1、2017年 湖 北 省 黄 冈 市 中 考 模 拟 数 学一 、 选 择 题 (下 列 各 题 的 备 选 答 案 中 ， 有 且 仅 有 一 个 答 案 是 正 确 的 ， 共 6 小 题 ， 每 小 题 3 分 ，共 18 分 )1.某 地 一 天 的 最 高 气 温 是 8 ， 最 低 气 温 是 -2 ， 则 该 地 这 天 的 温 差 是 ( )A.10B.-10C.6D.-6解 析 ： 根 据 题 意 得 ： 8-(-2)=8+2=10( )，则 该 地 这 天 的 温 差 是 10 . 答 案 ： A.2.下 列 计 算 正 确 的 是 ( )A.a6 a3=a3B.(a2)3=
2、a8C.(a-b)2=a2-b2D.a2+a2=a4解 析 ： A、 根 据 同 底 数 幂 的 除 法 ， 底 数 不 变 指 数 相 减 ， a 6 a3=a3， 故 A 选 项 正 确 ；B、 幂 的 乘 方 ， 底 数 不 变 指 数 相 乘 ， (a2)3=a6， 故 B 选 项 错 误 ；C、 完 全 平 方 公 式 ， (a-b)2=a2-2ab+b2， 故 C选 项 错 误 ；D、 合 并 同 类 项 ， 系 数 相 加 字 母 和 字 母 的 指 数 不 变 ， a2+a2=2a2， 故 D选 项 错 误 .答 案 ： A.3.世 界 上 最 小 的 开 花 结 果 植 物
3、是 澳 大 利 亚 的 出 水 浮 萍 ， 这 种 植 物 的 果 实 像 一 个 微 小 的 无 花 果 ，质 量 只 有 0.000000076克 ， 将 数 0.000000076用 科 学 记 数 法 表 示 为 ( )A.7.6 10 -9B.7.6 10-8C.7.6 109D.7.6 108解 析 ： 绝 对 值 小 于 1 的 正 数 也 可 以 利 用 科 学 记 数 法 表 示 ， 一 般 形 式 为 a 10-n， 与 较 大 数 的科 学 记 数 法 不 同 的 是 其 所 使 用 的 是 负 指 数 幂 ， 指 数 由 原 数 左 边 起 第 一 个 不 为 零 的
4、数 字 前 面 的0的 个 数 所 决 定 .将 0.000000076用 科 学 记 数 法 表 示 为 7.6 10 -8.答 案 ： B.4.下 列 图 形 中 ， 是 中 心 对 称 图 形 ， 但 不 是 轴 对 称 图 形 的 是 ( )A. B.C.D.解 析 ： 根 据 轴 对 称 图 形 与 中 心 对 称 图 形 的 概 念 求 解 .A、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 是 中 心 对 称 图 形 .故 此 选 项 正 确 ； B、 是 轴 对 称 图 形 ， 也 是 中 心 对 称 图 形 .故 此 选 项 错 误 ；C、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对
5、 称 图 形 .故 此 选 项 错 误 ；D、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 .故 此 选 项 错 误 .答 案 ： A.5.如 图 ， 直 线 BD EF， AE 与 BD 交 于 点 C， 若 ABC=30 ， BAC=75 ， 则 CEF 的 大 小 为 ( )A.60B.75C.90D.105解 析 ： 先 根 据 三 角 形 外 角 的 性 质 求 出 1 的 度 数 ， 再 由 平 行 线 的 性 质 即 可 得 出 结 论 . 1是 ABC 的 外 角 ， ABC=30 ， BAC=75 ， 1= ABC+ BAC=30 +75 =105 ， 直 线
