1、2015年 山 东 省 莱 芜 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 （ 本 大 题 共 12小 题 ， 每 小 题 3 分 ）1. 3的 相 反 数 是 （ ）A.3B. 3C.D.解 析 ： 3的 相 反 数 是 3，答 案 ： A.2.将 数 字 2.03 10 3化 为 小 数 是 （ ）A.0.203B.0.0203C.0.00203D.0.000203解 析 ： 2.03 10 3化 为 小 数 是 0.00203.故 选 C.3.下 列 运 算 正 确 的 是 （ ）A.（ a 2） a3= a6B.a6 a3=a2C.a2+a3=a5D.（ a3） 2=a6解 析 ：
2、A、 （ a2） a3= a5， 故 错 误 ；B、 a6 a3=a3， 故 错 误 ；C、 a2 a3=a5， 故 错 误 ；D、 正 确 ；答 案 ： D.4.要 使 二 次 根 式 3 2x 有 意 义 ， 则 x的 取 值 范 围 是 （ ）A.x B.xC.xD.x解 析 ： 依 题 意 得 3 2x 0，解 得 x .答 案 ： B.5.如 图 ， AB CD， EF平 分 AEG， 若 FGE=40 ， 那 么 EFG 的 度 数 为 （ ） A.35B.40C.70D.140解 析 ： AB CD， FGE=40 ， AEG+ FGE=180 ， AEG=140 ， EF 平
3、分 AEG， AEF= AEG=70 ， AB CD， EFG= AEF=70 .答 案 ： C. 6.下 列 图 形 中 ， 是 轴 对 称 图 形 ， 但 不 是 中 心 对 称 图 形 的 是 （ ）A.B.C. D.解 析 ： A、 是 轴 对 称 图 形 ， 也 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；B、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；C、 是 轴 对 称 图 形 ， 也 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；D、 是 轴 对 称 图 形 ， 但 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故
4、 本 选 项 正 确 .答 案 ： D.7.为 了 解 当 地 气 温 变 化 情 况 ， 某 研 究 小 组 记 录 了 寒 假 期 间 连 续 6天 的 最 高 气 温 ， 结 果 如 下 （ 单位 ： ） ： 6， 3， x， 2， 1， 3.若 这 组 数 据 的 中 位 数 是 1， 则 下 列 结 论 错 误 的 是 （ ）A.方 差 是 8 B.极 差 是 9C.众 数 是 1D.平 均 数 是 1解 析 ： 根 据 题 意 可 知 x= 1，平 均 数 =（ 6 3 1 1+2+3） 6= 1， 数 据 1出 现 两 次 最 多 ， 众 数 为 1，极 差 =3 （ 6） =9
5、，方 差 = （ 6+1） 2+（ 3+1） 2+（ 1+1） 2+（ 2+1） 2+（ 1+1） 2+（ 3+1） 2=9.答 案 ： A.8.下 列 几 何 体 中 ， 主 视 图 和 左 视 图 都 为 矩 形 的 是 （ ）A.B. C.D.解 析 ： A、 主 视 图 和 左 视 图 都 为 圆 ， 所 以 A 选 项 错 误 ；B、 主 视 图 和 左 视 图 都 为 矩 形 的 ， 所 以 B 选 项 正 确 ；C、 主 视 图 和 左 视 图 都 为 等 腰 三 角 形 ， 所 以 C 选 项 错 误 ；D、 主 视 图 为 矩 形 ， 左 视 图 为 圆 ， 所 以 D 选
6、项 错 误 .答 案 ： B.9.一 个 多 边 形 除 一 个 内 角 外 其 余 内 角 的 和 为 1510 ， 则 这 个 多 边 形 对 角 线 的 条 数 是 （ ）A.27B.35 C.44D.54解 析 ： 设 这 个 内 角 度 数 为 x， 边 数 为 n， （ n 2） 180 x=1510，180n=1870+x， n 为 正 整 数 ， n=11， 11 2（ 11-3） =44， 答 案 ： C.10.甲 乙 两 人 同 时 从 A 地 出 发 到 B 地 ， 如 果 甲 的 速 度 v 保 持 不 变 ， 而 乙 先 用 v的 速 度 到 达中 点 ， 再 用 2
