1、2015年山西省中考真题数学一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1.计算3+（1）的结果是（）A.2B.2C.4D.4解析：3+（1）=（3+1）=4，答案：D.2.下列运算错误的是（） A. =1B.x2+x2=2x4C.|a|=|a|D.解析：A、原式=1，正确；B、原式=2x2，错误；C、|a|=|a|，正确；D、原式=，正确， 答案：B3.晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗格图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A.B. C. D.解析：A、是轴对称图形，也
2、是中心对称图形.故错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形.故正确；C、是轴对称图形，也是中心对称图形.故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形.故错误.答案：B.4.如图，在ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点.若DBE的周长是6，则ABC的周长是（） A.8B.10C.12D.14解析：点D、E分别是边AB，BC的中点，DE是三角形BC的中位线，AB=2BD，BC=2BE，DEBC且DE= AC，又AB=2BD，BC=2BE，AB+BC+AC=2（BD+BE+DE），即ABC的周长是DBE的周长的2倍，DBE的周长是6，ABC的周长是： 62=12.答案：C.5.我们解一元二次方程
3、3x26x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2.这种解法体现的数学思想是（）A.转化思想B.函数思想C.数形结合思想D.公理化思想解析：我们解一元二次方程3x26x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x2=0，进而得到原方程的解为x 1=0，x2=2.这种解法体现的数学思想是转化思想，答案：A. 6.如图，直线ab，一块含60角的直角三角板ABC（A=60）按如图所示放置.若1=55，则2的度数为（）A.105B.110C.115D
4、.120解析：如图，直线ab， AMO=2；ANM=1，而1=55，ANM=55，AMO=A+ANM=60+55=115，答案：C.7.化简的结果是（）A.B. C.D.解析：原式= 答案：A.8.我国古代秦汉时期有一部数学著作，堪称是世界数学经典名著.它的出现，标志着我国古代数学体系的正式确立.它采用按类分章的问题集的形式进行编排.其中方程的解法和正负数加减运算法则在世界上遥遥领先，这部著作的名称是（）A.九章算术B.海岛算经 C.孙子算经D.五经算术解析：此著作是九章算术，答案：A.9.某校举行春季运动会，需要在初一年级选取一名志愿者.初一（1）班、初一（2）班、初一（3）班各有2名同学报
5、名参加.现从这6名同学中随机选取一名志愿者，则被选中的这名同学恰好是初一（3）班同学的概率是（）A.B.C. D.解析：共有6名同学，初一3班有2人，P（初一3班）= =，答案：B.10.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则ABC的正切值是（） A.2B. C.D.解析：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，ABC为直角三角形， tanB= =，答案：D.二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.不等式组的解集是.解析：由得：x4，由得：x2，不等式组的解集为：x4. 答案：x4.12.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角
6、形镶嵌而成，第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案有10个三角形，依此规律，第n个图案有个三角形（用含n的代数式表示）解析：第（1）个图案有3+1=4个三角形，第（2）个图案有32+1=7个三角形，第（3）个图案有33+110个三角形，第n个图案有3n+1个三角形. 答案：3n+1.13.如图，四边形ABCD内接于O，AB为O的直径，点C为的中点.若A=40，则B=度. 解析：连接BD，AB为O的直径，ADB=90，A=40，ABD=90A=50，C=180A=140，点C为的中点， CD=CB，CBD=CDB=20，ABC=ABD+CBD=70.答案：70.1
7、4.现有两个不透明的盒子，其中一个装有标号分别为1，2的两张卡片，另一个装有标号分别为1，2，3的三张卡片，卡片除标号外其他均相同.若从两个盒子中各随机抽取一张卡片，则两张卡片标号恰好相同的概率是.解析：画树状图得： 共有6种等可能的结果，两张卡片标号恰好相同的有2种情况，两张卡片标号恰好相同的概率是：= .答案：.15.太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位.公共自行车车桩的截面示意图如图所示，ABAD，ADDC，点B，C在EF上，EFHG，EHHG，AB=80cm，AD=24cm，BC=25cm，EH=4cm，则点A到地面的距离是cm. 解析：过点A作AMBF于点M，
8、过点F作FNAB于点N，AD=24cm，则BF=24cm，BN= =7（cm），AMB=FNB=90，ABM=FBN，BNFBMA， =，=，则：故点A到地面的距离是：（m）.答案：.16.如图，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应点为D，点C落在C处.若AB=6，AD=2，则折痕MN的长为. 解析：作NFAD，垂足为F，连接DD，ND， 将正方形纸片ABCD折叠，使得点D落在边AB上的D点，折痕为MN，DDMN，A=DEM=90，ADD=EDM，DADDEM，DDA=DME，在NFM和DAD中NFMDAD（AAS），FM=AD=2cm，又在RtMNF中，FN=6cm， 根
