1、2015年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 重 庆 卷 ） 数 学 文一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.已 知 集 合 A=1， 2， 3， B=1， 3， 则 A B=( )A.2B.1， 2C.1， 3D.1， 2， 3解 析 ： 集 合 A=1， 2， 3， B=1， 3， 则 A B=1， 3.答 案 ： C.2.“ x=1” 是 “ x 2-2x+1=0” 的 ( )A.充 要 条 件B.充
2、分 而 不 必 要 条 件C.必 要 而 不 充 分 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： 由 x2-2x+1=0， 解 得 ： x=1，故 “ x=1” 是 “ x2-2x+1=0” 的 充 要 条 件 ，答 案 ： A.3.函 数 f(x)=log 2(x2+2x-3)的 定 义 域 是 ( )A.-3， 1B.(-3， 1)C.(- ， -3 1， + )D.(- ， -3) (1， + )解 析 ： 由 题 意 得 ： x2+2x-3 0， 即 (x-1)(x+3) 0解 得 x 1 或 x -3所 以 定 义 域 为 (- ， -3) (1， + )答 案 ：
3、D.4.重 庆 市 2013 年 各 月 的 平 均 气 温 ( )数 据 的 茎 叶 图 如 ， 则 这 组 数 据 的 中 位 数 是 ( ) A.19B.20C.21.5D.23解 析 ： 样 本 数 据 有 12个 ， 位 于 中 间 的 两 个 数 为 20， 20，则 中 位 数 为 ， 答 案 ： B5.某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 体 积 为 ( )A.B. C.D.解 析 ： 由 题 意 可 知 几 何 体 的 形 状 是 放 倒 的 圆 柱 ， 底 面 半 径 为 1， 高 为 2， 左 侧 与 一 个 底 面 半径 为 1，
4、高 为 1的 半 圆 锥 组 成 的 组 合 体 ，几 何 体 的 体 积 为 ： .答 案 ： B.6.若 tan = ， tan( + )= ， 则 tan =( )A. B.C.D.解 析 ： tan = ， tan( + )= ， 则tan =tan( + )- = ，答 案 ： A. 7.已 知 非 零 向 量 a， b 满 足 |b|=4|a|， 且 a (2a+b)则 a 与 b 的 夹 角 为 ( )A. B.C.D.解 析 ： 由 已 知 非 零 向 量 a， b 满 足 |b|=4|a|， 且 a (2a+b)， 设 两 个 非 零 向 量 a， b 的 夹 角 为 ，所
5、以 a (2a+b)=0， 即 ， 所 以 cos = ， 0， ， 所 以 ；答 案 ： C.8.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 则 输 出 s的 值 为 ( ) A.B.C.D.解 析 ： 模 拟 执 行 程 序 框 图 ， 可 得s=0， k=0满 足 条 件 k 8， k=2， s=满 足 条 件 k 8， k=4， s= + 满 足 条 件 k 8， k=6， s= + +满 足 条 件 k 8， k=8， s= + + + = 不 满 足 条 件 k 8， 退 出 循 环 ， 输 出 s 的 值 为 .答 案 ： D.9.设 双 曲 线 =1(a 0， b 0)的
6、右 焦 点 是 F， 左 、 右 顶 点 分 别 是 A1， A2， 过 F做 A1A2的 垂 线 与 双 曲 线 交 于 B， C 两 点 ， 若 A 1B A2C， 则 该 双 曲 线 的 渐 近 线 的 斜 率 为 ( )A.B.C. 1D.解 析 ： 由 题 意 ， A 1(-a， 0)， A2(a， 0)， B(c， )， C(c， - )， A1B A2C， ， a=b， 双 曲 线 的 渐 近 线 的 斜 率 为 1.答 案 ： C. 10.若 不 等 式 组 ， 表 示 的 平 面 区 域 为 三 角 形 ， 且 其 面 积 等 于 ， 则 m 的 值 为( )A.-3B.1C