6、 BD EF， CEF= 1=105 .答 案 ： D.6.几 个 棱 长 为 1的 正 方 体 组 成 的 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 这 个 几 何 体 的 体 积 是 ( ) A.4B.5C.6D.7解 析 ： 综 合 三 视 图 可 知 ， 这 个 几 何 体 的 底 层 应 该 有 3+1=4个 小 正 方 体 ，第 二 层 应 该 有 1个 小 正 方 体 ，因 此 搭 成 这 个 几 何 体 所 用 小 正 方 体 的 个 数 是 4+1=5 个 ，所 以 这 个 几 何 体 的 体 积 是 5.答 案 ： B.二 、 填 空 题 (共 8 小 题 ， 每
7、 小 题 3 分 ， 共 24分 )7.分 解 因 式 ： a 3-4a2b+4ab2= .解 析 ： 首 先 提 公 因 式 a， 然 后 利 用 完 全 平 方 公 式 即 可 分 解 .原 式 =a(a2-4ab+4b2)=a(a-2b)2.答 案 ： a(a-2b)2.8.计 算 ： (-1)0+|2- 3 |+2sin60 = .解 析 ： 分 别 进 行 零 指 数 幂 、 绝 对 值 的 运 算 ， 然 后 代 入 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 ， 继 而 合 并 可 得 出答 案 .原 式 331 2 322 . 答 案 ： 3.9.化 简 ： 21 11 xx x 的
8、结 果 为 .解 析 ： 原 式 括 号 中 两 项 通 分 并 利 用 同 分 母 分 式 的 加 法 法 则 计 算 ， 同 时 利 用 除 法 法 则 变 形 ， 约分 即 可 得 到 结 果 .原 式 1 11 1 1x xx x x x g .答 案 ： 1 1x . 10.某 校 五 个 绿 化 小 组 一 天 的 植 树 的 棵 数 如 下 ： 10， 10， 12， x， 8.已 知 这 组 数 据 的 平 均 数 是10， 那 么 这 组 数 据 的 方 差 是 .解 析 ： 这 组 数 据 的 平 均 数 是 10， (10+10+12+x+8) 5=10，解 得 ： x=
9、10， 这 组 数 据 的 方 差 是 15 3 (10-10)2+(12-10)2+(8-10)2=1.6.答 案 ： 1.6.11.如 果 圆 锥 的 底 面 周 长 是 20 ， 侧 面 展 开 后 所 得 的 扇 形 的 圆 心 角 为 120 ， 则 其 侧 面 积 为(结 果 用 含 的 式 子 表 示 ).解 析 ： 根 据 底 面 周 长 可 求 得 底 面 半 径 ， 进 而 可 求 得 底 面 积 ， 根 据 扇 形 的 弧 长 =圆 锥 的 底 面 周长 可 得 到 母 线 长 ， 进 而 求 得 侧 面 积 .12020 180 R g ， R=30， 2 r=20 ，
10、 r=10.S 圆 锥 侧 = 12 lR= 12 20 30=300 .答 案 ： 300 .12.如 图 ， 在 边 长 为 3 的 菱 形 ABCD中 ， 点 E 在 边 CD 上 ， 点 F 为 BE 延 长 线 与 AD 延 长 线 的 交点 .若 DE=1， 则 DF 的 长 为 . 解 析 ： DE=1， DC=3， EC=3-1=2， 四 边 形 ABCD 是 菱 形 ， AD BC， DEF CEB， DF DEBC CE ， 123DF ， DF= 32 .答 案 ： 32 . 13.一 条 排 水 管 的 截 面 如 图 所 示 ， 已 知 排 水 管 的 半 径 OA=
