1、2014年 辽 宁 省 丹 东 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 （ 下 列 各 题 的 备 选 答 案 中 ， 只 有 一 个 是 正 确 的 .每 小 题 3 分 ， 共 24 分 ）1.2014的 相 反 数 是 （ ）A. 2014B. 2014C.D. 解 析 ： 根 据 只 有 符 号 不 同 的 两 个 数 互 为 相 反 数 ， 可 得 一 个 数 的 相 反 数 2014的 相 反 数 是 2014. 2.如 图 ， 由 4 个 相 同 的 小 立 方 块 组 成 一 个 立 体 图 形 ， 它 的 主 视 图 是 （ ）A.B.C. D.解 析 ： 从 正 面
2、看 ， 下 面 是 三 个 正 方 形 ， 上 面 是 一 个 正 方 形 ， 故 选 ： C3.为 迎 接 “ 2014丹 东 港 鸭 绿 江 国 际 马 拉 松 赛 ” ， 丹 东 新 区 今 年 投 入 约 4000万 元 用 于 绿 化 美化 4000万 用 科 学 记 数 法 表 示 为 （ ）A. 4 106B. 4 107C. 4 10 8D. 0.4 107解 析 ： 科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a 10n的 形 式 ， 其 中 1 |a| 10， n 为 整 数 确 定 n 的 值是 易 错 点 ， 由 于 4000万 有 8 位 ， 所 以 可 以 确 定
3、n=8 1=7 4000万 =40 000 000=4 1074.下 列 事 件 中 ， 必 然 事 件 是 （ ）A. 抛 掷 一 枚 硬 币 ， 正 面 朝 上B. 打 开 电 视 ， 正 在 播 放 广 告 C. 体 育 课 上 ， 小 刚 跑 完 1000米 所 用 时 间 为 1 分 钟D. 袋 中 只 有 4 个 球 ， 且 都 是 红 球 ， 任 意 摸 出 一 球 是 红 球解 析 ： A、 是 可 能 发 生 也 可 能 不 发 生 的 事 件 ， 属 于 不 确 定 事 件 ， 故 A 不 符 合 题 意 ；B、 是 可 能 发 生 也 可 能 不 发 生 的 事 件 ，
4、属 于 不 确 定 事 件 ， 故 B 不 符 合 题 意 ；C、 是 可 能 发 生 也 可 能 不 发 生 的 事 件 ， 属 于 不 确 定 事 件 ， 故 C 不 符 合 题 意 ；D、 袋 中 只 有 4 个 球 ， 且 都 是 红 球 ， 任 意 摸 出 一 球 是 红 球 ， 是 必 然 事 件 ， 故 D 符 合 题 意 故 选 ： D5.如 图 ， 在 ABC中 ， AB=AC， A=40 ， AB 的 垂 直 平 分 线 交 AB 于 点 D， 交 AC于 点 E， 连 接BE， 则 CBE的 度 数 为 （ ） A. 70B. 80C. 40D. 30解 析 ： 等 腰
5、ABC中 ， AB=AC， A=40 ， ABC= C= =70 ， 线 段 AB 的 垂 直 平 分 线 交 AB于 D， 交 AC 于 E， AE=BE， ABE= A=40 ， CBE= ABC ABE=30 故 选 ： D 6.下 列 计 算 正 确 的 是 （ ）A. 3 1= 3B. x3x4=x7C. =D. （ p2q） 3= p5q3解 析 ： A、 3 1= 3， 故 A选 项 错 误 ；B、 x 3x4=x3+4=x7， 故 B 选 项 正 确 ；C、 = = ， 故 C选 项 错 误 ；D、 （ p2q） 3= p2 3q3 p5q3， 故 D 选 项 错 误 ；故 选
6、 ： B 7.如 图 ， 反 比 例 函 数 y1= 和 一 次 函 数 y2=k2x+b 的 图 象 交 于 A、 B 两 点 A、 B 两 点 的 横 坐 标分 别 为 2， 3 通 过 观 察 图 象 ， 若 y1 y2， 则 x的 取 值 范 围 是 （ ）A. 0 x 2 B. 3 x 0 或 x 2C. 0 x 2或 x 3D. 3 x 0解 析 ： 反 比 例 函 数 y1= 和 一 次 函 数 y2=k2x+b的 图 象 交 于 A、 B 两 点 ，A、 B 两 点 的 横 坐 标 分 别 为 2， 3， 通 过 观 察 图 象 ， 当 y1 y2时 x 的 取 值 范 围 是
