1、2015年 山 东 省 济 南 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (共 15小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 45 分 ， 每 小 题 只 有 一 个 选 项 符 合 题 意 )1.(3分 )-6的 绝 对 值 是 ( )A.6B.-6C. 6D. 16解 析 ： -6 的 绝 对 值 是 6.答 案 ： A.2.(3分 )新 亚 欧 大 陆 桥 东 起 太 平 洋 西 岸 中 国 连 云 港 ， 西 达 大 西 洋 东 岸 荷 兰 鹿 特 丹 等 港 口 ， 横 贯 亚 欧 两 大 洲 中 部 地 带 ， 总 长 约 为 10900 公 里 ， 10900 用 科 学
2、记 数 法 表 示 为 ( )A.0.109 105B.1.09 104C.1.09 103D.109 102解 析 ： 将 10900用 科 学 记 数 法 表 示 为 ： 1.09 104.答 案 ： B.3.(3分 )如 图 ， OA OB， 1=35 ， 则 2 的 度 数 是 ( ) A.35B.45C.55D.70解 析 ： OA OB， AOB=90 ，即 2+ 1=90 ， 2=55 .答 案 ： C.4.(3分 )下 列 运 算 不 正 确 的 是 ( )A.a 2 a=a3B.(a3)2=a6C.(2a2)2=4a4D.a2 a2=a解 析 ： A、 a2 a=a2+1=a
3、3， 故 本 选 项 错 误 ；B、 (a3)2=a3 2=a6， 故 本 选 项 错 误 ；C、 (2a2)2=22 (a2)2=4a4， 故 本 选 项 错 误 ； D、 应 为 a2 a2=a2-2=a0=1， 故 本 选 项 正 确 .答 案 ： D.5.(3分 )如 图 ， 一 个 几 何 体 是 由 两 个 小 正 方 体 和 一 个 圆 锥 构 成 ， 其 主 视 图 是 ( ) A.B.C.D. 解 析 ： 从 正 面 看 第 一 层 两 个 小 正 方 形 ， 第 二 层 右 边 一 个 三 角 形 .答 案 ： B.6.(3分 )若 代 数 式 4x-5与 2 12x 的
4、值 相 等 ， 则 x的 值 是 ( )A.1B. 32C. 23D.2解 析 ： 根 据 题 意 得 ： 4x-5=2 12x ， 去 分 母 得 ： 8x-10=2x-1，解 得 ： x=32 .答 案 ： B.7.(3分 )下 列 图 标 既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心 对 称 图 形 的 是 ( ) A.B.C.D.解 析 ： A、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ； B、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；C、 既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心 对 称
5、 图 形 ， 故 本 选 项 正 确 ；D、 既 不 是 轴 对 称 图 形 ， 也 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 .答 案 ： C.8.(3分 )济 南 某 中 学 足 球 队 的 18 名 队 员 的 年 龄 如 表 所 示 ：这 18 名 队 员 年 龄 的 众 数 和 中 位 数 分 别 是 ( )A.13岁 ， 14 岁B.14岁 ， 14 岁C.14岁 ， 13 岁 D.14岁 ， 15 岁解 析 ： 济 南 某 中 学 足 球 队 的 18 名 队 员 中 ， 14岁 的 最 多 ， 有 6 人 ， 这 18名 队 员 年 龄 的 众 数 是 14