7、.D.3解 析 ： 作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 如 图 ： 若 表 示 的 平 面 区 域 为 三 角 形 ，则 C(2， 0)在 直 线 x-y+2m=0的 下 方 ，即 2+2m 0，则 m -1，则 C(2， 0)， F(0， 1)，由 ， 解 得 ， 即 A(1-m， 1+m)，由 ， 解 得 ， 即 . |AF|=1+m-1=m，则 三 角 形 ABC的 面 积 S= m 2+ (- )= ，即 m2+m-2=0，解 得 m=1或 m=-2(舍 )，答 案 ： B二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 25分 .把
8、答 案 填 写 在 答 题 卡 相 应 位 置 上 .11.复 数 (1+2i)i的 实 部 为 _.解 析 ： (1+2i)i=i+2i 2=-2+i， 所 以 此 复 数 的 实 部 为 -2；故 答 案 为 ： -2.12.若 点 P(1， 2)在 以 坐 标 原 点 为 圆 心 的 圆 上 ， 则 该 圆 在 点 P 处 的 切 线 方 程 为 _.解 析 ： 由 题 意 可 得 OP和 切 线 垂 直 ， 故 切 线 的 斜 率 为 ，故 切 线 的 方 程 为 y-2=- (x-1)， 即 x+2y-5=0，故 答 案 为 ： x+2y-5=0. 13.设 ABC的 内 角 A，
9、B， C 的 对 边 分 别 为 a， b， c， 且 a=2， cosC=- ， 3sinA=2sinB， 则c=_.解 析 ： 3sinA=2sinB， 由 正 弦 定 理 可 得 ： 3a=2b， a=2， 可 解 得 b=3，又 cosC=- ， 由 余 弦 定 理 可 得 ： c 2=a2+b2-2abcosC=4+9-2 =16， 解 得 ： c=4.故 答 案 为 ： 4.14.设 a， b 0， a+b=5， 则 的 最 大 值 为 _.解 析 ： 利 用 柯 西 不 等 式 ， 即 可 求 出 的 最 大 值 .答 案 ： 由 题 意 ， ( ) 2 (1+1)(a+1+b+
10、3)=18， 的 最 大 值 为 315.在 区 间 0， 5上 随 机 地 选 择 一 个 数 p， 则 方 程 x2+2px+3p-2=0 有 两 个 负 根 的 概 率 为 _.解 析 ： 由 一 元 二 次 方 程 根 的 分 布 可 得 p 的 不 等 式 组 ， 解 不 等 式 组 ， 由 长 度 之 比 可 得 所 求 概 率 .答 案 ： 方 程 x 2+2px+3p-2=0有 两 个 负 根 等 价 于 ，解 关 于 p 的 不 等 式 组 可 得 p 1 或 p 2， 所 求 概 率三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 75分 ， 解 答 应 写 出
11、文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .16.已 知 等 差 数 列 a n满 足 a3=2， 前 3 项 和 S3= .(1)求 an的 通 项 公 式 ；(2)设 等 比 数 列 bn满 足 b1=a1， b4=a15， 求 bn前 n 项 和 Tn.解 析 ： (1)设 等 差 数 列 an的 公 差 为 d， 则 由 已 知 条 件 列 式 求 得 首 项 和 公 差 ， 代 入 等 差 数 列 的通 项 公 式 得 答 案 ； (2)求 出 ， 再 求 出 等 比 数 列 的 公 比 ， 由 等 比 数 列 的 前 n 项 和 公 式求 得 bn前 n项 和 Tn.
