1、2014年 重 庆 市 中 考 真 题 （ B 卷 ） 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 共 12小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 48 分 )1.(4分 )某 地 连 续 四 天 每 天 的 平 均 气 温 分 别 是 ： 1 、 -1 、 0 、 2 ， 则 平 均 气 温 中 最 低的 是 ( )A.-1B.0C.1D.2解 析 ： 1 、 -1 、 0 、 2 中 气 温 最 低 的 是 -1 ， 平 均 气 温 中 最 低 的 是 -1 .答 案 ： A.2.(4分 )计 算 5x 2-2x2的 结 果 是 ( )A.3B.3xC.3x2D.3x4解 析 ： 原 式 =5
2、x2-2x2=3x2.答 案 ： C.点 评 ： 此 题 考 查 了 合 并 同 类 项 的 知 识 ， 属 于 基 础 题 ， 解 答 本 题 的 关 键 是 掌 握 合 并 同 类 项 的3.(4分 )如 图 ， ABC DEF， 相 似 比 为 1： 2.若 BC=1， 则 EF的 长 是 ( ) A.1B.2C.3D.4解 析 ： ABC DEF， 相 似 比 为 1： 2， = ， EF=2BC=2.答 案 ： B.4.(4分 )如 图 ， 直 线 AB CD， 直 线 EF 分 别 交 AB， CD于 点 E， F.若 AEF=50 ， 则 EFC 的大 小 是 ( ) A.40
3、B.50C.120D.130解 析 ： AB CD， EFC=180 - AEF=180 -50 =130 .答 案 ： D.5.(4分 )某 校 将 举 办 一 场 “ 中 国 汉 字 听 写 大 赛 ” ， 要 求 各 班 推 选 一 名 同 学 参 加 比 赛 ， 为 此 ，初 三 (1)班 组 织 了 五 轮 班 级 选 拔 赛 ， 在 这 五 轮 选 拔 赛 中 ， 甲 、 乙 两 位 同 学 的 平 均 分 都 是 96分 ， 甲 的 成 绩 的 方 差 是 0.2， 乙 的 成 绩 的 方 差 是 0.8.根 据 以 上 数 据 ， 下 列 说 法 正 确 的 是 ( )A.甲
4、的 成 绩 比 乙 的 成 绩 稳 定B.乙 的 成 绩 比 甲 的 成 绩 稳 定C.甲 、 乙 两 人 的 成 绩 一 样 稳 定D.无 法 确 定 甲 、 乙 的 成 绩 谁 更 稳 定 解 析 ： 甲 的 成 绩 的 方 差 是 0.2， 乙 的 成 绩 的 方 差 是 0.8， 0.2 0.8， 甲 的 成 绩 比 乙 的 成绩 稳 定 ，答 案 ： A.6.(4分 )若 点 (3， 1)在 一 次 函 数 y=kx-2(k 0)的 图 象 上 ， 则 k的 值 是 ( )A.5B.4C.3D.1解 析 ： 点 (3， 1)在 一 次 函 数 y=kx-2(k 0)的 图 象 上 ，
5、 3k-2=1， 解 得 k=1.答 案 ： D. 7.(4分 )分 式 方 程 = 的 解 是 ( )A.x=1B.x=-1C.x=3D.x=-3解 析 ： 去 分 母 得 ： 4x=3x+3， 解 得 ： x=3， 经 检 验 x=3是 分 式 方 程 的 解 .答 案 ： C8.(4分 )如 图 ， 在 矩 形 ABCD中 ， 对 角 线 AC， BD相 交 于 点 O， ACB=30 ， 则 AOB的 大 小为 ( ) A.30B.60C.90 D.120解 析 ： 矩 形 ABCD 的 对 角 线 AC， BD 相 交 于 点 O， OB=OC， OBC= ACB=30 ， AOB=
6、 OBC+ ACB=30 +30 =60 .答 案 ： B.9.(4分 )夏 天 到 了 ， 某 小 区 准 备 开 放 游 泳 池 ， 物 业 管 理 处 安 排 一 名 清 洁 工 对 一 个 无 水 的 游 泳池 进 行 清 洗 ， 该 工 人 先 只 打 开 一 个 进 水 管 ， 蓄 了 少 量 水 后 关 闭 进 水 管 并 立 即 进 行 清 洗 ， 一 段时 间 后 ， 再 同 时 打 开 两 个 出 水 管 将 池 内 的 水 放 完 ， 随 后 将 两 个 出 水 管 关 闭 ， 并 同 时 打 开 两 个进 水 管 将 水 蓄 满 .已 知 每 个 进 水 管 的 进 水