6、岁 ； 18 2=9， 第 9 名 和 第 10 名 的 成 绩 是 中 间 两 个 数 ， 这 组 数 据 的 中 间 两 个 数 分 别 是 14岁 、 14岁 ， 这 18名 队 员 年 龄 的 中 位 数 是 ：(14+14) 2=28 2=14(岁 )综 上 ， 可 得这 18 名 队 员 年 龄 的 众 数 是 14岁 ， 中 位 数 是 14 岁 .答 案 ： B. 9.(3分 )如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， ABC的 顶 点 都 在 方 格 纸 的 格 点 上 ， 如 果 将 ABC先向 右 平 移 4个 单 位 长 度 ， 再 向 下 平 移 1个 单
7、位 长 度 ， 得 到 A1B1C1， 那 么 点 A的 对 应 点 A1的坐 标 为 ( ) A.(4， 3)B.(2， 4)C.(3， 1)D.(2， 5)解 析 ： 由 坐 标 系 可 得 A(-2， 6)， 将 ABC先 向 右 平 移 4个 单 位 长 度 ， 在 向 下 平 移 1 个 单 位 长度 ， 点 A 的 对 应 点 A1的 坐 标 为 (-2+4， 6-1)， 即 (2， 5).答 案 ： D.10.(3分 )化 简 2 93 3mm m 的 结 果 是 ( )A.m+3B.m-3 C. 33mmD. 33mm解 析 ： 原 式 = 2 3 39 33 3m mm mm
8、 m .答 案 ： A.11.(3分 )如 图 ， 一 次 函 数 y 1=x+b与 一 次 函 数 y2=kx+4 的 图 象 交 于 点 P(1， 3)， 则 关 于 x 的 不等 式 x+b kx+4的 解 集 是 ( )A.x -2B.x 0 C.x 1D.x 1解 析 ： 当 x 1 时 ， x+b kx+4，即 不 等 式 x+b kx+4的 解 集 为 x 1.答 案 ： C.12.(3分 )将 一 块 正 方 形 铁 皮 的 四 角 各 剪 去 一 个 边 长 为 3cm的 小 正 方 形 ， 做 成 一 个 无 盖 的 盒子 ， 已 知 盒 子 的 容 积 为 300cm 3
9、， 则 原 铁 皮 的 边 长 为 ( )A.10cmB.13cmC.14cmD.16cm解 析 ： 正 方 形 铁 皮 的 边 长 应 是 x厘 米 ， 则 没 有 盖 的 长 方 体 盒 子 的 长 、 宽 为 (x-3 2)厘 米 ， 高为 3 厘 米 ， 根 据 题 意 列 方 程 得 ，(x-3 2)(x-3 2) 3=300，解 得 x 1=16， x2=-4(不 合 题 意 ， 舍 去 )；答 ： 正 方 形 铁 皮 的 边 长 应 是 16厘 米 .答 案 ： D.13.(3分 )如 图 ， 正 方 形 ABCD的 对 角 线 AC 与 BD相 交 于 点 O， ACB的 角
10、平 分 线 分 别 交 AB、BD于 M、 N两 点 .若 AM=2， 则 线 段 ON 的 长 为 ( ) A. 22B. 32C.1D. 62解 析 ： 作 MH AC于 H， 如 图 ， 四 边 形 ABCD 为 正 方 形 ， MAH=45 ， AMH为 等 腰 直 角 三 角 形 ， AH=MH= 22 AM= 22 2= 2， CM 平 分 ACB， BM=MH= 2， AB=2+ 2， AC= 2AB= 2(2+ 2)=2 2+2， OC=12 AC= 2+1， CH=AC-AH=2 2+2- 2=2+ 2， BD AC， ON MH， CON CHM， ON OCMH CH ，
11、 即 2 12 2 2ON ， ON=1.答 案 ： C.14.(3分 )在 平 面 直 角 坐 标 系 中 有 三 个 点 A(1， -1)、 B(-1， -1)、 C(0， 1)， 点 P(0， 2)关 于 A的 对 称 点 为 P 1， P1关 于 B 的 对 称 点 P2， P2关 于 C的 对 称 点 为 P3， 按 此 规 律 继 续 以 A、 B、 C 为对 称 中 心 重 复 前 面 的 操 作 ， 依 次 得 到 P4， P5， P6， ， 则 点 P2015的 坐 标 是 ( )A.(0， 0)B.(0， 2)C.(2， -4)D.(-4， 2)解 析 ： 设 P1(x，
