1、2014年 黑 龙 江 省 黑 河 市 中 考 真 题 数 学一 、 单 项 选 择 题 (每 小 题 3 分 ， 满 分 30分 )1.(3分 )下 列 各 式 计 算 正 确 的 是 ( )A.a4 a3=a12B.3a 4a=12aC.(a3)4=a12D.a12 a3=a4解 析 ： A、 底 数 不 变 指 数 相 加 ， 故 A 错 误 ；B、 底 数 不 变 指 数 相 加 ， 故 B 错 误 ；C、 底 数 不 变 指 数 相 乘 ， 故 C 正 确 ；D、 底 数 不 变 指 数 相 减 ， 故 D 错 误 ；答 案 ： C. 2.(3分 )下 列 英 文 字 母 既 是 中
2、 心 对 称 图 形 又 是 轴 对 称 图 形 的 是 ( )A.B.C.D. 解 析 ： A、 图 形 A 是 中 心 对 称 图 形 ， 不 是 轴 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 ；B、 图 形 B 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 是 轴 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 ；C、 图 形 C 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 是 轴 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 ；D、 图 形 D 是 中 心 对 称 图 形 ， 也 是 轴 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 正 确 .答 案 ： D.3.(3分 )现 测 得 齐 齐 哈 尔 市 扎 龙 自
3、然 保 护 区 六 月 某 五 天 的 最 高 气 温 分 别 为 27、 30、 27、 32、34(单 位 ： )， 这 组 数 据 的 众 数 和 中 位 数 分 别 是 ( )A.34、 27B.27、 30C.27、 34D.30、 27解 析 ： 27 出 现 了 2 次 ， 出 现 的 次 数 最 多 ， 则 众 数 是 27； 把 这 组 数 据 从 小 到 大 排 列 ： 27， 27， 30， 32， 34， 最 中 间 的 数 是 30， 则 中 位 数 是 30；答 案 ： B.4.(3分 )将 一 张 面 值 100元 的 人 民 币 ， 兑 换 成 10元 或 20
4、元 的 零 钱 ， 兑 换 方 案 有 ( ) A.6 种B.7 种C.8 种D.9 种解 析 ： 设 兑 换 成 10 元 x 张 ， 20元 的 零 钱 y元 ， 由 题 意 得 ： 10 x+20y=100，整 理 得 ： x+2y=10， 方 程 组 的 整 数 解 为 ： ， ， ， ， ， ，因 此 兑 换 方 案 有 6 种 ，答 案 ： A.5.(3分 )关 于 x的 分 式 方 程 =1的 解 为 正 数 ， 则 字 母 a的 取 值 范 围 为 ( )A.a -1 B.a -1C.a -1D.a -1解 析 ： 分 式 方 程 去 分 母 得 ： 2x-a=x+1， 解 得
5、 ： x=a+1，根 据 题 意 得 ： a+1 0且 a+1+1 0， 解 得 ： a -1且 a -2.即 字 母 a 的 取 值 范 围 为 a -1.答 案 ： B.6.(3分 )如 图 ， 在 O 中 ， OD BC， BOD=60 ， 则 CAD的 度 数 等 于 ( ) A.15B.20C.25D.30解 析 ： 在 O中 ， OD BC， = ， CAD= BOD= 60 =30 .答 案 ： D.7.(3分 )若 等 腰 三 角 形 的 周 长 是 80cm， 则 能 反 映 这 个 等 腰 三 角 形 的 腰 长 ycm与 底 边 长 xcm的 函 数 关 系 式 的 图