11、1m， 水 面 宽 AB=1.2m， 某 天 下 雨 后 ，水 管 水 面 上 升 了 0.2m， 则 此 时 排 水 管 水 面 宽 CD等 于 m.解 析 ： 如 图 ： AB=1.2m， OE AB， OA=1m， OE=0.8m， 水 管 水 面 上 升 了 0.2m， OF=0.8-0.2=0.6m， 2 2 2 21 0 6 0.8CF OC OF m， CD=1.6m.答 案 ： 1.6.14.已 知 函 数 y= 43 x-b 与 函 数 y= 43 x-1的 图 象 之 间 的 距 离 等 于 3， 则 b 的 值 为 .解 析 ： 由 于 两 一 次 函 数 的 一 次 项
12、 系 数 都 为 43 ， 两 一 次 函 数 所 表 示 的 直 线 互 相 平 行 ，由 两 平 行 线 间 的 距 离 公 式 即 可 得 出 ： 2 213 4 13 b ，解 得 ： b=6或 -4.答 案 ： 6 或 -4三 、 解 答 题 (本 大 题 共 10 小 题 ， 共 78分 .解 答 应 写 出 必 要 的 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 )15.解 不 等 式 组 32 3 11 3 1 8x xx x . 解 析 ： 根 据 不 等 式 的 性 质 求 出 每 个 不 等 式 的 解 集 ， 根 据 找 不 等 式 组 解 集 的 规 律
13、找 出 即 可 . 答 案 ： 32 3 11 3 1 8x xx x ， 解 不 等 式 得 ： x 1，解 不 等 式 得 ： x -2， 不 等 式 组 的 解 集 为 -2 x 1.16.如 图 ， AB CD， E是 CD上 一 点 ， BE交 AD于 点 F， EF=BF.求 证 ： AF=DF.解 析 ： 欲 证 明 AF=DF只 要 证 明 ABF DEF即 可 解 决 问 题 . 答 案 ： AB CD， B= FED，在 ABF和 DEF中 ，B FEDBF EFAFB EFD ， ABF DEF， AF=DF.17.关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x 2+3x+m
14、-1=0的 两 个 实 数 根 分 别 为 x1， x2.(1)求 m 的 取 值 范 围 .解 析 ： (1)因 为 方 程 有 两 个 实 数 根 ， 所 以 0， 据 此 即 可 求 出 m 的 取 值 范 围 .答 案 ： (1) 方 程 有 两 个 实 数 根 ， 0， 9-4 1 (m-1) 0，解 得 m 134 .(2)若 2(x 1+x2)+x1x2+10=0， 求 m 的 值 .解 析 ： (2)根 据 一 元 二 次 方 程 根 与 系 数 的 关 系 ， 将 x1+x2=-3， x1x2=m-1代 入 2(x1+x2)+x1x2+10=0，解 关 于 m 的 方 程 即
15、 可 .答 案 ： (2) x1+x2=-3， x1x2=m-1，又 2(x1+x2)+x1x2+10=0， 2 (-3)+m-1+10=0， m=-3.18.某 中 心 城 市 有 一 楼 盘 ， 开 发 商 准 备 以 每 平 方 米 7000元 价 格 出 售 ， 由 于 国 家 出 台 了 有 关 调控 房 地 产 的 政 策 ， 开 发 商 经 过 两 次 下 调 销 售 价 格 后 ， 决 定 以 每 平 方 米 5670 元 的 价 格 销 售 . (1)求 平 均 每 次 下 调 的 百 分 率 .解 析 ： (1)设 出 平 均 每 次 下 调 的 百 分 率 为 x， 利
16、用 原 每 平 方 米 销 售 价 格 (1-每 次 下 调 的 百 分率 )2=经 过 两 次 下 调 每 平 方 米 销 售 价 格 列 方 程 解 答 即 可 .答 案 ： (1)设 平 均 每 次 下 调 的 百 分 率 是 x， 根 据 题 意 列 方 程 得 ，7000(1-x)2=5670，解 得 ： x1=10%， x2=190%(不 合 题 意 ， 舍 去 )；答 ： 平 均 每 次 下 调 的 百 分 率 为 10%.(2)房 产 销 售 经 理 向 开 发 商 建 议 ： 先 公 布 下 调 5%， 再 下 调 15%， 这 样 更 有 吸 引 力 ， 请 问 房 产销