12、y)， 点 A(1， -1)、 B(-1， -1)、 C(0， 1)， 点 P(0， 2)关 于 A的 对 称 点 为 P 1， P1关 于 B 的 对 称 点P2， 2x =1， 22y =-1， 解 得 x=2， y=-4， P1(2， -4). 同 理 可 得 ， P1(2， -4)， P2(-4， 2)， P3(4， 0)， P4(-2， -2)， P5(0， 0)， P6(0， 2)， P7(2， -4)， ， ， 每 6个 数 循 环 一 次 . 20156 =335 5， 点 P2015的 坐 标 是 (0， 0).答 案 ： A.15.(3分 )如 图 ， 抛 物 线 y=-2
13、x 2+8x-6 与 x 轴 交 于 点 A、 B， 把 抛 物 线 在 x轴 及 其 上 方 的 部 分记 作 C1， 将 C1向 右 平 移 得 C2， C2与 x 轴 交 于 点 B， D.若 直 线 y=x+m 与 C1、 C2共 有 3 个 不 同 的交 点 ， 则 m的 取 值 范 围 是 ( )A.-2 m 18B.-3 m -74 C.-3 m -2D.-3 m -158解 析 ： 令 y=-2x2+8x-6=0，即 x2-4x+3=0，解 得 x=1或 3，则 点 A(1， 0)， B(3， 0)，由 于 将 C 1向 右 平 移 2 个 长 度 单 位 得 C2，则 C2解
14、 析 式 为 y=-2(x-4)2+2(3 x 5)，当 y=x+m1与 C2相 切 时 ，令 y=x+m1=y=-2(x-4)2+2，即 2x2-15x+30+m1=0， =-8m1-15=0，解 得 m 1=-158 ，当 y=x+m2过 点 B 时 ，即 0=3+m2，m2=-3，当 -3 m -158 时 直 线 y=x+m 与 C1、 C2共 有 3个 不 同 的 交 点 . 答 案 ： D.二 、 填 空 题 (共 6 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 18分 )16.(3分 )分 解 因 式 ： xy+x=_.解 析 ： 直 接 提 取 公 因 式 x， 进 而 分 解
15、 因 式 得 出 即 可 .答 案 ： x(y+1).17.(3分 )计 算 ： 4+(-3) 0=_.解 析 ： 原 式 =2+1=3.答 案 ： 3.18.(3分 )如 图 ， PA是 O 的 切 线 ， A 是 切 点 ， PA=4， OP=5， 则 O 的 周 长 为 _(结 果 保 留 ).解 析 ： 连 接 OA， PA 是 O的 切 线 ， A 是 切 点 ， OAP=90 ，在 Rt OAP中 ， OAP=90 ， PA=4， OP=5， 由 勾 股 定 理 得 ： OA=3，则 O的 周 长 为 2 3=6 .答 案 ： 6 . 19.(3分 )小 球 在 如 图 所 示 的
16、 地 板 上 自 由 滚 动 ， 并 随 机 地 停 留 在 某 块 方 砖 上 ， 每 一 块 方 砖 除颜 色 外 完 全 相 同 ， 它 最 终 停 留 在 黑 色 方 砖 上 的 概 率 是 _.解 析 ： 观 察 这 个 图 可 知 ： 黑 色 区 域 (4 块 )的 面 积 占 总 面 积 (9 块 )的 49 ，则 它 最 终 停 留 在 黑 色 方 砖 上 的 概 率 是 49 .答 案 ： 49 . 20.(3分 )如 图 ， 等 边 三 角 形 AOB的 顶 点 A 的 坐 标 为 (-4， 0)， 顶 点 B 在 反 比 例 函 数 y= kx (x 0)的 图 象 上