6、象 是 ( ) A. B.C.D. 解 析 ： 根 据 题 意 ， x+2y=80， 所 以 y=- x+40，根 据 三 角 形 的 三 边 关 系 ， x y-y=0， x y+y=2y， 所 以 x+x 80， 解 得 x 40，所 以 ， y 与 x 的 函 数 关 系 式 为 y=- x+40(0 x 40)，只 有 D选 项 符 合 .答 案 ： D.8.(3分 )如 图 ， 由 几 个 相 同 的 小 正 方 体 搭 成 的 几 何 体 的 主 视 图 和 俯 视 图 ， 组 成 这 个 几 何 体 的小 正 方 体 的 个 数 是 ( ) A.5 个 或 6个B.6 个 或 7
7、个C.7 个 或 8个D.8 个 或 9个解 析 ： 从 俯 视 图 可 得 最 底 层 有 4个 个 小 正 方 体 ， 由 主 视 图 可 得 上 面 一 层 是 2 个 或 3 小 正 方 体 ，则 组 成 这 个 几 何 体 的 小 正 方 体 的 个 数 是 6 个 或 7个 ；答 案 ： B. 9.(3分 )如 图 ， 二 次 函 y=ax2+bx+c(a 0)图 象 的 一 部 分 ， 对 称 轴 为 直 线 x= ， 且 经 过 点 (2，0)， 下 列 说 法 ： abc 0； a+b=0； 4a+2b+c 0； 若 (-2， y1)， ( ， y2)是 抛 物 线 上 的两
8、 点 ， 则 y1 y2， 其 中 说 法 正 确 的 是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 二 次 函 数 的 图 象 开 口 向 下 ， a 0， 二 次 函 数 的 图 象 交 y 轴 的 正 半 轴 于 一 点 ， c 0， 对 称 轴 是 直 线 x= ， - = ， b=-a 0， abc 0.故 正 确 ； 由 中 知 b=-a， a+b=0， 故 正 确 ； 把 x=2代 入 y=ax 2+bx+c得 ： y=4a+2b+c， 抛 物 线 经 过 点 (2， 0)， 当 x=2时 ， y=0， 即 4a+2b+c=0.故 错 误 ； (-2， y1)关 于 直 线 x
9、= 的 对 称 点 的 坐 标 是 (3， y1)，又 当 x 时 ， y 随 x 的 增 大 而 减 小 ， 3， y1 y2.故 正 确 ；综 上 所 述 ， 正 确 的 结 论 是 .答 案 ： A.10.(3分 )如 图 ， 四 边 形 ABCD是 矩 形 ， AB=6cm， BC=8cm， 把 矩 形 沿 直 线 BD 折 叠 ， 点 C落 在点 E 处 ， BE与 AD相 交 于 点 F， 连 接 AE， 下 列 结 论 ： FBD是 等 腰 三 角 形 ； 四 边 形 ABDE是 等 腰 梯 形 ； 图 中 共 有 6对 全 等 三 角 形 ； 四 边 形 BCDF的 周 长 为
10、 cm； AE的 长 为 cm.其 中 结 论 正 确 的 个 数 为 ( ) A.2 个B.3 个C.4 个D.5 个解 析 ： 由 折 叠 的 性 质 知 ， CD=ED， BE=BC. 四 边 形 ABCD 是 矩 形 ， AD=BC， AB=CD， BAD=90 ， AB=DE， BE=AD， BD=BD， ABD EDB， EBD= ADB， BF=DF， 即 FBD是 等 腰 三 角 形 ， 结 论 正 确 ； AD=BE， AB=DE， AE=AE， AED EAB(SSS)， AEB= EAD， AFE= BFD， AEB= EBD， AE BD，又 AB=DE， 四 边 形
11、ABDE是 等 腰 梯 形 .结 论 正 确 ； 图 中 的 全 等 三 角 形 有 ： ABD CDB， ABD EDB， CDB EDB， ABF EDF， ABE EDA共 有 5对 ， 则 结 论 错 误 ； BC=BE=8cm， CD=ED=AB=6cm， 则 设 BF=DF=xcm， 则 AF=8-xcm， 在 直 角 ABF中 ， AB2+AF2=BF2， 则 36+(8-x)2=x2， 解 得 ： x= cm，则 四 边 形 BCDF 的 周 长 为 ： 8+6+2 =14+ = cm， 则 结 论 正 确 ； 在 直 角 BCD中 ， BD= =10， AE BD， BDF