17、售 经 理 的 方 案 对 购 房 者 是 否 更 优 惠 ？ 为 什 么 ？解 析 ： (2)求 出 先 下 调 5%， 再 下 调 15%， 是 原 来 价 格 的 百 分 率 ， 与 开 发 商 的 方 案 比 较 ， 即 可求 解 .答 案 ： (2)(1-5%) (1-15%) =95% 85%=80.75%，(1-x)2=(1-10%)2=81%. 80.75% 81%， 房 产 销 售 经 理 的 方 案 对 购 房 者 更 优 惠 .19.课 前 预 习 是 学 习 数 学 的 重 要 环 节 ， 为 了 了 解 所 教 班 级 学 生 完 成 数 学 课 前 预 习 的 具
18、体 情 况 ，王 老 师 对 本 班 部 分 学 生 进 行 了 为 期 半 个 月 的 跟 踪 调 查 ， 他 将 调 查 结 果 分 为 四 类 ， A： 很 好 ； B：较 好 ； C： 一 般 ； D： 较 差 .并 将 调 查 结 果 绘 制 成 以 下 两 幅 不 完 整 的 统 计 图 ， 请 你 根 据 统 计 图解 答 下 列 问 题 ： (1)王 老 师 一 共 调 查 了 多 少 名 同 学 ？解 析 ： (1)根 据 B 类 有 6+4=10人 ， 所 占 的 比 例 是 50%， 据 此 即 可 求 得 总 人 数 .答 案 ： (1)(6+4) 50%=20.所 以
19、 王 老 师 一 共 调 查 了 20名 学 生 .(2)C类 女 生 有 名 ， D 类 男 生 有 名 ， 将 上 面 条 形 统 计 图 补 充 完 整 .解 析 ： (2)利 用 (1)中 求 得 的 总 人 数 乘 以 对 应 的 比 例 即 可 求 得 C 类 的 人 数 ， 然 后 求 得 C 类 中 女生 人 数 ， 同 理 求 得 D类 男 生 的 人 数 .答 案 ： (2)C类 学 生 人 数 ： 20 25%=5(名 ) C类 女 生 人 数 ： 5-2=3(名 )，D类 学 生 占 的 百 分 比 ： 1-15%-50%-25%=10%，D类 学 生 人 数 ： 20
20、 10%=2(名 )，D类 男 生 人 数 ： 2-1=1(名 )，故 C 类 女 生 有 3名 ， D 类 男 生 有 1名 .故 答 案 为 ： 3； 1.补 充 条 形 统 计 图 ： s(3)为 了 共 同 进 步 ， 王 老 师 想 从 被 调 查 的 A 类 和 D 类 学 生 中 各 随 机 选 取 一 位 同 学 进 行 “ 一 帮一 ” 互 助 学 习 ， 请 用 列 表 法 或 画 树 形 图 的 方 法 求 出 所 选 两 位 同 学 恰 好 是 一 位 男 同 学 和 一 位 女同 学 的 概 率 .解 析 ： (3)利 用 列 举 法 即 可 表 示 出 各 种 情
21、况 ， 然 后 利 用 概 率 公 式 即 可 求 解 .答 案 ： (3)由 题 意 画 树 形 图 如 下 ：从 树 形 图 看 出 ， 所 有 可 能 出 现 的 结 果 共 有 6种 ， 且 每 种 结 果 出 现 的 可 能 性 相 等 ， 所 选 两 位 同 学 恰 好 是 一 位 男 同 学 和 一 位 女 同 学 的 结 果 共 有 3 种 .所 以 P(所 选 两 位 同 学 恰 好 是 一 位 男 同 学 和 一 位 女 同 学 ) 136 2 .20.如 图 ， AB 是 O 的 直 径 ， 点 C 在 AB 的 延 长 线 上 ， CD 与 O 相 切 于 点 D， C