7、v 的 速 度 到 达 B 地 ， 则 下 列 结 论 中 正 确 的 是 （ ）A.甲 乙 同 时 到 达 B地B.甲 先 到 达 B地C.乙 先 到 达 B地D.谁 先 到 达 B地 与 速 度 v 有 关解 析 ： 设 从 A 地 到 B地 的 距 离 为 2s，而 甲 的 速 度 v 保 持 不 变 ， 甲 所 用 时 间 为 ， 又 乙 先 用 v 的 速 度 到 达 中 点 ， 再 用 2v的 速 度 到 达 B地 ， 乙 所 用 时 间 为 2 21 2 22s s s s sv v v vv ， 甲 先 到 达 B 地 .答 案 ： B.11.如 图 ， 在 矩 形 ABCD中
8、 ， AB=2a， AD=a， 矩 形 边 上 一 动 点 P 沿 A B C D的 路 径 移 动 .设点 P 经 过 的 路 径 长 为 x， PD 2=y， 则 下 列 能 大 致 反 映 y与 x的 函 数 关 系 的 图 象 是 （ ） A.B. C.D.解 析 ： （ 1） 当 0 t 2a 时 ， PD 2=AD2+AP2， AP=x， y=x2+a2.（ 2） 当 2a t 3a 时 ，CP=2a+a x=3a x， PD2=CD2+CP2， y=（ 3a x） 2+（ 2a） 2=（ x 3a） 2+4a2.（ 3） 当 3a t 5a 时 ，PD=2a+a+2a x=5a
9、x， PD 2=y， y=（ 5a x） 2=（ x 5a） 2，综 上 ， 可 得 y= 2 22 22,0 26 13 ,2 3-5 3 5x a x ax ax a a x ax a a x a （ ） ， 能 大 致 反 映 y与 x的 函 数 关 系 的 图 象 是 选 项 D中 的 图 象 .答 案 ： D.12.如 图 ， 在 直 角 梯 形 ABCD中 ， AB CD， AB BC， 以 BC为 直 径 的 O与 AD相 切 ， 点 E 为 AD的 中 点 ， 下 列 结 论 正 确 的 个 数 是 （ ）（ 1） AB+CD=AD；（ 2） S BCE=S ABE+S DCE
10、；（ 3） AB CD= ；（ 4） ABE= DCE. A.1B.2C.3D.4解 析 ： 设 DC 和 半 圆 O相 切 的 切 点 为 F， 在 直 角 梯 形 ABCD 中 AB CD， AB BC， ABC= DCB=90 ， AB 为 直 径 ， AB， CD 是 圆 的 切 线 ， AD 与 以 AB为 直 径 的 O 相 切 ， AB=AF， CD=DF， AD=AE+DE=AB+CD， 故 正 确 ；如 图 1， 连 接 OE， AE=DE， BO=CO， OE AB CD， OE= （ AB+CD） ， OE BC， S BCE= BC OE= （ AB+CD） = （ A
11、B+CD） BC= =S ABE+S DCE，故 正 确 ；如 图 2， 连 接 AO， OD， AB CD， BAD+ ADC=180 ， AB， CD， AD 是 O的 切 线 ， OAD+ EDO= （ BAD+ ADC） =90 ， AOD=90 ， AOB+ DOC= AOB+ BAO=90 ， BAO= DOC， ABO OCD， ， AB CD=OB OC= BC BC= BC 2， 故 正 确 ，如 图 1， OB=OC， OE BC， BE=CE， BEO= CEO， AB OE CD， ABE= BEO， DCE= OEC， ABE= DCE， 故 正 确 ，综 上 可 知
12、 正 确 的 个 数 有 4个 ，答 案 ： D.二 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 填 对 得 4 分 ， 共 20分 ， 请 填 在 答 题 卡 上 ）13.计 算 ： | 2|+（ 1） 3+2 1= .解 析 ： 原 式 =3 2 1+ = ，答 案 ：14.已 知 m+n=3， m n=2， 则 m2 n2= .解 析 ： m2 n2=（ m+n） （ m n）=3 2=6.答 案 ： 6. 15.不 等 式 组 的 解 集 为 . 解 析 ： 3 23 2( 1) 4x xx x 由 得 ： x 1，由 得 ： x 2， 不 等 式 组 的 解 集