7、 速 度 与 每 个 出 水 管 的 出 水 速 度 相 同 ， 从 工 人 最 先 打开 一 个 进 水 管 开 始 ， 所 用 时 间 为 x， 游 泳 池 内 的 蓄 水 量 为 y， 则 下 列 各 图 中 能 够 反 映 y 与 x的 函 数 关 系 的 大 致 图 象 是 ( ) A.B.C. D.解 析 ： 开 始 打 开 一 个 进 水 管 ， 游 泳 池 内 的 蓄 水 量 逐 渐 增 多 ；一 段 时 间 后 ， 再 同 时 打 开 两 个 出 水 管 将 池 内 的 水 放 完 ， 游 泳 池 内 的 蓄 水 量 逐 渐 减 少 直 到 水 量为 0， 并 且 时 间 比
8、 开 始 用 的 少 ； 随 后 将 两 个 出 水 管 关 闭 ， 并 同 时 打 开 两 个 进 水 管 将 水 蓄 满 ，游 泳 池 内 的 蓄 水 量 增 多 .答 案 ： C.10.(4分 )下 列 图 形 都 是 按 照 一 定 规 律 组 成 ， 第 一 个 图 形 中 共 有 2 个 三 角 形 ， 第 二 个 图 形 中共 有 8个 三 角 形 ， 第 三 个 图 形 中 共 有 14个 三 角 形 ， ， 依 此 规 律 ， 第 五 个 图 形 中 三 角 形 的个 数 是 ( ) A.22B.24C.26D.28解 析 ： 第 一 个 图 形 有 2+6 0=2个 三 角
9、 形 ；第 二 个 图 形 有 2+6 1=8 个 三 角 形 ；第 三 个 图 形 有 2+6 2=14个 三 角 形 ；第 五 个 图 形 有 2+6 4=26个 三 角 形 ；答 案 ： C.11.(4分 )如 图 ， 菱 形 ABCD的 对 角 线 AC， BD相 交 于 点 O， AC=8， BD=6， 以 AB为 直 径 作 一 个半 圆 ， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 ( ) A.25 -6B. -6C. -6D. -6解 析 ： 菱 形 ABCD 中 ， AC=8， BD=6， AC BD且 OA= AC= 8=4， OB= BD= 6=3，由 勾 股 定 理
10、得 ， AB= = =5， 阴 影 部 分 的 面 积 = ( ) 2- 4 3= -6.答 案 ： D.12.(4分 )如 图 ， 正 方 形 ABCD的 顶 点 B， C 在 x 轴 的 正 半 轴 上 ， 反 比 例 函 数 y= (k 0)在 第一 象 限 的 图 象 经 过 顶 点 A(m， 2)和 CD 边 上 的 点 E(n， )， 过 点 E 的 直 线 l 交 x 轴 于 点 F，交 y 轴 于 点 G(0， -2)， 则 点 F的 坐 标 是 ( ) A.( ， 0)B.( ， 0)C.( ， 0)D.( ， 0)解 析 ： 正 方 形 的 顶 点 A(m， 2)， 正 方
11、 形 的 边 长 为 2， BC=2，而 点 E(n， )， n=2+m， 即 E点 坐 标 为 (2+m， )， k=2 m= (2+m)， 解 得 m=1， E 点 坐 标 为 (3， )， 设 直 线 GF 的 解 析 式 为 y=ax+b， 把 E(3， )， G(0， -2)代 入 得 ， 解 得 ， 直 线 GF 的 解 析 式 为 y= x-2，当 y=0时 ， x-2=0， 解 得 x= ， 点 F 的 坐 标 为 ( ， 0).答 案 ： C.二 、 填 空 题 (本 大 题 共 6 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 24分 )13.(4分 )实 数 -12的 相 反