7、 0 x 2 或 x 3，故 选 ： C8.如 图 ， 在 ABC中 ， CA=CB， ACB=90 ， AB=2， 点 D为 AB的 中 点 ， 以 点 D 为 圆 心 作 圆 心角 为 90 的 扇 形 DEF， 点 C 恰 在 弧 EF 上 ， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 （ ） A.B.C.D.解 析 ： 连 接 CD， 作 DM BC， DN AC CA=CB， ACB=90 ， 点 D 为 AB的 中 点 ， DC= AB=1， 四 边 形 DMCN是 正 方 形 ， DM= 则 扇 形 FDE的 面 积 是 ： = CA=CB， ACB=90 ， 点 D 为 AB
8、的 中 点 ， CD 平 分 BCA，又 DM BC， DN AC， DM=DN， GDH= MDN=90 ， GDM= HDN，则 在 DMG和 DNH 中 ， DMG DNH（ AAS） ， S 四 边 形 DGCH=S 四 边 形 DMCN= 则 阴 影 部 分 的 面 积 是 ： 二 、 填 空 题 （ 每 小 题 3 分 ， 共 24 分 ） 9.如 图 ， 直 线 a b， 将 三 角 尺 的 直 角 顶 点 放 在 直 线 b上 ， 1=35 ， 则 2= 解 析 ： 如 图 ， 1=35 ， 3=180 35 90 =55 ， a b， 2= 3=55 答 案 ： 55 10.
9、一 组 数 据 2， 3， x， 5， 7 的 平 均 数 是 4， 则 这 组 数 据 的 众 数 是 解 析 ： 利 用 平 均 数 的 计 算 公 式 ， 得 （ 2+3+x+5+7） =4 5，解 得 x=3，则 这 组 数 据 的 众 数 即 出 现 最 多 的 数 为 3答 案 ： 3 11.若 式 子 有 意 义 ， 则 实 数 x 的 取 值 范 围 是 解 析 ： 由 题 意 得 ， 2 x 0 且 x 0，解 得 x 2 且 x 0答 案 ： x 2且 x 012.分 解 因 式 ： x3 4x2y+4xy2= 解 析 ： x 3 4x2y+4xy2=x（ x2 2xy+4
10、y2） =x（ x 2y） 2答 案 ： x（ x 2y） 213.不 等 式 组 的 解 集 是 解 析 ： ，解 不 等 式 得 ， x 1，解 不 等 式 得 ， x 2，所 以 ， 不 等 式 组 的 解 集 是 1 x 2 答 案 ： 1 x 214.小 明 和 小 丽 到 文 化 用 品 商 店 帮 助 同 学 们 买 文 具 小 明 买 了 3 支 笔 和 2 个 圆 规 共 花 19 元 ；小 丽 买 了 5支 笔 和 4个 圆 规 共 花 35元 设 每 支 笔 x 元 ， 每 个 圆 规 y 元 请 列 出 满 足 题 意 的方 程 组 解 析 ： 设 每 支 笔 x 元
11、， 每 个 圆 规 y元 ，由 题 意 得 ， 答 案 ： 15.如 图 ， 在 菱 形 ABCD中 ， AB=4cm， ADC=120 ， 点 E、 F 同 时 由 A、 C 两 点 出 发 ， 分 别 沿AB、 CB方 向 向 点 B 匀 速 移 动 （ 到 点 B 为 止 ） ， 点 E 的 速 度 为 1cm/s， 点 F 的 速 度 为 2cm/s， 经 过 t秒 DEF为 等 边 三 角 形 ， 则 t 的 值 为 解 析 ： 延 长 AB 至 M， 使 BM=AE， 连 接 FM， 四 边 形 ABCD 是 菱 形 ， ADC=120 AB=AD， A=60 ， BM=AE， A
12、D=ME， DEF为 等 边 三 角 形 ， DEA= DFE=60 ， DE=EF=FD， MEF+ DEA 120 ， ADE+ DEA=180 A=120 ， MEF= ADE， 在 DAE和 EMF 中 ， DAE和 EMF（ SAS） ， AE=MF， M= A=60 ，又 BM=AE， BMF是 等 边 三 角 形 ， BF=AE， AE=t， CF=2t， BC=CF+BF=2t+t=3t， BC=4， 3t=4， t=答 案 ： 16.如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， A、 B两 点 分 别 在 x轴 和 y 轴 上 ， OA=1， OB= ， 连 接 AB，