22、E AD， 交 AD的 延 长 线 于 点 E. (1)求 证 ： BDC= A. 解 析 ： (1)连 接 OD， 由 CD是 O切 线 ， 得 到 ODC=90 ， 根 据 AB为 O的 直 径 ， 得 到 ADB=90 ，等 量 代 换 得 到 BDC= ADO， 根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 得 到 ADO= A， 即 可 得 到 结 论 .答 案 ： (1)证 明 ： 连 接 OD， CD 是 O切 线 ， ODC=90 ，即 ODB+ BDC=90 ， AB 为 O的 直 径 ， ADB=90 ，即 ODB+ ADO=90 ， BDC= ADO， OA=OD， ADO=
23、A， BDC= A.(2)若 CE=4， DE=2， 求 AD的 长 .解 析 ： (2)根 据 垂 直 的 定 义 得 到 E= ADB=90 ， 根 据 平 行 线 的 性 质 得 到 DCE= BDC， 根 据相 似 三 角 形 的 性 质 得 到 CE AEDE CE ， 解 方 程 即 可 得 到 结 论 .答 案 ： (2) CE AE， E= ADB=90 ， DB EC， DCE= BDC， BDC= A， A= DCE， E= E， AEC CED， CE AEDE CE ， EC 2=DE AE， 16=2(2+AD)， AD=6.21.反 比 例 函 数 ky x 在 第
24、 一 象 限 的 图 象 如 图 所 示 ， 过 点 A(1， 0)作 x 轴 的 垂 线 ， 交 反 比 例函 数 ky x 的 图 象 于 点 M， AOM 的 面 积 为 3. (1)求 反 比 例 函 数 的 解 析 式 .解 析 ： (1)根 据 反 比 例 函 数 k 的 几 何 意 义 得 到 12 |k|=3， 可 得 到 满 足 条 件 的 k=6， 于 是 得 到 反比 例 函 数 解 析 式 为 6y x .答 案 ： (1) AOM的 面 积 为 3， 12 |k|=3，而 k 0， k=6， 反 比 例 函 数 解 析 式 为 6y x . (2)设 点 B 的 坐
25、标 为 (t， 0)， 其 中 t 1.若 以 AB 为 一 边 的 正 方 形 有 一 个 顶 点 在 反 比 例 函 数ky x 的 图 象 上 ， 求 t 的 值 .解 析 ： (2)分 类 讨 论 ： 当 以 AB 为 一 边 的 正 方 形 ABCD的 顶 点 D在 反 比 例 函 数 6y x 的 图 象 上 ，则 D 点 与 M点 重 合 ， 即 AB=AM， 再 利 用 反 比 例 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征 确 定 M点 坐 标 为 (1，6)， 则 AB=AM=6， 所 以 t=1+6=7； 当 以 AB为 一 边 的 正 方 形 ABCD的 顶 点 C在
26、反 比 例 函 数 6y x的 图 象 上 ， 根 据 正 方 形 的 性 质 得 AB=BC=t-1，则 C 点 坐 标 为 (t， t-1)， 然 后 利 用 反 比 例 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征 得 到 t(t-1)=6， 再 解 方程 得 到 满 足 条 件 的 t的 值 .答 案 ： (2)当 以 AB为 一 边 的 正 方 形 ABCD的 顶 点 D 在 反 比 例 函 数 6y x 的 图 象 上 ， 则 D 点 与 M点 重 合 ， 即 AB=AM，把 x=1代 入 6y x 得 y=6， M 点 坐 标 为 (1， 6)， AB=AM=6， t=1+6=7；
