1、2015年 山 东 省 烟 台 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 36 分 )每 小 题 都 给 出 标 号 为 A、 B、 C、 D 四个 备 选 答 案 ， 其 中 并 且 只 有 一 个 是 正 确 的1.(3分 )-23 的 相 反 数 是 ( )A.-23B. 23C.-32 D. 32解 析 ： -23 的 相 反 数 是 23 .答 案 ： B.2.(3分 )剪 纸 是 我 国 最 古 老 民 间 艺 术 之 一 ， 被 列 入 第 四 批 人 类 非 物 质 文 化 遗 产 代 表 作 名 录 ，下 列
2、 剪 纸 作 品 中 ， 是 中 心 对 称 图 形 但 不 是 轴 对 称 图 形 的 是 ( )A. B.C.D.解 析 ： A、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 .故 错 误 ；B、 是 轴 对 称 图 形 ， 也 是 中 心 对 称 图 形 .故 错 误 ；C、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 也 不 是 中 心 对 称 图 形 .故 错 误 ；D、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 是 中 心 对 称 图 形 .故 正 确 .答 案 ： D. 3.(3分 )如 图 ， 将 一 个 圆 柱 体 放 置 在 长 方 体 上 ， 其 中 圆 柱 体 的 底 面 直
3、 径 与 长 方 体 的 宽 相 平 ，则 该 几 何 体 的 左 视 图 是 ( ) A.B.C.D.解 析 ： 从 左 面 看 易 得 左 视 图 为 ： . 答 案 ： A.4.(3分 )下 列 等 式 不 一 定 成 立 的 是 ( )A. a ab b (b 0)B.a 3 a-5= 21a (a 0)C.a2-4b2=(a+2b)(a-2b)D.(-2a3)2=4a6解 析 ： A、 a ab b (a 0， b 0)， 故 此 选 项 错 误 ， 符 合 题 意 ；B、 a 3 a-5= 21a (a 0)， 正 确 ， 不 合 题 意 ；C、 a2-4b2=(a+2b)(a-2
4、b)， 正 确 ， 不 合 题 意 ；D、 (-2a3)2=4a6， 正 确 ， 不 合 题 意 .答 案 ： A.5.(3分 )丽 华 根 据 演 讲 比 赛 中 九 位 评 委 所 给 的 分 数 作 了 如 下 表 格如 果 去 掉 一 个 最 高 分 和 一 个 最 低 分 ， 则 表 中 数 据 一 定 不 发 生 变 化 的 是 ( )A.平 均 数B.众 数 C.方 差D.中 位 数解 析 ： 去 掉 一 个 最 高 分 和 一 个 最 低 分 对 中 位 数 没 有 影 响 . 答 案 ： D.6.(3分 )如 果 x2-x-1=(x+1)0， 那 么 x 的 值 为 ( )A
5、.2或 -1B.0或 1C.2D.-1解 析 ： x 2-x-1=(x+1)0， x2-x-1=1，即 (x-2)(x+1)=0，解 得 ： x1=2， x2=-1，当 x=-1时 ， x+1=0， 故 x -1.答 案 ： C.7.(3分 )如 图 ， BD 是 菱 形 ABCD的 对 角 线 ， CE AB交 于 点 E， 交 BD于 点 F， 且 点 E 是 AB 中点 ， 则 tan BFE的 值 是 ( ) A. 12B.2C. 33D. 3解 析 ： 四 边 形 ABCD是 菱 形 ， AB=BC， CE AB， 点 E是 AB中 点 ， ABC=60 ， EBF=30 ， BFE
6、=60 ， tan BFE的 值 为 3.答 案 ： D.8.(3分 )如 图 ， 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 2， 其 面 积 标 记 为 S1， 以 CD 为 斜 边 作 等 腰 直 角 三 角 形 ，以 该 等 腰 直 角 三 角 形 的 一 条 直 角 边 为 边 向 外 作 正 方 形 ， 其 面 积 标 记 为 S2， 按 照 此 规 律 继 续下 去 ， 则 S 2015的 值 为 ( ) A.( 22 )2012B.( 22 )2013C.(12 )2012D.(12 ) 2013解 析 ： 根 据 题 意 ： 第 一 个 正 方 形 的 边 长 为 2；第 二 个