12、EAF， = = ， AE= BD= 10= cm.则 结 论正 确 .综 上 所 述 ， 正 确 的 结 论 有 ， 共 4 个 .答 案 ： C. 二 、 填 空 题 (每 小 题 3 分 ， 满 分 30 分 )11.(3分 )财 政 部 近 日 公 开 的 情 况 显 示 ， 2014年 中 央 本 级 “ 三 公 ” 经 费 财 政 款 预 算 比 去 年 年初 预 算 减 少 8.18亿 元 ， 用 科 学 记 数 法 表 示 8.18亿 元 为 .解 析 ： 8.18亿 元 =8.18 108元 .答 案 ： 8.18 108元 .12.(3分 )在 函 数 y= 中 ， 自 变
13、 量 x 的 取 值 范 围 是 .解 析 ： 由 题 意 得 ， 2x-1 0 且 x-3 0， 解 得 x 且 x 3.答 案 ： x 且 x 3. 13.(3分 )如 图 ， 已 知 ABC中 ， AB=AC， 点 D、 E在 BC上 ， 要 使 ABD ACE， 则 只 需 添 加 一个 适 当 的 条 件 是 .(只 填 一 个 即 可 ) 解 析 ： BD=CE， 理 由 是 ： AB=AC， B= C，在 ABD和 ACE中 ， ， ABD ACE(SAS)，答 案 ： BD=CE.14.(3分 )已 知 x2-2x=5， 则 代 数 式 2x2-4x-1的 值 为 .解 析 ：
14、 x 2-2x=5， 2x2-4x-1=2(x2-2x)-1， =2 5-1， =10-1， =9.答 案 ： 9.15.(3分 )从 2、 3、 4这 三 个 数 字 中 任 取 两 个 数 字 组 成 一 个 两 位 数 ， 其 中 能 被 3 整 除 的 两 位数 的 概 率 是 .解 析 ： 画 树 状 图 得 ： 共 有 6 种 等 可 能 的 结 果 ， 其 中 能 被 3整 除 的 两 位 数 的 有 ： 24， 42， 其 中 能 被 3 整 除 的 两 位 数 的 概 率 是 ： = .答 案 ： .16.(3分 )用 一 个 圆 心 角 为 240 半 径 为 6 的 扇
15、形 做 一 个 圆 锥 的 侧 面 ， 则 这 个 圆 锥 底 面 半 径为 .解 析 ： 扇 形 的 弧 长 = =8 ， 圆 锥 的 底 面 半 径 为 8 2 =4.答 案 ： 4.17.(3分 )在 Rt ABC中 ， ACB=90 ， CD 是 斜 边 AB上 的 中 线 ， CD=4， AC=6， 则 sinB的 值 是 .解 析 ： Rt ABC中 ， CD是 斜 边 AB上 的 中 线 ， CD=4， AB=2CD=8， 则 sinB= = = .答 案 ： . 18.(3分 )在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 点 P 到 x 轴 的 距 离 为 3 个 单 位 长
16、 度 ， 到 原 点 O 的 距 离为 5 个 单 位 长 度 ， 则 经 过 点 P的 反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 .解 析 ： 根 据 题 意 ， P的 坐 标 可 能 是 ： (4， 3)， (4， -3)， (-4， 3)， (-4， -3)，设 反 比 例 解 析 式 为 y= ， 将 P 坐 标 分 别 代 入 得 ： k=12或 k=-12， 则 反 比 例 解 析 式 为 y= 或y=- .答 案 ： y= 或 y=- . 19.(3分 )已 知 正 方 形 ABCD的 边 长 为 2cm， 以 CD为 边 作 等 边 三 角 形 CDE， 则 ABE的 面 积 为
17、cm2.解 析 ： 如 图 ， CDE是 等 边 三 角 形 ， 点 E到 CD的 距 离 为 2 = cm， 点 E到 AB的 距 离 =2+ cm 或 2- cm， ABE的 面 积 = 2 (2+ )=2+ cm 2， 或 ABE的 面 积 = 2 (2- )=2- cm2.故 答 案 为 ： (2+ )或 (2- ).20.(3分 )如 图 ， 在 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 有 一 个 等 腰 直 角 三 角 形 AOB， OAB=90 ， 直角 边 AO在 x轴 上 ， 且 AO=1.将 Rt AOB绕 原 点 O顺 时 针 旋 转 90 得 到 等 腰 直 角