27、 当 以 AB为 一 边 的 正 方 形 ABCD的 顶 点 C在 反 比 例 函 数 6y x 的 图 象 上 ，则 AB=BC=t-1， C 点 坐 标 为 (t， t-1)， t(t-1)=6，整 理 为 t2-t-6=0， 解 得 t1=3， t2=-2(舍 去 )， t=3， 以 AB为 一 边 的 正 方 形 有 一 个 顶 点 在 反 比 例 函 数 ky x 的 图 象 上 时 ， t的 值 为 7或 3.22.如 图 ， 在 一 条 笔 直 的 东 西 向 海 岸 线 l 上 有 一 长 为 1.5km 的 码 头 MN和 灯 塔 C， 灯 塔 C距 码头 的 东 端 N有
28、20km.一 轮 船 以 36km/h的 速 度 航 行 ， 上 午 10： 00在 A处 测 得 灯 塔 C 位 于 轮 船的 北 偏 西 30 方 向 ， 上 午 10： 40在 B处 测 得 灯 塔 C 位 于 轮 船 的 北 偏 东 60 方 向 ， 且 与 灯 塔 C相 距 12km.(1)若 轮 船 照 此 速 度 与 航 向 航 行 ， 何 时 到 达 海 岸 线 ？解 析 ： (1)延 长 AB交 海 岸 线 l于 点 D， 过 点 B 作 BE 海 岸 线 l 于 点 E， 过 点 A作 AF l于 F，首 先 证 明 ABC是 直 角 三 角 形 ， 再 证 明 BAC=3
29、0 ， 再 求 出 BD的 长 即 可 角 问 题 .答 案 ： (1)延 长 AB交 海 岸 线 l于 点 D， 过 点 B 作 BE 海 岸 线 l 于 点 E， 过 点 A作 AF l于 F， 如 图 所 示 . BEC= AFC=90 ， EBC=60 ， CAF=30 ， ECB=30 ， ACF=60 ， BCA=90 ， BC=12， AB=36 4060 =24， AB=2BC， BAC=30 ， ABC=60 ， ABC= BDC+ BCD=60 ， BDC= BCD=30 ， BD=BC=12， 时 间 123 136t 小 时 =20分 钟 ， 轮 船 照 此 速 度 与
30、 航 向 航 向 ， 上 午 11： 00 到 达 海 岸 线 .(2)若 轮 船 不 改 变 航 向 ， 该 轮 船 能 否 停 靠 在 码 头 ？ 请 说 明 理 由 .(参 考 数 据 ： 2 1.4， 3 1.7)解 析 ： (2)求 出 CD 的 长 度 ， 和 CN、 CM 比 较 即 可 解 决 问 题 .答 案 ： (2) BD=BC， BE CD， DE=EC，在 RT BEC中 ， BC=12海 里 ， BCE=30 ， BE=6海 里 ， EC=6 3 10.2海 里 ， CD=20.4海 里 ， 20 海 里 20.4海 里 21.5海 里 ， 轮 船 不 改 变 航
31、向 ， 轮 船 可 以 停 靠 在 码 头 .23.某 生 物 科 技 发 展 公 司 投 资 2000万 元 ， 研 制 出 一 种 绿 色 保 健 食 品 .已 知 该 产 品 的 成 本 为 40元 /件 ， 试 销 时 ， 售 价 不 低 于 成 本 价 ， 又 不 高 于 180元 /件 .经 市 场 调 查 知 ， 年 销 售 量 y(万 件 )与 销 售 单 价 x(元 /件 )的 关 系 满 足 下 表 所 示 的 规 律 .(1)y与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 是 ， 自 变 量 x的 取 值 范 围 为 . 解 析 ： (1)求 一 次 函 数 解 析 式 可 以
32、 观 察 表 格 直 接 写 出 ， 由 60-65-70， 自 变 量 每 次 增 加 5， 函数 值 每 次 减 少 5； 也 可 以 设 一 次 函 数 解 析 式 得 出 .答 案 ： (1)由 题 意 得 ：y=-x+200(40 x 180).故 答 案 为 y=-x+200； 40 x 180.(2)经 测 算 ： 年 销 售 量 不 低 于 90万 件 时 ， 每 件 产 品 成 本 降 低 2元 ， 设 销 售 该 产 品 年 获 利 润 为W(万 元 )(W=年 销 售 额 -成 本 -投 资 )， 求 出 年 销 售 量 低 于 90 万 件 和 不 低 于 90 万 件
