1、2015年 内 蒙 古 乌 兰 察 布 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 共 12小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 36 分 ， 每 小 题 只 有 一 个 正 确 选 项 )1.在 13 ， 0， -1， 2 这 四 个 实 数 中 ， 最 大 的 是 ( )A.13B.0C.-1D. 2解 析 ： 正 实 数 都 大 于 0， 负 实 数 都 小 于 0， 正 实 数 大 于 一 切 负 实 数 ， 0 13 1， 1 2 2， -1 0 13 2 .答 案 ： D2. 2014年 中 国 吸 引 外 国 投 资 达 1280 亿 美 元 ， 成 为 全 球
2、 外 国 投 资 第 一 大 目 的 地 国 ， 将 1280亿 美 元 用 科 学 记 数 法 表 示 为 ( )A.12.8 1010美 元B.1.28 10 11美 元C.1.28 1012美 元D.0.128 1013美 元解 析 ： 科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a 10n的 形 式 ， 其 中 1 |a| 10， n为 整 数 .确 定 n 的 值 时 ，要 看 把 原 数 变 成 a 时 ， 小 数 点 移 动 了 多 少 位 ， n 的 绝 对 值 与 小 数 点 移 动 的 位 数 相 同 .当 原 数绝 对 值 1时 ， n 是 正 数 ； 当 原 数 的 绝
3、 对 值 1 时 ， n是 负 数 .1280亿 =128000000000=1.28 1011.答 案 ： B3.下 列 计 算 结 果 正 确 的 是 ( )A.2a 3+a3=3a6B.(-a)2 a3=-a6C.(- 12 )-2=4D.(-2)0=-1解 析 ： A、 2a3+a3=3a3， 故 错 误 ；B、 (-a)2 a3=a5， 故 错 误 ；C、 正 确 ；D、 (-2) 0=1， 故 错 误 .答 案 ： C4.在 Rt ABC中 ， C=90 ， 若 斜 边 AB是 直 角 边 BC的 3倍 ， 则 tanB 的 值 是 ( )A.13B.3 C. 24D.2 2解 析
4、 ： 设 BC=x， 则 AB=3x， 由 勾 股 定 理 得 ， AC=2 2 x， tanB= 2 2AC xBC x =2 2 .答 案 ： D5. 一 组 数 据 5， 2， x， 6， 4 的 平 均 数 是 4， 这 组 数 据 的 方 差 是 ( )A.2B. 2 C.10D. 10解 析 ： 由 题 意 得 ， 15 (5+2+x+6+4)=4，解 得 ， x=3， s2=15 (5-4)2+(2-4)2+(3-4)2+(6-4)2+(4-4)2=2.答 案 ： A6.不 等 式 组 3 2 2 512 3x xx x ， 的 最 小 整 数 解 是 ( ) A.-1B.0C.
5、1D.2解 析 ： 3 2 2 512 3x xx x ， 解 得 x -1， 解 得 x 3，不 等 式 组 的 解 集 为 -1 x 3， 不 等 式 组 的 最 小 整 数 解 为 0.答 案 ： B7. 已 知 圆 内 接 正 三 角 形 的 边 心 距 为 1， 则 这 个 三 角 形 的 面 积 为 ( ) A.2 3B.3 3C.4 3 D.6 3解 析 ： 如 图 所 示 ： 作 AD BC 与 D， 连 接 OB，则 AD 经 过 圆 心 O， ODB=90 ， OD=1， ABC是 等 边 三 角 形 ， BD=CD， OBD= 12 ABC=30 ， OA=OB=2OD=