7、正 方 形 的 边 长 为 ： 2 22 ；第 三 个 正 方 形 的 边 长 为 ： 22 22 ，第 n 个 正 方 形 的 边 长 是 12 22 n ， 所 以 S2015的 值 是 (12 )2012.答 案 ： C9.(3分 )等 腰 三 角 形 边 长 分 别 为 a， b， 2， 且 a， b是 关 于 x的 一 元 二 次 方 程 x2-6x+n-1=0 的两 根 ， 则 n的 值 为 ( )A.9B.10C.9或 10D.8或 10解 析 ： 三 角 形 是 等 腰 三 角 形 ， a=2， 或 b=2， a=b两 种 情 况 ， 当 a=2， 或 b=2时 ， a， b是
8、 关 于 x的 一 元 二 次 方 程 x2-6x+n-1=0 的 两 根 ， x=2，把 x=2代 入 x2-6x+n-1=0得 ， 22-6 2+n-1=0， 解 得 ： n=9，当 n=9， 方 程 的 两 根 是 2和 4， 而 2， 4， 2 不 能 组 成 三 角 形 ，故 n=9不 合 题 意 ， 当 a=b时 ， 方 程 x2-6x+n-1=0 有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， =(-6)2-4(n-1)=0解 得 ： n=10.答 案 ： B.10.(3分 )A、 B 两 地 相 距 20 千 米 ， 甲 、 乙 两 人 都 从 A地 去 B 地 ， 图 中 l 1和
9、l2分 别 表 示 甲 、乙 两 人 所 走 路 程 s(千 米 )与 时 间 t(小 时 )之 间 的 关 系 ， 下 列 说 法 ： 乙 晚 出 发 1 小 时 ； 乙出 发 3小 时 后 追 上 甲 ； 甲 的 速 度 是 4千 米 /小 时 ； 乙 先 到 达 B地 .其 中 正 确 的 个 数 是 ( )A.1B.2C.3 D.4解 析 ： 由 函 数 图 象 可 知 ， 乙 比 甲 晚 出 发 1 小 时 ， 故 正 确 ；乙 出 发 3-1=2 小 时 后 追 上 甲 ， 故 错 误 ；甲 的 速 度 为 ： 12 3=4(千 米 /小 时 )， 故 正 确 ；乙 的 速 度 为
10、 ： 12 (3-1)=6(千 米 /小 时 )，则 甲 到 达 B地 用 的 时 间 为 ： 20 4=5(小 时 )，乙 到 达 B 地 用 的 时 间 为 ： 20 6= 133 (小 时 )，1 11 3 4 53 3 ， 乙 先 到 达 B 地 ， 故 正 确 ；正 确 的 有 3个 .答 案 ： C. 11.(3分 )如 图 ， 已 知 顶 点 为 (-3， -6)的 抛 物 线 y=ax2+bx+c 经 过 点 (-1， -4)， 则 下 列 结 论 中错 误 的 是 ( ) A.b2 4abB.ax2+bx+c -6C.若 点 (-2， m)， (-5， n)在 抛 物 线 上
11、 ， 则 m nD.关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ax2+bx+c=-4的 两 根 为 -5 和 -1解 析 ： A、 图 象 与 x 轴 有 两 个 交 点 ， 方 程 ax2+bx+c=0有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， b2-4ab 0 所以 b2 4ab， 故 A 选 项 正 确 ；B、 抛 物 线 的 开 口 向 上 ， 函 数 有 最 小 值 ， 因 为 抛 物 线 的 最 小 值 为 -6， 所 以 ax2+bx+c -6， 故B选 项 正 确 ；C、 抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 x=-3， 因 为 -5 离 对 称 轴 的 距 离 大 于 -2
