1、2015年 云 南 省 昆 明 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (共 8 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 24 分 )1.-5的 绝 对 值 是 ( )A.5B.-5C.15D. 5解 析 ： -5 的 绝 对 值 是 ： |-5|=5.答 案 ： A2.某 校 组 织 了 “ 讲 文 明 、 守 秩 序 、 迎 南 博 ” 知 识 竞 赛 活 动 ， 从 中 抽 取 了 7名 同 学 的 参 赛 成 绩如 下 (单 位 ： 分 )： 80， 90， 70， 100， 60， 80， 80.则 这 组 数 据 的 中 位 数 和 众 数 分 别 是 ( ) A.90，
2、 80B.70， 80C.80， 80D.100， 80解 析 ： 在 这 一 组 数 据 中 80是 出 现 次 数 最 多 的 ， 故 众 数 是 80； 排 序 后 处 于 中 间 位 置 的 那 个 数是 80， 那 么 由 中 位 数 的 定 义 可 知 ， 这 组 数 据 的 中 位 数 是 80.答 案 ： C3.由 5个 完 全 相 同 的 正 方 体 组 成 的 立 体 图 形 如 图 所 示 ， 则 它 的 俯 视 图 是 ( ) A.B.C.D. 解 析 ： 几 何 体 的 俯 视 图 有 3 列 ， 每 行 小 正 方 形 数 目 分 别 为 1， 3， 且 第 一 行
3、 的 一 个 在 第 二 行的 最 左 边 ， 由 此 得 出 答 案 即 可 .答 案 ： C4.如 图 ， 在 ABC 中 ， B=40 ， 过 点 C作 CD AB， ACD=65 ， 则 ACB的 度 数 为 ( )A.60B.65C.70 D.75解 析 ： CD AB， A= ACD=65 ， ACB=180 - A- B=180 -65 -40 =75 ， 即 ACB的 度 数 为 75 .答 案 ： D5.下 列 运 算 正 确 的 是 ( )A. 23 =-3B.a 2 a4=a6C.(2a2)3=2a6D.(a+2)2=a2+4解 析 ： A、 23 =3， 故 错 误 ：
4、B、 正 确 ；C、 (2a2)3=8a6， 故 正 确 ；D、 (a+2) 2=a2+4a+4， 故 错 误 ；答 案 ： B6.不 等 式 组 11 12xx x ， 的 解 集 在 数 轴 上 表 示 为 ( )A. B.C. D.解 析 ： 不 等 式 组 11 12xx x ， 的 解 集 为 ： -3 x 1.答 案 ： A7.如 图 ， 在 菱 形 ABCD 中 ， 对 角 线 AC、 BD 相 交 于 点 O， 下 列 结 论 ： AC BD； OA=OB； ADB= CDB； ABC是 等 边 三 角 形 ， 其 中 一 定 成 立 的 是 ( ) A. B. C. D. 解
5、 析 ： 根 据 菱 形 的 对 角 线 互 相 垂 直 平 分 可 得 ： 正 确 ； 错 误 ； 根 据 菱 形 的 对 角 线 平 分 一 组内 角 可 得 正 确 . 错 误 .答 案 ： D8.如 图 ， 直 线 y=-x+3 与 y 轴 交 于 点 A， 与 反 比 例 函 数 y= kx (k 0)的 图 象 交 于 点 C， 过 点 C作 CB x 轴 于 点 B， AO=3BO， 则 反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 ( ) A.y= 4xB.y=- 4xC.y= 2xD.y=- 2x 解 析 ： 直 线 y=-x+3与 y 轴 交 于 点 A， A(0， 3)， 即
