1、2015年 山 东 省 日 照 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 （ 1-8 小 题 每 小 题 3 分 ， 9-12小 题 每 小 题 3 分 ）1.下 面 四 个 图 形 分 别 是 节 能 、 节 水 、 低 碳 和 绿 色 食 品 标 志 ， 在 这 四 个 标 志 中 ， 是 轴 对 称 图 形的 是 （ ）A.B. C.D.解 析 ： A、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；B、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；C、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；D、 是 轴 对 称 图 形 ， 故 本 选
2、项 正 确 .答 案 ： D.2. 4的 算 术 平 方 根 是 （ ） A.2B. 2C. 2D. 2解 析 ： 4=2，而 2 的 算 术 平 方 根 是 2， 4的 算 术 平 方 根 是 2，答 案 ： C. 3.计 算 （ a3） 2的 结 果 是 （ ）A.a5B. a5C.a6 D. a6解 析 ： （ a3） 2=a6.答 案 ： C.4.某 市 测 得 一 周 PM2.5 的 日 均 值 （ 单 位 ： 微 克 /立 方 米 ） 如 下 ： 31， 30， 34， 35， 36， 34，31， 对 这 组 数 据 下 列 说 法 正 确 的 是 （ ）A.众 数 是 35B.
3、中 位 数 是 34C.平 均 数 是 35D.方 差 是 6解 析 ： A、 31和 34 出 现 了 2 次 ， 出 现 的 次 数 最 多 ， 则 众 数 是 31和 34， 故 本 选 项 错 误 ；B、 把 这 组 数 据 从 小 到 大 排 列 ， 最 中 间 的 数 是 34， 则 中 位 数 是 34， 故 本 选 项 错 正 确 ；C、 这 组 数 据 的 平 均 数 是 ： （ 31+30+34+35+36+34+31） 7=33， 故 本 选 项 错 误 ； D、 这 组 数 据 的 方 差 是 ： 17 2（ 31 33） 2+（ 30 33） 2+2（ 34 33）
4、2+（ 35 33） 2+（ 3633） 2= 327 ， 故 本 选 项 错 误 ；答 案 ： B.5.小 红 在 观 察 由 一 些 相 同 小 立 方 块 搭 成 的 几 何 体 时 ， 发 现 它 的 主 视 图 、 俯 视 图 、 左 视 图 均 为如 图 ， 则 构 成 该 几 何 体 的 小 立 方 块 的 个 数 有 （ ）A.3个B.4个C.5个 D.6个解 析 ： 从 俯 视 图 发 现 有 3个 立 方 体 ， 从 左 视 图 发 现 第 二 层 最 多 有 1个 立 方 块 ，则 构 成 该 几 何 体 的 小 立 方 块 的 个 数 有 4个 ；答 案 ： B.6.小
5、 明 在 学 习 了 正 方 形 之 后 ， 给 同 桌 小 文 出 了 道 题 ， 从 下 列 四 个 条 件 ： AB=BC， ABC=90 ， AC=BD， AC BD 中 选 两 个 作 为 补 充 条 件 ， 使 ABCD为 正 方 形 （ 如 图 ） ， 现 有 下 列 四 种 选 法 ，你 认 为 其 中 错 误 的 是 （ ）A. B. C. D. 解 析 ： A、 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ，当 AB=BC时 ， 平 行 四 边 形 ABCD是 菱 形 ，当 ABC=90 时 ， 菱 形 ABCD是 正 方 形 ， 故 此 选 项 错 误 ； B、 四 边