12、数 是 .解 析 ： 实 数 -12的 相 反 数 是 12.答 案 ： 12. 14.(4分 )函 数 y= 中 ， 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 .解 析 ： 要 使 分 式 有 意 义 ， 即 ： x-2 0， 解 得 ： x 2.答 案 ： x 2.15.(4分 )在 2014年 重 庆 市 初 中 毕 业 生 体 能 测 试 中 ， 某 校 初 三 有 7名 同 学 的 体 能 测 试 成 绩 (单位 ： 分 )如 下 ： 50， 48， 47， 50， 48， 49， 48.这 组 数 据 的 众 数 是 . 解 析 ： 数 据 48 出 现 了 三 次 最 多 为 众
13、数 .答 案 ： 48.16.(4分 )如 图 ， C 为 O外 一 点 ， CA 与 O相 切 ， 切 点 为 A， AB为 O 的 直 径 ， 连 接 CB.若 O 的 半 径 为 2， ABC=60 ， 则 BC= .解 析 ： CA与 O 相 切 ， 切 点 为 A， AB为 O 的 直 径 ， BAC=90 ， ABC=60 ， O的 半 径 为 2， 在 RT BAC 中 ， C=30 ， AB=4， BC=2AB=2 4=8.答 案 ： 8.17.(4分 )在 一 个 不 透 明 的 盒 子 里 装 着 4个 分 别 标 有 数 字 1， 2， 3， 4 的 小 球 ， 它 们
14、除 数 字 不同 外 其 余 完 全 相 同 ， 搅 匀 后 从 盒 子 里 随 机 取 出 1个 小 球 ， 将 小 球 上 的 数 字 作 为 a 的 值 ， 则 使关 于 x的 不 等 式 组 只 有 一 个 整 数 解 的 概 率 为 .解 析 ： 不 等 式 组 只 有 一 个 整 数 解 ， (a+2)-(2a-1)=1， 解 得 a=2， P= .答 案 ： .18.(4分 )如 图 ， 在 边 长 为 6 的 正 方 形 ABCD中 ， E是 AB边 上 一 点 ， G 是 AD 延 长 线 上 一 点 ， BE=DG， 连 接 EG， CF EG 交 EG于 点 H， 交 A
15、D 于 点 F， 连 接 CE， BH.若 BH=8， 则 FG= .解 析 ： 如 解 答 图 ， 连 接 CG， 首 先 证 明 CGD CEB， 得 到 GCE是 等 腰 直 角 三 角 形 ； 过 点 H作 AB、 BC的 垂 线 ， 垂 足 分 别 为 点 M、 N， 进 而 证 明 HEM HCN， 得 到 四 边 形 MBNH为 正 方形 ， 由 此 求 出 CH、 HN、 CN 的 长 度 ； 最 后 利 用 相 似 三 角 形 Rt HCN Rt GFH， 求 出 FG的 长度 .答 案 ： 如 图 所 示 ， 连 接 CG. 在 CGD与 CEB中 ， ， CGD CEB(
16、SAS)， CG=CE， GCD= ECB， GCE=90 ， 即 GCE是 等 腰 直 角 三 角 形 .又 CH GE， CH=EH=GH.过 点 H作 AB、 BC的 垂 线 ， 垂 足 分 别 为 点 M、 N， 则 MHN=90 ，又 EHC=90 ， 1= 2， HEM= HCN.在 HEM与 HCN中 ， HEM HCN(ASA). HM=HN， 四 边 形 MBNH 为 正 方 形 . BH=8， BN=HN=4 ， CN=BC-BN=6 -4 =2 .在 Rt HCN中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： CH=2 . GH=CH=2 . HM AG， 1= 3， 2= 3.又