18、三 角 形 A1OB1，且 A1O=2AO， 再 将 Rt A1OB1绕 原 点 O 顺 时 针 旋 转 90 得 到 等 腰 三 角 形 A2OB2， 且 A2O=2A1O ，依 此 规 律 ， 得 到 等 腰 直 角 三 角 形 A 2014OB2014， 则 点 A2014的 坐 标 为 . 解 析 ： 将 Rt AOB绕 原 点 O顺 时 针 旋 转 90 得 到 等 腰 直 角 三 角 形 A1OB1， 且 A1O=2AO，再 将 Rt A1OB1绕 原 点 O顺 时 针 旋 转 90 得 到 等 腰 三 角 形 A2OB2， 且 A2O=2A1O ， 依 此 规 律 ， 每 4次
19、循 环 一 周 ， A1(0， -2)， A2(-4， 0)， A3(0， 8)， A4(16， 0)， 2014 4=503 2， 点 A2014与 A2同 在 x 轴 负 半 轴 ， -4=-22， 8=23， 16=24， 点 A2014(-22014， 0).答 案 ： (-22014， 0).三 、 解 答 题 (满 分 60 分 )21.(5分 )先 化 简 ， 再 求 值 ： ( - ) ， 其 中 x=-1.解 析 ： 原 式 括 号 中 两 项 通 分 并 利 用 同 分 母 分 式 的 减 法 法 则 计 算 ， 再 利 用 除 法 法 则 计 算 ， 约 分得 到 最 简
20、 结 果 ， 将 x 的 值 代 入 计 算 即 可 求 出 值 . 答 案 ： 原 式 = = = ，当 x=-1 时 ， 原 式 =1.22.(6分 )如 图 ， 在 四 边 形 ABCD中 ， (1)画 出 四 边 形 A1B1C1D1， 使 四 边 形 A1B1C1D1与 四 边 形 ABCD 关 于 直 线 MN 成 轴 对 称 ；(2)画 出 四 边 形 A2B2C2D2， 使 四 边 形 A2B2C2D2与 四 边 形 ABCD 关 于 点 O 中 心 对 称 ；(3)四 边 形 A1B1C1D1与 四 边 形 A2B2C2D2是 否 对 称 ， 若 对 称 请 在 图 中 画
21、出 对 称 轴 或 对 称 中 心 .解 析 ： (1)根 据 网 格 结 构 找 出 点 A、 B、 C、 D 关 于 直 线 MN 的 对 称 点 A1、 B1、 C1、 D1的 位 置 ， 然后 顺 次 连 接 即 可 ；(2)根 据 网 格 结 构 找 出 点 A、 B、 C、 D 关 于 点 O 的 对 称 点 A2、 B2、 C2、 D2的 位 置 ， 然 后 顺 次 连接 即 可 ； (3)观 察 图 形 ， 根 据 轴 对 称 的 性 质 解 答 .答 案 ： (1)四 边 形 A1B1C1D1如 图 所 示 ； (2)四 边 形 A2B2C2D2如 图 所 示 ；(3)如 图
22、 所 示 ， 四 边 形 A 1B1C1D1与 四 边 形 A2B2C2D2关 于 直 线 PQ成 轴 对 称 . 23.(6分 )如 图 ， 已 知 抛 物 线 的 顶 点 为 A(1， 4)， 抛 物 线 与 y 轴 交 于 点 B(0， 3)， 与 x 轴 交 于C、 D 两 点 ， 点 P是 x轴 上 的 一 个 动 点 . (1)求 此 抛 物 线 的 解 析 式 ；(2)当 PA+PB 的 值 最 小 时 ， 求 点 P 的 坐 标 .解 析 ： (1)设 抛 物 线 顶 点 式 解 析 式 y=a(x-1)2+4， 然 后 把 点 B 的 坐 标 代 入 求 出 a 的 值 ，