12、答 案 ： (1)设 等 差 数 列 an的 公 差 为 d， 则 由 已 知 条 件 得 ：， 解 得 .代 入 等 差 数 列 的 通 项 公 式 得 ： ；(2)由 (1)得 ， . 设 bn的 公 比 为 q， 则 ， 从 而 q=2，故 bn的 前 n项 和 .17.随 着 我 国 经 济 的 发 展 ， 居 民 的 储 蓄 存 款 逐 年 增 长 .设 某 地 区 城 乡 居 民 人 民 币 储 蓄 存 款 (年底 余 额 )如 下 表 ： (1)求 y 关 于 t 的 回 归 方 程 = t+ .附 ： 回 归 方 程 = t+ 中 .(2)用 所 求 回 归 方 程 预 测 该
13、 地 区 2015年 (t=6)的 人 民 币 储 蓄 存 款 .解 析 ： (1)利 用 公 式 求 出 a， b， 即 可 求 y 关 于 t的 回 归 方 程 = t+ . (2)t=6， 代 入 回 归 方 程 ， 即 可 预 测 该 地 区 2015年 的 人 民 币 储 蓄 存 款 .答 案 ： (1) 由 题 意 ， =3， =7.2，=55-5 32=10， =120-5 3 7.2=12， =1.2， =7.2-1.2 3=3.6， y 关 于 t的 回 归 方 程 =1.2t+3.6.(2)t=6时 ， =1.2 6+3.6=10.8(千 亿 元 ).18.已 知 函 数
14、f(x)= sin2x- cos 2x.(1)求 f(x)的 最 小 周 期 和 最 小 值 ；(2)将 函 数 f(x)的 图 象 上 每 一 点 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 两 倍 ， 纵 坐 标 不 变 ， 得 到 函 数 g(x)的 图 象 .当 x 时 ， 求 g(x)的 值 域 .解 析 ： (1)由 三 角 函 数 中 的 恒 等 变 换 应 用 化 简 函 数 解 析 式 可 得 f(x)=sin(2x- )- ， 从 而可 求 最 小 周 期 和 最 小 值 ；(2)由 函 数 y=Asin( x+ )的 图 象 变 换 可 得 g(x)=sin(x- )- ，
15、由 x ， 时 ， 可 得 x- 的 范 围 ， 即 可 求 得 g(x)的 值 域 .答 案 ： (1) f(x)= sin2x- cos2x= sin2x- (1+cos2x)=sin(2x- )- ， f(x)的 最 小 周 期 T= = ， 最 小 值 为 ： .(2)由 条 件 可 知 ： g(x)=sin(x- )- 当 x ， 时 ， 有 x- ， 从 而 sin(x- )的 值 域 为 ， 1， 那 么sin(x- )- 的 值 域 为 ： ，故 g(x)在 区 间 ， 上 的 值 域 是 .19.已 知 函 数 f(x)=ax 3+x2(a R)在 x= 处 取 得 极 值
16、.(1)确 定 a 的 值 ；(2)若 g(x)=f(x)ex， 讨 论 g(x)的 单 调 性 .解 析 ： (1)求 导 数 ， 利 用 f(x)=ax3+x2(a R)在 x= 处 取 得 极 值 ， 可 得 f ( )=0， 即 可确 定 a的 值 ；(2)由 (1)得 g(x)=( x 3+x2)ex， 利 用 导 数 的 正 负 可 得 g(x)的 单 调 性 .答 案 ： (1)对 f(x)求 导 得 f (x)=3ax2+2x. f(x)=ax3+x2(a R)在 x= 处 取 得 极 值 ， f ( )=0， 3a +2 ( )=0， a= ；(2)由 (1)得 g(x)=(
17、 x 3+x2)ex， g (x)=( x2+2x)ex+( x3+x2)ex= x(x+1)(x+4)ex，令 g (x)=0， 解 得 x=0， x=-1或 x=-4，当 x -4 时 ， g (x) 0， 故 g(x)为 减 函 数 ；当 -4 x -1时 ， g (x) 0， 故 g(x)为 增 函 数 ；当 -1 x 0时 ， g (x) 0， 故 g(x)为 减 函 数 ；当 x 0 时 ， g (x) 0， 故 g(x)为 增 函 数 ；综 上 知 g(x)在 (- ， -4)和 (-1， 0)内 为 减 函 数 ， 在 (-4， -1)和 (0， + )内 为 增 函 数 .2