12、离 对 称 轴 的 距 离 ， 所 以 m n， 故 C 选 项 错 误 ；D、 根 据 抛 物 线 的 对 称 性 可 知 ， (-1， -4)关 于 对 称 轴 的 对 称 点 为 (-5， -4)， 所 以 关 于 x 的 一元 二 次 方 程 ax 2+bx+c=-4的 两 根 为 -5 和 -1， 故 D选 项 正 确 .答 案 ： C.12.(3分 )如 图 ， Rt ABC中 C=90 ， BAC=30 ， AB=8， 以 2 3为 边 长 的 正 方 形 DEFG的 一 边 CD 在 直 线 AB上 ， 且 点 D 与 点 A重 合 ， 现 将 正 方 形 DEFG沿 A-B
13、的 方 向 以 每 秒 1 个 单位 的 速 度 匀 速 运 动 ， 当 点 D 与 点 B重 合 时 停 止 ， 则 在 这 个 运 动 过 程 中 ， 正 方 形 DEFG 与 ABC的 重 合 部 分 的 面 积 S与 运 动 时 间 t之 间 的 函 数 关 系 图 象 大 致 是 ( ) A.B.C. D. 解 析 ： 如 图 1， CH 是 AB 边 上 的 高 ， 与 AB 相 交 于 点 H， C=90 ， BAC=30 ， AB=8， AC=AB cos30 =8 3 4 32 ， BC=AB sin30 =8 12 =4， CH=AC BC AB=4 3 4 8=2 3，
14、AH=AC 2 AB=(4 3)2 8=6，(1)当 0 t 2 3时 ，S= 1 3tan302 6t t t2；(2)当 2 3 t 6 时 ， 2 21 1tan30 2 3 2 3 tan302 23 3 4 3 126 62 2 3S t t t t tt t tt (3)当 6 t 8时 ，S=12 (t-2 3) tan30 +2 3 6-(t-2 3)+12 (8-t) tan60 +2 3 (t-6)=1 3 2 3 22 3 t -t+2 3+6+1 3 10 32 t (t-6)=- 36 t 2+2t+4 3- 32 t2+8 3t-30 3=-2 33 t2+ 2 8
15、 3 t -26 3综 上 ， 可 得 2 23 0 2 362 2 32 3 62 3 2 8 3 26 36 83t tS t tt t t ， ， + ， 正 方 形 DEFG 与 ABC的 重 合 部 分 的 面 积 S与 运 动 时 间 t之 间 的 函 数 关 系 图 象 大 致 是 A 图象 .答 案 ： A.二 、 填 空 题 (本 大 题 共 6 个 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 18分 )13.(3分 )如 图 ， 数 轴 上 点 A、 B 所 表 示 的 两 个 数 的 和 的 绝 对 值 是 _.解 析 ： 从 数 轴 上 可 知 ： 表 示 点 A 的
16、数 为 -3， 表 示 点 B的 数 是 2，则 -3+2=-1， |-1|=1.答 案 ： 1.14.(3分 )正 多 边 形 的 一 个 外 角 是 72 ， 则 这 个 多 边 形 的 内 角 和 的 度 数 是 _.解 析 ： 多 边 形 的 边 数 ： 360 72 =5，正 多 边 形 的 内 角 和 的 度 数 是 ： (5-2) 180 =540 .答 案 ： 540 .15.(3分 )如 图 ， 有 四 张 不 透 明 的 卡 片 除 正 面 的 函 数 关 系 式 不 同 外 ， 其 余 相 同 ， 将 它 们 背 面朝 上 洗 匀 后 ， 从 中 抽 取 一 张 卡 片
17、， 则 抽 到 函 数 图 象 不 经 过 第 四 象 限 的 卡 片 的 概 率 为 _.解 析 ： 4张 卡 片 中 只 有 第 2个 经 过 第 四 象 限 ， 取 一 张 卡 片 ， 则 抽 到 函 数 图 象 不 经 过 第 四 象 限 的 卡 片 的 概 率 为 34 .答 案 ： 34 .16.(3分 )如 图 ， 将 弧 长 为 6 ， 圆 心 角 为 120 的 圆 形 纸 片 AOB围 成 圆 锥 形 纸 帽 ， 使 扇 形 的两 条 半 径 OA与 OB 重 合 (粘 连 部 分 忽 略 不 计 )则 圆 锥 形 纸 帽 的 高 是 _.解 析 ： 弧 长 为 6 ， 底
