1、2014年 福 建 省 莆 田 市 中 考 真 题 数 学一 、 精 心 选 一 选 ： 本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 32 分 ， 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 有 且只 有 一 个 选 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .答 对 的 得 4 分 ， 答 错 、 不 答 或 答 案 超 过 一 个 的 一 律 得 0 分 .1.(4分 )3 的 相 反 数 是 ( )A.-3B.-C.3D.解 析 ： 根 据 概 念 ， 3的 相 反 数 在 3的 前 面 加 -， 则 3 的 相 反 数 是 -3. 答 案 ： A.2.(4分 )下 列 运 算
2、 正 确 的 是 ( )A.a3 a2=a6B.(2a)3=6a3C.(a-b)2=a2-b2D.3a2-a2=2a2解 析 ： A、 a 3 a2=a3+2=a5， 故 A错 误 ；B、 (2a)3=8a3， 故 B 错 误 ；C、 (a-b)2=a2-2ab+b2， 故 C 错 误 ；D、 3a2-a2=2a2， 故 D正 确 .答 案 ： D.3.(4分 )如 图 图 形 中 ， 是 轴 对 称 图 形 ， 但 不 是 中 心 对 称 图 形 的 是 ( )A. B.C. D.解 析 ： A、 此 图 形 旋 转 180 后 能 与 原 图 形 重 合 ， 此 图 形 是 中 心 对 称
3、 图 形 ， 也 是 轴 对 称图 形 ， 故 A选 项 不 符 合 题 意 ；B、 此 图 形 旋 转 180 后 不 能 与 原 图 形 重 合 ， 此 图 形 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 是 轴 对 称 图 形 ，故 B 选 项 符 合 题 意 ；C、 此 图 形 旋 转 180 后 能 与 原 图 形 重 合 ， 此 图 形 是 中 心 对 称 图 形 ， 也 是 轴 对 称 图 形 ，故 C 选 项 不 符 合 题 意 ；D、 此 图 形 旋 转 180 后 能 与 原 图 形 重 合 ， 此 图 形 是 中 心 对 称 图 形 ， 不 是 轴 对 称 图 形 ，故 D 选
4、项 不 符 合 题 意 .答 案 ： B.4.(4分 )如 图 是 由 6个 大 小 相 同 的 小 正 方 体 组 成 的 几 何 体 ， 它 的 左 视 图 是 ( ) A.B.C.D. 解 析 ： 从 物 体 左 面 看 ， 第 一 层 有 3个 正 方 形 ， 第 二 层 的 中 间 有 1 个 正 方 形 .答 案 ： C.5.(4分 )若 x、 y满 足 方 程 组 ， 则 x-y的 值 等 于 ( ) A.-1B.1C.2D.3解 析 ： ， - 得 ： 2x-2y=-2， 则 x-y=-1，答 案 ： A.6.(4分 )在 半 径 为 2的 圆 中 ， 弦 AB的 长 为 2，
5、 则 的 长 等 于 ( )A. B.C.D.解 析 ： 连 接 OA、 OB， OA=OB=AB=2， AOB是 等 边 三 角 形 ， AOB=60 ， 的 长 为 ： = ， 答 案 ： C.7.(4分 )如 图 ， 点 B在 x轴 上 ， ABO=90 ， A=30 ， OA=4， 将 OAB饶 点 O 按 顺 时 针 方向 旋 转 120 得 到 OA B ， 则 点 A 的 坐 标 是 ( )A.(2， -2 )B.(2， -2 ) C.(2 ， -2)D.(2 ， -2)解 析 ： ABO=90 ， A=30 ， OA=4， AOB=60 ， OB= OA=2， AB= OB=2
6、 ， A 点 坐 标 为 (2， 2 )， OAB绕 点 O按 顺 时 针 方 向 旋 转 120 得 到 OA B ， A OA=120 ， OA =OA=4， A OB=60 ， 点 A 和 点 A关 于 x 轴 对 称 ， 点 A 的 坐 标 为 (2， -2 ).答 案 ： B.8.(4分 )如 图 ， 在 矩 形 ABCD中 ， AB=2， 点 E在 边 AD上 ， ABE=45 ， BE=DE， 连 接 BD， 点P在 线 段 DE上 ， 过 点 P 作 PQ BD交 BE于 点 Q， 连 接 QD.设 PD=x， PQD的 面 积 为 y， 则 能表 示 y与 x函 数 关 系