13、过 AB 中 点 C1分 别 作 x 轴 和 y 轴 的 垂 线 ， 垂 足 分 别 是 点 A1、 B1， 连 接 A1B1， 再 过 A1B1中 点 C2作 x 轴 和 y轴 的 垂 线 ， 照 此 规 律 依 次 作 下 去 ， 则 点 Cn的 坐 标 为 解 析 ： 过 AB 中 点 C1分 别 作 x 轴 和 y 轴 的 垂 线 ， 垂 足 分 别 是 点 A1、 B1， B1C1和 C1A1是 三 角 形 OAB的 中 位 线 ， B1C1= OA= ， C1A1= OB= ， C1的 坐 标 为 （ ， ） ，同 理 可 求 出 B 2C2= = ， C2A2= = C2的 坐
14、标 为 （ ， ） ， 以 此 类 推 ，可 求 出 BnCn= ， CnAn= ， 点 C n的 坐 标 为 ，答 案 ： 三 、 解 答 题 （ 每 小 题 8 分 ， 共 16 分 ）17.计 算 ： 解 析 ： 原 式 第 一 项 利 用 零 指 数 幂 法 则 计 算 ， 第 二 项 利 用 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 计 算 ， 第 三 项 化为 最 简 二 次 根 式 ， 最 后 一 项 利 用 绝 对 值 的 代 数 意 义 化 简 ， 计 算 即 可 得 到 结 果 答 案 ： 原 式 =1+3 2 +2 =3 18.如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ，
15、 ABC的 三 个 顶 点 坐 标 为 A（ 1， 4） ， B（ 3， 3） ， C（ 1， 1） （ 每 个 小 方 格 都 是 边 长 为 一 个 单 位 长 度 的 正 方 形 ）（ 1） 将 ABC沿 y 轴 方 向 向 上 平 移 5 个 单 位 ， 画 出 平 移 后 得 到 的 A1B1C1；（ 2） 将 ABC绕 点 O顺 时 针 旋 转 90 ， 画 出 旋 转 后 得 到 的 A2B2C2， 并 直 接 写 出 点 A 旋 转 到点 A2所 经 过 的 路 径 长 解 析 ： （ 1） 根 据 网 格 结 构 找 出 点 A、 B、 C 平 移 后 的 对 应 点 A1、
16、 B1、 C1的 位 置 ， 然 后 顺 次 连 接即 可 ；（ 2） 根 据 网 格 结 构 找 出 点 A、 B、 CABC绕 点 O 顺 时 针 旋 转 90 后 的 对 应 点 A2、 B2、 C2的 位 置 ，然 后 顺 次 连 接 即 可 ， 再 利 用 勾 股 定 理 列 式 求 出 OA， 然 后 利 用 弧 长 公 式 列 式 计 算 即 可 得 解 答 案 ： （ 1） 如 图 ， A1B1C1即 为 所 求 ；（ 2） 如 图 ， A2B2C2即 为 所 求 ；由 勾 股 定 理 得 ， OA= = ，点 A 旋 转 到 点 A 2所 经 过 的 路 径 长 为 ： =
17、四 、 （ 每 小 题 10分 ， 共 20分 ）19.某 中 学 开 展 “ 阳 光 体 育 一 小 时 ” 活 动 ， 根 据 学 校 实 际 情 况 ， 决 定 开 设 A： 踢 毽 子 ； B： 篮球 ； C： 跳 绳 ； D： 乒 乓 球 四 种 运 动 项 目 为 了 解 学 生 最 喜 欢 哪 一 种 运 动 项 目 ， 随 机 抽 取 了 一部 分 学 生 进 行 调 查 ， 并 将 调 查 结 果 绘 制 成 如 下 两 个 统 计 图 请 结 合 图 中 的 信 息 解 答 下 列 问 题 ：（ 1） 本 次 共 调 查 了 多 少 名 学 生 ？（ 2） 请 将 两 个