17、HNC= GHF=90 ， Rt HCN Rt GFH. ， 即 ， FG=5 .答 案 ： 5 .三 、 解 答 题 (本 大 题 共 2 小 题 ， 每 小 题 7 分 ， 共 14分 )19.(7分 )计 算 ： (-3)2+|-2|-20140- +( )-1.解 析 ： 分 别 根 据 0指 数 幂 及 负 整 数 指 数 幂 的 运 算 法 则 、 数 的 乘 方 法 则 及 绝 对 值 的 性 质 计 算 出各 数 ， 再 根 据 实 数 混 合 运 算 的 法 则 进 行 计 算 即 可 .答 案 ： 原 式 =9+2-1-3+2=9.20.(7分 )如 图 ， 在 ABC中
18、， CD AB， 垂 足 为 D.若 AB=12， CD=6， tanA= ， 求 sinB+cosB 的 值 . 解 析 ： 先 在 Rt ACD中 ， 由 正 切 函 数 的 定 义 得 tanA= = ， 求 出 AD=4， 则 BD=AB-AD=8， 再解 Rt BCD， 由 勾 股 定 理 得 BC= =10， sinB= = ， cosB= = ， 由 此 求 出sinB+cosB= .答 案 ： 在 Rt ACD中 ， ADC=90 ， tanA= = = ， AD=4， BD=AB-AD=12-4=8.在 Rt BCD中 ， BDC=90 ， BD=8， CD=6， BC= =
19、10， sinB= = ， cosB= = ， sinB+cosB= + = .答 案 ： 四 、 解 答 题 (本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 10， 共 40分 )21.(10分 )先 化 简 ， 再 求 值 ： (x-1- ) ， 其 中 x是 方 程 - =0 的 解 .解 析 ： 原 式 括 号 中 两 项 通 分 并 利 用 同 分 母 分 式 的 减 法 法 则 计 算 ， 同 时 利 用 除 法 法 则 变 形 ， 约分 得 到 最 简 结 果 ， 求 出 已 知 方 程 的 解 得 到 x 的 值 ， 代 入 计 算 即 可 求 出 值 .答 案 ： 原 式= =
20、 = ，方 程 去 分 母 得 ： 5x-5-2x+4=0， 解 得 ： x= ， 当 x= 时 ， 原 式 = =- . 22.(10分 )重 庆 市 某 餐 饮 文 化 公 司 准 备 承 办 “ 重 庆 火 锅 美 食 文 化 节 ” ， 为 了 解 市 民 对 火 锅 的喜 爱 程 度 ， 该 公 司 设 计 了 一 个 调 查 问 卷 ， 将 喜 爱 程 度 分 为 A(非 常 喜 欢 )、 B(喜 欢 )、 C(不 太喜 欢 )、 D(很 不 喜 欢 )四 种 类 型 ， 并 派 业 务 员 进 行 市 场 调 查 ， 其 中 一 个 业 务 员 小 丽 在 解 放 碑 步行 街
21、对 市 民 进 行 了 随 机 调 查 ， 并 根 据 调 查 结 果 制 成 了 如 下 两 幅 不 完 整 的 统 计 图 ， 请 结 合 统 计图 所 给 信 息 解 答 下 列 问 题 ： (1)在 扇 形 统 计 图 中 C 所 占 的 百 分 比 是 22% ； 小 丽 本 次 抽 样 调 查 的 人 数 共 有 50 人 ； 请将 折 线 统 计 图 补 充 完 整 ；(2)为 了 解 少 数 市 民 很 不 喜 欢 吃 火 锅 的 原 因 ， 小 丽 决 定 在 上 述 调 查 结 果 中 从 “ 很 不 喜 欢 ” 吃火 锅 的 市 民 里 随 机 选 出 两 位 进 行 电
22、 话 回 访 ， 请 你 用 列 表 法 或 画 树 状 图 的 方 法 ， 求 所 选 出 的 两位 市 民 恰 好 都 是 男 性 的 概 率 .解 析 ： (1)用 整 体 1 减 去 A、 B、 D 所 占 的 百 分 比 ， 剩 下 的 就 是 图 中 C 所 占 的 百 分 比 ； 用 非 常喜 欢 吃 火 锅 的 人 数 除 以 所 占 的 百 分 比 ， 求 出 本 次 抽 样 调 查 的 总 人 数 ， 再 分 别 求 出 不 喜 欢 吃 火锅 的 男 生 和 很 不 喜 欢 吃 火 锅 的 男 生 ， 从 而 补 全 统 计 图 ；(2)先 根 据 题 意 画 出 树 状