6、OA=3， AO=3BO， OB=1， 点 C 的 横 坐 标 为 -1， 点 C在 直 线 y=-x+3上 ， 点 C(-1， 4)， 反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 ： y=- 4x .答 案 ： B二 、 填 空 题 (共 6 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 18 分 )9.若 二 次 根 式 1x 有 意 义 ， 则 x 的 取 值 范 围 是 .解 析 ： 根 据 二 次 根 式 有 意 义 的 条 件 ， x-1 0， x 1.答 案 ： x 1 10.据 统 计 ， 截 止 2014年 12月 28日 ， 中 国 高 铁 运 营 总 里 程 超 过 16000
7、 千 米 ， 稳 居 世 界 高 铁里 程 榜 首 ， 将 16000千 米 用 科 学 记 数 法 表 示 为 千 米 .解 析 ： 将 16000用 科 学 记 数 法 表 示 为 ： 1.6 104.故 答 案 为 ： 1.6 10411.如 图 ， 在 ABC中 ， AB=8， 点 D、 E分 别 是 BC、 CA的 中 点 ， 连 接 DE， 则 DE= .解 析 ： 在 ABC 中 ， 点 D、 E 分 别 是 BC、 CA 的 中 点 ， AB=8， DE 是 ABC 的 中 位 线 ， DE=12 AB= 12 8=4.答 案 ： 4.12.计 算 ： 2 2 2 23 2a
8、b aa b a b = .解 析 ： 原 式 = 2 23 2a b aa b = 2 a ba b a b = 2a b .答 案 ： 2a b13.关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 2x 2-4x+m-1=0 有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， 则 m 的 值 为 .解 析 ： 方 程 有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， =0， 即 42-4 2 (m-1)=0， 解 得 m=3.答 案 ： 314.如 图 ， ABC 是 等 边 三 角 形 ， 高 AD、 BE 相 交 于 点 H， BC=4 3 ， 在 BE 上 截 取 BG=2， 以 GE为 边 作 等 边 三 角
9、形 GEF， 则 ABH与 GEF重 叠 (阴 影 )部 分 的 面 积 为 .解 析 ： 如 图 所 示 ： 由 ABC是 等 边 三 角 形 ， 高 AD、 BE相 交 于 点 H， BC=4 3， 得AD=BE= 32 BC=6， ABG= HBD=30 .由 直 角 三 角 的 性 质 ， 得 BHD=90 - HBD=60 .由 对 顶 角 相 等 ， 得 MHE= BHD=60由 BG=2， 得 EG=BE-BG=6-2=4.由 GE 为 边 作 等 边 三 角 形 GEF， 得 FG=EG=4， EGF= GEF=60 ， MHE是 等 边 三 角 形 ；S ABC= 12 AC
10、 BE=12 AC EH 3， EH=13 BE=13 6=2.由 三 角 形 外 角 的 性 质 ， 得 BIF= FGE- IBG=60 -30 =30 ，由 IBG= BIG=30 ， 得 IG=BG=2，由 线 段 的 和 差 ， 得 IF=FG-IG=4-2=2，由 对 顶 角 相 等 ， 得 FIN= BIG=30 ，由 FIN+ F=90 ， 得 FNI=90 ，由 锐 角 三 角 函 数 ， 得 FN=1， IN= 3.S 五 边 形 NIGHM=S EFG-S EMH-S FIN= 34 42- 34 22- 12 3 1=5 32 .答 案 ： 5 32三 、 解 答 题
11、(共 9 小 题 ， 满 分 58 分 ) 15.计 算 ： 9+(-1)2015+(6- )0-(- 12 )-2.解 析 ： 原 式 第 一 项 利 用 算 术 平 方 根 定 义 计 算 ， 第 二 项 利 用 乘 方 的 意 义 计 算 ， 第 三 项 利 用 零 指数 幂 法 则 计 算 ， 最 后 一 项 利 用 负 整 数 指 数 幂 法 则 计 算 即 可 得 到 结 果 .答 案 ： 原 式 =3-1+1-4=-1.16.如 图 ， 点 B、 E、 C、 F在 同 一 条 直 线 上 ， A= D， B= DEF， BE=CF.求 证 ： AC=DF.解 析 ： 根 据 BE