7、的 图 象 大 致 是 ( ) A.B.C. D.解 析 ： ABE=45 ， A=90 ， ABE是 等 腰 直 角 三 角 形 ， AE=AB=2， BE= AB=2 ， BE=DE， PD=x， PE=DE-PD=2 -x， PQ BD， BE=DE， QE=PE=2 -x，又 ABE是 等 腰 直 角 三 角 形 (已 证 )， 点 Q 到 AD 的 距 离 = (2 -x)=2- x， PQD的 面 积 y= x(2- x)=- (x 2-2 x+2)=- (x- )2+ ，即 y=- (x- )2+ ，纵 观 各 选 项 ， 只 有 C选 项 符 合 . 答 案 ： C.二 、 细
8、 心 填 一 填 ： 本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 32分 .9.(4分 )我 国 的 北 斗 卫 星 导 航 系 统 与 美 国 的 GPS和 俄 罗 斯 格 洛 纳 斯 系 统 并 称 世 界 三 大 卫 星 导航 系 统 ， 北 斗 系 统 的 卫 星 轨 道 高 达 36000 公 里 ， 将 36000用 科 学 记 数 法 表 示 为 .解 析 ： 将 36000用 科 学 记 数 法 表 示 为 ： 3.6 104.答 案 ： 3.6 104.10.(4分 )若 正 n边 形 的 一 个 外 角 为 45 ， 则 n= .解 析 ： n=360 45
9、 =8.所 以 n 的 值 为 8.答 案 ： 8.11.(4分 )若 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x 2+3x+a=0有 一 个 根 是 -1， 则 a= .解 析 ： 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2+3x+a=0有 一 个 根 是 -1， (-1)2+3 (-1)+a=0， 解 得 a=2，答 案 ： 2.12.(4分 )在 一 个 不 透 明 的 袋 子 中 ， 装 有 大 小 、 形 状 、 质 地 等 都 相 同 的 红 色 、 黄 色 、 白 色 小球 各 1个 ， 从 袋 子 中 随 机 摸 出 一 个 小 球 ， 之 后 把 小 球 放 回 袋 子 中
10、 并 摇 匀 ， 再 随 机 摸 出 一 个 小球 ， 则 两 次 摸 出 的 小 球 颜 色 相 同 的 概 率 是 .解 析 ： 画 树 状 图 得 ： 共 有 9 种 等 可 能 的 结 果 ， 两 次 摸 出 的 小 球 颜 色 相 同 的 有 3 种 情 况 ， 两 次 摸 出 的 小 球 颜 色 相 同 的 概 率 是 ： = .答 案 ： .13.(4分 )在 一 次 数 学 测 试 中 ， 小 明 所 在 小 组 6 人 的 成 绩 (单 位 ： 分 )分 别 为 84、 79、 83、 87、77、 81， 则 这 6人 本 次 数 学 测 试 成 绩 的 中 位 数 是 .
11、解 析 ： 把 这 组 数 据 从 小 到 大 排 列 为 ： 77、 79、 81、 83、 84、 87， 最 中 间 两 个 数 的 平 均 数 是 ：(81+83) 2=82；答 案 ： 82. 14.(4分 )计 算 ： = .解 析 ： = =a-2.答 案 ： a-2. 15.(4分 )如 图 ， 菱 形 ABCD的 边 长 为 4， BAD=120 ， 点 E是 AB的 中 点 ， 点 F 是 AC上 的 一动 点 ， 则 EF+BF的 最 小 值 是 .解 析 ： 连 接 DB， DE， 设 DE交 AC 于 M， 连 接 MB， DF， 延 长 BA， DH BA于 H，
12、四 边 形 ABCD 是 菱 形 ， AC， BD互 相 垂 直 平 分 ， 点 B关 于 AC 的 对 称 点 为 D， FD=FB， FE+FB=FE+FD DE.只 有 当 点 F 运 动 到 点 M时 ， 取 等 号 (两 点 之 间 线 段 最 短 )， ABD中 ， AD=AB， DAB=120 ， HAD=60 ， DH AB， AH= AD， DH= AD， 菱 形 ABCD的 边 长 为 4， E 为 AB 的 中 点 ， AE=2， AH=2， EH=4， DH=2 ，在 Rt EHD中 ， DE= = =2 ， EF+BF的 最 小 值 为 2 .答 案 ： 2 .16.