6、形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， 当 ABC=90 时 ， 平 行 四 边 形 ABCD是 矩 形 ，当 AC=BD 时 ， 这 是 矩 形 的 性 质 ， 无 法 得 出 四 边 形 ABCD是 正 方 形 ， 故 此 选 项 正 确 ；C、 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ，当 AB=BC时 ， 平 行 四 边 形 ABCD是 菱 形 ，当 AC=BD时 ， 菱 形 ABCD是 正 方 形 ， 故 此 选 项 错 误 ；D、 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， 当 ABC=90 时 ， 平 行 四 边 形 ABCD是 矩 形 ，当 AC BD时 ， 矩 形 A
7、BCD是 正 方 形 ， 故 此 选 项 错 误 .答 案 ： B.7.不 等 式 组 2 33 312 2xx x 的 解 集 在 数 轴 上 表 示 正 确 的 是 （ ） A.B.C.D. 解 析 ： 2 33 312 2xx x ， 由 得 ， x 1， 由 得 ， x 5， 故 5 x 1.在 数 轴 上 表 示 为 ： .答 案 ： A.8.如 图 ， 等 腰 直 角 ABC 中 ， AB=AC=8， 以 AB 为 直 径 的 半 圆 O 交 斜 边 BC 于 D， 则 阴 影 部 分 面积 为 （ 结 果 保 留 ） （ ） A.24 4 B.32 4C.32 8D.16解 析
8、： 连 接 AD， OD， 等 腰 直 角 ABC中 ， ABD=45 . AB 是 圆 的 直 径 ， ADB=90 ， ABD也 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， = . AB=8， AD=BD=4 2， S 阴 影 =S ABC S ABD S 弓 形 AD=S ABC S ABD （ S 扇 形 AOD 12 S ABD） =12 8 8 12 4 2 4 2290 4360 +12 12 4 2 4 2=16 4 +8=24 4 .答 案 ： A.9.某 县 大 力 推 进 义 务 教 育 均 衡 发 展 ， 加 强 学 校 标 准 化 建 设 ， 计 划 用 三 年 时 间 对
9、全 县 学 校 的 设施 和 设 备 进 行 全 面 改 造 ， 2014年 县 政 府 已 投 资 5亿 元 人 民 币 ， 若 每 年 投 资 的 增 长 率 相 同 ，预 计 2016 年 投 资 7.2亿 元 人 民 币 ， 那 么 每 年 投 资 的 增 长 率 为 （ ）A.20%B.40%C. 220%D.30%解 析 ： 设 每 年 投 资 的 增 长 率 为 x， 根 据 题 意 ， 得 ： 5（ 1+x） 2=7.2，解 得 ： x1=0.2=20%， x2= 2.2（ 舍 去 ） ，故 每 年 投 资 的 增 长 率 为 为 20%.答 案 ： A.10.如 图 ， 在
10、直 角 BAD中 ， 延 长 斜 边 BD 到 点 C， 使 DC=12 BD， 连 接 AC， 若 tanB=53， 则 tan CAD的 值 （ ） A. 33B. 35C. 13D. 15解 析 ： 如 图 ， 延 长 AD， 过 点 C作 CE AD， 垂 足 为 E， tanB=53， 即 =53， 设 AD=5x， 则 AB=3x， CDE= BDA， CED= BAD， CDE BDA， ， CE=32 x， DE=52 x， AE=152 x， tan CAD= =15. 答 案 ： D.11.观 察 下 列 各 式 及 其 展 开 式 ：（ a+b） 2=a2+2ab+b2（
11、 a+b） 3=a3+3a2b+3ab2+b3（ a+b） 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（ a+b） 5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5请 你 猜 想 （ a+b） 10的 展 开 式 第 三 项 的 系 数 是 （ ）A.36B.45 C.55D.66解 析 ： （ a+b） 2=a22+2ab+b2；（ a+b） 3=a3+3a2b+3ab2+b3；（ a+b） 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（ a+b） 5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（ a+b） 6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b