13、是 1 x 2，答 案 ： 1 x 2.16.如 图 ， 在 扇 形 OAB中 ， AOB=60 ， 扇 形 半 径 为 r， 点 C 在 上 ， CD OA， 垂 足 为 D，当 OCD的 面 积 最 大 时 ， 的 长 为 . 解 析 ： OC=r， 点 C在 上 ， CD OA， DC= S OCD= OD S OCD2= OD2 （ r2 OD2） = OD4+ r2OD2= （ OD2 ） 2+ 当 OD 2= ， 即 OD= r 时 OCD的 面 积 最 大 ， OCD=45 ， COA=45 ， 的 长 为 ： 45180 r = r，答 案 ： .17.如 图 ， 反 比 例
14、函 数 y= （ x 0） 的 图 象 经 过 点 M（ 1， 1） ， 过 点 M 作 MN x 轴 ， 垂 足 为N， 在 x 轴 的 正 半 轴 上 取 一 点 P（ t， 0） ， 过 点 P作 直 线 OM的 垂 线 l.若 点 N 关 于 直 线 l 的 对称 点 在 此 反 比 例 函 数 的 图 象 上 ， 则 t= . 解 析 ： 如 图 ， 点 M 坐 标 为 （ 1， 1） ， k= 1 1= 1， 反 比 例 函 数 解 析 式 为 y= ， ON=MN=1， OMN为 等 腰 直 角 三 角 形 ， MON=45 ， 直 线 l OM， OPQ=45 ， 点 N和 点
15、 N 关 于 直 线 l 对 称 ， PN=PN ， NN PQ， N PQ= OPQ=45 ， N PN=90 ， N P x轴 ， 点 N 的 坐 标 为 （ t， ） ， PN=PN ， t 1=| |= ，整 理 得 t 2 t 1=0， 解 得 t1= ， t2= （ 不 符 合 题 意 ， 舍 去 ） ， t 的 值 为 .答 案 ： .三 、 解 析 题 （ 本 大 题 共 7 小 题 ， 共 64 分 ， 解 析 要 写 出 必 要 的 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 推 演 步骤 ）18.先 化 简 ， 再 求 值 ： 2 23 4 41- 1 1x xx x （ ）
16、 ， 其 中 x=3.解 析 ： 原 式 括 号 中 两 项 通 分 并 利 用 同 分 母 分 式 的 减 法 法 则 计 算 ， 同 时 利 用 除 法 法 则 变 形 ，约 分 得 到 最 简 结 果 ， 把 x的 值 代 入 计 算 即 可 求 出 值 . 答 案 ： 原 式 = 21 -11 31 2x xx x x （ ） （ ）（ ）= 21 -121 2x xxx x （ ） （ ）（ ）= 12xx 当 x=3时 ， 原 式 =2.19.为 了 解 今 年 初 四 学 生 的 数 学 学 习 情 况 ， 某 校 在 第 一 轮 模 拟 测 试 后 ， 对 初 四 全 体 同
17、学 的 数学 成 绩 作 了 统 计 分 析 ， 绘 制 如 下 图 表 ： 请 结 合 图 表 所 给 出 的 信 息 解 析 系 列 问 题 ：成 绩 频 数 频 率优 秀 45 b良 好 a 0.3合 格 105 0.35 不 合 格 60 c（ 1） 该 校 初 四 学 生 共 有 多 少 人 ？（ 2） 求 表 中 a， b， c 的 值 ， 并 补 全 条 形 统 计 图 .（ 3） 初 四 （ 一 ） 班 数 学 老 师 准 备 从 成 绩 优 秀 的 甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 名 同 学 中 任 意 抽 取 两 名 同学 做 学 习 经 验 介 绍 ， 求 恰 好 选 中
18、 甲 、 乙 两 位 同 学 的 概 率 . 解 析 ： （ 1） 利 用 合 格 的 人 数 除 以 该 组 频 率 进 而 得 出 该 校 初 四 学 生 总 数 ；（ 2） 利 用 （ 1） 中 所 求 ， 结 合 频 数 总 数 =频 率 ， 进 而 求 出 答 案 ；（ 3） 根 据 题 意 画 出 树 状 图 ， 然 后 求 得 全 部 情 况 的 总 数 与 符 合 条 件 的 情 况 数 目 ； 二 者 的 比 值就 是 其 发 生 的 概 率 .答 案 ： （ 1） 由 题 意 可 得 ： 该 校 初 四 学 生 共 有 ： 105 0.35=300（ 人 ） ，答 ： 该