23、图 ， 再 根 据 概 率 公 式 即 可 求 出 答 案 .答 案 ： (1)在 扇 形 统 计 图 中 C 所 占 的 百 分 比 是 ： 1-20%-52%-6%=22%；小 丽 本 次 抽 样 调 查 的 共 有 人 数 是 ： =50(人 )；不 喜 欢 吃 火 锅 的 男 生 有 ： 50 22%-5=6(人 )， 很 不 喜 欢 吃 火 锅 的 男 生 有 ： 50 6%-1=2(人 )， 补 图 如 下 ：故 答 案 为 ： 22%， 50； (2)根 据 题 意 画 图 如 下 ： 共 有 6 中 情 况 ， 选 出 的 两 位 市 民 恰 好 都 是 男 性 的 概 率 是
24、 = .23.(10分 )某 生 态 农 业 园 种 植 的 青 椒 除 了 运 往 市 区 销 售 外 ， 还 可 以 让 市 民 亲 自 去 生 态 农 业 园购 买 .已 知 今 年 5 月 份 该 青 椒 在 市 区 、 园 区 的 销 售 价 格 分 别 为 6 元 /千 克 、 4元 /千 克 ， 今 年 5月 份 一 共 销 售 了 3000千 克 ， 总 销 售 额 为 16000 元 .(1)今 年 5 月 份 该 青 椒 在 市 区 、 园 区 各 销 售 了 多 少 千 克 ？(2)6月 份 是 青 椒 产 出 旺 季 .为 了 促 销 ， 生 态 农 业 园 决 定 6
25、 月 份 将 该 青 椒 在 市 区 、 园 区 的 销 售价 格 均 在 今 年 5月 份 的 基 础 上 降 低 a%， 预 计 这 种 青 椒 在 市 区 、 园 区 的 销 售 将 在 今 年 5月 份的 基 础 上 分 别 增 长 30%、 20%， 要 使 6 月 份 该 青 椒 的 总 销 售 额 不 低 于 18360 元 ， 则 a 的 最 大值 是 多 少 ？解 析 ： (1)设 在 市 区 销 售 了 x 千 克 ， 则 在 园 区 销 售 了 (3000-x)千 克 ， 根 据 等 量 关 系 ： 总 销 售额 为 16000元 列 出 方 程 求 解 即 可 ； (2
26、)题 目 中 的 不 等 关 系 是 ： 6月 份 该 青 椒 的 总 销 售 额 不 低 于 18360元 列 出 不 等 式 求 解 即 可 .答 案 ： (1)设 在 市 区 销 售 了 x 千 克 ， 则 在 园 区 销 售 了 (3000-x)千 克 ， 则 6x+4(3000-x)=16000，解 得 x=2000， 3000-x=1000.故 今 年 5 月 份 该 青 椒 在 市 区 销 售 了 2000千 克 ， 在 园 区 销 售 了 1000千 克 .(2)依 题 意 有 6(1-a%) 2000(1+30%)+4(1-a%) 1000(1+20%) 18360， 204
27、00(1-a%) 18360，1-a% 0.9， a 10.故 a 的 最 大 值 是 10.点 评 ： 考 查 了 一 元 一 次 方 程 的 应 用 和 一 元 一 次 不 等 式 的 应 用 .解 决 问 题 的 关 键 是 读 懂 题 意 ，24.(10分 )如 图 ， 在 ABC中 ， ACB=90 ， AC=BC， E 为 AC 边 的 中 点 ， 过 点 A 作 AD AB交BE的 延 长 线 于 点 D， CG平 分 ACB交 BD 于 点 G， F为 AB边 上 一 点 ， 连 接 CF， 且 ACF= CBG.求 证 ： (1)AF=CG；(2)CF=2DE.解 析 ： (
28、1)要 证 AF=CG， 只 需 证 明 AFC CBG 即 可 .(2)延 长 CG 交 AB 于 H， 则 CH AB， H 平 分 AB， 继 而 证 得 CH AD， 得 出 DG=BG和 ADE 与 CGE全 等 ， 从 而 证 得 CF=2DE.答 案 ： (1) ACB=90 ， CG平 分 ACB， ACG= BCG=45 ， 又 ACB=90 ， AC=BC， CAF= CBF=45 ， CAF= BCG，在 AFC与 CGB中 ， ， AFC CBG(AAS)， AF=CG；(2)延 长 CG交 AB于 H， CG 平 分 ACB， AC=BC， CH AB， CH平 分