12、3+15a2b4+6ab5+b6；（ a+b） 7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；第 8 个 式 子 系 数 分 别 为 ： 1， 8， 28， 56， 70， 56， 28， 8， 1；第 9 个 式 子 系 数 分 别 为 ： 1， 9， 36， 84， 126， 126， 84， 36， 9， 1；第 10 个 式 子 系 数 分 别 为 ： 1， 10， 45， 120， 210， 252， 210， 120， 45， 10， 1，则 （ a+b） 10的 展 开 式 第 三 项 的 系 数 为 45.答 案 ： B.12.如
13、图 是 抛 物 线 y 1=ax2+bx+c（ a 0） 图 象 的 一 部 分 ， 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 A（ 1， 3） ， 与 x轴 的 一 个 交 点 B（ 4， 0） ， 直 线 y2=mx+n（ m 0） 与 抛 物 线 交 于 A， B两 点 ， 下 列 结 论 ： 2a+b=0； abc 0； 方 程 ax2+bx+c=3有 两 个 相 等 的 实 数 根 ； 抛 物 线 与 x 轴 的 另 一 个交 点 是 （ 1， 0） ； 当 1 x 4 时 ， 有 y2 y1，其 中 正 确 的 是 （ ）A. B. C. D. 解 析 ： 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 A
14、（ 1， 3） ， 抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 x= 2ba =1， 2a+b=0， 所 以 正 确 ； 抛 物 线 开 口 向 下 ， a 0， b= 2a 0， 抛 物 线 与 y 轴 的 交 点 在 x 轴 上 方 ， c 0， abc 0， 所 以 错 误 ； 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 A（ 1， 3） ， x=1时 ， 二 次 函 数 有 最 大 值 ， 方 程 ax2+bx+c=3有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， 所 以 正 确 ； 抛 物 线 与 x 轴 的 一 个 交 点 为 （ 4， 0）而 抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 x=1， 抛 物 线
15、 与 x 轴 的 另 一 个 交 点 为 （ 2， 0） ， 所 以 错 误 ； 抛 物 线 y1=ax2+bx+c 与 直 线 y2=mx+n（ m 0） 交 于 A（ 1， 3） ， B 点 （ 4， 0） 当 1 x 4 时 ， y2 y1， 所 以 正 确 .答 案 ： C.二 、 填 空 题 （ 每 小 题 4 分 ， 共 16 分 ）13.若 2-3x（ ） =3 x， 则 x 的 取 值 范 围 是 .解 析 ： 2-3x（ ） =3 x， 3 x 0，解 得 ： x 3，答 案 ： x 3. 14.边 长 为 1 的 一 个 正 方 形 和 一 个 等 边 三 角 形 如 图