12、=CF， 求 出 BC=EF， 根 据 AAS 推 出 ABC DEF， 根 据 全 等 三 角 形 的 性 质 推 出 即 可 .答 案 ： BF=EC(已 知 )， BF+FC=EC+CF， 即 BC=EF，在 ABC和 DEF中 ， A DB DEFBC EF ， ， ABC DEF(AAS)， AC=DF(全 等 三 角 形 对 应 边 相 等 )17.如 图 ， ABC三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 A(2， 4)， B(1， 1)， C(4， 3). (1)请 画 出 ABC关 于 x 轴 对 称 的 A1B1C1， 并 写 出 点 A1的 坐 标 ；(2)请 画 出 AB
13、C绕 点 B 逆 时 针 旋 转 90 后 的 A2BC2；(3)求 出 (2)中 C点 旋 转 到 C2点 所 经 过 的 路 径 长 (记 过 保 留 根 号 和 ).解 析 ： (1)利 用 关 于 x 轴 对 称 点 的 横 坐 标 相 等 ， 纵 坐 标 化 为 相 反 数 可 先 找 出 点 A1、 B1、 C1的坐 标 ， 然 后 画 出 图 形 即 可 ；(2)利 用 旋 转 的 性 质 可 确 定 出 点 A2、 C2的 坐 标 ；(3)利 用 弧 长 公 式 进 行 计 算 即 可 .答 案 ： (1)根 据 关 于 x 轴 对 称 点 的 坐 标 特 点 可 知 ： A
14、1(2， -4)， B1(1， -1)， C1(4， -3)，如 下 图 ： 连 接 A1、 B1、 C1即 可 得 到 A1B1C1. (2)如 图 ： (3)由 两 点 间 的 距 离 公 式 可 知 ： BC= 2 23 2 13 ， 点 C旋 转 到 C2点 的 路 径 长 =90 13 13180 2 .18. 2015 年 4 月 25 日 ， 尼 泊 尔 发 生 了 里 氏 8.1级 地 震 ， 某 中 学 组 织 了 献 爱 心 捐 款 活 动 ，该 校 教 学 兴 趣 小 组 对 本 校 学 生 献 爱 心 捐 款 额 做 了 一 次 随 机 抽 样 调 查 ， 并 绘 制
15、了 不 完 整 的 频 数分 布 表 和 频 数 分 布 直 方 图 (每 组 含 前 一 个 边 界 值 ， 不 含 后 一 个 边 界 值 ).如 图 所 示 ： 捐 款 额 (元 ) 频 数 百 分 比5 x 0 5 10% 10 x 15 a 20%15 x 20 15 30%20 x 25 14 b25 x 30 6 12%总 计 100%(1)填 空 ： a= ， b= ；(2)补 全 频 数 分 布 直 方 图 ；(3)该 校 共 有 1600名 学 生 ， 估 计 这 次 活 动 中 爱 心 捐 款 额 不 低 于 20 元 的 学 生 有 多 少 人 ？解 析 ： (1)先
16、利 用 第 一 组 的 频 数 与 频 率 计 算 出 样 本 容 量 ， 再 利 用 样 本 容 量 乘 以 20%即 可 得 到 a的 值 ， 用 14除 以 样 本 容 量 得 到 b 的 值 ；(2)第 二 组 的 频 数 为 10， 则 可 补 全 频 数 统 计 图 ；(3)根 据 样 本 可 得 爱 心 捐 款 额 不 低 于 20 元 的 百 分 比 为 28%+12%=40%， 然 后 用 总 人 数 乘 以 40% 即 可 估 计 出 爱 心 捐 款 额 不 低 于 20 元 的 学 生 数 .答 案 ： (1)5 10%=50， a=50 20=10； b=1450 10