29、AB， AD AB， AD CG， 在 ADE与 CGE中 ， ， ADE CGE(AAS)， DE=GE， 即 DG=2DE， AD CG， CH 平 分 AB， DG=BG， AFC CBG， CF=BG， CF=2DE.五 、 解 答 题 (本 大 题 共 2 小 题 ， 每 小 题 12分 ， 共 24 分 )25.(12分 )如 图 ， 已 知 抛 物 线 y=-x2+2x+3 与 x 轴 交 于 A， B 两 点 (点 A 在 点 B的 左 边 )， 与 y轴 交 于 点 C， 连 接 BC. (1)求 A， B， C 三 点 的 坐 标 ；(2)若 点 P 为 线 段 BC上 一
30、 点 (不 与 B， C重 合 )， PM y轴 ， 且 PM交 抛 物 线 于 点 M， 交 x 轴 于点 N， 当 BCM 的 面 积 最 大 时 ， 求 BPN的 周 长 ；(3)在 (2)的 条 件 下 ， 当 BCM的 面 积 最 大 时 ， 在 抛 物 线 的 对 称 轴 上 存 在 一 点 Q， 使 得 CNQ为 直 角 三 角 形 ， 求 点 Q 的 坐 标 .解 析 ： (1)依 据 抛 物 线 的 解 析 式 直 接 求 得 C 的 坐 标 ， 令 y=0解 方 程 即 可 求 得 A、 B点 的 坐 标 ；(2)求 出 BCM面 积 的 表 达 式 ， 这 是 一 个 二
31、 次 函 数 ， 求 出 其 取 最 大 值 的 条 件 ； 然 后 利 用 勾 股定 理 求 出 BPN的 周 长 ；(3)如 解 答 图 ， CNQ为 直 角 三 角 形 ， 分 三 种 情 况 ： 点 Q为 直 角 顶 点 ， 作 Rt CNO的 外 接 圆 ， 由 圆 周 角 定 理 可 知 ， 其 与 对 称 轴 的 两 个 交 点 即 为所 求 ； 点 N为 直 角 顶 点 ； 点 C 为 直 角 顶 点 . 答 案 ： (1)由 抛 物 线 的 解 析 式 y=-x2+2x+3， C(0， 3)，令 y=0， -x2+2x+3=0， 解 得 x=3或 x=-1； A(-1， 0)
32、， B(3， 0).(2)设 直 线 BC 的 解 析 式 为 ： y=kx+b， 则 有 ： ， 解 得 ， 直 线 BC 的 解 析 式 为 ： y=-x+3.设 P(x， -x+3)， 则 M(x， -x2+2x+3)， PM=(-x2+2x+3)-(-x+3)=-x2+3x. S BCM=S PMC+S PMB= PM (xP-xC)+ PM (xB-xP)= PM (xB-xC)= PM. S BCM= (-x2+3x)=- (x- )2+ . 当 x= 时 ， BCM的 面 积 最 大 .此 时 P( ， )， PN=ON= ， BN=OB-ON=3- = .在 Rt BPN中 ，
33、 由 勾 股 定 理 得 ： PB= .C BCN=BN+PN+PB=3+ . 当 BCM的 面 积 最 大 时 ， BPN 的 周 长 为 3+ .(3) y=-x 2+2x+3=-(x-1)2+4 抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 x=1.在 Rt CNO中 ， OC=3， ON= ， 由 勾 股 定 理 得 ： CN= .设 点 D为 CN中 点 ， 则 D( ， )， CD=ND= .如 解 答 图 ， CNQ为 直 角 三 角 形 ， 若 点 Q 为 直 角 顶 点 .作 Rt CNO的 外 接 圆 D， 与 对 称 轴 交 于 Q1、 Q2两 点 ， 由 圆 周 角 定 理