16、摆 放 ， 则 ABC的 面 积 为 .解 析 ： 过 点 C 作 CD 和 CE垂 直 正 方 形 的 两 个 边 长 ， 如 图 一 个 正 方 形 和 一 个 等 边 三 角 形 的 摆 放 ， 四 边 形 DBEC 是 矩 形 ， CE=DB=12 ， ABC的 面 积 =12 AB CE=12 1 12 =14 ，答 案 ： 14 .15.如 果 m， n 是 两 个 不 相 等 的 实 数 ， 且 满 足 m 2 m=3， n2 n=3， 那 么 代 数 式 2n2mn+2m+2015= .解 析 ： 由 题 意 可 知 ： m， n是 两 个 不 相 等 的 实 数 ， 且 满
17、足 m2 m=3， n2 n=3，所 以 m， n 是 x2 x 3=0的 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ，则 根 据 根 与 系 数 的 关 系 可 知 ： m+n=1， mn= 3，又 n2=n+3，则 2n2 mn+2m+2015=2（ n+3） mn+2m+2015=2n+6 mn+2m+2015=2（ m+n） mn+2021=2 1 （ 3） +2021 =2+3+2021=2026.答 案 ： 2026.16.如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 四 边 形 ODEF和 四 边 形 ABCD 都 是 正 方 形 ， 点 F 在 x 轴的 正 半 轴 上
18、 ， 点 C 在 边 DE上 ， 反 比 例 函 数 y=kx （ k 0， x 0） 的 图 象 过 点 B， E.若 AB=2，则 k 的 值 为 . 解 析 ： 设 E（ x， x） ， B（ 2， x+2） ， 反 比 例 函 数 y= （ k 0， x 0） 的 图 象 过 点 B、 E. x2=2（ x+2） ，解 得 x1=1+ 5， x2=1 5（ 舍 去 ） ， k=x 2=6+2 5，答 案 ： 6+2 5.三 、 解 答 题17.（ 1） 先 化 简 ， 再 求 值 ： ， 其 中 a= 3；（ 2） 已 知 关 于 x， y的 二 元 一 次 方 程 组 的 解 满 足
19、 x+y=0， 求 实 数 m 的 值 .分 析 ： （ 1） 先 根 据 分 式 混 合 运 算 的 法 则 把 原 式 进 行 化 简 ， 再 把 a 的 值 代 入 进 行 计 算 即 可 ；（ 2） 先 把 m 当 作 已 知 条 件 求 出 x、 y的 值 ， 再 根 据 足 x+y=0求 出 m 的 值 即 可 . 答 案 ： （ 1） 原 式 =a 1，当 a= 3时 ， 原 式 = 3 1；（ 2） 解 关 于 x， y的 二 元 一 次 方 程 组 得 ， x+y=0， 2m 11+7 m=0， 解 得 m=4.18.为 进 一 步 推 广 “ 阳 光 体 育 ” 大 课 间
20、 活 动 ， 某 中 学 对 已 开 设 的 A 实 心 球 ， B立 定 跳 远 ， C跑 步 ， D跳 绳 四 种 活 动 项 目 的 学 生 喜 欢 情 况 进 行 调 查 ， 随 机 抽 取 了 部 分 学 生 ， 并 将 调 查 结 果绘 制 成 图 1， 图 2 的 统 计 图 ， 请 结 合 图 中 的 信 息 解 答 下 列 问 题 ：（ 1） 请 计 算 本 次 调 查 中 喜 欢 “ 跑 步 ” 的 学 生 人 数 和 所 占 百 分 比 ， 并 将 两 个 统 计 图 补 充 完 整 ；（ 2） 随 机 抽 取 了 5 名 喜 欢 “ 跑 步 ” 的 学 生 ， 其 中
21、有 3 名 女 生 ， 2 名 男 生 ， 现 从 这 5 名 学 生中 任 意 抽 取 2 名 学 生 ， 请 用 画 树 状 图 或 列 表 的 方 法 ， 求 出 刚 好 抽 到 同 性 别 学 生 的 概 率 . 分 析 ： （ 1） 用 A 的 人 数 除 以 所 占 的 百 分 比 ， 即 可 求 出 调 查 的 学 生 数 ； 用 抽 查 的 总 人 数 减 去 A、B、 D的 人 数 ， 求 出 喜 欢 “ 跑 步 ” 的 学 生 人 数 ， 再 除 以 被 调 查 的 学 生 数 ， 求 出 所 占 的 百 分 比 ，再 画 图 即 可 ；（ 2） 用 A 表 示 男 生 ，