18、统 计 图 补 充 完 整 （ 3） 若 该 中 学 有 1200名 学 生 ， 喜 欢 篮 球 运 动 项 目 的 学 生 约 有 多 少 名 ？ 解 析 ： （ 1） 结 合 条 形 统 计 图 和 扇 形 统 计 图 ， 利 用 A 组 频 数 80 除 以 A 组 频 率 40%， 即 可 得 到该 校 本 次 调 查 中 ， 共 调 查 了 多 少 名 学 生 ；（ 2） 利 用 （ 1） 中 所 求 人 数 ， 减 去 A、 B、 D组 的 频 数 即 可 的 C组 的 频 数 ； B 组 频 数 除 以 总 人数 即 可 得 到 B 组 频 率 ；（ 3） 用 1200乘 以 抽
19、 查 的 人 中 喜 欢 篮 球 运 动 项 目 的 人 数 所 占 的 百 分 比 即 可 答 案 ： （ 1） 80 40%=200（ 人 ）故 本 次 共 调 查 200名 学 生 （ 2） 200 80 30 50=40（ 人 ） ，30 200 100%=15%，补 全 如 图 ： （ 3） 1200 15%=180（ 人 ）故 该 学 校 喜 欢 乒 乓 球 体 育 项 目 的 学 生 约 有 180人 20.某 服 装 厂 接 到 一 份 加 工 3000件 服 装 的 订 单 应 客 户 要 求 ， 需 提 前 供 货 ， 该 服 装 厂 决 定 提高 加 工 速 度 ， 实
20、际 每 天 加 工 的 件 数 是 原 计 划 的 1.5倍 ， 结 果 提 前 10天 完 工 原 计 划 每 天 加工 多 少 件 服 装 ？解 析 ： 设 原 计 划 每 天 加 工 x 件 衣 服 ， 则 实 际 每 天 加 工 1.5x件 服 装 ， 以 时 间 做 为 等 量 关 系 可列 方 程 求 解 答 案 ： 该 服 装 厂 原 计 划 每 天 加 工 x件 服 装 ， 则 实 际 每 天 加 工 1.5x 件 服 装 ， 根 据 题 意 ， 得解 这 个 方 程 得 x=100经 检 验 ， x=100是 所 列 方 程 的 根 答 ： 该 服 装 厂 原 计 划 每 天
21、 加 工 100件 服 装 五 、 （ 每 小 题 10分 ， 共 20分 ）21.甲 、 乙 两 人 用 如 图 的 两 个 分 格 均 匀 的 转 盘 A、 B做 游 戏 ， 游 戏 规 则 如 下 ： 分 别 转 动 两 个 转盘 ， 转 盘 停 止 后 ， 指 针 分 别 指 向 一 个 数 字 （ 若 指 针 停 止 在 等 份 线 上 ， 那 么 重 转 一 次 ， 直 到 指针 指 向 某 一 数 字 为 止 ） 用 所 指 的 两 个 数 字 相 乘 ， 如 果 积 是 奇 数 ， 则 甲 获 胜 ； 如 果 积 是 偶 数 ，则 乙 获 胜 请 你 解 决 下 列 问 题 ：
22、（ 1） 用 列 表 格 或 画 树 状 图 的 方 法 表 示 游 戏 所 有 可 能 出 现 的 结 果 （ 2） 求 甲 、 乙 两 人 获 胜 的 概 率 解 析 ： （ 1） 列 表 得 出 所 有 等 可 能 的 情 况 数 即 可 ；（ 2） 找 出 积 为 奇 数 与 积 为 偶 数 的 情 况 数 ， 分 别 求 出 甲 乙 两 人 获 胜 的 概 率 即 可 答 案 ： （ 1） 所 有 可 能 出 现 的 结 果 如 图 ：（ 2） 从 上 面 的 表 格 （ 或 树 状 图 ） 可 以 看 出 ， 所 有 可 能 出 现 的 结 果 共 有 12种 ， 且 每 种 结
23、果 出现 的 可 能 性 相 同 ， 其 中 积 是 奇 数 的 结 果 有 4 种 ， 即 5、 7、 15、 21， 积 是 偶 数 的 结 果 有 8 种 ，即 4、 6、 8、 10、 12、 14、 12、 18， 甲 、 乙 两 人 获 胜 的 概 率 分 别 为 ：P（ 甲 获 胜 ） = = ， P（ 乙 获 胜 ） = = 22.如 图 ， 在 ABC中 ， ABC=90 ， 以 AB为 直 径 的 O与 AC边 交 于 点 D， 过 点 D 的 直 线 交BC边 于 点 E， BDE= A（ 1） 判 断 直 线 DE 与 O的 位 置 关 系 ， 并 说 明 理 由 （