6、2， AD=3， BD= 3 ， BC=2 3， ABC的 面 积 = 12 BC AD= 12 2 3 3=3 3 .答 案 ： B8.下 列 说 法 中 正 确 的 是 ( )A.掷 两 枚 质 地 均 匀 的 硬 币 ， “ 两 枚 硬 币 都 是 正 面 朝 上 ” 这 一 事 件 发 生 的 概 率 为 12B.“ 对 角 线 相 等 且 相 互 垂 直 平 分 的 四 边 形 是 正 方 形 ” 这 一 事 件 是 必 然 事 件C.“ 同 位 角 相 等 ” 这 一 事 件 是 不 可 能 事 件D.“ 钝 角 三 角 形 三 条 高 所 在 直 线 的 交 点 在 三 角 形
7、外 部 ” 这 一 事 件 是 随 机 事 件解 析 ： A、 掷 两 枚 质 地 均 匀 的 硬 币 ， “ 两 枚 硬 币 都 是 正 面 朝 上 ” 这 一 事 件 发 生 的 概 率 为 14，故 A 错 误 ；B、 “ 对 角 线 相 等 且 相 互 垂 直 平 分 的 四 边 形 是 正 方 形 ” 这 一 事 件 是 必 然 事 件 ， 故 B正 确 ； C、 同 位 角 相 等 是 随 机 事 件 ， 故 C 错 误 ；D、 “ 钝 角 三 角 形 三 条 高 所 在 直 线 的 交 点 在 三 角 形 外 部 ” 这 一 事 件 是 必 然 事 件 ， 故 D 错 误 .答
8、案 ： B9.如 图 ， 在 ABC 中 ， AB=5， AC=3， BC=4， 将 ABC 绕 点 A 逆 时 针 旋 转 30 后 得 到 ADE，点 B 经 过 的 路 径 为 弧 BD， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 ( ) A. 2512 B. 43 C. 34 D. 512 解 析 ： AB=5， AC=3， BC=4， ABC为 直 角 三 角 形 ，由 题 意 得 ， AED的 面 积 = ABC的 面 积 ，由 图 形 可 知 ， 阴 影 部 分 的 面 积 = AED的 面 积 +扇 形 ADB的 面 积 - ABC的 面 积 ， 阴 影 部 分 的 面 积
9、=扇 形 ADB 的 面 积 = 530 5 25360 12 .答 案 ： A10.观 察 下 列 各 数 ： 1， 43 ， 97 ， 1615 ， ， 按 你 发 现 的 规 律 计 算 这 列 数 的 第 6 个 数 为 ( )A. 2531 B. 3635C. 47D. 6263解 析 ： 观 察 该 组 数 发 现 ： 1， 43 ， 97 ， 1615， ，第 n 个 数 为 22 1nn ， 当 n=6 时 ， 2 2662 1 2 1nn = 47 .答 案 ： C. 11.已 知 下 列 命 题 ： 在 Rt ABC中 ， C=90 ， 若 A B， 则 sin A sin
10、B； 四 条 线 段 a， b， c， d 中 ， 若 a cb d ， 则 ad=bc； 若 a b， 则 a(m2+1) b(m2+1)； 若 |-x|=-x， 则 x 0.其 中 原 命 题 与 逆 命 题 均 为 真 命 题 的 是 ( )A. B. C. D. 解 析 ： 在 Rt ABC中 ， C=90 ， 若 A B， 则 sin A sinB， 原 命 题 为 真 命 题 ，逆 命 题 是 ： 在 Rt ABC中 ， C=90 ， 若 sin A sinB， 则 A B， 逆 命 题 为 真 命 题 ； 四 条 线 段 a， b， c， d 中 ， 若 a cb d ， 则 a
11、d=bc， 原 命 题 为 真 命 题 ，逆 命 题 是 ： 四 条 线 段 a， b， c， d 中 ， 若 ad=bc， 则 a cb d ， 逆 命 题 为 真 命 题 ； 若 a b， 则 a(m2+1) b(m2+1)， 原 命 题 为 真 命 题 ，逆 命 题 是 ： 若 a(m2+1) b(m2+1)， 则 a b， 逆 命 题 为 真 命 题 ； 若 |-x|=-x， 则 x 0， 原 命 题 为 假 命 题 ， 逆 命 题 是 ： 若 x 0， 则 |-x|=-x， 逆 命 题 为 假 命题 .答 案 ： A12.如 图 ， 已 知 二 次 函 数 y=ax2+bx+c(a