22、 B表 示 女 生 ， 画 出 树 形 图 ， 再 根 据 概 率 公 式 进 行 计 算 即 可 .答 案 ： （ 1） 根 据 题 意 得 ：15 10%=150（ 名 ） .本 项 调 查 中 喜 欢 “ 跑 步 ” 的 学 生 人 数 是 ； 150 15 45 30=60（ 人 ） ，所 占 百 分 比 是 ： 60150 100%=40%，画 图 如 下 ： （ 2） 用 A 表 示 男 生 ， B 表 示 女 生 ， 画 图 如 下 ： 共 有 20种 情 况 ， 同 性 别 学 生 的 情 况 是 8 种 ，则 刚 好 抽 到 同 性 别 学 生 的 概 率 是 820 =25
23、 .19.如 图 1 所 示 ， 某 乘 客 乘 高 速 列 车 从 甲 地 经 过 乙 地 到 丙 地 ， 列 车 匀 速 行 驶 ， 图 2 为 列 车 离乙 地 路 程 y（ 千 米 ） 与 行 驶 时 间 x（ 小 时 ） 时 间 的 函 数 关 系 图 象 .（ 1） 填 空 ： 甲 、 丙 两 地 距 离 千 米 .（ 2） 求 高 速 列 车 离 乙 地 的 路 程 y 与 行 驶 时 间 x 之 间 的 函 数 关 系 式 ， 并 写 出 x 的 取 值 范 围 . 分 析 ： （ 1） 根 据 函 数 图 形 可 得 ， 甲 、 丙 两 地 距 离 为 ： 900+150=1
24、050（ 千 米 ） ；（ 2） 分 两 种 情 况 ： 当 0 x 3 时 ， 设 高 速 列 车 离 乙 地 的 路 程 y 与 行 驶 时 间 x 之 间 的 函 数 关系 式 为 ： y=kx+b， 把 （ 0， 900） ， （ 3， 0） 代 入 得 到 方 程 组 ， 即 可 解 答 ； 根 据 确 定 高 速 列 出 的速 度 为 300（ 千 米 /小 时 ） ， 从 而 确 定 点 A的 坐 标 为 （ 3.5， 150） ， 当 3 x 3.5时 ， 设 高 速列 车 离 乙 地 的 路 程 y 与 行 驶 时 间 x 之 间 的 函 数 关 系 式 为 ： y=k1x+
25、b1， 把 （ 3， 0） ， （ 3.5， 150）代 入 得 到 方 程 组 ， 即 可 解 答 .解 析 ： （ 1） 根 据 函 数 图 形 可 得 ， 甲 、 丙 两 地 距 离 为 ： 900+150=1050（ 千 米 ） ， 故 答 案 为 ： 1050.（ 2） 当 0 x 3 时 ， 设 高 速 列 车 离 乙 地 的 路 程 y 与 行 驶 时 间 x 之 间 的 函 数 关 系 式 为 ： y=kx+b，把 （ 0， 900） ， （ 3， 0） 代 入 得 ： ，解 得 ： ， y= 300 x+900，高 速 列 出 的 速 度 为 ： 900 3=300（ 千 米
26、 /小 时 ） ，150 300=0.5（ 小 时 ） ， 3+0.5=3.5（ 小 时 ）如 图 2， 点 A 的 坐 标 为 （ 3.5， 150）当 3 x 3.5时 ， 设 高 速 列 车 离 乙 地 的 路 程 y与 行 驶 时 间 x之 间 的 函 数 关 系 式 为 ： y=k 1x+b1，把 （ 3， 0） ， （ 3.5， 150） 代 入 得 ： ， 解 得 ： ， y=300 x 900， 20.如 图 ， 已 知 ， 在 ABC中 ， CA=CB， ACB=90 ， E， F分 别 是 CA， CB边 的 三 等 分 点 ， 将 ECF绕 点 C 逆 时 针 旋 转 角
27、 （ 0 90 ） ， 得 到 MCN， 连 接 AM， BN.（ 1） 求 证 ： AM=BN；（ 2） 当 MA CN时 ， 试 求 旋 转 角 的 余 弦 值 . 分 析 ： （ 1） 由 CA=CB， E， F 分 别 是 CA， CB 边 的 三 等 分 点 ， 得 CE=CF， 根 据 旋 转 的 性 质 ，CM=CE=CN=CF， ACM= BCN= ， 证 明 AMC BNC即 可 ；（ 2） 当 MA CN 时 ， ACN= CAM， 由 ACN+ ACM=90 ， 得 到 CAM+ ACM=90 ， 所 以cos =CMAC = .解 析 ： （ 1） CA=CB， ACB