17、， 则 k=_.解 析 ： 过 点 B 作 BD x 轴 于 点 D， AOB是 等 边 三 角 形 ， 点 A的 坐 标 为 (-4， 0)， AOB=60 ， OB=OA=AB=4， OD=12 OB=2， BD=OB sin60 = 34 2 32 ， B(-2， 2 3)， k=-2 2 3=-4 3.答 案 ： -4 3.21.(3分 )如 图 ， 在 菱 形 ABCD中 ， AB=6， DAB=60 ， AE分 别 交 BC、 BD于 点 E、 F， CE=2，连 接 CF， 以 下 结 论 ： ABF CBF； 点 E 到 AB的 距 离 是 2 3； tan DCF=3 37
18、； ABF的 面 积 为 12 35 .其 中 一 定 成 立 的 是 _(把 所 有 正 确 结 论 的 序 号 都 填 在 横 线上 ). 解 析 ： 菱 形 ABCD， AB=BC=6， DAB=60 ， AB=AD=DB， ABD= DBC=60 ，在 ABF与 CBF中 ，AB BCABF FBCBF BF ， ABF CBF(SAS)， 正 确 ；过 点 E作 EG AB， 过 点 F作 MH CD， MH AB， 如 图 ： CE=2， BC=6， ABC=120 ， BE=6-2=4， EG AB， EG=2 3， 点 E到 AB的 距 离 是 2 3，故 正 确 ； BE=4
19、， EC=2， S BFE： S FEC=4： 2=2： 1， S ABF： S FBE=3： 2， ABF的 面 积 为 =3 3 1 18 3= 6 2 3=5 5 2 5ABES ，故 错 误 ； 1= 6 3 3=9 32ADBS ， 18 3 27 3= 9 3 5 5DFC ADB ABFS S S ， 1 27 3= 6 =2 5DFCS FM ， FM=9 35 ， DM= 9 3 95 53 3MF ， CM=DC-DM=6-9 215 5 ， tan DCF= 9 3 3 3521 75MFCM ，故 正 确 .答 案 ： 三 、 解 答 题 (共 7 小 题 ， 满 分
20、57分 )22.(7分 )(1)化 简 ： (x+2) 2+x(x+3)(2)解 不 等 式 组 ： 2 1 32 2 1x x x .解 析 ： (1)利 用 完 全 平 方 公 式 以 及 单 项 式 乘 以 多 项 式 运 算 法 则 化 简 求 出 即 可 ；(2)分 别 解 不 等 式 ， 进 而 得 出 其 解 集 即 可 .答 案 ： (1)(x+2)2+x(x+3)=x 2+4x+4+x2+3x=2x2+7x+4；(2) 2 1 32 2 1x x x ，解 得 ： x 2，解 得 ： x -1，故 不 等 式 组 的 解 为 ： x 2.23.(7分 ) (1)如 图 ， 在
21、 矩 形 ABCD中 ， BF=CE， 求 证 ： AE=DF；(2)如 图 ， 在 圆 内 接 四 边 形 ABCD中 ， O为 圆 心 ， BOD=160 ， 求 BCD的 度 数 .解 析 ： (1)根 据 矩 形 的 性 质 得 出 AB=CD， B= C=90 ， 求 出 BE=CF， 根 据 SAS推 出 ABE DCF即 可 ；(2)根 据 圆 周 角 定 理 求 出 BAD， 根 据 圆 内 接 四 边 形 性 质 得 出 BCD+ BAD=180 ， 即 可 求 出答 案 .答 案 ： (1)证 明 ： 四 边 形 ABCD是 矩 形 ， AB=CD， B= C=90 ， B
22、F=CE， BE=CF，在 ABE和 DCF中AB CDB CBE CF ABE DCF， AE=DF；(2)解 ： BOD=160 ， BAD=12 BOD=80 ， A、 B、 C、 D 四 点 共 圆 ， BCD+ BAD=180 ， BCD=100 .24.(8分 )济 南 与 北 京 两 地 相 距 480km， 乘 坐 高 铁 列 车 比 乘 坐 普 通 快 车 能 提 前 4h 到 达 ， 已 知高 铁 列 车 的 平 均 行 驶 速 度 是 普 通 快 车 的 3 倍 ， 求 高 铁 列 车 的 平 均 行 驶 速 度 .解 析 ： 首 先 设 普 通 快 车 的 速 度 为