19、校 初 四 学 生 共 有 300人 ；（ 2） 由 （ 1） 得 ： a=300 0.3=90（ 人 ） ，b= =0.15，c= =0.2；如 图 所 示 ；（ 3） 画 树 形 图 得 ： 一 共 有 12种 情 况 ， 抽 取 到 甲 和 乙 的 有 2 种 ， P（ 抽 到 甲 和 乙 ） = = .20.为 保 护 渔 民 的 生 命 财 产 安 全 ， 我 国 政 府 在 南 海 海 域 新 建 了 一 批 观 测 点 和 避 风 港 .某 日 在 观 测 点 A处 发 现 在 其 北 偏 西 36.9 的 C 处 有 一 艘 渔 船 正 在 作 业 ， 同 时 检 测 到 在
20、渔 船 的 正 西 B处 有 一 股 强 台 风 正 以 每 小 时 40海 里 的 速 度 向 正 东 方 向 移 动 ， 于 是 马 上 通 知 渔 船 到 位 于 其 正东 方 向 的 避 风 港 D 处 进 行 躲 避 .已 知 避 风 港 D 在 观 测 点 A 的 正 北 方 向 ， 台 风 中 心 B 在 观 测 点A的 北 偏 西 67.5 的 方 向 ， 渔 船 C与 观 测 点 A 相 距 350海 里 ， 台 风 中 心 的 影 响 半 径 为 200海 里 ， 渔 船 的 速 度 为 每 小 时 18海 里 ， 问 渔 船 能 否 顺 利 躲 避 本 次 台 风 的 影
21、 响 ？（ sin36.9 0.6， tan36.9 0.75， sin67.5 0.92， tan67.5 2.4） 解 析 ： 先 解 Rt ADC， 求 出 CD=AC sin DAC 350 0.6=210海 里 ， AD= 2 2AC CD =280海 里 ， 那 么 渔 船 到 的 避 风 港 D处 所 用 时 间 ： 210 18=11 小 时 .再 解 Rt ADB， 求 出 BD=AD tan BAD 280 2.4=672海 里 ， 那 么 BC=BD CD 672 210=462海 里 .设 强 台 风 移 动 到 渔 船 C后 面 200海 里 时 所 需 时 间 为
22、x 小 时 ， 根 据 追 及 问 题 的 等 量 关 系 列 出 方 程 （ 40 18） x=462200， 解 方 程 求 出 x=11 ， 由 于 11 11 ， 所 以 渔 船 能 顺 利 躲 避 本 次 台 风 的 影 响 .答 案 ： 由 题 意 可 知 BAD=67.5 ， CAD=36.9 ， AC=350海 里 .在 Rt ADC中 ， ADC=90 ， DAC=36.9 ， AC=350 海 里 ， CD=AC sin DAC 350 0.6=210海 里 ， AD= 2 2AC CD =280海 里 . 渔 船 到 的 避 风 港 D处 所 用 时 间 ： 210 18
23、=11 小 时 . 在 Rt ADB中 ， ADB=90 ， BAD=67.5 ， BD=AD tan BAD 280 2.4=672海 里 ， BC=BD CD 672 210=462海 里 . 设 强 台 风 移 动 到 渔 船 C 后 面 200海 里 时 所 需 时 间 为 x小 时 ， 根 据 题 意 得（ 40 18） x=462 200，解 得 x=11 ， 11 11 ， 渔 船 能 顺 利 躲 避 本 次 台 风 的 影 响 . 21.如 图 ， ABC是 等 腰 直 角 三 角 形 ， ACB=90 ， 分 别 以 AB， AC为 直 角 边 向 外 作 等 腰 直 角 A
24、BD和 等 腰 直 角 ACE， G 为 BD 的 中 点 ， 连 接 CG， BE， CD， BE 与 CD 交 于 点 F.（ 1） 判 断 四 边 形 ACGD的 形 状 ， 并 说 明 理 由 .（ 2） 求 证 ： BE=CD， BE CD. 解 析 ： （ 1） 利 用 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 易 得 BD=2BC， 因 为 G 为 BD 的 中 点 ， 可 得 BG=BC，由 CGB=45 ， ADB=45得 AD CG， 由 CBD+ ACB=180 ， 得 AC BD， 得 出 四 边 形 ACGD为 平 行 四 边 形 ；（ 2） 利 用 全 等 三 角 形