28、=90 ， E， F 分 别 是 CA， CB 边 的 三 等 分 点 ， CE=CF，根 据 旋 转 的 性 质 ， CM=CE=CN=CF， ACM= BCN= ，在 AMC和 BNC中 ， AMC BNC， AM=BN；（ 2） MA CN， ACN= CAM， ACN+ ACM=90 ， CAM+ ACM=90 ， AMC=90 ， cos =CM CEAC AC =13.21.阅 读 资 料 ：如 图 1， 在 平 面 之 间 坐 标 系 xOy中 ， A， B 两 点 的 坐 标 分 别 为 A（ x 1， y1） ， B（ x2， y2） ， 由 勾股 定 理 得 AB2=|x2
29、 x1|2+|y2 y1|2， 所 以 A， B 两 点 间 的 距 离 为 AB= 我 们 知 道 ， 圆 可 以 看 成 到 圆 心 距 离 等 于 半 径 的 点 的 集 合 ， 如 图 2， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 ，A（ x， y） 为 圆 上 任 意 一 点 ， 则 A 到 原 点 的 距 离 的 平 方 为 OA2=|x 0|2+|y 0|2， 当 O的 半径 为 r时 ， O的 方 程 可 写 为 ： x2+y2=r2.问 题 拓 展 ： 如 果 圆 心 坐 标 为 P（ a， b） ， 半 径 为 r， 那 么 P 的 方 程 可 以 写 为 .综 合 应
30、 用 ：如 图 3， P 与 x 轴 相 切 于 原 点 O， P 点 坐 标 为 （ 0， 6） ， A是 P 上 一 点 ， 连 接 OA， 使 tan POA=34 ， 作 PD OA， 垂 足 为 D， 延 长 PD交 x 轴 于 点 B， 连 接 AB. 证 明 AB 是 P的 切 点 ； 是 否 存 在 到 四 点 O， P， A， B 距 离 都 相 等 的 点 Q？ 若 存 在 ， 求 Q 点 坐 标 ， 并 写 出 以 Q为 圆心 ， 以 OQ 为 半 径 的 O 的 方 程 ； 若 不 存 在 ， 说 明 理 由 . 解 析 ： 问 题 拓 展 ： 设 A（ x， y） 为
31、 P 上 任 意 一 点 ， 则 有 AP=r， 根 据 阅 读 材 料 中 的 两 点 之 间距 离 公 式 即 可 求 出 P 的 方 程 ；综 合 应 用 ： 由 PO=PA， PD OA 可 得 OPD= APD， 从 而 可 证 到 POB PAB， 则 有 POB= PAB.由 P 与 x 轴 相 切 于 原 点 O可 得 POB=90 ， 即 可 得 到 PAB=90 ， 由 此 可 得 AB 是 P 的 切 线 ； 当 点 Q在 线 段 BP中 点 时 ， 根 据 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜 边 的 一 半 可 得 QO=QP=BQ=AQ.易 证 O
32、BP= POA， 则 有 tan OBP=OPOB =34 .由 P 点 坐 标 可 求 出 OP、 OB.过 点 Q 作 QH OB于H， 易 证 BHQ BOP， 根 据 相 似 三 角 形 的 性 质 可 求 出 QH、 BH， 进 而 求 出 OH， 就 可 得 到 点 Q的 坐 标 ， 然 后 运 用 问 题 拓 展 中 的 结 论 就 可 解 决 问 题 .答 案 ： 问 题 拓 展 ： 设 A（ x， y） 为 P 上 任 意 一 点 ， P（ a， b） ， 半 径 为 r， AP 2=（ x a） 2+（ y b） 2=r2.故 答 案 为 （ x a） 2+（ y b） 2