9、据勾股定理得：MN= .答案：.三、解答题（本大题共8个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（1）计算：（31）21 .（2）解方程：.解析：（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.答案：（1）原式=4（）=9+4=5； （2）去分母得：2=2x13，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解.18.阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务.斐波那契（约11701250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定
10、顺序排列着的一列数称为数列）.后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数.斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用. 斐波那契数列中的第n个数可以用表示（其中，n1）.这是用无理数表示有理数的一个范例.任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数.解析：分别把1、2代入式子化简求得答案即可.答案：第1个数，当n=1时， 第2个数，当n=2时，19.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=3x+2的图象与y轴交于点A，与反比例函数y=（k0）在第一象限内的图象交于
11、点B，且点B的横坐标为1.过点A作ACy轴 交反比例函数y=（k0）的图象于点C，连接BC.（1）求反比例函数的表达式.（2）求ABC的面积. 解析：（1）先由一次函数y=3x+2的图象过点B，且点B的横坐标为1，将x=1代入y=3x+2，求出y的值，得到点B的坐标，再将B点坐标代入y=，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；（2）先由一次函数y=3x+2的图象与y轴交于点A，求出点A的坐标为（0，2），再将y=2代入y=，求出x的值，那么AC= .过B作BDAC于D，则BD=yByC=52=3，然后根据SABC= ACBD，将数值代入计算即可求解.答案：（1）一次函数y=3x+2的图象过
12、点B，且点B的横坐标为1，y=31+2=5，点B的坐标为（1，5）. 点B在反比例函数y=的图象上，k=15=5，反比例函数的表达式为y=；（2）一次函数y=3x+2的图象与y轴交于点A，当x=0时，y=2，点A的坐标为（0，2），ACy轴，点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，是2，点C在反比例函数y=的图象上，当y=2时，2=，解得x=， AC= .过B作BDAC于D，则BD=yByC=52=3，SABC= ACBD= 3= .20.随着互联网、移动终端的迅速发展，数字化阅读越来越普及，公交、地铁上的“低头族”越来越多.某研究机构针对“您如何看待数字化阅读”问题进行了随机问卷调查（问卷调查表如图
13、1所示）并将调查结果绘制成图2和图3所示的统计图（均不完整）.请根据统计图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的总人数是人.（2）请将条形统计图补充完整.（3）在扇形统计图中，观点E的百分比是，表示观点B的扇形的圆心角度数为度.（4）假如你是该研究机构的一名成员，请根据以上调查结果，就人们如何对待数字化阅读提出你的建议.解析：（1）根据D类观点除以D类所占的百分比，可得调查的人数；（2）根据各类调查的人数，可得条形统计图；（3）根据E类人数除以调查的人数，可得答案，根据B类人数除以调查人数，再乘以360，可得答案；（4）根据对调查数据的收集、整理，可得答案.答案：（1）本次接受调查
14、的总人数是5000人（2）C类的人数为50002300250750200=1500（人），请将条形统计图补充完整 （3）在扇形统计图中，观点E的百分比是4%，表示观点B的扇形的圆心角度数为18度，故答案为：5000，4%，18.（4）应充分利用数字化阅读获取信息方便等优势，但不要成为“低头族”而影响人际交往.21.如图，ABC是直角三角形，ACB=90.（1）尺规作图：作C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母.（2）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，A=30，求的长. 解析：（1）过点C作AB的垂线，垂足为点D，然后以C点为圆心，CD为半径作圆即
15、可； （2）先根据切线的性质得ADC=90，则利用互余可计算出DCE=90A=60，BCD=90ACD=30，再在RtBCD中利用BCD的余弦可计算出CD=，然后根据弧长公式求解.答案：（1）如图， C为所求；（2）C切AB于D，CDAB，ADC=90，DCE=90A=9030=60，BCD=90ACD=30，在RtBCD中，cosBCD=，CD=3cos30=的长= 22.某蔬菜经营户从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售，部分蔬菜批发价格与零售价格如表：蔬菜品种西红柿青椒西兰花豆角批发价（元/kg）3.6 5.4 8 4.8零售价（元/kg）5.4 8.4 14 7.6请解答下列问题：（1）第一天
16、，该经营户批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300kg，用去了1520元钱，这两种蔬菜当天全部售完一共能赚多少元钱？（2）第二天，该经营户用1520元钱仍然批发西红柿和西兰花，要想当天全部售完后所赚钱数不少于1050元，则该经营户最多能批发西红柿多少kg？解析：（1）设批发西红柿xkg，西兰花ykg，根据批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300kg， 用去了1520元钱，列方程组求解；（2）设批发西红柿akg，根据当天全部售完后所赚钱数不少于1050元，列不等式求解.答案：（1）设批发西红柿xkg，西兰花ykg，由题意得 解得：故批发西红柿200kg，西兰花100kg，则这两种蔬菜当天全部售完一共能赚：2