18、 面 半 径 为 6 2 =3， 圆 心 角 为 120 ， 120180R =6 ，解 得 ： R=9， 圆 锥 的 高 为 2 29 3 =6 2 .答 案 ： 6 2.17.(3分 )如 图 ， 矩 形 OABC的 顶 点 A、 C 的 坐 标 分 别 是 (4， 0)和 (0， 2)， 反 比 例 函 数 y=kx (x 0)的 图 象 过 对 角 线 的 交 点 P并 且 与 AB， BC 分 别 交 于 D， E 两 点 ， 连 接 OD， OE， DE， 则 ODE的 面 积 为 _. 解 析 ： 四 边 形 OABC是 矩 形 ， AB=OC， BC=OA， A、 C的 坐 标
19、 分 别 是 (4， 0)和 (0， 2)， OA=4， OB=2， P 是 矩 形 对 角 线 的 交 点 ， P(2， 1)， 反 比 例 函 数 y= kx (x 0)的 图 象 过 对 角 线 的 交 点 P， k=2， 反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 ： y=2x ， D， E两 点 在 反 比 例 函 数 y= kx (x 0)的 图 象 的 图 象 上 ， D(4， 12 )， E(1， 2) S 阴 影 =S 矩 形 -S AOD-S COF-S BDE=4 2-12 2-12 2-12 32 3=154 .答 案 ： 154 .18.(3分 )如 图 ， 直 线 l：
20、 y=-12 x+1与 坐 标 轴 交 于 A， B两 点 ， 点 M(m， 0)是 x 轴 上 一 动 点 ，以 点 M为 圆 心 ， 2 个 单 位 长 度 为 半 径 作 M， 当 M 与 直 线 l 相 切 时 ， 则 m 的 值 为 _. 解 析 ： 在 y=-12 x+1中 ，令 x=0， 则 y=1，令 y=0， 则 x=2， A(0， 1)， B(2， 0)， AB= 5；如 图 ， 设 M 与 AB 相 切 与 C，连 接 MC， 则 MC=2， MC AB， MCB= AOB=90 ， B= B， BMC ABO， =CM BMOA AB ， 即 2=1 5BM ， BM=
21、2 5， OM=2 5-2， 或 OM=2 5+2. m=2-2 5或 m=2+2 5.答 案 ： 2-2 5， 2+2 5. 三 、 解 答 题 (本 大 题 共 7 小 题 ， 满 分 66分 ) 19.(6分 )先 化 简 ： 22 2 12 1 1x xx x x x ， 再 从 -2 x 3 的 范 围 内 选 取 一 个 你 最 喜 欢 的值 代 入 ， 求 值 .解 析 ： 原 式 括 号 中 两 项 通 分 并 利 用 同 分 母 分 式 的 减 法 法 则 计 算 ， 同 时 利 用 除 法 法 则 变 形 ， 约分 得 到 最 简 结 果 ， 把 x的 值 代 入 计 算
22、即 可 求 出 值 .答 案 ： 原 式 = 22 21 1 12 11 1 11 1x x x x x xx x xx x x xx x ，当 x=2时 ， 原 式 =4.20.(8分 )” 切 实 减 轻 学 生 课 业 负 担 ” 是 我 市 作 业 改 革 的 一 项 重 要 举 措 .某 中 学 为 了 解 本 校学 生 平 均 每 天 的 课 外 作 业 时 间 ， 随 机 抽 取 部 分 学 生 进 行 问 卷 调 查 ， 并 将 调 查 结 果 分 为 A、 B、C、 D 四 个 等 级 ， A： 1小 时 以 内 ； B： 1 小 时 -1.5小 时 ； C： 1.5 小 时
23、 -2小 时 ； D： 2 小 时 以 上 .根 据 调 查 结 果 绘 制 了 如 图 所 示 的 两 种 不 完 整 的 统 计 图 ， 请 根 据 图 中 信 息 解 答 下 列 问 题 ：(1)该 校 共 调 查 了 _学 生 ；(2)请 将 条 形 统 计 图 补 充 完 整 ；(3)表 示 等 级 A 的 扇 形 圆 心 角 的 度 数 是 _； (4)在 此 次 调 查 问 卷 中 ， 甲 、 乙 两 班 各 有 2 人 平 均 每 天 课 外 作 业 量 都 是 2 小 时 以 上 ， 从 这 4人 中 人 选 2人 去 参 加 座 谈 ， 用 列 表 法 或 画 树 状 图