17、0%=28%；(2)如 图 ， (3)1600 (28%+12%)=640(人 ).答 ： 估 计 这 次 活 动 中 爱 心 捐 款 额 不 低 于 20 元 的 学 生 有 640人 .19.小 云 玩 抽 卡 片 和 旋 转 盘 游 戏 ， 有 两 张 正 面 分 别 标 有 数 字 1， 2 的 不 透 明 卡 片 ， 背 面 完 全 相同 ； 转 盘 被 平 均 分 成 3个 相 等 的 扇 形 ， 并 分 别 标 有 数 字 -1， 3， 4(如 图 所 示 )， 小 云 把 卡 片 背面 朝 上 洗 匀 后 从 中 随 机 抽 出 一 张 ， 记 下 卡 片 上 的 数 字 ；
18、然 后 转 动 转 盘 ， 转 盘 停 止 后 ， 记 下 指针 所 在 区 域 的 数 字 (若 指 针 在 分 格 线 上 ， 则 重 转 一 次 ， 直 到 指 针 指 向 某 一 区 域 为 止 ). (1)请 用 列 表 或 树 状 图 的 方 法 (只 选 其 中 一 种 )， 表 示 出 两 次 所 得 数 字 可 能 出 现 的 所 有 结 果 ；(2)求 出 两 个 数 字 之 积 为 负 数 的 概 率 .解 析 ： (1)首 先 根 据 题 意 列 出 图 表 ， 然 后 由 图 表 求 得 所 有 可 能 的 结 果 ；(2)由 (1)列 出 的 图 表 可 得 出 所
19、 有 出 现 的 结 果 ， 再 根 据 概 率 公 式 即 可 求 出 答 案 .答 案 ： (1)列 表 如 下 ：0 -1 3 4 1 1， -1 1， 3 1， 42 2， -1 2， 3 2， 4(2) 两 数 之 积 为 负 数 的 情 况 共 有 2 种 可 能 ： (1， -1)， (2， -1)， P(两 数 之 积 为 负 数 )= 2 16 3 .20.如 图 ， 两 幢 建 筑 物 AB和 CD， AB BD， CD BD， AB=15cm， CD=20cm， AB和 CD 之 间 有 一 景观 池 ， 小 南 在 A点 测 得 池 中 喷 泉 处 E点 的 俯 角 为
20、 42 ， 在 C点 测 得 E 点 的 俯 角 为 45 (点 B、E、 D 在 同 一 直 线 上 )， 求 两 幢 建 筑 物 之 间 的 距 离 BD(结 果 精 确 到 0.1m).(参 考 数 据 ： sin42 0.67， cos42 0.74， tan42 0.90) 解 析 ： 在 RT ABE 中 ， 根 据 正 切 函 数 可 求 得 BE， 在 RT DEC 中 ， 根 据 等 腰 直 角 三 角 形 的 性质 求 得 ED， 然 后 根 据 BD=BE+ED求 解 即 可 .答 案 ： 由 题 意 得 ： AEB=42 ， DEC=45 ， AB BD， CD BD，
21、 在 RT ABE中 ， ABE=90 ， AB=15， AEB=42 ， tan AEB= ABBE ， BE= 15tan42 15 0.90=503 ，在 RT DEC中 ， CDE=90 ， DEC= DCE=45 ， CD=20， ED=CD=20， BD=BE+ED=503 +20 36(m).答 ： 两 幢 建 筑 物 之 间 的 距 离 BD约 为 36.7m21.某 部 队 将 在 指 定 山 区 进 行 军 事 演 习 ， 为 了 使 道 路 便 于 部 队 重 型 车 辆 通 过 ， 部 队 工 兵 连 接 到 抢 修 一 段 长 3600 米 道 路 的 任 务 ， 按
22、 原 计 划 完 成 总 任 务 的 13 后 ， 为 了 让 道 路 尽 快 投 入 使 用 ，工 兵 连 将 工 作 效 率 提 高 了 50%， 一 共 用 了 10小 时 完 成 任 务 .(1)按 原 计 划 完 成 总 任 务 的 13 时 ， 已 抢 修 道 路 米 ；(2)求 原 计 划 每 小 时 抢 修 道 路 多 少 米 ？解 析 ： (1)按 原 计 划 完 成 总 任 务 的 13 时 ， 列 式 计 算 即 可 ；(2)设 原 计 划 每 天 修 道 路 x 米 .根 据 原 计 划 工 作 效 率 用 的 时 间 +实 际 工 作 效 率 用 的 时 间 =10