23、xkm/时 ， 则 高 铁 列 车 的 平 均 行 驶 速 度 是 3xkm/时 ， 根 据 题 意可 得 等 量 关 系 ： 乘 坐 普 通 快 车 所 用 时 间 -乘 坐 高 铁 列 车 所 用 时 间 =4h， 根 据 等 量 关 系 列 出 方 程 ， 再 解 即 可 .答 案 ： 设 普 通 快 车 的 速 度 为 xkm/时 ， 由 题 意 得 ：480 480 43x x ，解 得 ： x=80，经 检 验 ： x=80是 原 分 式 方 程 的 解 ，3x=3 80=240，答 ： 高 铁 列 车 的 平 均 行 驶 速 度 是 240km/时 .25.(8分 )八 年 级
24、一 班 开 展 了 “ 读 一 本 好 书 ” 的 活 动 ， 班 委 会 对 学 生 阅 读 书 籍 的 情 况 进 行 了问 卷 调 查 ， 问 卷 设 置 了 “ 小 说 ” 、 “ 戏 剧 ” 、 “ 散 文 ” 、 “ 其 他 ” 四 个 类 别 ， 每 位 同 学 仅 选一 项 ， 根 据 调 查 结 果 绘 制 了 不 完 整 的 频 数 分 布 表 和 扇 形 统 计 图 .根 据 图 表 提 供 的 信 息 ， 回 答下 列 问 题 ： (1)计 算 m=_；(2)在 扇 形 统 计 图 中 ， “ 其 他 ” 类 所 占 的 百 分 比 为 _；(3)在 调 查 问 卷 中
25、 ， 甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 位 同 学 选 择 了 “ 戏 剧 ” 类 ， 现 从 中 任 意 选 出 2 名 同 学参 加 学 校 的 戏 剧 社 团 ， 请 用 画 树 状 图 或 列 表 的 方 法 ， 求 选 取 的 2 人 恰 好 是 乙 和 丙 的 概 率 .解 析 ： (1)用 散 文 的 频 数 除 以 其 频 率 即 可 求 得 样 本 总 数 ；(2)根 据 其 他 类 的 频 数 和 总 人 数 求 得 其 百 分 比 即 可 ；(3)画 树 状 图 得 出 所 有 等 可 能 的 情 况 数 ， 找 出 恰 好 是 丙 与 乙 的 情 况 ， 即 可 确 定
26、出 所 求 概 率 .答 案 ： (1) 喜 欢 散 文 的 有 10人 ， 频 率 为 0.25， m=10 0.25=40；(2)在 扇 形 统 计 图 中 ， “ 其 他 ” 类 所 占 的 百 分 比 为 640 100%=15%，故 答 案 为 ： 15%；(3)画 树 状 图 ， 如 图 所 示 ： 所 有 等 可 能 的 情 况 有 12 种 ， 其 中 恰 好 是 丙 与 乙 的 情 况 有 2 种 ， P(丙 和 乙 )= 2 112 6 .26.(9分 )如 图 1， 点 A(8， 1)、 B(n， 8)都 在 反 比 例 函 数 y= x (x 0)的 图 象 上 ， 过
27、 点 A 作AC x轴 于 C， 过 点 B 作 BD y 轴 于 D. (1)求 m 的 值 和 直 线 AB 的 函 数 关 系 式 ；(2)动 点 P 从 O 点 出 发 ， 以 每 秒 2 个 单 位 长 度 的 速 度 沿 折 线 OD-DB 向 B 点 运 动 ， 同 时 动 点 Q从 O 点 出 发 ， 以 每 秒 1 个 单 位 长 度 的 速 度 沿 折 线 OC 向 C 点 运 动 ， 当 动 点 P 运 动 到 D 时 ， 点Q也 停 止 运 动 ， 设 运 动 的 时 间 为 t秒 . 设 OPQ的 面 积 为 S， 写 出 S 与 t 的 函 数 关 系 式 ； 如
28、图 2， 当 的 P 在 线 段 OD 上 运 动 时 ， 如 果 作 OPQ关 于 直 线 PQ的 对 称 图 形 O PQ， 是 否存 在 某 时 刻 t， 使 得 点 O 恰 好 落 在 反 比 例 函 数 的 图 象 上 ？ 若 存 在 ， 求 O 的 坐 标 和 t 的 值 ；若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)由 于 点 A(8， 1)、 B(n， 8)都 在 反 比 例 函 数 y= x 的 图 象 上 ， 根 据 反 比 例 函 数 的 意义 求 出 m， n， 再 由 待 定 系 数 法 求 出 直 线 AB的 解 析 式 ；(2) 由 题 意 知 ：