25、 的 判 定 证 得 DAC BAE， 由 全 等 三 角 形 的 性 质 得 BE=CD； 首 先 证 得四 边 形 ABCE 为 平 行 四 边 形 ， 再 利 用 全 等 三 角 形 的 判 定 定 理 得 BCE CAD， 易 得 CBE=ACD， 由 ACB=90 ， 易 得 CFB=90 ， 得 出 结 论 .答 案 ： （ 1） ABC是 等 腰 直 角 三 角 形 ， ACB=90 ， AB= BC， ABD和 ACE均 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， BD= =BC =2BC， G 为 BD 的 中 点 ， BG= BD=BC， CBG为 等 腰 直 角 三 角 形 ，
26、CGB=45 ， ADB=45 ， AD CG， ABD=45 ， ABC=45 CBD=90 ， ACB=90 ， CBD+ ACB=180 ， AC BD， 四 边 形 ACGD 为 平 行 四 边 形 ；（ 2） 证 明 ： EAB= EAC+ CAB=90 +45 =135 ， CAD= DAB+ BAC=90 +45 =135 ， EAB= CAD，在 DAC与 BAE中 ， DAC BAE， BE=CD； EAC= BCA=90 ， EA=AC=BC， 四 边 形 ABCE 为 平 行 四 边 形 ， CE=AB=AD，在 BCE与 CAD中 ， BCE CAD， CBE= ACD
27、， ACD+ BCD=90 ， CBE+ BCD=90 ， CFB=90 ，即 BE CD.22.今 年 我 市 某 公 司 分 两 次 采 购 了 一 批 大 蒜 ， 第 一 次 花 费 40万 元 ， 第 二 次 花 费 60 万 元 .已 知第 一 次 采 购 时 每 吨 大 蒜 的 价 格 比 去 年 的 平 均 价 格 上 涨 了 500元 ， 第 二 次 采 购 时 每 吨 大 蒜 的 价 格 比 去 年 的 平 均 价 格 下 降 了 500元 ， 第 二 次 的 采 购 数 量 是 第 一 次 采 购 数 量 的 两 倍 .（ 1） 试 问 去 年 每 吨 大 蒜 的 平 均
28、价 格 是 多 少 元 ？ （ 2） 该 公 司 可 将 大 蒜 加 工 成 蒜 粉 或 蒜 片 ， 若 单 独 加 工 成 蒜 粉 ， 每 天 可 加 工 8 吨 大 蒜 ， 每 吨大 蒜 获 利 1000 元 ； 若 单 独 加 工 成 蒜 片 ， 每 天 可 加 工 12 吨 大 蒜 ， 每 吨 大 蒜 获 利 600元 .由 于出 口 需 要 ， 所 有 采 购 的 大 蒜 必 需 在 30 天 内 加 工 完 毕 ， 且 加 工 蒜 粉 的 大 蒜 数 量 不 少 于 加 工 蒜片 的 大 蒜 数 量 的 一 半 ， 为 获 得 最 大 利 润 ， 应 将 多 少 吨 大 蒜 加 工
29、 成 蒜 粉 ？ 最 大 利 润 为 多 少 ？解 析 ： （ 1） 设 去 年 每 吨 大 蒜 的 平 均 价 格 是 x 元 ， 则 第 一 次 采 购 的 平 均 价 格 为 （ x+500） 元 ，第 二 次 采 购 的 平 均 价 格 为 （ x 500） 元 ， 根 据 第 二 次 的 采 购 数 量 是 第 一 次 采 购 数 量 的 两 倍 ，据 此 列 方 程 求 解 ；（ 2） 先 求 出 今 年 所 采 购 的 大 蒜 数 ， 根 据 采 购 的 大 蒜 必 需 在 30天 内 加 工 完 毕 ， 蒜 粉 的 大 蒜 数量 不 少 于 加 工 蒜 片 的 大 蒜 数 量
30、的 一 半 ， 据 此 列 不 等 式 组 求 解 ， 然 后 求 出 最 大 利 润 .答 案 ： （ 1） 设 去 年 每 吨 大 蒜 的 平 均 价 格 是 x元 ，由 题 意 得 ，解 得 ： x=3500， 经 检 验 ： x=3500是 原 分 式 方 程 的 解 ， 且 符 合 题 意 ，答 ： 去 年 每 吨 大 蒜 的 平 均 价 格 是 3500 元 ；（ 2） 由 （ 1） 得 ， 今 年 的 大 蒜 数 为 ： 4000004000 3=300（ 吨 ） ，设 应 将 m 吨 大 蒜 加 工 成 蒜 粉 ， 则 应 将 （ 300 m） 吨 加 工 成 蒜 片 ，由 题