23、等量 关 系 列 出 方 程 .答 案 ： (1)按 原 计 划 完 成 总 任 务 的 13 时 ， 已 抢 修 道 路 3600 13 =1200 米 . (2)设 原 计 划 每 小 时 抢 修 道 路 x 米 ， 根 据 题 意 得 ： 1200 3600 12001 50%x x =10， 解 得 ： x=280，经 检 验 ： x=280是 原 方 程 的 解 .答 ： 原 计 划 每 小 时 抢 修 道 路 280米 .22.如 图 ， AH是 O 的 直 径 ， AE 平 分 FAH， 交 O 于 点 E， 过 点 E 的 直 线 FG AF， 垂 足 为 F，B为 直 径 O
24、H上 一 点 ， 点 E、 F分 别 在 矩 形 ABCD的 边 BC和 CD 上 . (1)求 证 ： 直 线 FG 是 O的 切 线 ；(2)若 CD=10， EB=5， 求 O 的 直 径 .解 析 ： (1)连 接 OE， 证 明 FG 是 O的 切 线 ， 只 要 证 明 OEF=90 即 可 ；(2)设 OA=OE=x， 则 OB=10-x， 在 Rt OBE 中 ， OBE=90 ， BE=5， 由 勾 股 定 理 得 ： OB2+BE2=OE2，即 (10-x)2+52=x2， 求 出 x的 值 ， 即 可 解 答 .答 案 ： (1)如 图 1， 连 接 OE， OA=OE，
25、 EAO= AEO， AE 平 分 FAH， EAO= FAE， FAE= AEO， AF OE， AFE+ OEF=180 ， AF GF， AFE= OEF=90 ， OE GF， 点 E在 圆 上 ， OE 是 半 径 ， GF 是 O的 切 线 .(2) 四 边 形 ABCD是 矩 形 ， CD=10， AB=CD=10， ABE=90 ，设 OA=OE=x， 则 OB=10-x， 在 Rt OBE 中 ， OBE=90 ， BE=5，由 勾 股 定 理 得 ： OB 2+BE2=OE2， (10-x)2+52=x2， x= 254 ， AH=2 254 = 252 ， O的 直 径
26、为 252 . 23.如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 抛 物 线 y=ax2+ 32 x+c(a 0)与 x 轴 交 于 A、 B 两 点 (点 A 在点 B 的 右 侧 )， 与 y 轴 交 于 点 C， 点 A 的 坐 标 为 (4， 0)， 抛 物 线 的 对 称 轴 是 直 线 x= 32 . (1)求 抛 物 线 的 解 析 式 ；(2)M为 第 一 象 限 内 的 抛 物 线 上 的 一 个 点 ， 过 点 M 作 MG x 轴 于 点 G， 交 AC 于 点 H， 当 线 段CM=CH时 ， 求 点 M 的 坐 标 ；(3)在 (2)的 条 件 下 ， 将 线
27、 段 MG 绕 点 G顺 时 针 旋 转 一 个 角 (0 90 )， 在 旋 转 过 程 中 ，设 线 段 MG与 抛 物 线 交 于 点 N， 在 线 段 GA 上 是 否 存 在 点 P， 使 得 以 P、 N、 G 为 顶 点 的 三 角 形与 ABC相 似 ？ 如 果 存 在 ， 请 求 出 点 P的 坐 标 ； 如 果 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)首 先 利 用 对 称 轴 公 式 求 出 a 的 值 ， 然 后 把 点 A 的 坐 标 与 a的 值 代 入 抛 物 线 的 解 析式 ， 求 出 c的 值 ， 即 可 确 定 出 抛 物 线 的 解 析
28、式 .(2)首 先 根 据 抛 物 线 的 解 析 式 确 定 出 点 C的 坐 标 ， 再 根 据 待 定 系 数 法 ， 确 定 出 直 线 AC解 析 式为 y=- 12 x+2； 然 后 设 点 M 的 坐 标 为 (m， - 12 m 2+ 32 m+2)， H(m， - 12 m+2)， 求 出 MH 的 值 是 多少 ， 再 根 据 CM=CH， OC=GE=2， 可 得 MH=2EH， 据 此 求 出 m 的 值 是 多 少 ， 再 把 m 的 值 代 入 抛 物线 的 解 析 式 ， 求 出 y的 值 ， 即 可 确 定 点 M 的 坐 标 .(3)首 先 判 断 出 ABC