24、2） 若 O的 半 径 R=5， tanA= ， 求 线 段 CD 的 长 解 析 ： （ 1） 连 接 OD， 利 用 圆 周 角 定 理 以 及 等 腰 三 角 形 的 性 质 得 出 OD DE， 进 而 得 出 答 案 ； （ 2） 得 出 BCD ACB， 进 而 利 用 相 似 三 角 形 的 性 质 得 出 CD的 长 答 案 ： （ 1） 直 线 DE 与 O相 切 理 由 如 下 ： 连 接 OD OA=OD ODA= A 又 BDE= A ODA= BDE AB 是 O直 径 ADB=90即 ODA+ ODB=90 BDE+ ODB=90 ODE=90 OD DE DE 与
25、 O相 切 ；（ 2） R=5， AB=10，在 Rt ABC中 tanA= = BC=ABtanA=10 = ， AC= ， BDC= ABC=90 ， BCD= ACB BCD ACB 六 、 （ 每 小 题 10分 ， 共 20分 ） 23.如 图 ， 禁 渔 期 间 ， 我 渔 政 船 在 A 处 发 现 正 北 方 向 B 处 有 一 艘 可 疑 船 只 ， 测 得 A、 B 两 处 距离 为 99海 里 ， 可 疑 船 只 正 沿 南 偏 东 53 方 向 航 行 我 渔 政 船 迅 速 沿 北 偏 东 27 方 向 前 去 拦截 ， 2小 时 后 刚 好 在 C 处 将 可 疑
26、船 只 拦 截 求 该 可 疑 船 只 航 行 的 速 度 （ 参 考 数 据 ： sin27 ， cos27 ， tan27 ， sin53 ， cos53 ，tan53 ） 解 析 ： 先 过 点 C作 CD AB， 垂 足 为 点 D， 设 BD=x海 里 ， 得 出 AD=（ 99 x） 海 里 ， 在 Rt BCD中 ， 根 据 tan53 = ， 求 出 CD， 再 根 据 x= （ 99 x） ， 求 出 BD， 在 Rt BCD中 ， 根 据cos53 = ， 求 出 BC， 从 而 得 出 答 案 答 案 ： 如 图 ， 根 据 题 意 可 得 ， 在 ABC中 ， AB=9
27、9 海 里 ， ABC=53 ， BAC=27 ，过 点 C作 CD AB， 垂 足 为 点 D设 BD=x海 里 ， 则 AD=（ 99 x） 海 里 ，在 Rt BCD中 ， tan53 = ，则 tan27 = ， CD=xtan53 x（ 海 里 ） 在 Rt ACD中 ， 则 CD=ADtan27 （ 99 x） ，则 x= （ 99 x） ，解 得 ， x=27，即 BD=27在 Rt BCD中 ， cos53 = ，则 BC= = =45， 45 2=22.5（ 海 里 /时 ） ，则 该 可 疑 船 只 的 航 行 速 度 为 22.5 海 里 /时 24.在 2014年 巴
28、西 世 界 杯 足 球 赛 前 夕 ， 某 体 育 用 品 店 购 进 一 批 单 价 为 40元 的 球 服 ， 如 果 按单 价 60元 销 售 ， 那 么 一 个 月 内 可 售 出 240 套 根 据 销 售 经 验 ， 提 高 销 售 单 价 会 导 致 销 售 量的 减 少 ， 即 销 售 单 价 每 提 高 5 元 ， 销 售 量 相 应 减 少 20套 设 销 售 单 价 为 x（ x 60） 元 ， 销售 量 为 y 套 （ 1） 求 出 y 与 x 的 函 数 关 系 式 （ 2） 当 销 售 单 价 为 多 少 元 时 ， 月 销 售 额 为 14000 元 ；（ 3）
29、当 销 售 单 价 为 多 少 元 时 ， 才 能 在 一 个 月 内 获 得 最 大 利 润 ？ 最 大 利 润 是 多 少 ？参 考 公 式 ： 抛 物 线 y=ax 2+bx+c（ a 0） 的 顶 点 坐 标 是 解 析 ： （ 1） 根 据 销 售 量 =240 （ 销 售 单 价 每 提 高 5 元 ， 销 售 量 相 应 减 少 20 套 ） 列 函 数 关 系即 可 ；（ 2） 根 据 月 销 售 额 =月 销 售 量 销 售 单 价 =14000， 列 方 程 即 可 求 出 销 售 单 价 ；（ 3） 设 一 个 月 内 获 得 的 利 润 为 w 元 ， 根 据 利 润