18、0.如 题 图 ， 三 棱 锥 P-ABC 中 ， 平 面 PAC 平 面 ABC， ABC= ， 点 D、 E 在 线 段 AC上 ， 且 AD=DE=EC=2， PD=PC=4， 点 F 在 线 段 AB上 ， 且 EF BC. (1)证 明 ： AB 平 面 PFE.(2)若 四 棱 锥 P-DFBC的 体 积 为 7， 求 线 段 BC的 长 .解 析 ： (1)由 等 腰 三 角 形 的 性 质 可 证 PE AC， 可 证 PE AB.又 EF BC， 可 证 AB EF， 从 而AB与 平 面 PEF内 两 条 相 交 直 线 PE， EF都 垂 直 ， 可 证 AB 平 面 P
19、EF.(2)设 BC=x， 可 求 AB， S ABC， 由 EF BC 可 得 AFE ABC， 求 得 S AFE= S ABC， 由 AD= AE，可 求 S AFD， 从 而 求 得 四 边 形 DFBC的 面 积 ， 由 (1)知 PE 为 四 棱 锥 P-DFBC 的 高 ， 求 得 PE， 由体 积 V P-DFBC= SDFBC PE=7， 即 可 解 得 线 段 BC的 长 .答 案 ： (1)如 图 ，由 DE=EC， PD=PC 知 ， E 为 等 腰 PDC中 DC 边 的 中 点 ， 故 PE AC，又 平 面 PAC 平 面 ABC， 平 面 PAC 平 面 ABC
20、=AC， PE平 面 PAC， PE AC，所 以 PE 平 面 ABC， 从 而 PE AB. 因 为 ABC= ， EF BC，故 AB EF，从 而 AB与 平 面 PEF 内 两 条 相 交 直 线 PE， EF都 垂 直 ，所 以 AB 平 面 PEF.(2)设 BC=x， 则 在 直 角 ABC 中 ， ，从 而 S ABC= AB ，由 EF BC 知 ， 得 AFE ABC，故 =( )2= ， 即 S AFE= S ABC， 由 AD= AE， S AFD= = S ABC= S ABC= x ，从 而 四 边 形 DFBC的 面 积 为 ： SDFBC=S ABC-SAFD
21、= .由 (1)知 ， PE 平 面 ABC， 所 以 PE为 四 棱 锥 P-DFBC 的 高 .在 直 角 PEC中 ， ，故 体 积 V P-DFBC= SDFBC ，故 得 x4-36x2+243=0， 解 得 x2=9或 x2=27， 由 于 x 0， 可 得 x=3或 x= .所 以 ： BC=3或 BC= .21.如 题 图 ， 椭 圆 =1(a b 0)的 左 右 焦 点 分 别 为 F 1， F2， 且 过 F2的 直 线 交 椭 圆 于 P，Q两 点 ， 且 PQ PF1.(1)若 |PF 1|=2+ ， |PF2|=2- ， 求 椭 圆 的 标 准 方 程 .(2)若 |
22、PQ|= |PF1|， 且 ， 试 确 定 椭 圆 离 心 率 e的 取 值 范 围 .解 析 ： (1)由 椭 圆 的 定 义 可 得 ： 2a=|PF1|+|PF2|， 解 得 a.设 椭 圆 的 半 焦 距 为 c， 由 于 PQ PF1，利 用 勾 股 定 理 可 得 2c=|F1F2|= ， 解 得 c.利 用 b2=a2-c2.即 可 得 出 椭 圆 的标 准 方 程 .(2)如 图 所 示 ， 由 PQ PF 1， |PQ|= |PF1|， 可 得 |QF1|= ， 由 椭 圆 的 定 义 可得 ： |PF1|+|PQ|+|QF1|=4a， 解 得 |PF1|= .|PF2|=2
23、a-|PF1|， 由 勾 股 定 理 可 得 ：2c=|F1F2|= ， 代 入 化 简 .令 t=1+ ， 则 上 式 化 为e 2= ， 解 出 即 可 .答 案 ： (1)由 椭 圆 的 定 义 可 得 ： 2a=|PF1|+|PF2|=(2+ )+(2- )=4， 解 得 a=2. 设 椭 圆 的 半 焦 距 为 c， PQ PF1， 2c=|F1F2|= ， c= . b2=a2-c2=1. 椭 圆 的 标 准 方 程 为 .(2)如 图 所 示 ， 由 PQ PF 1， |PQ|= |PF1|， |QF 1|= ，由 椭 圆 的 定 义 可 得 ： 2a=|PF1|+|PF2|=|QF1|+|QF2|， |PF1|+|PQ|+|QF1|=4a， |PF1|=4a， 解 得 |PF1|= .|PF 2|=2a-|PF1|= ，由 勾 股 定 理 可 得 ： 2c=|F1F2|= ， =4c2， =e 2.令 t=1+ ， 则 上 式 化 为 ， t=1+ ， 且 ， t 关 于 单 调 递 增 ， 3 t 4. ， ， 解 得 . 椭 圆 离 心 率 的 取 值 范 围 是 .