29、 为 直 角 三 角 形 ， 然 后 分 两 种 情 况 ： 当 1 1 1N P PGAC CB 时 ； 当2 2 2N P PGBC CA 时 ； 根 据 相 似 三 角 形 的 性 质 ， 判 断 出 是 否 存 在 点 P， 使 得 以 P、 N、 G为 顶 点 的三 角 形 与 ABC相 似 即 可 .答 案 ： (1) x=- 2ba = 32 ， b= 32 ， a=- 12 ，把 A(4， 0)， a=-12 代 入 y=ax 2+ 32 x+c，可 得 (- 12 ) 42+ 32 4+c=0， 解 得 c=2， 则 抛 物 线 解 析 式 为 y=-12 x2+ 32 x+
30、2.(2)如 图 1， 连 接 CM， 过 C 点 作 CE MH于 点 E， y=- 12 x2+ 32 x+2， 当 x=0时 ， y=2， C 点 的 坐 标 是 (0， 2)，设 直 线 AC 解 析 式 为 y=kx+b(k 0)，把 A(4， 0)、 C(0， 2)代 入 y=kx+b，可 得 4 02k bb ， ， 解 得 ： 122kb ， ， 直 线 AC 解 析 式 为 y=- 12 x+2， 点 M在 抛 物 线 上 ， 点 H在 AC上 ， MG x 轴 ， 设 点 M 的 坐 标 为 (m， - 12 m 2+ 32 m+2)， H(m， - 12 m+2)， MH
31、=- 12 m2+ 32 m+2-(-12 m+2)=- 12 m2+2m， CM=CH， OC=GE=2， MH=2EH=2 2-(- 12 m+2)=m，又 MH=-12 m2+2m， -12 m2+2m=m， 即 m(m-2)=0，解 得 m=2或 m=0(不 符 合 题 意 ， 舍 去 )， m=2，当 m=2时 ， y=- 12 2 2+ 32 2+2=3， 点 M 的 坐 标 为 (2， 3).(3)存 在 点 P， 使 以 P， N， G 为 顶 点 的 三 角 形 与 ABC相 似 ， 理 由 为 ： 抛 物 线 与 x 轴 交 于 A、 B 两 点 ， A(4， 0)， A、
32、 B两 点 关 于 直 线 x= 32 成 轴 对 称 ， B(-1， 0)， AC= 2 24 2 =2 5， BC= 2 21 2 = 5， AB=5， AC 2+BC2=(2 5)2+( 5)2=25， AB2=52=25， AC2+BC2=AB2=25， ABC为 直 角 三 角 形 ， ACB=90 ，线 段 MG绕 G 点 旋 转 过 程 中 ， 与 抛 物 线 交 于 点 N， 当 NP x轴 时 ， NPG=90 ，设 P 点 坐 标 为 (n， 0)， 则 N 点 坐 标 为 (n， - 12 n2+ 32 n+2)， 如 图 2，当 1 1 1N P PGAC CB 时 ，
33、 N1P1G= ACB=90 ， N1P1G ACB， 21 3 2 22 22 5 5n n n ，解 得 ： n1=3， n2=-4(不 符 合 题 意 ， 舍 去 )，当 n1=3时 ， y=-12 32+ 32 3+2=2， P的 坐 标 为 (3， 2). 当 2 2 2N P PGBC CA 时 ， N 2P2G= BCA=90 ， N2P2G BCA， 21 3 2 22 25 2 5n n n ，解 得 ： n1=1+ 7 ， n2=1- 7 (不 符 合 题 意 ， 舍 去 )，当 n1=1+ 7 时 ， y=- 12 (1+ 7 )2+ 32 (1+ 7 )+2= 7 12 ， P 的 坐 标 为 (1+ 7 ， 7 12 ).又 点 P 在 线 段 GA 上 ， 点 P 的 纵 坐 标 是 0， 不 存 在 点 P， 使 得 以 P、 N、 G 为 顶 点 的 三 角 形 与 ABC 相 似 .