12、0)的 图 象 与 x 轴 交 于 点 A(-1， 0)， 对 称 轴 为 直 线 x=1，与 y 轴 的 交 点 B在 (0， 2)和 (0， 3)之 间 (包 括 这 两 点 )， 下 列 结 论 ： 当 x 3 时 ， y 0； 3a+b 0； -1 a - 23 ； 4ac-b 2 8a；其 中 正 确 的 结 论 是 ( )A. B. C. D. 解 析 ： 由 抛 物 线 的 对 称 性 可 求 得 抛 物 线 与 x 轴 令 一 个 交 点 的 坐 标 为 (3， 0)， 当 x 3 时 ， y 0， 故 正 确 ； 抛 物 线 开 口 向 下 ， 故 a 0， x=- 2ba
13、=1， 2a+b=0. 3a+b=0+a=a 0， 故 正 确 ； 设 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=a(x+1)(x-3)， 则 y=ax2-2ax-3a，令 x=0得 ： y=-3a. 抛 物 线 与 y 轴 的 交 点 B在 (0， 2)和 (0， 3)之 间 ， 2 -3a 3.解 得 ： -1 a - 23 ， 故 正 确 ； 抛 物 线 y 轴 的 交 点 B在 (0， 2)和 (0， 3)之 间 ， 2 c 3，由 4ac-b 2 8a 得 ： 4ac-8a b2， a 0， c-2 24ba ， c-2 0， c 2， 与 2 c 3 矛 盾 ， 故 错 误 .答 案 ：
14、 B二 、 填 空 题 (本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 24 分 )13.计 算 ： ( 27 - 13 ) 3= . 解 析 ： 原 式 = 127 3 33 =9-1=8.答 案 ： 814. 化 简 ： (a- 2 1aa ) 2 1a a = .解 析 ： 原 式 = 22 2 12 1 1 1 1aa a a aa a a a a = 11aa .答 案 ： 11aa 15.已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2+ 1k x-1=0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 则 k 的 取 值 范 围是 .解 析 ： 关 于 x的 一 元
15、 二 次 方 程 x2+ 1k x-1=0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 1 01 4 0kk ， ， 解 得 k 1， k 的 取 值 范 围 是 k 1.答 案 ： k 116.一 个 不 透 明 的 布 袋 里 装 有 5 个 球 ， 其 中 4 个 红 球 和 1 个 白 球 ， 它 们 除 颜 色 外 其 余 都 相 同 ，现 将 n个 白 球 放 入 布 袋 ， 搅 匀 后 ， 使 摸 出 1个 球 是 红 球 的 概 率 为 23 ， 则 n= . 解 析 ： 根 据 题 意 得 ： 45 n = 23 ， 解 得 ： n=1， 经 检 验 ： n=1是 原 分 式
16、 方 程 的 解 .答 案 ： 117.已 知 点 A(-2， y1)， B(-1， y2)和 C(3， y3)都 在 反 比 例 函 数 y= 3x 的 图 象 上 ， 则 y1， y2， y3的 大 小 关 系 为 .(用 “ ” 连 接 )解 析 ： 反 比 例 函 数 y=3x中 k=3 0， 函 数 图 象 的 两 个 分 支 分 别 位 于 一 、 三 象 限 ， 且 在 每 一 象 限 内 y 随 x 的 增 大 而 减 小 . -2 -1 0， 点 A(-2， y 1)， B(-1， y2)位 于 第 三 象 限 ， 且 0 y1 y2. 3 0， 点 C(3， y3)位 于