13、(4分 )如 图 放 置 的 OAB 1， B1A1B2， B2A2B3， 都 是 边 长 为 2的 等 边 三 角 形 ， 边 AO在 y轴 上 ， 点 B1， B2， B3， 都 在 直 线 y= x 上 ， 则 A2014的 坐 标 是 .解 析 ： 过 B 1向 x 轴 作 垂 线 B1C， 垂 足 为 C，由 题 意 可 得 ： A(0， 2)， AO A 1B1， B1OC=30 ， CO=OB1cos30 = ， B1的 横 坐 标 为 ： ， 则 A1的 横 坐 标 为 ： ， 连 接 AA1， 可 知 所 有 三 角 形 顶 点 都 在 直 线 AA1上 ， 点 B1， B2
14、， B3， 都 在 直 线 y= x 上 ， AO=2， 直 线 AA1的 解 析 式 为 ： y= x+2， y= +2=3， A1( ， 3)，同 理 可 得 出 ： A2的 横 坐 标 为 ： 2 ， y= 2 +2=4， A 2(2 ， 4)， A3(3 ， 5)， A2014(2014 ， 2016).答 案 ： (2014 ， 2016).三 、 耐 心 做 一 做 ： 本 大 题 共 9 小 题 ， 共 86 分 ， 解 答 应 写 出 必 要 的 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演算 步 骤17.(8分 )计 算 ： -2sin60 +|- |.解 析 ： 先 根 据
15、数 的 开 方 法 则 、 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 、 绝 对 值 的 性 质 计 算 出 各 数 ， 再 根 据 实 数混 合 运 算 的 法 则 进 行 计 算 即 可 .答 案 ： 原 式 =3-2 + =3- + =3. 18.(8分 )解 不 等 式 ， 并 把 它 的 解 集 在 数 轴 上 表 示 出 来 .解 析 ： 先 去 分 母 和 去 括 号 得 到 6-3x 4-4x， 然 后 移 项 后 合 并 得 到 x -2， 再 利 用 数 轴 表 示 解集 .答 案 ： 去 分 母 得 3(2-x) 4(1-x)， 去 括 号 得 6-3x 4-4x， 移 项 得
16、 4x-3x 4-6， 合 并 得 x -2，在 数 轴 上 表 示 为 ： .19.(8分 )某 校 为 了 解 该 校 九 年 级 学 生 对 蓝 球 、 乒 乓 球 、 羽 毛 球 、 足 球 四 种 球 类 运 动 项 目 的 喜 爱 情 况 ， 对 九 年 级 部 分 学 生 进 行 了 随 机 抽 样 调 查 ， 每 名 学 生 必 须 且 只 能 选 择 最 喜 爱 的 一 项运 动 项 目 ， 将 调 查 结 果 统 计 后 绘 制 成 如 图 两 幅 不 完 整 的 统 计 图 ， 请 根 据 图 中 的 信 息 ， 回 答 下列 问 题 ： (1)这 次 被 抽 查 的 学
17、 生 有 人 ； 请 补 全 条 形 统 计 图 ；(2)在 统 计 图 2 中 ， “ 乒 乓 球 ” 对 应 扇 形 的 圆 心 角 是 度 ；(3)若 该 校 九 年 级 共 有 480名 学 生 ， 估 计 该 校 九 年 级 最 喜 欢 足 球 的 学 生 约 有 人 .解 析 ： (1)根 据 C 类 的 人 数 是 9， 所 占 的 比 例 是 20%， 据 此 即 可 求 得 总 人 数 ；(2)利 用 360 乘 以 对 应 的 比 例 即 可 求 解 ；(3)利 用 总 人 数 480， 乘 以 对 应 的 比 例 即 可 .答 案 ： (1)被 抽 查 的 学 生 数 是