33、 时 ， W 与 x之 间 的 函 数 关 系 式 .解 析 ： (2)市 场 营 销 问 题 ， 根 据 题 目 所 给 等 量 关 系 表 示 年 利 润 .答 案 ： (2)当 y 90， 即 -x+200 90时 ， x 110W=(x-40)(-x+200)-2000=-x 2+240 x-10000当 y 90， 即 -x+200 90时 ， x 110W=(x-38)(-x+200)-2000=-x2+238x-9600 22 ( )( )238 9600 38 110240 10000 110 180 x x xW x x x .(3)在 (2)的 条 件 下 ， 当 销 售
34、单 位 定 为 多 少 时 ， 公 司 销 售 这 种 产 品 年 获 利 润 最 大 ？ 最 大 利 润 为多 少 万 元 ？解 析 ： (3)根 据 二 次 函 数 的 性 质 及 自 变 量 取 值 范 围 求 最 大 利 润 .答 案 ： (3)当 110 x 180时 ，由 W=-x 2+240 x-10000=-(x-120)2+4400 得W 最 大 =4400.当 38 x 110 时 ， W=-x2+238x-9600， 该 函 数 图 象 是 抛 物 线 的 一 部 分 ， 该 抛 物 线 开 口 向 下 ， 它 的 对 称 轴 是 直 线 x=119， 在 对 称 轴左
35、侧 W随 x的 增 大 而 增 大 . 当 x=110， W 最 大 =(110-38) (-110+200)-2000=72 90-2000=4480答 ： 当 销 售 单 位 定 为 110元 时 ， 年 获 利 润 最 大 ， 最 大 利 润 为 4480 万 元 .24.在 四 边 形 OABC 中 ， AB OC， BC x 轴 于 C， A(1， -1)， B(3， -1)， 动 点 P 从 O 点 出 发 ，沿 x轴 正 方 向 以 2个 单 位 /秒 的 速 度 运 动 .过 P作 PQ OA于 Q.设 P点 运 动 的 时 间 为 t秒 (0t 2)， OPQ与 四 边 形
36、OABC重 叠 的 面 积 为 S. (1)求 经 过 O、 A、 B 三 点 的 抛 物 线 的 解 析 式 并 确 定 顶 点 M 的 坐 标 .解 析 ： (1)利 用 对 称 性 得 到 抛 物 线 与 x 轴 的 另 一 个 交 点 坐 标 为 (4， 0)， 则 设 交 点 式 y=ax(x-4)，然 后 把 A 点 坐 标 代 入 求 出 a 即 可 得 到 抛 物 线 的 解 析 式 ， 再 利 用 配 方 法 得 到 顶 点 M的 坐 标 .答 案 ： (1) 抛 物 线 过 点 A(1， -1)， B(3， -1)， 抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 x=2， 抛 物
37、 线 与 x 轴 的 另 一 个 交 点 坐 标 为 (4， 0)，设 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=ax(x-4)，把 A(1， -1)代 入 得 a 1 (-3)=-1， 解 得 a= 13 ， 抛 物 线 的 解 析 式 为 y= 13 x(x-4)， 即 y= 13 x 2- 43 x； y= 13 (x-2)2- 43 ， 顶 点 M 的 坐 标 为 (2， 43 ).(2)用 含 t 的 代 数 式 表 示 P、 Q两 点 的 坐 标 .解 析 ： (2)作 QN x轴 于 N， AH x 轴 于 H， 如 图 1， 先 判 定 AOH和 ONQ为 等 腰 直 角 三 角 形