17、第 一 象 限 ， y3 0， y2 y1 y3.答 案 ： y2 y1 y3 18.如 图 ， O 是 ABC 的 外 接 圆 ， AD 是 O 的 直 径 ， 若 O 的 半 径 是 4， sinB= 14 ， 则 线 段AC的 长 为 .解 析 ： 连 结 CD， 如 图 ， AD 是 O的 直 径 ， ACD=90 ， D= B， sinD=sinB= 14 ，在 Rt ACD中 ， sinD= ACAD = 14 ， AC= 14 AD= 14 8=2.答 案 ： 219.如 图 ， 在 边 长 为 3 +1 的 菱 形 ABCD中 ， A=60 ， 点 E， F 分 别 在 AB，
18、 AD 上 ， 沿 EF 折叠 菱 形 ， 使 点 A落 在 BC 边 上 的 点 G 处 ， 且 EG BD 于 点 M， 则 EG 的 长 为 . 解 析 ： 如 图 ， 连 接 AC， 交 BD于 点 O， 四 边 形 ABCD 是 菱 形 ， AC BD， AC=2AO， A=60 ， BAO=30 ， AO=AB cos30 =( 3+1) 3 32 2 3 ， AC= 3 2 3 =3+ 3 ， 沿 EF折 叠 菱 形 ， 使 点 A 落 在 BC边 上 的 点 G 处 ， EG=AE， EG BD， AC BD， EG AC， EG BEAC AE ，又 EG=AE， 33 31
19、3 1EG EG ， 解 得 EG= 3 ， EG 的 长 为 3.答 案 ： 320.如 图 ， 在 矩 形 ABCD中 ， BAD的 平 分 线 交 BC于 点 E， 交 DC的 延 长 线 于 点 F， 取 EF的 中点 G， 连 接 CG， BG， BD， DG， 下 列 结 论 ： BE=CD； DGF=135 ； ABG+ ADG=180 ； 若 23ABAD ， 则 3S BDG=13S DGF.其 中 正 确 的 结 论 是 .(填 写 所 有 正 确 结 论 的 序 号 )解 析 ： AE平 分 BAD， BAE=45 ， ABE是 等 腰 直 角 三 角 形 ， AB=BE
20、， AEB=45 ， AB=CD， BE=CD， 故 正 确 ； CEF= AEB=45 ， ECF=90 ， CEF是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 点 G为 EF的 中 点 ， CG=EG， FCG=45 ， BEG= DCG=135 ，在 DCG和 BEG中 ， BE CDBEG DCGCG EG ， ， DCG BEG(SAS). BGE= DGC， BGE AEB， DGC= BGE 45 ， CGF=90 ， DGF 135 ， 故 错 误 ； BGE= DGC， ABG+ ADG= ABC+ CBG+ ADC- CDG= ABC+ ADC=180 ， 故 正 确 ； 23ABA
21、D ， 设 AB=2a， AD=3a， DCG BEG， BGE= DGC， BG=DG， EGC=90 ， BGD=90 ， BD= 2 2 13AD AB a ， BG=DG= 262 a， S BDG= 12 262 a 262 a=134 a2， 3S BDG= 3 134 a2， 过 G 作 GM CF 于 M， CE=CF=BC-BE=BC-AB=a， GM=1 12 CF=1 12 a， S DGF= 12 DF GM= 12 3a 12 a= 34 a2， 13S DGF=13 34 a2， 3S BDG=13S DGF， 故 正 确 .答 案 ： .三 、 解 答 题 (本
22、大 题 共 6 小 题 ， 共 60 分 ， 请 将 必 要 的 文 字 说 明 、 计 算 过 程 或 推 理 过 程 写 出 )21.某 学 校 为 了 解 七 年 级 男 生 体 质 健 康 情 况 ， 随 机 抽 取 若 干 名 男 生 进 行 测 试 ， 测 试 结 果 分 为优 秀 、 良 好 、 合 格 、 不 合 格 四 个 等 级 ， 统 计 整 理 数 据 并 绘 制 图 1、 图 2 两 幅 不 完 整 的 统 计 图 ，请 根 据 图 中 信 息 回 答 下 列 问 题 ： (1)本 次 接 收 随 机 抽 样 调 查 的 男 生 人 数 为 人 ， 扇 形 统 计 图