23、即 可 得解 ；(2)先 求 出 点 B 关 于 x 轴 的 对 称 点 B 的 坐 标 ， 连 接 AB 与 x 轴 相 交 ， 根 据 轴 对 称 确 定 最 短路 线 问 题 ， 交 点 即 为 所 求 的 点 P， 然 后 利 用 待 定 系 数 法 求 一 次 函 数 解 析 式 求 出 直 线 AB 的 解析 式 ， 再 求 出 与 x 轴 的 交 点 即 可 .答 案 ： (1) 抛 物 线 的 顶 点 为 A(1， 4)， 设 抛 物 线 的 解 析 式 y=a(x-1) 2+4，把 点 B(0， 3)代 入 得 ， a+4=3， 解 得 a=-1， 抛 物 线 的 解 析 式
24、 为 y=-(x-1)2+4；(2)点 B 关 于 x 轴 的 对 称 点 B 的 坐 标 为 (0， -3)， 由 轴 对 称 确 定 最 短 路 线 问 题 ， 连 接 AB 与 x轴 的 交 点 即 为 点 P，设 直 线 AB 的 解 析 式 为 y=kx+b(k 0)，则 ， 解 得 ， 直 线 AB 的 解 析 式 为 y=7x-3，令 y=0， 则 7x-3=0， 解 得 x= ， 所 以 当 PA+PB的 值 最 小 时 的 点 P的 坐 标 为 ( ， 0).24.(7分 )在 大 课 间 活 动 中 ， 同 学 们 积 极 参 加 体 育 锻 炼 ， 小 龙 在 全 校 随
25、 机 抽 取 一 部 分 同 学 就“ 我 最 喜 爱 的 体 育 项 目 ” 进 行 了 一 次 抽 样 调 查 ， 下 面 是 他 通 过 收 集 的 数 据 绘 制 的 两 幅 不 完 整的 统 计 图 ， 请 你 根 据 图 中 提 供 的 信 息 ， 解 答 以 下 问 题 ： (1)小 龙 共 抽 取 名 学 生 ；(2)补 全 条 形 统 计 图 ；(3)在 扇 形 统 计 图 中 ， “ 立 定 跳 远 ” 部 分 对 应 的 圆 心 角 的 度 数 是 度 ；(4)若 全 校 共 2130名 学 生 ， 请 你 估 算 “ 其 他 ” 部 分 的 学 生 人 数 .解 析 ：
26、 (1)根 据 跳 绳 的 人 数 是 15， 占 30%， 即 可 求 得 总 人 数 ；(2)根 据 百 分 比 的 意 义 求 得 踢 毽 子 的 人 数 ， 则 其 他 项 目 的 人 数 可 求 得 ， 从 而 补 全 直 方 图 ；(3)利 用 360 乘 以 对 应 的 比 例 即 可 求 得 ；(4)利 用 总 人 数 2130乘 以 对 应 的 比 例 即 可 求 解 .答 案 ： (1)抽 取 的 总 人 数 是 ： 15 30%=50(人 )；(2)踢 毽 子 的 人 数 是 ： 50 18%=9(人 )， 则 其 他 项 目 的 人 数 是 ： 50-15-16-9=1
27、0(人 )， (3)“ 立 定 跳 远 ” 部 分 对 应 的 圆 心 角 的 度 数 是 ： 360 =115.2 ；(4)“ 其 他 ” 部 分 的 学 生 人 数 是 ： 2130 =426(人 ).25.(8分 )已 知 ， A、 B 两 市 相 距 260千 米 ， 甲 车 从 A 市 前 往 B 市 运 送 物 资 ， 行 驶 2 小 时 在 M地 汽 车 出 现 故 障 ， 立 即 通 知 技 术 人 员 乘 乙 车 从 A 市 赶 来 维 修 (通 知 时 间 忽 略 不 计 )， 乙 车 到 达M地 后 又 经 过 20分 钟 修 好 甲 车 后 以 原 速 原 路 返 回
28、， 同 时 甲 车 以 原 速 1.5倍 的 速 度 前 往 B 市 ，如 图 是 两 车 距 A市 的 路 程 y(千 米 )与 甲 车 行 驶 时 间 x(小 时 )之 间 的 函 数 图 象 ， 结 合 图 象 回 答下 列 问 题 ： (1)甲 车 提 速 后 的 速 度 是 千 米 /时 ， 乙 车 的 速 度 是 千 米 /时 ， 点 C的 坐 标为 ；(2)求 乙 车 返 回 时 y 与 x 的 函 数 关 系 式 并 写 出 自 变 量 x 的 取 值 范 围 ；(3)求 甲 车 到 达 B 市 时 乙 车 已 返 回 A 市 多 长 时 间 ？解 析 ： (1)由 甲 车 行