18、 ： 9 15%=60(人 )， D项 的 人 数 是 ： 60-21-24-9=6(人 )； 条 形 统计 图 如 图 所 示 ； (2)“ 乒 乓 球 ” 对 应 扇 形 的 圆 心 角 是 ： 360 =144 ；(3)480 =48(人 ).故 答 案 为 ： 60， 144， 48.20.(8分 )如 图 ， 点 D是 线 段 BC的 中 点 ， 分 别 以 点 B， C 为 圆 心 ， BC长 为 半 径 画 弧 ， 两 弧 相交 于 点 A， 连 接 AB， AC， AD， 点 E为 AD上 一 点 ， 连 接 BE， CE. (1)求 证 ： BE=CE；(2)以 点 E 为
19、圆 心 ， ED长 为 半 径 画 弧 ， 分 别 交 BE， CE于 点 F， G.若 BC=4， EBD=30 ， 求图 中 阴 影 部 分 (扇 形 )的 面 积 .解 析 ： (1)由 点 D 是 线 段 BC 的 中 点 得 到 BD=CD， 再 由 AB=AC=BC可 判 断 ABC为 等 边 三 角 形 ，于 是 得 到 AD为 BC 的 垂 直 平 分 线 ， 根 据 线 段 垂 直 平 分 线 的 性 质 得 BE=CE；(2)由 EB=EC， 根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 得 EBC= ECB=30 ， 则 根 据 三 角 形 内 角 和 定 理 计 算得 BEC
20、=120 ， 在 Rt BDE中 ， BD= BC=2， EBD=30 ， 根 据 含 30 的 直 角 三 角 形 三 边的 关 系 得 到 ED= BD= ， 然 后 根 据 扇 形 的 面 积 公 式 求 解 .答 案 ： (1) 点 D 是 线 段 BC 的 中 点 ， BD=CD， AB=AC=BC， ABC为 等 边 三 角 形 ， AD为 BC的 垂 直 平 分 线 ， BE=CE； (2) EB=EC， EBC= ECB=30 ， BEC=120 ，在 Rt BDE中 ， BD= BC=2， EBD=30 ， ED=BD tan30 = BD= ， 阴 影 部 分 (扇 形 )
21、的 面 积 = = .21.(8分 )如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 直 线 l与 x轴 相 交 于 点 M， 与 y 轴 相 交 于 点 N， Rt MON的 外 心 为 点 A( ， -2)， 反 比 例 函 数 y= (x 0)的 图 象 过 点 A. (1)求 直 线 l 的 解 析 式 ；(2)在 函 数 y= (x 0)的 图 象 上 取 异 于 点 A 的 一 点 B， 作 BC x 轴 于 点 C， 连 接 OB交 直 线 l于 点 P.若 ONP的 面 积 是 OBC面 积 的 3 倍 ， 求 点 P的 坐 标 .解 析 ： (1)由 A 为 直 角 三
22、角 形 外 心 ， 得 到 A 为 斜 边 MN中 点 ， 根 据 A坐 标 确 定 出 M与 N坐 标 ，设 直 线 l 解 析 式 为 y=mx+n， 将 M 与 N 坐 标 代 入 求 出 m与 n的 值 ， 即 可 确 定 出 直 线 l 解 析 式 ；(2)将 A 坐 标 代 入 反 比 例 解 析 式 求 出 k 的 值 ， 确 定 出 反 比 例 解 析 式 ， 利 用 反 比 例 函 数 k 的 意义 求 出 OBC的 面 积 ， 由 ONP的 面 积 是 OBC面 积 的 3 倍 求 出 ONP的 面 积 ， 确 定 出 P 的 横坐 标 ， 即 可 得 出 P 坐 标 .答
23、 案 ： (1) Rt MON的 外 心 为 点 A( ， -2)， A为 MN中 点 ， 即 M(3， 0)， N(0， -4)，设 直 线 l 解 析 式 为 y=mx+n， 将 M 与 N 代 入 得 ： ， 解 得 ： m= ， n=-4， 则 直 线 l 解 析 式 为 y= x-4.(2)将 A( ， -2)代 入 反 比 例 解 析 式 y= 得 ： k=-3， 反 比 例 解 析 式 为 y=- ， B 为 反 比 例 函 数 图 象 上 的 点 ， 且 BC x 轴 ， S OBC= ， S ONP=3S OBC， S ONP= ，设 P 横 坐 标 为 a(a 0)， ON