30、=1套 球 服 所 获 得 的 利 润 销 售 量 列 式 整 理 ，再 根 据 二 次 函 数 的 最 值 问 题 解 答 答 案 ： （ 1） ， y= 4x+480；（ 2） 根 据 题 意 可 得 ， x（ 4x+480） =14000， 解 得 ， x1=70， x2=50（ 不 合 题 意 舍 去 ） ， 当 销 售 价 为 70元 时 ， 月 销 售 额 为 14000 元 （ 3） 设 一 个 月 内 获 得 的 利 润 为 w 元 ， 根 据 题 意 ， 得w=（ x 40） （ 4x+480） ，= 4x2+640 x 19200，= 4（ x 80） 2+6400，当 x
31、=80时 ， w 的 最 大 值 为 6400 当 销 售 单 价 为 80 元 时 ， 才 能 在 一 个 月 内 获 得 最 大 利 润 ， 最 大 利 润 是 6400元 七 、 （ 本 题 12分 ）25.在 四 边 形 ABCD中 ， 对 角 线 AC、 BD 相 交 于 点 O， 将 COD绕 点 O按 逆 时 针 方 向 旋 转 得 到 C 1OD1， 旋 转 角 为 （ 0 90 ） ， 连 接 AC1、 BD1， AC1与 BD1交 于 点 P （ 1） 如 图 1， 若 四 边 形 ABCD是 正 方 形 求 证 ： AOC1 BOD1 请 直 接 写 出 AC1 与 BD
32、1的 位 置 关 系 （ 2） 如 图 2， 若 四 边 形 ABCD是 菱 形 ， AC=5， BD=7， 设 AC1=kBD1 判 断 AC1与 BD1的 位 置 关 系 ，说 明 理 由 ， 并 求 出 k的 值 （ 3） 如 图 3， 若 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， AC=5， BD=10， 连 接 DD1， 设 AC1=kBD1 请 直 接写 出 k的 值 和 AC12+（ kDD1） 2的 值 解 析 ： （ 1） 如 图 1， 根 据 正 方 形 的 性 质 得 OC=OA=OD=OB， AC BD， 则 AOB= COD=90 ，再 根 据 旋 转 的 性
33、质 得 OC1=OC， OD1=OD， COC1= DOD1， 则 OC1=OD1， 利 用 等 角 的 补 角 相 等 得 AOC1= BOD1， 然 后 根 据 “ SAS” 可 证 明 AOC1 BOD1； 由 AOB=90 ， 则 OAB+ ABP+ OBD1=90 ， 所 以 OAB+ ABP+ OAC1=90 ， 则 APB=90 所 以 AC1 BD1；（ 2） 如 图 2， 根 据 菱 形 的 性 质 得 OC=OA= AC， OD=OB= BD， AC BD， 则 AOB= COD=90 ，再 根 据 旋 转 的 性 质 得 OC 1=OC， OD1=OD， COC1= DO
34、D1， 则 OC1=OA， OD1=OB， 利 用 等 角 的 补 角相 等 得 AOC1= BOD1， 加 上 ， 根 据 相 似 三 角 形 的 判 定 方 法 得 到 AOC1 BOD1， 得到 OAC1= OBD1， 由 AOB=90 得 OAB+ ABP+ OBD1=90 ， 则 OAB+ ABP+ OAC1=90 ，则 APB=90 ， 所 以 AC1 BD1； 然 后 根 据 相 似 比 得 到 = = = ， 所 以 k= ；（ 3） 与 （ 2） 一 样 可 证 明 AOC 1 BOD1， 则 = = = ， 所 以 k= ； 根 据 旋 转 的 性 质得 OD1=OD， 根
35、 据 平 行 四 边 形 的 性 质 得 OD=OB， 则 OD1=OB=OD， 于 是 可 判 断 BDD1为 直 角 三 角形 ， 根 据 勾 股 定 理 得 BD12+DD12=BD2=100， 所 以 （ 2AC1） 2+DD12=100， 于 是 有 AC12+（ kDD1） 2=25答 案 ： （ 1） 证 明 ： 如 图 1， 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ， OC=OA=OD=OB， AC BD， AOB= COD=90 ， COD绕 点 O按 逆 时 针 方 向 旋 转 得 到 C 1OD1， OC1=OC， OD1=OD， COC1= DOD1， OC1=OD1，