29、 驶 2小 时 在 M地 且 M地 距 A市 80千 米 ， 由 此 求 得 甲 车 原 来 的 速 度 80 2=40千 米 /小 时 ， 进 一 步 求 得 甲 车 提 速 后 的 速 度 是 40 1.5=60千 米 /时 ； 乙 车 从 出 发 到 返 回 共 用4-2=2小 时 ， 行 车 时 间 为 2- = 小 时 ， 速 度 为 80 2 =96千 米 /时 ； 点 C 的 横 坐 标 为2+ + = ， 纵 坐 标 为 80；(2)设 乙 车 返 回 时 y 与 x 的 函 数 关 系 式 y=kx+b， 代 入 点 C和 (4， 0)求 得 答 案 即 可 ；(3)求 出
30、甲 车 提 速 后 到 达 B 市 所 用 的 时 间 减 去 乙 车 返 回 A 市 所 用 的 时 间 即 可 .答 案 ： (1)甲 车 提 速 后 的 速 度 ： 80 2 1.5=60 千 米 /时 ， 乙 车 的 速 度 ： 80 2 (2- )=96千 米 /时 ；点 C 的 横 坐 标 为 2+ + = ， 纵 坐 标 为 80， 坐 标 为 ( ， 80)；(2)设 乙 车 返 回 时 y 与 x 的 函 数 关 系 式 y=kx+b，代 入 ( ， 80)和 (4， 0)得 ， 解 得 ，所 以 y与 x的 函 数 关 系 式 y=-96x+384( x 4)；(3)(26
31、0-80) 60-80 96=3- = (小 时 ).答 ： 甲 车 到 达 B 市 时 乙 车 已 返 回 A 市 小 时 . 26.(8分 )在 等 腰 直 角 三 角 形 ABC中 ， BAC=90 ， AB=AC， 直 线 MN过 点 A 且 MN BC， 过 点B为 一 锐 角 顶 点 作 Rt BDE， BDE=90 ， 且 点 D在 直 线 MN上 (不 与 点 A重 合 )， 如 图 1， DE与 AC 交 于 点 P， 易 证 ： BD=DP.(无 需 写 证 明 过 程 ) (1)在 图 2 中 ， DE 与 CA延 长 线 交 于 点 P， BD=DP 是 否 成 立 ？
32、 如 果 成 立 ， 请 给 予 证 明 ； 如 果 不成 立 ， 请 说 明 理 由 ；(2)在 图 3 中 ， DE与 AC延 长 线 交 于 点 P， BD与 DP是 否 相 等 ？ 请 直 接 写 出 你 的 结 论 ， 无 需 证明 .解 析 ： (1)如 答 图 2， 作 辅 助 线 ， 构 造 全 等 三 角 形 BDF PDA， 可 以 证 明 BD=DP；(2)如 答 图 3， 作 辅 助 线 ， 构 造 全 等 三 角 形 BDF PDA， 可 以 证 明 BD=DP.答 案 ： 题 干 引 论 ：证 明 ： 如 答 图 1， 过 点 D作 DF MN， 交 AB 于 点
33、F， 则 ADF为 等 腰 直 角 三 角 形 ， DA=DF. 1+ FDP=90 ， FDP+ 2=90 ， 1= 2.在 BDF与 PDA中 ， BDF PDA(ASA) BD=DP.(1)答 ： BD=DP 成 立 .证 明 ： 如 答 图 2， 过 点 D 作 DF MN， 交 AB的 延 长 线 于 点 F，则 ADF为 等 腰 直 角 三 角 形 ， DA=DF. 1+ ADB=90 ， ADB+ 2=90 ， 1= 2.在 BDF与 PDA中 ， BDF PDA(ASA) BD=DP.(2)答 ： BD=DP.证 明 ： 如 答 图 3， 过 点 D作 DF MN， 交 AB的
34、 延 长 线 于 点 F，则 ADF为 等 腰 直 角 三 角 形 ， DA=DF. 在 BDF与 PDA中 ， BDF PDA(ASA)， BD=DP.27.(10分 )某 工 厂 计 划 生 产 A、 B两 种 产 品 共 60件 ， 需 购 买 甲 、 乙 两 种 材 料 ， 生 产 一 件 A 产品 需 甲 种 材 料 4千 克 ， 乙 种 材 料 1千 克 ； 生 产 一 件 B 产 品 需 甲 、 乙 两 种 材 料 各 3 千 克 ， 经 测算 ， 购 买 甲 、 乙 两 种 材 料 各 1千 克 共 需 资 金 60 元 ； 购 买 甲 种 材 料 2 千 克 和 乙 种 材