23、 中 “ 良 好 ” 所 对 应 的 圆 心角 的 度 数 为 ；(2)补 全 条 形 统 计 图 中 “ 优 秀 ” 的 空 缺 部 分 ；(3)若 该 校 七 年 级 共 有 男 生 480人 ， 请 估 计 全 年 级 男 生 体 质 健 康 状 况 达 到 “ 良 好 ” 的 人 数 .解 析 ： (1)合 格 人 数 除 以 所 占 的 百 分 比 即 可 得 出 所 调 查 的 男 生 总 人 数 ， 用 良 好 的 人 数 除 以 总人 数 再 乘 以 360 即 可 得 出 “ 良 好 ” 所 对 应 的 圆 心 角 的 度 数 ；(2)用 40-2-8-18 即 可 ；(3)
24、用 480 乘 以 良 好 所 占 的 百 分 比 即 可 .答 案 ： (1)8 20%=40(人 )， 18 40 360 =162 .(2)“ 优 秀 ” 的 人 数 =40-2-8-18=12， 如 图 ， (3)“ 良 好 ” 的 男 生 人 数 ： 1840 480=216(人 )，答 ： 全 年 级 男 生 体 质 健 康 状 况 达 到 “ 良 好 ” 的 人 数 为 216人 .22.为 了 弘 扬 “ 社 会 主 义 核 心 价 值 观 ” ， 市 政 府 在 广 场 树 立 公 益 广 告 牌 ， 如 图 所 示 ， 为 固 定 广告 牌 ， 在 两 侧 加 固 钢 缆
25、， 已 知 钢 缆 底 端 D 距 广 告 牌 立 柱 距 离 CD为 3 米 ， 从 D 点 测 得 广 告 牌顶 端 A点 和 底 端 B 点 的 仰 角 分 别 是 60 和 45 . (1)求 公 益 广 告 牌 的 高 度 AB；(2)求 加 固 钢 缆 AD 和 BD 的 长 .(注 意 ： 本 题 中 的 计 算 过 程 和 结 果 均 保 留 根 号 )解 析 ： (1)根 据 已 知 和 tan ADC= ACDC ， 求 出 AC， 根 据 BDC=45 ， 求 出 BC， 根 据 AB=AC-BC求 出 AB；(2)根 据 cos ADC= CDAD ， 求 出 AD，
26、根 据 cos BDC= CDBD ， 求 出 BD.答 案 ： (1)在 Rt ADC中 ， ADC=60 ， CD=3， tan ADC= ACDC ， AC=3 tan60 =3 3 ，在 Rt BDC中 ， BDC=45 ， BC=CD=3， AB=AC-BC=(3 3 -3)米 . (2)在 Rt ADC 中 ， cos ADC=CDAD， AD= 3 3cos60 12 =6 米 ，在 Rt BDC中 ， cos BDC=CDBD ， BD= 3 3cos45 22 =3 2 米 .23.我 市 某 养 殖 场 计 划 购 买 甲 、 乙 两 种 鱼 苗 共 700 尾 ， 甲 种
27、 鱼 苗 每 尾 3 元 ， 乙 种 鱼 苗 每 尾 5 元 ， 相 关 资 料 表 明 ： 甲 、 乙 两 种 鱼 苗 的 成 活 率 分 别 为 85%和 90%.(1)若 购 买 这 两 种 鱼 苗 共 用 去 2500元 ， 则 甲 、 乙 两 种 鱼 苗 各 购 买 多 少 尾 ？(2)若 要 使 这 批 鱼 苗 的 总 成 活 率 不 低 于 88%， 则 甲 种 鱼 苗 至 多 购 买 多 少 尾 ？(3)在 (2)的 条 件 下 ， 应 如 何 选 购 鱼 苗 ， 使 购 买 鱼 苗 的 费 用 最 低 ？ 并 求 出 最 低 费 用 .解 析 ： (1)设 购 买 甲 种 鱼