38、得 到 QN=ON=NP= 12 OP=t， 然 后 用 t表 示 出 P点 和 Q点 坐 标 .答 案 ： (2)作 QN x 轴 于 N， AH x轴 于 H， 如 图 1， A(-1， 1)， OH=AH=1， AOH为 等 腰 直 角 三 角 形 ， ONQ为 等 腰 直 角 三 角 形 ， QN=ON=NP= 12 OP=t， P(2t， 0)， Q(t， -t).(3)将 OPQ 绕 P 点 逆 时 针 旋 转 90 ， 是 否 存 在 t， 使 得 OPQ 的 顶 点 O 或 Q 落 在 抛 物 线 上 ？若 存 在 ， 直 接 写 出 t的 值 ； 若 不 存 在 ， 请 说
39、明 理 由 .解 析 ： (3) OPQ绕 P点 逆 时 针 旋 转 90 得 到 O PQ ， 如 图 2， 作 Q K x 轴 于 K， 利 用旋 转 的 性 质 得 QPQ =90 ， PO x 轴 ， PO =PO=2t， PQ =PQ= 2 t， 再 确 定 O (2t， -2t)， Q (3t， -t)， 然 后 分 别 把 O (2t， -2t)或 Q (3t， -t)代 入 抛 物 线 解 析 式 可 求 出 对应 的 t的 值 .答 案 ： (3)存 在 . OPQ绕 P点 逆 时 针 旋 转 90 得 到 O PQ ， 如 图 2， 作 Q K x轴 于 K， QPQ =9
40、0 ， PO x轴 ， PO =PO=2t， PQ =PQ= 2 t， 则 O (2t， -2t)； KPQ =90 - OPQ=45 ， PQ K为 等 腰 三 角 形 ， PK=Q k=t， Q (3t， -t)，当 O (2t， -2t)落 在 抛 物 线 上 时 ， -2t= 13 4t2- 43 2t， 解 得 t1=0， t2= 12 ；当 Q (3t， -t)落 在 抛 物 线 上 时 ， -t= 13 9t 2- 43 3t， 解 得 t1=0， t2=1；综 上 所 述 ， 当 t为 12 或 1 时 ， 使 得 OPQ的 顶 点 O或 Q落 在 抛 物 线 上 .(4)求
41、S 与 t 的 函 数 解 析 式 .解 析 ： (4)根 据 OPQ 与 四 边 形 OABC重 叠 部 分 的 图 形 不 同 分 类 讨 论 ： 当 0 t 1 时 ， 重 叠 部分 为 三 角 形 ， 如 图 1， 利 用 三 角 形 面 积 公 式 表 示 出 S； 当 1 t 32 时 ， 如 图 3， PQ交 AB 于E 点 ， 重 叠 部 分 为 梯 形 ， 利 用 三 角 形 面 积 的 差 表 示 S； 当 32 t 2， 如 图 4， PQ 交 AB 于 E点 ， 交 BC于 F 点 ， 重 叠 部 分 为 梯 形 OABC减 去 BEF， 则 利 用 梯 形 的 面 积
42、 减 去 三 角 形 面 积 可表 示 出 S. 答 案 ： (4)当 0 t 1 时 ， 如 图 1， S= 12 t 2t=t；当 1 t 32 时 ， 如 图 3， PQ交 AB于 E点 ， S=S POQ-S AEQ= 12 t 2t- 12 (t-1) 2(t-1)=2t-1；当 32 t 2， 如 图 4， PQ 交 AB 于 E 点 ， 交 BC 于 F 点 ， POQ为 等 腰 直 角 三 角 形 ， CPF=45 ， PCF为 等 腰 直 角 三 角 形 ， PC=CF=2t-3， BF=1-(2t-3)=4-2t， S BEF= 12 (4-2t)2=2t2-8t+8， S=S 梯 形 OABC-S BEF= 12 (2+3) 1-(2t2-8t+8)=-2t2+8t-112 .