24、的 方 法 求 选 出 的 2人 来 自 不 同 班 级 的 概 率 .解 析 ： (1)根 据 B 类 的 人 数 和 所 占 的 百 分 比 即 可 求 出 总 数 ；(2)求 出 C 的 人 数 从 而 补 全 统 计 图 ；(3)用 A 的 人 数 除 以 总 人 数 再 乘 以 360 ， 即 可 得 到 圆 心 角 的 度 数 ；(4)先 设 甲 班 学 生 为 A1， A2， 乙 班 学 生 为 B1， B2， 根 据 题 意 画 出 树 形 图 ， 再 根 据 概 率 公 式 列 式计 算 即 可 .答 案 ： (1)共 调 查 的 中 学 生 数 是 ： 80 40%=200
25、(人 )，故 答 案 为 ： 200；(2)C类 的 人 数 是 ： 200-60-80-20=40(人 )，补 图 如 下 ： (3)根 据 题 意 得 ： = 60200 360 =108 ，故 答 案 为 ： 108 ；(4)设 甲 班 学 生 为 A1， A2， 乙 班 学 生 为 B1， B2，一 共 有 12 种 等 可 能 结 果 ， 其 中 2 人 来 自 不 同 班 级 共 有 8 种 ， P(2人 来 自 不 同 班 级 )= 8 212 3 . 21.(8分 )2014 年 12月 28日 “ 青 烟 威 荣 ” 城 际 铁 路 正 式 开 通 ， 从 烟 台 到 北 京
26、 的 高 铁 里 程 比普 快 里 程 缩 短 了 81千 米 ， 运 行 时 间 减 少 了 9小 时 ， 已 知 烟 台 到 北 京 的 普 快 列 车 里 程 约 为 1026千 米 ， 高 铁 平 均 时 速 为 普 快 平 均 时 速 的 2.5倍 .(1)求 高 铁 列 车 的 平 均 时 速 ；(2)某 日 王 老 师 要 去 距 离 烟 台 大 约 630 千 米 的 某 市 参 加 14： 00 召 开 的 会 议 ， 如 果 他 买 到 当 日8： 40 从 烟 台 至 城 市 的 高 铁 票 ， 而 且 从 该 市 火 车 站 到 会 议 地 点 最 多 需 要 1.5小
27、 时 ， 试 问 在 高铁 列 车 准 点 到 达 的 情 况 下 他 能 在 开 会 之 前 到 达 吗 ？解 析 ： (1)设 普 快 的 平 均 时 速 为 x 千 米 /小 时 ， 高 铁 列 车 的 平 均 时 速 为 2.5千 米 /小 时 ， 根 据题 意 可 得 ， 高 铁 走 (1026-81)千 米 比 普 快 走 1026千 米 时 间 减 少 了 9小 时 ， 据 此 列 方 程 求 解 ；(2)求 出 王 老 师 所 用 的 时 间 ， 然 后 进 行 判 断 .答 案 ： (1)设 普 快 的 平 均 时 速 为 x 千 米 /小 时 ， 高 铁 列 车 的 平 均
28、 时 速 为 2.5x 千 米 /小 时 ，由 题 意 得 ， 1026 1026 81 92.5x x ， 解 得 ： x=72，经 检 验 ， x=72是 原 分 式 方 程 的 解 ， 且 符 合 题 意 ，则 2.5x=180，答 ： 高 铁 列 车 的 平 均 时 速 为 180千 米 /小 时 ；(2)630 180=3.5，则 坐 车 共 需 要 3.5+1.5=5(小 时 )， 王 老 师 到 达 会 议 地 点 的 时 间 为 1 点 40.故 他 能 在 开 会 之 前 到 达 .22.(9分 )如 图 1， 滨 海 广 场 装 有 风 能 、 太 阳 能 发 电 的 风
29、光 互 补 环 保 路 灯 ， 灯 杆 顶 端 装 有 风 力发 电 机 ， 中 间 装 有 太 阳 能 板 ， 下 端 装 有 路 灯 .该 系 统 工 作 过 程 中 某 一 时 刻 的 截 面 图 如 图 2，已 知 太 阳 能 板 的 支 架 BC 垂 直 于 灯 杆 OF， 路 灯 顶 端 E 距 离 地 面 6米 ， DE=1.8 米 ， CDE=60 .且 根 据 我 市 的 地 理 位 置 设 定 太 阳 能 板 AB的 倾 斜 角 为 43 .AB=1.5 米 ， CD=1米 ， 为 保 证 长 为1米 的 风 力 发 电 机 叶 片 无 障 碍 安 全 旋 转 ， 对 叶