28、 苗 x 尾 ， 乙 种 鱼 苗 y 尾 ， 根 据 题 意 列 一 元 一 次 方 程 组 求 解 即 可 ；(2)设 购 买 甲 种 鱼 苗 z 尾 ， 乙 种 鱼 苗 (700-z)尾 ， 根 据 题 意 列 不 等 式 求 出 解 集 即 可 ；(3)设 甲 种 鱼 苗 购 买 m尾 ， 购 买 鱼 苗 的 费 用 为 w 元 ， 列 出 w 与 x之 间 的 函 数 关 系 式 ， 运 用 一次 函 数 的 性 质 解 决 问 题 .答 案 ： (1)设 购 买 甲 种 鱼 苗 x 尾 ， 乙 种 鱼 苗 y 尾 ，根 据 题 意 可 得 ： 7003 5 2500 x yx y ，
29、 ， 解 得 ： 500200 xy ，答 ： 购 买 甲 种 鱼 苗 500尾 ， 乙 种 鱼 苗 200尾 . (2)设 购 买 甲 种 鱼 苗 z 尾 ， 乙 种 鱼 苗 (700-z)尾 ，列 不 等 式 得 ： 85%z+90%(700-z) 700 88%， 解 得 ： z 280.答 ： 甲 种 鱼 苗 至 多 购 买 280尾 .(3)设 甲 种 鱼 苗 购 买 m 尾 ， 购 买 鱼 苗 的 费 用 为 w 元 ，则 w=3m+5(700-m)=-2m+3500， -2 0， w 随 m 的 增 大 而 减 小 ， 0 m 280， 当 m=280时 ， w 有 最 小 值
30、， w 的 最 小 值 =3500-2 280=2940(元 )， 700-m=420.答 ： 当 选 购 甲 种 鱼 苗 280尾 ， 乙 种 鱼 苗 420尾 时 ， 总 费 用 最 低 ， 最 低 费 用 为 2940元 .24.如 图 ， AB是 O 的 直 径 ， 点 D 是 弧 AE 上 一 点 ， 且 BDE= CBE， BD与 AE交 于 点 F. (1)求 证 ： BC是 O 的 切 线 ；(2)若 BD 平 分 ABE， 求 证 ： DE2=DF DB；(3)在 (2)的 条 件 下 ， 延 长 ED， BA 交 于 点 P， 若 PA=AO， DE=2， 求 PD的 长
31、和 O 的 半 径 .解 析 ： (1)根 据 圆 周 角 定 理 即 可 得 出 EAB+ EBA=90 ， 再 由 已 知 得 出 ABE+ CBE=90 ，则 CB AB， 从 而 证 得 BC是 O 的 切 线 ；(2)通 过 证 得 DEF DBE， 得 出 相 似 三 角 形 的 对 应 边 成 比 例 即 可 证 得 结 论 .(3)连 接 DA、 DO， 先 证 得 OD BE， 得 出 PD POPE PB ， 然 后 根 据 已 知 条 件 得 出23PO PD PDPB PE PD DE ， 求 得 PD=4， 通 过 证 得 PDA POD， 得 出 PD PAPO P
32、D ， 设OA=x， 则 PA=x， PO=2x， 得 出 42 4xx ， 解 得 OA=2 2 . 答 案 ： (1) AB是 O 的 直 径 ， AEB=90 ， EAB+ EBA=90 ， EDB= EAB， BDE= CBE， EAB= CBE， ABE+ CBE=90 ， CB AB， AB 是 O的 直 径 ， BC是 O 的 切 线 .(2) BD平 分 ABE， ABD= DBE， 弧 AD=弧 DE， DEA= DBE， EDB= BDE， DEF DBE， DE DFDB DE ， DE2=DF DB.(3)连 接 DA、 DO， OD=OB， ODB= OBD， EBD
33、= OBD， EBD= ODB， OD BE， PD POPE PB ， PA=AO， PA=AO=OB， 23POPB ， 23PDPE ， 23PDPD DE ， DE=2， PD=4， PDA+ ADE=180 ， ABE+ ADE=180 ， PDA= ABE， OD BE， AOD= ABE， PDA= AOD， P= P， PDA POD， PD PAPO PD ，设 OA=x， PA=x， PO=2x， 42 4xx ， 2x 2=16， x=2 2 ， OA=2 2 .25.如 图 ， 四 边 形 ABCD中 ， AD BC， A=90 ， AD=1厘 米 ， AB=3 厘 米