33、=r2；综 合 应 用 ： PO=PA， PD OA， OPD= APD.在 POB和 PAB中 ， POB PAB， POB= PAB. P与 x轴 相 切 于 原 点 O， POB=90 ， PAB=90 ， AB 是 P的 切 线 ； 存 在 到 四 点 O， P， A， B 距 离 都 相 等 的 点 Q.当 点 Q在 线 段 BP中 点 时 ， POB= PAB=90 ， QO=QP=BQ=AQ.此 时 点 Q 到 四 点 O， P， A， B 距 离 都 相 等 . POB=90 ， OA PB， OBP=90 DOB= POA， tan OBP= =tan POA=34 . P
34、点 坐 标 为 （ 0， 6） ， OP=6， OB=43 OP=8.过 点 Q作 QH OB于 H， 如 图 3， 则 有 QHB= POB=90 ， QH PO， BHQ BOP， QH BQBHOP OB BP =12 ， QH=12 OP=3， BH=12 OB=4， OH=8 4=4， 点 Q的 坐 标 为 （ 4， 3） ， OQ= 2 2OH QH =5， 以 Q为 圆 心 ， 以 OQ为 半 径 的 O的 方 程 为 （ x 4） 2+（ y 3） 2=25.22.如 图 ， 抛 物 线 y=12 x2+mx+n 与 直 线 y= 12 x+3交 于 A， B 两 点 ， 交
35、x轴 与 D， C两 点 ， 连接 AC， BC， 已 知 A（ 0， 3） ， C（ 3， 0） .（ ） 求 抛 物 线 的 解 析 式 和 tan BAC 的 值 ；（ ） 在 （ ） 条 件 下 ： （ 1） P 为 y 轴 右 侧 抛 物 线 上 一 动 点 ， 连 接 PA， 过 点 P 作 PQ PA 交 y 轴 于 点 Q， 问 ： 是 否 存在 点 P使 得 以 A， P， Q 为 顶 点 的 三 角 形 与 ACB相 似 ？ 若 存 在 ， 请 求 出 所 有 符 合 条 件 的 点 P的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .（ 2） 设 E 为 线 段
36、AC上 一 点 （ 不 含 端 点 ） ， 连 接 DE， 一 动 点 M从 点 D 出 发 ， 沿 线 段 DE以 每秒 一 个 单 位 速 度 运 动 到 E点 ， 再 沿 线 段 EA以 每 秒 2个 单 位 的 速 度 运 动 到 A 后 停 止 ， 当 点 E的 坐 标 是 多 少 时 ， 点 M 在 整 个 运 动 中 用 时 最 少 ？ 解 析 ： （ ） 只 需 把 A、 C两 点 的 坐 标 代 入 y=12 x2+mx+n， 就 可 得 到 抛 物 线 的 解 析 式 ， 然 后 求出 直 线 AB与 抛 物 线 的 交 点 B的 坐 标 ， 过 点 B作 BH x轴 于
37、H， 如 图 1.易 得 BCH= ACO=45 ，BC= 2， AC=3 2， 从 而 得 到 ACB=90 ， 然 后 根 据 三 角 函 数 的 定 义 就 可 求 出 tan BAC的值 ；（ ） （ 1） 过 点 P作 PG y轴 于 G， 则 PGA=90 .设 点 P 的 横 坐 标 为 x， 由 P 在 y 轴 右 侧 可得 x 0， 则 PG=x， 易 得 APQ= ACB=90 .若 点 G在 点 A 的 下 方 ， 当 PAQ= CAB时 ， PAQ CAB.此 时 可 证 得 PGA BCA， 根 据 相 似 三 角 形 的 性 质 可 得 AG=3PG=3x.则 有
38、P（ x，3 3x） ， 然 后 把 P（ x， 3 3x） 代 入 抛 物 线 的 解 析 式 ， 就 可 求 出 点 P 的 坐 标 当 PAQ= CBA时 ， PAQ CBA， 同 理 ， 可 求 出 点 P 的 坐 标 ； 若 点 G在 点 A 的 上 方 ， 同 理 ， 可 求 出 点 P的 坐 标 ； （ 2） 过 点 E 作 EN y 轴 于 N， 如 图 3.易 得 AE= 2EN， 则 点 M在 整 个 运 动 中 所 用 的 时 间 可 表 示 为 1DE + 2EA =DE+EN.作 点 D 关 于 AC 的 对 称 点 D ， 连 接 D E， 则 有 D E=DE，