30、片 与 太 阳 能 板 顶 端 A的 最 近 距 离 不 得 少 于 0.5米 ， 求 灯 杆 OF 至 少 要 多 高 ？ (利 用 科 学 计 算 器 可 求 得 sin43 0.6820， cos43 0.7314，tan43 0.9325， 结 果 保 留 两 位 小 数 ) 解 析 ： 过 E 作 EG 地 面 于 G， 过 D 作 DH EG 于 H， 在 Rt ABC中 ， 求 得AC=AB cos CAB=1.5 0.7314 1.1， 由 CDE=60 ， 得 到 EH=12 DE=0.9， 得 出DF=GH=EG-EH=6-0.9=5.1， 于 是 OF=1+0.5+1.1
31、0+1+5.1=8.70m.答 案 ： 过 E作 EG 地 面 于 G， 过 D作 DH EG于 H， DF=HG，在 Rt ABC中 ， AC=AB cos CAB=1.5 cos(90 - CBA)=1.5 sin CBA=1.5 0.6820 1， CDE=60 ， EDH=30 ， EH=12 DE=0.9， DF=GH=EG-EH=6-0.9=5.1， OF=OA+AC+CD+DF=0.5+1+1+5.1=7.6m.答 ： 灯 杆 OF至 少 要 7.6m. 23.(9分 )如 图 ， 以 ABC的 一 边 AB为 直 径 的 半 圆 与 其 它 两 边 AC， BC 的 交 点 分
32、 别 为 D、 E，且 .(1)试 判 断 ABC的 形 状 ， 并 说 明 理 由 .(2)已 知 半 圆 的 半 径 为 5， BC=12， 求 sin ABD的 值 . 解 析 ： (1)连 结 AE， 如 图 ， 根 据 圆 周 角 定 理 ， 由 得 DAE= BAE， 由 AB为 直 径 得 AEB=90 ， 根 据 等 腰 三 角 形 的 判 定 方 法 即 可 得 ABC为 等 腰 三 角 形 ；(2)由 等 腰 三 角 形 的 性 质 得 BE=CE=12 BC=6， 再 在 Rt ABE中 利 用 勾 股 定 理 计 算 出 AE=8， 接着 由 AB 为 直 径 得 到
33、ADB=90 ， 则 可 利 用 面 积 法 计 算 出 BD=485 ， 然 后 在 Rt ABD 中 利 用 勾股 定 理 计 算 出 AD=145 ， 再 根 据 正 弦 的 定 义 求 解 .答 案 ： (1) ABC为 等 腰 三 角 形 .理 由 如 下 ：连 结 AE， 如 图 ， ， DAE= BAE， 即 AE 平 分 BAC， AB 为 直 径 ， AEB=90 ， AE BC， ABC为 等 腰 三 角 形 ；(2) ABC为 等 腰 三 角 形 ， AE BC， BE=CE=12 BC=12 12=6，在 Rt ABE中 ， AB=10， BE=6， AE= 2 210
34、 6 =8， AB 为 直 径 ， ADB=90 ， 12 AE BC=12 BD AC， BD=8 12 4810 5 ，在 Rt ABD中 ， AB=10， BD=485 ， AD= 2 2 145AB BD ， sin ABD= 14 75= =10 25ADAB . 24.(12分 )如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 抛 物 线 y=ax2+bx+c 与 M相 交 于 A、 B、 C、 D 四 点 ，其 中 A、 B 两 点 的 坐 标 分 别 为 (-1， 0)， (0， -2)， 点 D 在 x 轴 上 且 AD 为 M的 直 径 .点 E 是 M 与 y 轴 的