34、 ， BC=5厘 米 ， 动 点 P从 点 B出 发 以 1 厘 米 /秒 的 速 度 沿 BC方 向 运 动 ， 动 点 Q从 点 C 出 发 以 2厘 米 /秒 的 速 度 沿 CD方 向 运 动 ， P， Q 两 点 同 时 出 发 ， 当 点 Q 到 达 点 D 时 停 止 运 动 ， 点 P 也 随 之 停 止 ， 设 运 动 时间 为 t秒 (t 0). (1)求 线 段 CD 的 长 ；(2)t为 何 值 时 ， 线 段 PQ将 四 边 形 ABCD的 面 积 分 为 1： 2两 部 分 ？(3)伴 随 P， Q 两 点 的 运 动 ， 线 段 PQ的 垂 直 平 分 线 为 l
35、. t 为 何 值 时 ， l 经 过 点 C？ 求 当 l 经 过 点 D 时 t 的 值 ， 并 求 出 此 时 刻 线 段 PQ 的 长 .解 析 ： (1)作 DE BC于 E， 根 据 勾 股 定 理 即 可 求 解 ；(2)线 段 PQ将 四 边 形 ABCD的 面 积 分 为 1： 2两 部 分 ， 分 两 种 情 况 进 行 求 解 ；(3) 当 PQ的 垂 直 平 分 线 经 过 点 C进 行 分 析 解 答 ； 当 PQ的 垂 直 平 分 线 l 经 过 点 D 时 进 行 分 析 解 答 .答 案 ： (1)如 图 ， 作 DE BC 于 E， AD BC， A=90 ，
36、 四 边 形 ABED 为 矩 形 ， BE=AD=1， DE=AB=3， EC=BC-BE=4，在 Rt DEC中 ， DE2+EC2=DC2， DC= 2 23 4 =5厘 米 .(2) 点 P 的 速 度 为 1 厘 米 /秒 ， 点 Q 的 速 度 为 2厘 米 /秒 ， 运 动 时 间 为 t 秒 ， BP=t厘 米 ， PC=(5-t)厘 米 ， CQ=2t 厘 米 ， QD=(5-2t)厘 米 ， 且 0 t 2.5，作 QH BC 于 点 H， DE QH， DEC= QHC， C= C， DEC QHC， DE DCQH QC ， 3 52QH t ， QH=65t， S P
37、QC= 12 PC QH= 12 (5-t) 65 t=- 35 t2，S 四 边 形 ABCD= 12 (AD+BC) AB= 12 (1+5) 3=9，分 两 种 情 况 讨 论 ： 当 S PQC： S 四 边 形 ABCD=1： 3 时 ， - 35 t2+3t=13 9， 即 t2-5t+5=0，解 得 ： t 1= 5 52 ， t2= 5 52 (舍 去 )； S PQC： S 四 边 形 ABCD=2： 3 时 ， - 35 t2+3t= 23 9， 即 t2-5t+10=0， 0， 方 程 无 解 ， 当 t为 5 52 秒 时 ， 线 段 PQ 将 四 边 形 ABCD的
38、面 积 分 为 1： 2 两 部 分 ；(3)如 图 ， 当 PQ的 垂 直 平 分 线 l 经 过 点 C 时 ， 可 知 PC=QC， 5-t=2t， 3t=5， t= 53 ， 当 t= 53 秒 时 ， 直 线 l 经 过 点 C. 如 图 ，当 PQ 的 垂 直 平 分 线 l 经 过 点 D 时 ， 可 知 DQ=DP， 连 接 DP， 则 在 Rt DEP中 ， DP 2=DE2+EP2， DQ2=DE2+EP2， (5-2t)2=32+(t-1)2， t1=1， t2=5(舍 去 )， BP=1厘 米 ， 当 t=1 秒 时 ， 直 线 l 经 过 点 D， 此 时 点 P 与
39、 点 E 重 合 ；如 图 ， 连 接 FQ， 直 线 l 是 DPQ的 对 称 轴 ， DEF DQF， DQF=90 ， EF=QF，设 EF=x厘 米 ， 则 QF=x厘 米 ， FC=(4-x)厘 米 ，在 Rt FQC中 ， FQ2+QC2=FC2， x2+22=(4-x)2， x= 32 ， EF= 32 厘 米 ，在 Rt DEF中 ， DE2+EF2=DF2， 32+( 32 )2=DF2， DF=32 5 厘 米 ，在 Rt DEF中 ， EG DF， S DEF= 12 DF EG= 12 DE EF， EG= DE EFDF ， EG= 3 55 厘 米 ， PQ=2EG