29、 OP=2t， OQ=t， 由 三 角 形 的 面 积 公 式 可 求 出 解 析 式 ； 通 过 三 角 形 相 似 ， 用 t 的 代 数 式 表 示 出 O 的 坐 标 ， 根 据 反 比 例 函 数 的 意 义 可 求 出 t值 . 答 案 ： (1) 点 A(8， 1)、 B(n， 8)都 在 反 比 例 函 数 y= x 的 图 象 上 ， m=8 1=8， y=8x ， 8=8n ， 即 n=1，设 AB 的 解 析 式 为 y=kx+b，把 (8， 1)、 B(1， 8)代 入 上 式 得 ：8 18k bk b ， 解 得 ： 19kb . 直 线 AB 的 解 析 式 为
30、y=-x+9；(2) 由 题 意 知 ： OP=2t， OQ=t，当 P 在 OD 上 运 动 时 ，S=1 1 22 2OP OQ t t =t2(0 t 4)，当 P 在 DB 上 运 动 时 ， S=1 12 2OQ OD t 8=4t(4 t 4.5)； 存 在 ，作 PE y 轴 ， O F x 轴 于 F， 交 PE 于 E， 则 E=90 ， PO =PO=2t， QO =QO=t，由 题 意 知 ： PO Q= POQ， QO F=90 - PO E， EPO =90 - PO E， PEO O FQ， PE EO POOF QF QO ，设 QF=b， O F=a，则 PE=
31、OF=t+b， OE=2t-a， 2 2t b t aa b ， 解 得 ： a=45t ， b=35t， O (85t， 45t )，当 Q 在 反 比 例 函 数 的 图 象 上 时 ，8 4 85 5t t ，解 得 ： t= 52 ， 反 比 例 函 数 的 图 形 在 第 一 象 限 ， t 0， t=52 . 当 t=52 个 长 度 单 位 时 ， Q 恰 好 落 在 反 比 例 函 数 的 图 象 上 . 27.(9分 )如 图 1， 在 ABC 中 ， ACB=90 ， AC=BC， EAC=90 ， 点 M 为 射 线 AE 上 任 意 一点 (不 与 A 重 合 )， 连
32、 接 CM， 将 线 段 CM绕 点 C 按 顺 时 针 方 向 旋 转 90 得 到 线 段 CN， 直 线 NB分 别 交 直 线 CM、 射 线 AE于 点 F、 D. (1)直 接 写 出 NDE的 度 数 ；(2)如 图 2、 图 3， 当 EAC为 锐 角 或 钝 角 时 ， 其 他 条 件 不 变 ， (1)中 的 结 论 是 否 发 生 变 化 ？如 果 不 变 ， 选 取 其 中 一 种 情 况 加 以 证 明 ； 如 果 变 化 ， 请 说 明 理 由 ；(3)如 图 4， 若 EAC=15 ， ACM=60 ， 直 线 CM与 AB 交 于 G， 6 22BD ， 其 他
33、 条件 不 变 ， 求 线 段 AM 的 长 .解 析 ： (1)根 据 题 意 证 明 MAC NBC即 可 ；(2)与 (1)的 证 明 方 法 相 似 ， 证 明 MAC NBC即 可 ；(3)作 GK BC于 K， 证 明 AM=AG， 根 据 MAC NBC， 得 到 BDA=90 ， 根 据 直 角 三 角 形 的性 质 和 已 知 条 件 求 出 AG的 长 ， 得 到 答 案 .答 案 ： (1) ACB=90 ， MCN=90 ， ACM= BCN， 在 MAC和 NBC中 ，AC BCACM BCNMC NC ， MAC NBC， NBC= MAC=90 ， 又 ACB=9