35、 另 一 个 交 点 ， 过 劣 弧 上 的 点 F作 FH AD于 点 H， 且 FH=1.5(1)求 点 D 的 坐 标 及 该 抛 物 线 的 表 达 式 ； (2)若 点 P 是 x 轴 上 的 一 个 动 点 ， 试 求 出 PEF的 周 长 最 小 时 点 P 的 坐 标 ；(3)在 抛 物 线 的 对 称 轴 上 是 否 存 在 点 Q， 使 QCM 是 等 腰 三 角 形 ？ 如 果 存 在 ， 请 直 接 写 出 点 Q的 坐 标 ； 如 果 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)首 先 根 据 圆 的 轴 对 称 性 求 出 点 D 的 坐 标 ， 将 A
36、、 B、 D 三 点 代 入 ， 即 可 求 出 本 题 的答 案 ；(2)由 于 点 E 与 点 B 关 于 x 轴 对 称 ， 所 以 ， 连 接 BF， 直 线 BF 与 x 轴 的 交 点 ， 即 为 点 P， 据此 即 可 得 解 ；(3)从 CM=MQ， CM=CQ， MQ=CQ 三 个 方 面 进 行 分 析 ， 据 此 即 可 得 解 .答 案 ： (1)连 接 BD， AD 是 M的 直 径 ， ABD=90 AOB ABD， AO ABAB AD ， 在 Rt AOB中 ， AO=1， BO=2，根 据 勾 股 定 理 得 ： AB= 5， 1 55 AD ， AD=5，
37、DO=AD-AO=5-1=4， D(4， 0)，把 点 A(-1， 0)、 B(0， -2)、 D(4， 0)代 入 y=ax2+bx+c可 得 ：216 4 00c a b ca b c ， 解 得 ： 12322abc ， 抛 物 线 表 达 式 为 ： 21 3 22 2y x x ；(2)连 接 FM， 在 Rt FHM中 ， FM=52 ， FH=32 ， MH= 2 25 3 22 2 ，OM=AM-OA=52 -1=32 ， OH=OM+MH=32 +2=72 ， F(72 ， 32 )，设 直 线 BF 的 解 析 式 为 y=kx+b，则 ： 7 32 22k bb ， 直
38、线 BF 的 解 析 式 为 ： y=x-2，连 接 BF交 x 轴 于 点 P， 点 E与 点 B 关 于 x轴 对 称 ， 点 P即 为 所 求 ，当 y=0时 ， x=2， P(2， 0)；(3)如 图 ， CM=52 抛 物 线 21 3 22 2y x x 的 对 称 轴 为 直 线 x=32 ， OM=32 ， 点 M 在 直 线 x=32 上 ，根 据 圆 的 对 称 性 可 知 ， 点 C 与 点 B关 于 直 线 x=32 对 称 ， 点 C(3， -2)， 当 CM=MQ=52 时 ， 点 Q可 能 在 x轴 上 方 ， 也 可 能 在 x 轴 下 方 ， Q 1(32 ，
39、 52 )， Q2(32 ， -52 )， 当 CM=CQ时 ， 过 点 C 作 CN MQ， MN=NQ=2， MQ=4， Q3(32 ， -4)， 当 CQ4=MQ4时 ， 过 点 C作 CR MQ， Q4V CM，则 ： MV=CV=54 ， Q4V= 24 2516MQ ，Rt CRM Rt Q4VM， 244 25165 32 2MQMQ ，解 得 ： MQ 4=2516 ， Q4(32 ， -2516 )综 上 可 知 ， 存 在 四 个 点 ， 即 ：Q1(32 ， 52 )， Q2(32 ， -52 )， Q3(32 ， -4)， Q4(32 ， -2516 ).25.(14分
40、 )【 问 题 提 出 】如 图 ， 已 知 ABC是 等 腰 三 角 形 ， 点 E在 线 段 AB上 ， 点 D 在 直 线 BC 上 ， 且 ED=EC， 将 BCE绕 点 C顺 时 针 旋 转 60 至 ACF连 接 EF试 证 明 ： AB=DB+AF 【 类 比 探 究 】(1)如 图 ， 如 果 点 E 在 线 段 AB 的 延 长 线 上 ， 其 他 条 件 不 变 ， 线 段 AB， DB， AF 之 间 又 有 怎样 的 数 量 关 系 ？ 请 说 明 理 由(2)如 果 点 E 在 线 段 BA 的 延 长 线 上 ， 其 他 条 件 不 变 ， 请 在 图 的 基 础
