3 34 .26.已 知 二 次 函 数 y=ax 2+bx-3
35、a 经 过 点 A(-1， 0)、 C(0， 3)， 与 x 轴 交 于 另 一 点 B， 抛 物 线 的顶 点 为 D. (1)求 此 二 次 函 数 解 析 式 ；(2)连 接 DC、 BC、 DB， 求 证 ： BCD是 直 角 三 角 形 ；(3)在 对 称 轴 右 侧 的 抛 物 线 上 是 否 存 在 点 P， 使 得 PDC为 等 腰 三 角 形 ？ 若 存 在 ， 求 出 符 合 条件 的 点 P 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)将 A(-1， 0)、 B(3， 0)代 入 二 次 函 数 y=ax2+bx-3a求 得 a、 b 的
36、值 即 可 确 定 二 次 函数 的 解 析 式 ；(2)分 别 求 得 线 段 BC、 CD、 BD的 长 ， 利 用 勾 股 定 理 的 逆 定 理 进 行 判 定 即 可 ；(3)分 以 CD为 底 和 以 CD为 腰 两 种 情 况 讨 论 .运 用 两 点 间 距 离 公 式 建 立 起 P点 横 坐 标 和 纵 坐 标之 间 的 关 系 ， 再 结 合 抛 物 线 解 析 式 即 可 求 解 .答 案 ： (1) 二 次 函 数 y=ax 2+bx-3a经 过 点 A(-1， 0)、 C(0， 3)， 根 据 题 意 ， 得 3 03 3a b aa ， 解 得 12ab ， 抛
37、物 线 的 解 析 式 为 y=-x2+2x+3.(2)由 y=-x2+2x+3 得 ， D 点 坐 标 为 (1， 4)， CD= 2 21 0 4 3 = 2 ，BC= 2 23 3 =3 2 ，BD= 2 23 1 4 0 =2 5 ， CD 2+BC2=( 2 )2+(3 2 )2=20， BD2=(2 5 )2=20， CD2+BC2=BD2， BCD 是 直 角 三 角 形 .(3)存 在 . y=-x2+2x+3对 称 轴 为 直 线 x=1. 若 以 CD 为 底 边 ， 则 P1D=P1C，设 P1点 坐 标 为 (x， y)， 根 据 勾 股 定 理 可 得 P1C2=x2
38、+(3-y)2， P1D2=(x-1)2+(4-y)2，因 此 2+(3-y)2=(x-1)2+(4-y)2， 即 y=4-x.又 P1点 (x， y)在 抛 物 线 上 ， 4-x=-x2+2x+3，即 x2-3x+1=0， 解 得 x 1= 3 52 ， x2= 3 52 1， 应 舍 去 ， x= 3 52 ， y=4-x= 5 52 ，即 点 P1坐 标 为 ( 3 52 ， 5 52 ). 若 以 CD 为 一 腰 ， 点 P2在 对 称 轴 右 侧 的 抛 物 线 上 ， 由 抛 物 线 对 称 性 知 ， 点 P2与 点 C关 于 直 线 x=1对 称 ，此 时 点 P 2坐 标 为 (2， 3). 符 合 条 件 的 点 P 坐 标 为 ( 3 52 ， 5 52 )或 (2， 3).