31、 意 得 ， 3002300 308 12 mmm m ，解 得 ： 100 m 120，总 利 润 为 ： 1000m+600（ 300 m） =400m+180000，当 m=120 时 ， 利 润 最 大 ， 为 228000元 .答 ： 应 将 120吨 大 蒜 加 工 成 蒜 粉 ， 最 大 利 润 为 228000 元 . 23.如 图 ， 已 知 AB 是 O的 直 径 ， C 是 O 上 任 一 点 （ 不 与 A， B 重 合 ） ， AB CD 于 E， BF 为 O 的 切 线 ， OF AC， 连 结 AF， FC， AF与 CD交 于 点 G， 与 O交 于 点 H，
32、 连 结 CH.（ 1） 求 证 ： FC是 O 的 切 线 ；（ 2） 求 证 ： GC=GE；（ 3） 若 cos AOC= ， O的 半 径 为 r， 求 CH的 长 . 解 析 ： （ 1） 首 先 根 据 OF AC， OA=OC， 判 断 出 BOF= COF； 然 后 根 据 全 等 三 角 形 判 定 的 方法 ， 判 断 出 BOF COF， 推 得 OCF= OBF=90 ， 再 根 据 点 C 在 O上 ， 即 可 判 断 出 FC是 O的 切 线 . （ 2） 延 长 AC、 BF交 点 为 M.由 BOF COF可 知 ： BF=CF 然 后 再 证 明 ： FM=C
33、F， 从 而 得 到 BF=MF，因 为 DC BM， 所 以 AEG ABF， AGC AFM， 然 后 依 据 相 似 三 角 形 的 性 质 可 证 GC=GE；（ 3） 因 为 cos AOC= ， OE= ， AE= .由 勾 股 定 理 可 求 得 EC= .AC= .因 为 EG=GC，所 以 EG= .由 （ 2） 可 知 AEG ABF， 可 求 得 CF=BF= .在 Rt ABF中 ， 由 勾股 定 理 可 求 得 AF=3r.然 后 再 证 明 CFH AFC， 由 相 似 三 角 形 的 性 质 可 求 得 CH的 长 .答 案 ： （ 1） 证 明 ： OF AC，
34、 BOF= OAC， COF= OCA， OA=OC， OAC= OCA， BOF= COF，在 BOF和 COF中 ， ， BOF COF， OCF= OBF=90 ，又 点 C 在 O上 ， FC 是 O的 切 线 .（ 2） 如 下 图 ： 延 长 AC、 BF 交 点 为 M. 由 （ 1） 可 知 ： BOF COF， OFB= CFO， BF=CF. AC OF， M= OFB， MCF= CFO. M= MCF. CF=MF. BF=FM. DC BM， AEG ABF， AGC AFM. 又 BF=FM， EG=GC.（ 3） 如 下 图 所 示 ： cos AOC= ， OE
35、= ， AE= .在 Rt GOC中 ， EC=在 Rt AEC中 ， AC= EG=GC， AEG ABF， BF= . CF= .在 Rt ABF中 ， 2 2 2 22 5 3AF AB BF r r r （ ） （ ） . CF 是 O的 切 线 ， AC 为 弦 ， HCF= HAC.又 CFH= AFC， CFH AFC. CH= 309 r. 24.如 图 ， 已 知 抛 物 线 y=ax2+bx+c（ a 0） 经 过 点 A（ 3， 2） ， B（ 0， 2） ， 其 对 称 轴 为 直线 x= ， C（ 0， ） 为 y轴 上 一 点 ， 直 线 AC与 抛 物 线 交 于