17、001.8+1006=960（元），答：这两种蔬菜当天全部售完一共能赚960元；（2）设批发西红柿akg，由题意得，（5.43.6）a+（148） 1050，解得：a100.答：该经营户最多能批发西红柿100kg.23.综合与实践：制作无盖盒子任务一：如图1，有一块矩形纸板，长是宽的2倍，要将其四角各剪去一个正方形，折成高 为4cm，容积为616cm3的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）.（1）请在图1的矩形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕.（2）请求出这块矩形纸板的长和宽.任务二：图2是一个高为4cm的无盖的五棱柱盒子（直棱柱），图3是其底面，在五边形ABCDE中，BC=12
18、cm，AB=DC=6cm，ABC=BCD=120，EAB=EDC=90.（1）试判断图3中AE与DE的数量关系，并加以证明.（2）图2中的五棱柱盒子可按图4所示的示意图，将矩形纸板剪切折合而成，那么这个矩形纸板的长和宽至少各为多少cm？请直接写出结果（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕.纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计）. 解析：任务一：（1）按要求画出示意图即可；（2）设矩形纸板的宽为xcm，则长为2xcm，根据题意列出方程，解之即可.任务二：（1）AD=DE，延长EA、ED分别交直线BC于点M、N，先证明EM=EN，再证明MABNDC，得到AM=DN即可；（2）如图4，由（1）得；AE=DE
19、，EAD=EDA=30，由已知得，AG=DF=4，连接AD，GF，过B，C分别作BMAD于M，CNAD于N，过E作EPAD于P，则GF即为矩形纸板的长，MN=BC=12，AP=DP得到BAM=CDN=60，求出AM=DN=3，BM=CN=3，然后通过三角形相似即可得到结果. 解析：任务一：（1）如图1所示：（2）设矩形纸板的宽为xcm，则长为2xcm，由题意得：4（x24）（2x24）=616，解得：x1=15，x2=3（舍去），2x=215=30，答：矩形纸板的长为30cm，宽为15cm；任务二：解：（1）AE=DE，证明如下： 延长EA，ED分别交直线BC于M，N，ABC=BCD=120，
20、ABM=DCN=60，EAB=EDC=90，M=N=30，EM=EN，在MAB与NDC中，MABNDC，AM=DN，EMAM=ENDN， AE=DE；（2）如图4，由（1）得；AE=DE，EAD=EDA=30，由已知得，AG=DF=4，连接AD，GF，过B，C分别作BMAD于M，CNAD于N，过E作EPAD于P，则GF即为矩形纸板的长，MN=BC=12，AP=DPBAM=CDN=60， AB=CD=6，AM=DN=3，BM=CN=3，AP= AD=（3+3+12）=9，PE=3， ADGF，EADEGF，GF=18+4，矩形纸板的长至少为18+4，矩形纸板的宽至少为PE+BM+2 +4=3 +
21、3 +2 +4=4+8 .24.综合与探究如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的函数表达式为y=x2+ x+4.抛物线W与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线l经过C、D两点.（1）求A、B两点的坐标及直线l的函数表达式. （2）将抛物线W沿x轴向右平移得到抛物线W，设抛物线W的对称轴与直线l交于点F，当ACF为直角三角形时，求点F的坐标，并直接写出此时抛物线W的函数表达式.（3）如图2，连接AC，CB，将ACD沿x轴向右平移m个单位（0m5），得到ACD.设AC交直线l于点M，CD交CB于点N，连接CC，MN.求四边形CMNC的面积（用含
22、m的代数式表示）. 解析：（1）根据自变量与函数值对应关系，当函数值为零时，可得A、B点坐标，当自变量为零时，可得C点坐标，根据对称轴公式，可得D点坐标，根据待定系数法，可得l的解析式；（2）根据余角性质，可得1与3的关系，根据正切的定义，可得关于F点的横坐标的方程，根据解方程，可得F点坐标，平移后的对称轴，根据平移后的对称轴，可得平移后的函数解析式；（3）根据图象平移的规律，可得A，C，D点的坐标，根据待定系数法，可得AC，BC，CD的解析式，根据解方程组，可得M、N的坐标，根据平行四边形的判定，可得四边形CMNC的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案.答案：（1）当y=0时，x 2+
23、+4=0，解得x1=3，x2=7，点A坐标为（3，0），点B的坐标为（7，0）. 抛物线w的对称轴为直线x=2，点D坐标为（2，0）.当x=0时，y=4，点C的坐标为（0，4）.设直线l的表达式为y=kx+b，解得，直线l的解析式为y=2x+4；（2）抛物线w向右平移，只有一种情况符合要求，即FAC=90，如图 .此时抛物线w的对称轴与x轴的交点为G，1+2=902+3=90，1=3，tan1=tan3，= .设点F的坐标为（xF，2xF+4），解得x F=5，2xF+4=6，点F的坐标为（5，6），此时抛物线w的函数表达式为y=x2+ x；（3）由平移可得：点C，点A，点D的坐标分别为C（m，4），A（3+m，0），D（2+m，0），CCx轴，CDCD，可用待定系数法求得直线AC的表达式为y= x+4m，直线BC的表达式为y=x+4，直线CD的表达式为y=2x+2m+4， 分别解方程组解得和，点M的坐标为（m，m+4），点N的坐标为（m，m+4），yM=yNMNx轴，CCx轴，CCMN.CDCD， 四边形CMNC是平行四边形，S=m4（m+4）= m2