36、AOC1= BOD1=90 + AOD1，在 AOC1和 BOD1中 ， AOC1 BOD1（ SAS） ； AC1 BD1；（ 2） AC1 BD1理 由 如 下 ： 如 图 2， 四 边 形 ABCD 是 菱 形 ， OC=OA= AC， OD=OB= BD， AC BD， AOB= COD=90 ， COD绕 点 O按 逆 时 针 方 向 旋 转 得 到 C 1OD1， OC1=OC， OD1=OD， COC1= DOD1， OC1=OA， OD1=OB， AOC1= BOD1， ， AOC1 BOD1， OAC 1= OBD1，又 AOB=90 ， OAB+ ABP+ OBD1=90
37、， OAB+ ABP+ OAC1=90 ， APB=90 AC1 BD1； AOC1 BOD1， = = = = ， k= ； （ 3） 如 图 3， 与 （ 2） 一 样 可 证 明 AOC1 BOD1， = = = ， k= ； COD绕 点 O按 逆 时 针 方 向 旋 转 得 到 C1OD1， OD 1=OD，而 OD=OB， OD1=OB=OD， BDD1为 直 角 三 角 形 ，在 Rt BDD1中 ，BD12+DD12=BD2=100， （ 2AC1） 2+DD12=100， AC12+（ kDD1） 2=25 八 、 （ 本 题 14分 ）26.如 图 1， 抛 物 线 y=a
38、x2+bx 1 经 过 A（ 1， 0） 、 B（ 2， 0） 两 点 ， 交 y 轴 于 点 C 点 P 为抛 物 线 上 的 一 个 动 点 ， 过 点 P作 x轴 的 垂 线 交 直 线 BC于 点 D， 交 x轴 于 点 E（ 1） 请 直 接 写 出 抛 物 线 表 达 式 和 直 线 BC 的 表 达 式 （ 2） 如 图 1， 当 点 P的 横 坐 标 为 时 ， 求 证 ： OBD ABC（ 3） 如 图 2， 若 点 P在 第 四 象 限 内 ， 当 OE=2PE时 ， 求 POD 的 面 积 （ 4） 当 以 点 O、 C、 D 为 顶 点 的 三 角 形 是 等 腰 三
39、角 形 时 ， 请 直 接 写 出 动 点 P 的 坐 标 解 析 ： （ 1） 待 定 系 数 法 即 可 求 得 ；（ 2） 先 把 P点 的 横 坐 标 代 入 直 线 ， 求 得 DE= ， 从 而 求 得 DE=OE， 得 出 EOD=45 ，因 为 OAC= EOD=45 ， OBD= ABC， 即 可 求 得 OBD ABC；（ 3） 分 三 种 情 况 ： 当 OD=CD 时 ， 则 m2 m+1= m2， 当 OD=OC时 ， 则 m2 m+1=1， 当 OC=CD时 ， 则 m2=1， 分 别 求 解 ， 即 可 求 得 答 案 ： （ 1） 由 抛 物 线 y=ax 2+
40、bx 1可 知 C（ 0， 1） ， y=ax2+bx 1 经 过 A（ 1， 0） 、 B（ 2， 0） 两 点 ， ， 解 得 抛 物 线 表 达 式 ： ；设 直 线 BC 的 解 析 式 为 y=kx+b，则 ，解 得 直 线 BC 的 表 达 式 ： （ 2） 如 图 1， 当 点 P的 横 坐 标 为 时 ， 把 x=代 入 ，得 ， DE=又 OE= ， DE=OE OED=90 EOD=45 又 OA=OC=1， AOC=90 OAC=45 OAC= EOD又 OBD= ABC OBD ABC（ 3） 如 图 2， 设 点 P的 坐 标 为 P（ x， ） OE=x， PE= =又 OE=2PE 解 得 ， （ 不 合 题 意 舍 去 ） ， P、 D两 点 坐 标 分 别 为 ， ， PD=OE= ，（ 4） P 1（ 1， 1） ， ， ，设 D（ m， m 1） ，则 OD2=m2+（ 1） 2= m2 m+1，OC 2=1， CD2=m2+（ 1 m+1） 2= m2，当 OD=CD 时 ， 则 m2 m+1= m2， 解 得 m1=1，当 OD=OC 时 ， 则 m2 m+1=1， 解 得 m2= ，当 OC=CD 时 ， 则 m2=1， 解 得 m 3= ， m4= ， P1（ 1， 1） ， ， ，