36、 另 一 点 D.（ 1） 求 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 ；（ 2） 试 在 线 段 AD 下 方 的 抛 物 线 上 求 一 点 E， 使 得 ADE 的 面 积 最 大 ， 并 求 出 最 大 面 积 ；（ 3） 在 抛 物 线 的 对 称 轴 上 是 否 存 在 一 点 F， 使 得 ADF是 直 角 三 角 形 ？ 如 果 存 在 ， 求 点 F的 坐 标 ； 如 果 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 . 解 析 ： （ 1） 利 用 待 定 系 数 法 求 抛 物 线 解 析 式 ；（ 2） 作 EP y 轴 交 AD于 P， 如 图 1， 先 利 用 待 定 系 数 法
37、 求 出 直 线 AD的 解 析 式 为 y= x+ ，再 通 过 解 方 程 组 2 51 26 61 12 2y x xy x 得 D（ 5， 2） ， 设 E（ x， x2 x 2） （ 3 x 5） ，则 P（ x， x+ ） ， 所 以 PE= x 2+ x+ ， 根 据 三 角 形 面 积 公 式 和 S AED=S AEP+S DEP可 得 S AED= （ x 1） 2+ ， 然 后 根 据 二 次 函 数 的 最 值 问 题 求 出 ADE 的 面 积 最 大 ， 且 求 出 对 应 的 E点 坐 标 ；（ 3） 设 F（ ， t） ， 根 据 两 点 间 的 距 离 公 式
38、 得 到 AD2=（ 5+3） 2+（ 2 2） 2=80， AF2=（ +3） 2+（ t 2） 2， DF2=（ 5 ） 2+（ t 2） 2， 然 后 根 据 勾 股 定 理 的 逆 定 理 分 类 讨 论 ： 当 AD2+AF2=DF2， ADF是 直 角 三 角 形 ， 则 80+（ +3） 2+（ t 2） 2=（ 5 ） 2+（ t 2） 2； 当 AD2+DF2=AF2， ADF是 直 角 三 角 形 ， 则 80+（ 5 ） 2+（ t 2） 2=（ +3） 2+（ t 2） 2； 当 DF2+AF2=AD2， ADF是 直 角 三 角 形 ， 则 （ +3） 2+（ t 2
39、） 2+（ 5 ） 2+（ t 2） 2， =80， 再 分 别 解 关 于t 的 方 程 确 定 t 的 值 ， 从 而 得 到 F 点 的 坐 标 .答 案 ： （ 1） 根 据 题 意 得 9 3 22 52 2a b cc ba ， 解 得 16562abc ， 所 以 抛 物 线 解 析 式 为 y= x2 x 2；（ 2） 作 EP y 轴 交 AD 于 P， 如 图 1， 设 直 线 AD 的 解 析 式 为 y=mx+n，把 A（ 3， 2） ， C（ 0， ） 分 别 代 入 得 3 012m nn ， 解 得 1212mn 所 以 直 线 AD的 解 析 式 为 y= x+
40、 ，解 方 程 组 2 51 26 61 12 2y x xy x 得 32xy 或 52xy ， 则 D（ 5， 2） ，设 E（ x， x 2 x 2） （ 3 x 5） ， 则 P（ x， x+ ） ， PE= x+ （ x2 x 2） = x2+ x+ ， S AED=S AEP+S DEP= （ 5+3） ） （ x2+ x+ ）= （ x 1） 2+ ，当 x=1时 ， ADE的 面 积 最 大 ， 最 大 面 积 为 ， 此 时 E点 坐 标 为 （ 1， ） ；（ 3） 存 在 .设 F（ ， t） ， 如 图 2， A（ 3， 2） ， D（ 5， 2） ， AD2=（ 5+
41、3） 2+（ 2 2） 2=80， AF2=（ +3） 2+（ t 2） 2， DF2=（ 5 ） 2+（ t 2） 2， 当 AD2+AF2=DF2， ADF 是 直 角 三 角 形 ， 则 80+（ +3） 2+（ t 2） 2=（ 5 ） 2+（ t 2） 2，解 得 t=13， 此 时 F 点 坐 标 为 （ ， 13） ；当 AD2+DF2=AF2， ADF 是 直 角 三 角 形 ， 则 80+（ 5 ） 2+（ t 2） 2=（ +3） 2+（ t 2） 2，解 得 t= 7， 此 时 F点 坐 标 为 （ ， 7） ；当 DF 2+AF2=AD2， ADF 是 直 角 三 角 形 ， 则 （ +3） 2+（ t 2） 2+（ 5 ） 2+（ t 2） 2， =80，解 得 t= ， 此 时 F 点 坐 标 为 （ ， ） 或 （ ， ） ，综 上 所 述 ， F 点 的 坐 标 为 （ ， 13） 或 （ ， 7） 或 （ ， ） 或 （ ， ） .