34、可 知 ， Q1、 Q2两 点 符 合 题意 .连 接 Q1D， 则 Q1D=CD=ND= . 过 点 D( ， )作 对 称 轴 的 垂 线 ， 垂 足 为 E， 则 E(1， )， Q1E=Q2E， DE=1- = .在 Rt Q1DE中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： Q1E= = . Q1(1， )， Q2(1， )； 若 点 N 为 直 角 顶 点 .过 点 N作 NF CN， 交 对 称 轴 于 点 Q3， 交 y 轴 于 点 F.易 证 Rt NFO Rt CNO， 则 = ，即 ， 解 得 OF= . F(0， - )， 又 N( ， 0)， 可 求 得 直 线 FN的 解 析
35、 式 为 ： y= x- .当 x=1时 ， y=- ， Q 3(1， - )； 当 点 C 为 直 角 顶 点 时 .过 点 C 作 Q4C CN， 交 对 称 轴 于 点 Q4. Q4C FN， 可 设 直 线 Q4C 的 解 析 式 为 ： y= x+b， 点 C(0， 3)在 该 直 线 上 ， b=3. 直 线 Q4C 的 解 析 式 为 ： y= x+3，当 x=1时 ， y= ， Q 4(1， ).综 上 所 述 ， 满 足 条 件 的 点 Q 有 4 个 ，其 坐 标 分 别 为 ： Q1(1， )， Q2(1， )， Q3(1， - )， Q4(1， ).26.(12分 )如
36、 图 1， 在 ABCD中 ， AH DC， 垂 足 为 H， AB=4 ， AD=7， AH= .现 有 两 个动 点 E， F 同 时 从 点 A出 发 ， 分 别 以 每 秒 1 个 单 位 长 度 、 每 秒 3 个 单 位 长 度 的 速 度 沿 射 线 AC方 向 匀 速 运 动 ， 在 点 E， F 的 运 动 过 程 中 ， 以 EF为 边 作 等 边 EFG， 使 EFG与 ABC在 射 线AC的 同 侧 ， 当 点 E 运 动 到 点 C时 ， E， F 两 点 同 时 停 止 运 动 ， 设 运 动 时 间 为 t 秒 . (1)求 线 段 AC 的 长 ； (2)在 整
37、 个 运 动 过 程 中 ， 设 等 边 EFG与 ABC重 叠 部 分 的 面 积 为 S， 请 直 接 写 出 S 与 t 之 间的 函 数 关 系 式 ， 并 写 出 相 应 的 自 变 量 t的 取 值 范 围 ；(3)当 等 边 EFG的 顶 点 E到 达 点 C时 ， 如 图 2， 将 EFG绕 着 点 C 旋 转 一 个 角 度 (0 360 )， 在 旋 转 过 程 中 ， 点 E 与 点 C 重 合 ， F 的 对 应 点 为 F ， G 的 对 应 点 为 G ， 设 直 线F G 与 射 线 DC、 射 线 AC 分 别 相 交 于 M， N两 点 .试 问 ： 是 否
38、存 在 点 M， N， 使 得 CMN 是 以 MCN为 底 角 的 等 腰 三 角 形 ？ 若 存 在 ， 请 求 出 CM的 长 度 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)利 用 平 行 四 边 形 性 质 、 勾 股 定 理 ， 求 出 DH、 CH的 长 度 ， 可 以 判 定 ACD 为 等 腰 三角 形 ， 则 AC=AD=7；(2)首 先 证 明 点 G 始 终 在 直 线 AB 上 ， 然 后 分 析 运 动 过 程 ， 求 出 不 同 时 间 段 内 S 的 表 达 式 ： 当 0 t 时 ， 如 答 图 2-1所 示 ， 等 边 EFG在 内 部
39、； 当 t 4时 ， 如 答 图 2-2所 示 ， 点 G在 线 段 AB上 ， 点 F 在 AC 的 延 长 线 上 ； 当 4 t 7 时 ， 如 答 图 2-3 所 示 ， 点 G、 F分 别 在 AB、 AC的 延 长 线 上 ， 点 E 在 线 段 AC 上 .(3)因 为 MCN为 等 腰 三 角 形 的 底 角 ， 因 此 只 可 能 有 两 种 情 形 ： 若 点 N 为 等 腰 三 角 形 的 顶 点 ， 如 答 图 3-1所 示 ； 若 点 M 为 等 腰 三 角 形 的 顶 点 ， 如 答 图 3-2所 示 .答 案 ： (1) ABCD， CD=AB=4 .在 Rt A