35、料 3 千 克共 需 资 金 155元 .(1)甲 、 乙 两 种 材 料 每 千 克 分 别 是 多 少 元 ？(2)现 工 厂 用 于 购 买 甲 、 乙 两 种 材 料 的 资 金 不 超 过 9900元 ， 且 生 产 B 产 品 不 少 于 38 件 ， 问符 合 生 产 条 件 的 生 产 方 案 有 哪 几 种 ？(3)在 (2)的 条 件 下 ， 若 生 产 一 件 A产 品 需 加 工 费 40 元 ， 若 生 产 一 件 B 产 品 需 加 工 费 50 元 ，应 选 择 哪 种 生 产 方 案 ， 使 生 产 这 60件 产 品 的 成 本 最 低 ？ (成 本 =材 料
36、 费 +加 工 费 )解 析 ： (1)设 甲 材 料 每 千 克 x 元 ， 乙 材 料 每 千 克 y 元 ， 根 据 购 买 甲 、 乙 两 种 材 料 各 1 千 克 共 需 资 金 60 元 ； 购 买 甲 种 材 料 2 千 克 和 乙 种 材 料 3 千 克 共 需 资 金 155元 ， 可 列 出 方 程 组， 解 方 程 组 即 可 得 到 甲 材 料 每 千 克 25元 ， 乙 材 料 每 千 克 35元 ；(2)设 生 产 A 产 品 m 件 ， 生 产 B 产 品 (60-m)件 ， 先 表 示 出 生 产 这 60件 产 品 的 材 料 费 为25 4m+35 1m+
37、25 3(60-m)+35 3(60-m)=-45m+10800， 根 据 购 买 甲 、 乙 两 种 材 料 的 资 金 不超 过 9900 元 得 到 -45m+10800 9900， 根 据 生 产 B 产 品 不 少 于 38 件 得 到 60-m 38， 然 后 解两 个 不 等 式 求 出 其 公 共 部 分 得 到 20 m 22， 而 m为 整 数 ， 则 m的 值 为 20， 21， 22， 易 得 符合 条 件 的 生 产 方 案 ；(3)设 总 生 产 成 本 为 W 元 ， 加 工 费 为 ： 40m+50(60-m)， 根 据 成 本 =材 料 费 +加 工 费 得
38、到W=-45m+10800+40m+50(60-m)=-55m+13800， 根 据 一 次 函 数 的 性 质 得 到 W 随 m 的 增 大 而 减 小 ，然 后 把 m=22 代 入 ， 即 可 得 到 最 低 成 本 的 生 产 方 案 .答 案 ： (1)设 甲 材 料 每 千 克 x 元 ， 乙 材 料 每 千 克 y 元 ， 则 ， 解 得 ， 所 以 甲 材 料 每 千 克 25元 ， 乙 材 料 每 千 克 35元 ；(2)设 生 产 A 产 品 m 件 ， 生 产 B 产 品 (60-m)件 ， 则 生 产 这 60 件 产 品 的 材 料 费 为25 4m+35 1m+2
39、5 3(60-m)+35 3(60-m)=-45m+10800，由 题 意 ： -45m+10800 9900， 解 得 m 20，又 60-m 38， 解 得 m 22， 20 m 22， m的 值 为 20， 21， 22，共 有 三 种 方 案 ： 生 产 A 产 品 20件 ， 生 产 B 产 品 40 件 ； 生 产 A 产 品 21件 ， 生 产 B 产 品 39 件 ； 生 产 A 产 品 22件 ， 生 产 B 产 品 38 件 ；(3)设 生 产 A 产 品 m 件 ， 总 生 产 成 本 为 W 元 ， 加 工 费 为 ： 40m+50(60-m)，则 W=-45m+108
40、00+40m+50(60-m)=-55m+13800， -55 0， W随 m的 增 大 而 减 小 ， 而 m=20， 21， 22， 当 m=22 时 ， 总 成 本 最 低 .答 ： 选 择 生 产 A 产 品 22件 ， 生 产 B 产 品 38 件 ， 总 成 本 最 低 .28.(10分 )如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 Rt AOB的 两 直 角 边 OA、 OB 分 别 在 x 轴 、 y轴 的 正 半 轴 上 (OA OB)， 且 OA、 OB 的 长 分 别 是 一 元 二 次 方 程 x 2-14x+48=0的 两 个 根 .线 段 AB的 垂