40、= 6 55 厘 米 .26.已 知 抛 物 线 y=x2+bx+c 经 过 A(-1， 0)， B(3， 0)两 点 ， 与 y轴 相 交 于 点 C， 该 抛 物 线 的 顶 点 为 点 D.(1)求 该 抛 物 线 的 解 析 式 及 点 D 的 坐 标 ；(2)连 接 AC， CD， BD， BC， 设 AOC， BOC， BCD 的 面 积 分 别 为 S 1， S2和 S3， 用 等 式 表 示S1， S2， S3之 间 的 数 量 关 系 ， 并 说 明 理 由 ；(3)点 M 是 线 段 AB上 一 动 点 (不 包 括 点 A和 点 B)， 过 点 M作 MN BC 交 AC
41、于 点 N， 连 接 MC，是 否 存 在 点 M 使 AMN= ACM？ 若 存 在 ， 求 出 点 M的 坐 标 和 此 时 刻 直 线 MN的 解 析 式 ； 若 不 存在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)利 用 待 定 系 数 法 求 出 抛 物 线 的 解 析 式 ， 用 配 方 法 把 一 般 式 化 为 顶 点 式 求 出 点 D 的坐 标 ；(2)根 据 点 的 坐 标 求 出 AOC， BOC的 面 积 ， 利 用 勾 股 定 理 的 逆 定 理 判 断 BCD为 直 角 三 角形 ， 求 出 其 面 积 ， 计 算 即 可 得 到 答 案 ；(3)假 设 存 在
42、 ， 设 点 M 的 坐 标 为 (m， 0)， 表 示 出 MA的 长 ， 根 据 MN BC， 得 到 比 例 式 求 出 AN，根 据 AMN ACM， 得 到 比 例 式 求 出 m， 得 到 点 M 的 坐 标 ， 求 出 BC的 解 析 式 ， 根 据 MN BC，设 直 线 MN 的 解 析 式 ， 求 解 即 可 .答 案 ： (1) 抛 物 线 y=x 2+bx+c经 过 A(-1， 0)， B(3， 0)两 点 ， 1 09 3 0b cb c ， ， 解 得 23bc ， 抛 物 线 的 解 析 式 为 ： y=x2-2x-3， y=x2-2x-3=(x-1)2-4， 点
43、 D 的 坐 标 为 ： (1， -4).(2)S1+S3=S2，过 点 D作 DE x轴 于 点 E， DF y 轴 于 F， 由 题 意 得 ， CD=2， BD=25， BC=32， CD2+BC2=BD2， BCD 是 直 角 三 角 形 ，S1= 12 OA OC= 32 ，S2= 12 OB OC= 92 ，S3= 12 CD BC=3， S 1+S3=S2. (3)存 在 点 M 使 AMN= ACM，设 点 M的 坐 标 为 (m， 0)， -1 m 3， MA=m+1， AC= 10， MN BC， AM ABAN AC ， 即 1 410mAN ， 解 得 ， AN= 10
44、4 (m+1)， AMN= ACM， MAN= CAM， AMN ACM， AM ANAC AM ， 即 (m+1) 2= 10 104 (m+1)， 解 得 ， m1= 32 ， m2=-1(舍 去 )， 点 M的 坐 标 为 ( 32 ， 0)，设 BC 的 解 析 式 为 y=kx+b， 把 B(3， 0)， C(0， -3)代 入 得 ， 3 03k bb ， 解 得 13kb ， ，则 BC 的 解 析 式 为 y=x-3， 又 MN BC， 设 直 线 MN的 解 析 式 为 y=x+b， 把 点 M的 坐 标 为 ( 32 ， 0)代 入 得 ， b=- 32 ， 直 线 MN 的 解 析 式 为 y=x- 32 .