40、DH中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： DH= = =2 ， CH=DH. AC=AD=7.(2)在 运 动 过 程 中 ， AE=t， AF=3t， 等 边 EFG的 边 长 EF=EG=GF=2t.如 答 图 1， 过 点 G 作 GP AC 于 点 P， 则 EP= EG=t， GP= EG= t. AP=AE+EP=2t. tan GAC= = = . tan BAC=tan ACH= = = ， tan GAC=tan BAC， 点 G 始 终 在 射 线 AB上 .设 BAC= ACH= ， 则 sin = = ， cos = = . 当 0 t 时 ， 如 答 图 2-1所 示
41、， 等 边 EFG在 内 部 .S=S EFG= EF2= (2t)2= t2； 当 t 4时 ， 如 答 图 2-2所 示 ， 点 G在 线 段 AB上 ， 点 F 在 AC 的 延 长 线 上 .过 点 B作 BQ AF于 点 Q， 则 BQ=AB sin =4 =4 ， AQ=AB cos =4 =8. CQ=AQ-AC=8-7=1.设 BC 与 GF交 于 点 K， 过 点 K作 KP AF于 点 P， 设 KP=x， 则 PF= = x， CP=CF-PF=3t-7- x. PK BQ， ， 即 ， 解 得 ： x= (3t-7). S=S EFG-S CFK= t2- (3t-7)
42、 (3t-7)=- t2+ t- ； 当 4 t 7 时 ， 如 答 图 2-3 所 示 ， 点 G、 F分 别 在 AB、 AC的 延 长 线 上 ， 点 E 在 线 段 AC 上 . 过 点 B作 BQ AF于 点 Q， 则 BQ=AB sin =4 =4 ， AQ=AB cos =4 =8. CQ=AQ-AC=8-7=1.设 BC 与 GF交 于 点 K， 过 点 K作 KP AF于 点 P，设 KP=x， 则 EP= = x， CP=EP-CE= x-(7-t)= x-7+t. PK BQ， ， 即 ， 解 得 ： x= (7-t). S=S CEK= (7-t) (7-t)= t2-
43、 t+ . 综 上 所 述 ， S与 t之 间 的 函 数 关 系 式 为 ： S= .(3)设 ACH= ， 则 tan = = = ， cos = = .当 点 E与 点 C 重 合 时 ， t=7， 等 边 EFG的 边 长 =2t=14.假 设 存 在 点 M， N， 使 得 CMN是 以 MCN为 底 角 的 等 腰 三 角 形 ， 若 点 N 为 等 腰 三 角 形 的 顶 点 ， 如 答 图 3-1所 示 ， 则 NMC= MCN= . 过 点 C作 CP F M 于 点 P， 则 CP= CF =7 . PM= = =14.设 CN=MN=x， 则 PN=PM-MN=14-x.
44、在 Rt CNP中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： CP2+PN2=CN2， 即 ： (7 )2+(14-x)2=x2， 解 得 ： x= .过 点 N作 NQ CM于 点 Q， CM=2CQ=2CN cos =2 =7 ； 若 点 M 为 等 腰 三 角 形 的 顶 点 ， 如 答 图 3-2所 示 ， 则 MNC= MCN= . 过 点 C作 CP G N 于 点 P， 则 CP= CF =7 . PN= = =14.设 CM=MN=x， 则 PM=PN-MN=14-x.在 Rt CMP中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： CP2+PM2=CM2， 即 ： (7 )2+(14-x)2=x2， CM=x= .综 上 所 述 ， 存 在 点 M， N， 使 得 CMN是 以 MCN为 底 角 的 等 腰 三 角 形 ， CM的 长 度 为 7 或 .