41、 直 平 分 线 CD交 AB 于 点 C， 交 x 轴 于 点 D， 点 P 是 直 线 CD上 一 个 动 点 ， 点 Q是 直 线 AB上 一 个 动 点 . (1)求 A、 B两 点 的 坐 标 ；(2)求 直 线 CD 的 解 析 式 ；(3)在 坐 标 平 面 内 是 否 存 在 点 M， 使 以 点 C、 P、 Q、 M 为 顶 点 的 四 边 形 是 正 方 形 ， 且 该 正 方 形的 边 长 为 AB长 ？ 若 存 在 ， 请 直 接 写 出 点 M 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)利 用 因 式 分 解 法 解 方 程 x2-1
42、4x+48=0， 求 出 x 的 值 ， 即 可 得 到 A、 B 两 点 的 坐 标 ；(2)先 在 Rt AOB中 利 用 勾 股 定 理 求 出 AB= =10， 根 据 线 段 垂 直 平 分 线 的 性 质 得到 AC= AB=5.再 由 两 角 对 应 相 等 的 两 三 角 形 相 似 证 明 ACD AOB， 由 相 似 三 角 形 对 应 边成 比 例 得 出 = ， 求 出 AD= ， 得 到 D 点 坐 标 (- ， 0)， 根 据 中 点 坐 标 公 式 得 出 C(3，4)， 然 后 利 用 待 定 系 数 法 即 可 求 出 直 线 CD 的 解 析 式 ； (3)
43、分 两 种 情 况 进 行 讨 论 ： 当 点 Q 与 点 B 重 合 时 ， 先 求 出 BM 的 解 析 式 为 y= x+8， 设 M(x，x+8)， 再 根 据 BM=5列 出 方 程 ( x+8-8)2+x2=52， 解 方 程 即 可 求 出 M的 坐 标 ； 当 点 Q与 点A重 合 时 ， 先 求 出 AM的 解 析 式 为 y= x- ， 设 M(x， x- )， 再 根 据 AM=5列 出 方 程( x- )2+(x-6)2=52， 解 方 程 即 可 求 出 M的 坐 标 .答 案 ： (1)解 方 程 x 2-14x+48=0， 得 x1=6， x2=8， OA OB，
44、 A(6， 0)， B(0， 8)；(2)在 Rt AOB 中 ， AOB=90 ， OA=6， OB=8， AB= =10， 线 段 AB 的 垂 直 平 分 线 CD 交 AB 于 点 C， AC= AB=5.在 ACD与 AOB中 ， ， ACD AOB， = ， 即 = ， 解 得 AD= ， A(6， 0)， 点 D 在 x 轴 上 ， D(- ， 0).设 直 线 CD 的 解 析 式 为 y=kx+b， 由 题 意 知 C为 AB中 点 ， C(3， 4)， D(- ， 0)， ， 解 得 ， 直 线 CD 的 解 析 式 为 y= x+ ；(3)在 坐 标 平 面 内 存 在
45、点 M， 使 以 点 C、 P、 Q、 M 为 顶 点 的 四 边 形 是 正 方 形 ， 且 该 正 方 形 的 边长 为 AB长 . AC=BC= AB=5， 以 点 C、 P、 Q、 M 为 顶 点 的 正 方 形 的 边 长 为 5， 且 点 Q 与 点 B或 点 A 重 合 .分 两 种 情 况 ： 当 点 Q 与 点 B重 合 时 ， 易 求 BM 的 解 析 式 为 y= x+8， 设 M(x， x+8)， B(0， 8)， BM=5， ( x+8-8)2+x2=52， 化 简 整 理 ， 得 x2=16， 解 得 x= 4， M1(4， 11)， M2(-4， 5)； 当 点 Q 与 点 A重 合 时 ， 易 求 AM 的 解 析 式 为 y= x- ， 设 M(x， x- )， A(6， 0)， AM=5， ( x- ) 2+(x-6)2=52， 化 简 整 理 ， 得 x2-12x+20=0， 解 得 x1=2， x2=10， M3(2， -3)， M4(10， 3)；综 上 所 述 ， 所 求 点 M的 坐 标 为 M1(4， 11)， M2(-4， 5)， M3(2， -3)， M4(10， 3).