34、0 ， EAC=90 ， NDE=90 ；(2)不 变 ，在 MAC NBC中 ，AC BCACM BCNMC NC ， MAC NBC， N= AMC，又 MFD= NFC， MDF= FCN=90 ， 即 NDE=90 ；(3)作 GK BC 于 K， EAC=15 ， BAD=30 ， ACM=60 ， GCB=30 ， AGC= ABC+ GCB=75 ， AMG=75 ， AM=AG， MAC NBC， MAC= NBC， BDA= BCA=90 ， 6 22BD ， AB= 6 2 ，AC=BC= 3+1，设 BK=a， 则 GK=a， CK= 3a， a+ 3a= 3+1， a=
35、1， KB=KG=1， BG= 2，AG= 6 ， AM= 6 .28.(9分 )抛 物 线 y=ax 2+bx+4(a 0)过 点 A(1， -1)， B(5， -1)， 与 y 轴 交 于 点 C.(1)求 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 ； (2)如 图 1， 连 接 CB， 以 CB为 边 作 CBPQ， 若 点 P 在 直 线 BC 上 方 的 抛 物 线 上 ， Q 为 坐 标 平 面内 的 一 点 ， 且 CBPQ的 面 积 为 30， 求 点 P 的 坐 标 ；(3)如 图 2， O1过 点 A、 B、 C 三 点 ， AE为 直 径 ， 点 M 为 上 的 一 动 点 (
36、不 与 点 A， E 重 合 )， MBN为 直 角 ， 边 BN与 ME的 延 长 线 交 于 N， 求 线 段 BN 长 度 的 最 大 值 .解 析 ： (1)将 点 A、 B 的 坐 标 代 入 抛 物 线 的 解 析 式 ， 得 到 关 于 a、 b 的 方 程 ， 从 而 可 求 得 a、 b的 值 ；(2)设 点 P 的 坐 标 为 P(m， m 2-6m+4)， 由 平 行 四 边 形 的 面 积 为 30可 知 S CBP=15， 由 S CBP=S梯 形CEDP-S CEB-S PBD， 得 到 关 于 m 的 方 程 求 得 m 的 值 ， 从 而 可 求 得 点 P 的
37、 坐 标 ；(3)首 先 证 明 EAB NMB， 从 而 可 得 到 NB=32MB， 当 MB为 圆 的 直 径 时 ， NB有 最 大 值 .答 案 ： (1)将 点 A、 B的 坐 标 代 入 抛 物 线 的 解 析 式 得 ： 4 125 5 4 1a ba b ，解 得 ： 16ab . 抛 物 线 得 解 析 式 为 y=x 2-6x+4.(2)如 图 所 示 ： 设 点 P的 坐 标 为 P(m， m2-6m+4) 平 行 四 边 形 的 面 积 为 30， S CBP=15， 即 ： S CBP=S梯 形 CEDP-S CEB-S PBD. 12 m(5+m2-6m+4+1)
38、-12 5 5-12 (m-5)(m2-6m+5)=15.化 简 得 ： m2-5m-6=0，解 得 ： m=6， 或 m=-1. 点 P的 坐 标 为 (6， 4)或 (-1， 11).(3)连 接 AB、 EB. AE 是 圆 的 直 径 ， ABE=90 . ABE= MBN.又 EAB= EMB， EAB NMB. A(1， -1)， B(5， -1)， 点 O1的 横 坐 标 为 3，将 x=0代 入 抛 物 线 的 解 析 式 得 ： y=4， 点 C的 坐 标 为 (0， 4).设 点 O 1的 坐 标 为 (3， m)， O1C=O1A， 2 22 23 4 2 1m m ，解 得 ： m=2， 点 O1的 坐 标 为 (3， 2)， O1A= 223 2 4 13 ，在 Rt ABE中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： BE= 22 2 22 13 4 6AE AB ， 点 E的 坐 标 为 (5， 5). AB=4， BE=6. EAB NMB， AB MBEB NB . 46 MBNB . NB=32MB. 当 MB为 直 径 时 ， MB最 大 ， 此 时 NB 最 大 . MB=AE=2 13， 3 2 13 3 132NB .