41、上 将 图 形 补 充 完 整 ， 并写 出 AB， DB， AF之 间 的 数 量 关 系 ， 不 必 说 明 理 由 .解 析 ： 首 先 判 断 出 CEF是 等 边 三 角 形 ， 即 可 判 断 出 EF=EC， 再 根 据 ED=EC， 可 得 ED=EF， CAF= BAC=60 ， 所 以 EAF= BAC+ CAF=120 ， DBE=120 ， EAF= DBE； 然 后 根据 全 等 三 角 形 判 定 的 方 法 ， 判 断 出 EDB FEA， 即 可 判 断 出 BD=AE， AB=AE+BF， 所 以AB=DB+AF.(1)首 先 判 断 出 CEF是 等 边 三
42、 角 形 ， 即 可 判 断 出 EF=EC， 再 根 据 ED=EC， 可 得 ED=EF， CAF= BAC=60 ， 所 以 EFC= FGC+ FCG， BAC= FGC+ FEA， FCG= FEA， 再 根 据 FCG= EAD， D= EAD， 可 得 D= FEA； 然 后 根 据 全 等 三 角 形 判 定 的 方 法 ， 判 断 出 EDB FEA， 即 可 判 断 出 BD=AE， EB=AF， 进 而 判 断 出 AB=BD+AF即 可 . (2)首 先 根 据 点 E 在 线 段 BA的 延 长 线 上 ， 在 图 的 基 础 上 将 图 形 补 充 完 整 ， 然
43、后 判 断 出 CEF是 等 边 三 角 形 ， 即 可 判 断 出 EF=EC， 再 根 据 ED=EC， 可 得 ED=EF， CAF= BAC=60 ， 再 判 断 出 DBE= EAF， BDE= AEF； 最 后 根 据 全 等 三 角 形 判 定 的 方 法 ， 判 断 出 EDB FEA，即 可 判 断 出 BD=AE， EB=AF， 进 而 判 断 出 AF=AB+BD即 可 .答 案 ： ED=EC=CF， BCE绕 点 C顺 时 针 旋 转 60 至 ACF， ECF=60 ， BE=AF， EC=CF， CEF是 等 边 三 角 形 ， EF=EC，又 ED=EC， ED
44、=EF， CAF= BAC=60 ， EAF= BAC+ CAF=120 ， DBE=120 ， EAF= DBE， A、 E、 C、 F 四 点 共 圆 ， AEF= ACF，又 ED=EC， D= BCE， BCE= ACF， D= AEF，在 EDB和 FEA中 ，DBE EAFD AEFED EF (AAS) EDB FEA， BD=AE， AB=AE+BF， AB=DB+AF.(1)AB=BD+AF；延 长 EF、 CA交 于 点 G， BCE绕 点 C顺 时 针 旋 转 60 至 ACF， ECF=60 ， BE=AF， EC=CF， CEF是 等 边 三 角 形 ， EF=EC，
45、又 ED=EC， ED=EF， EFC= BAC=60 ， EFC= FGC+ FCG， BAC= FGC+ FEA， FCG= FEA，又 FCG= ECD， D= ECD， D= FEA，由 旋 转 的 性 质 ， 可 得 CBE= CAF=120 ， DBE= FAE=60 ，在 EDB和 FEA中 ，DBE EAFD AEFED EF (AAS) EDB FEA， BD=AE， EB=AF， BD=FA+AB，即 AB=BD-AF.(2)如 图 ， ED=EC=CF， BCE绕 点 C顺 时 针 旋 转 60 至 ACF， ECF=60 ， BE=AF， EC=CF， BC=AC， C
46、EF是 等 边 三 角 形 ， EF=EC，又 ED=EC， ED=EF， AB=AC， BC=AC， ABC是 等 边 三 角 形 ， ABC=60 ，又 CBE= CAF， CAF=60 ， EAF=180 - CAF- BAC =180 -60 -60=60 DBE= EAF； ED=EC， ECD= EDC， BDE= ECD+ DEC= EDC+ DEC，又 EDC= EBC+ BED， BDE= EBC+ BED+ DEC=60 + BEC， AEF= CEF+ BEC=60 + BEC， BDE= AEF，在 EDB和 FEA中 ，DBE EAFBDE AEFED EF (AAS) EDB FEA， BD=AE， EB=AF， BE=AB+AE， AF=AB+BD，即 AB， DB， AF 之 间 的 数 量 关 系 是 ：AF=AB+BD.