39、DC=DC， D CA= DCA=45 ， 从 而 可 得 D CD=90 ， DE+EN=D E+EN.根 据 两 点 之 间 线 段 最短 可 得 ： 当 D 、 E、 N 三 点 共 线 时 ， DE+EN=D E+EN 最 小 .此 时 可 证 到 四 边 形 OCD N 是 矩 形 ，从 而 有 ND =OC=3， ON=D C=DC.然 后 求 出 点 D 的 坐 标 ， 从 而 得 到 OD、 ON、 NE的 值 ， 即 可 得到 点 E 的 坐 标 .答 案 ： （ ） 把 A（ 0， 3） ， C（ 3， 0） 代 入 y=12 x2+mx+n， 得 解 得 ： 抛 物 线
40、的 解 析 式 为 y=12 x2 52 x+3.联 立 ，解 得 ： 点 B的 坐 标 为 （ 4， 1） .过 点 B作 BH x轴 于 H， 如 图 1. C（ 3， 0） ， B（ 4， 1） ， BH=1， OC=3， OH=4， CH=4 3=1， BH=CH=1. BHC=90 ， BCH=45 ， BC= 2.同 理 ： ACO=45 ， AC=3 2， ACB=180 45 45 =90 ， tan BAC= BCAC = 23 2 =13；（ ） （ 1） 存 在 点 P， 使 得 以 A， P， Q为 顶 点 的 三 角 形 与 ACB相 似 . 过 点 P作 PG y轴
41、 于 G， 则 PGA=90 .设 点 P的 横 坐 标 为 x， 由 P 在 y 轴 右 侧 可 得 x 0， 则 PG=x. PQ PA， ACB=90 ， APQ= ACB=90 .若 点 G在 点 A 的 下 方 ， 如 图 2 ， 当 PAQ= CAB时 ， 则 PAQ CAB. PGA= ACB=90 ， PAQ= CAB， PGA BCA， = =13. AG=3PG=3x.则 P（ x， 3 3x） .把 P（ x， 3 3x） 代 入 y=12 x 2 52 x+3， 得12 x2 52 x+3=3 3x，整 理 得 ： x2+x=0解 得 ： x1=0（ 舍 去 ） ， x
42、2= 1（ 舍 去 ） . 如 图 2 ， 当 PAQ= CBA时 ， 则 PAQ CBA.同 理 可 得 ： AG=13PG=13x， 则 P（ x， 3 13x） ，把 P（ x， 3 13x） 代 入 y=12 x2 52 x+3， 得12 x2 52 x+3=3 13x，整 理 得 ： x 2 133 x=0解 得 ： x1=0（ 舍 去 ） ， x2=133 ， P（ 133 ， 149 ） ；若 点 G在 点 A 的 上 方 ， 当 PAQ= CAB时 ， 则 PAQ CAB，同 理 可 得 ： 点 P的 坐 标 为 （ 11， 36） . 当 PAQ= CBA时 ， 则 PAQ
43、CBA.同 理 可 得 ： 点 P的 坐 标 为 P（ 173 ， 449 ） .综 上 所 述 ： 满 足 条 件 的 点 P 的 坐 标 为 （ 11， 36） 、 （ 133 ， 149 ） 、 （ 173 ， 449 ） ；（ 2） 过 点 E 作 EN y 轴 于 N， 如 图 3. 在 Rt ANE中 ， EN=AE sin45 = 22 AE， 即 AE= 2EN， 点 M在 整 个 运 动 中 所 用 的 时 间 为 1DE + 2EA =DE+EN.作 点 D关 于 AC 的 对 称 点 D ， 连 接 D E，则 有 D E=DE， D C=DC， D CA= DCA=45 ， D CD=90 ， DE+EN=D E+EN.根 据 两 点 之 间 线 段 最 短 可 得 ：当 D 、 E、 N 三 点 共 线 时 ， DE+EN=D E+EN最 小 .此 时 ， D CD= D NO= NOC=90 ， 四 边 形 OCD N 是 矩 形 ， ND =OC=3， ON=D C=DC.对 于 y=12 x 2 52 x+3，当 y=0时 ， 有 12 x2 52 x+3=0，解 得 ： x1=2， x2=3. D（ 2， 0） ， OD=2， ON=DC=OC OD=3 2=1， NE=AN=AO ON=3 1=2， 点 E的 坐 标 为 （ 2， 1） .