24、 a= ， 即 a= ， 则 P坐 标 为 ( ， -1). 22.(10分 )如 图 ， AB是 O 的 直 径 ， C 是 O上 的 一 点 ， 过 点 A作 AD CD于 点 D， 交 O 于点 E， 且 = .(1)求 证 ： CD是 O 的 切 线 ；(2)若 tan CAB= ， BC=3， 求 DE的 长 . 解 析 ： (1)连 接 OC， 由 = ， 根 据 圆 周 角 定 理 得 1= 2， 而 1= OCA， 则 2= OCA，则 可 判 断 OC AD， 由 于 AD CD， 所 以 OC CD， 然 后 根 据 切 线 的 判 定 定 理 得 到 CD是 O 的 切线
25、 ；(2)连 接 BE交 OC于 F， 由 AB是 O 的 直 径 得 ACB=90 ， 在 Rt ACB 中 ， 根 据 正 切 的 定 义得 AC=4， 再 利 用 勾 股 定 理 计 算 出 AB=5， 然 后 证 明 Rt ABC Rt ACD， 利 用 相 似 比 先 计 算 出AD= ， 再 计 算 出 CD= ； 根 据 垂 径 定 理 的 推 论 由 = 得 OC BE， BF=EF， 于 是 可 判 断四 边 形 DEFC为 矩 形 ， 所 以 EF=CD=， 则 BE=2EF= ， 然 后 在 Rt ABE 中 ， 利 用 勾 股 定 理 计 算 出 AE= ， 再 利 用
26、 DE=AD-AE求解 .答 案 ： (1)连 接 OC， 如 图 ， = ， 1= 2， OC=OA， 1= OCA， 2= OCA， OC AD， AD CD， OC CD， CD 是 O的 切 线 ；(2)连 接 BE交 OC于 F， 如 图 ， AB 是 O的 直 径 ， ACB=90 ，在 Rt ACB中 ， tan CAB= = ， 而 BC=3， AC=4， AB= =5， 1= 2， Rt ABC Rt ACD， = ， 即 = ， 解 得 AD= ， = ， 即 = ， 解 得 CD= ， = ， OC BE， BF=EF， 四 边 形 DEFC为 矩 形 ， EF=CD=
27、， BE=2EF= ， AB 为 直 径 ， BEA=90 ，在 Rt ABE中 ， AE= = = ， DE=AD-AE= - = . 23.(10分 )某 水 果 店 销 售 某 种 水 果 ， 由 历 年 市 场 行 情 可 知 ， 从 第 1月 至 第 12月 ， 这 种 水 果每 千 克 售 价 y1(元 )与 销 售 时 间 第 x月 之 间 存 在 如 图 1(一 条 线 段 )的 变 化 趋 势 ， 每 千 克 成 本y2(元 )与 销 售 时 间 第 x 月 满 足 函 数 关 系 式 y2=mx2-8mx+n， 其 变 化 趋 势 如 图 2 所 示 .(1)求 y 2的
28、解 析 式 ；(2)第 几 月 销 售 这 种 水 果 ， 每 千 克 所 获 得 利 润 最 大 ？ 最 大 利 润 是 多 少 ？解 析 ： (1)把 函 数 图 象 经 过 的 点 (3， 6)， (7， 7)代 入 函 数 解 析 式 ， 解 方 程 组 求 出 m、 n的 值 ，即 可 得 解 ；(2)根 据 图 1 求 出 每 千 克 的 售 价 y1与 x 的 函 数 关 系 式 ， 然 后 根 据 利 润 =售 价 -成 本 ， 得 到 利 润与 x 的 函 数 关 系 式 ， 然 后 整 理 成 顶 点 式 形 式 ， 再 根 据 二 次 函 数 的 最 值 问 题 解 答
29、即 可 .答 案 ： (1)由 图 可 知 ， y2=mx2-8mx+n经 过 点 (3， 6)， (7， 7)， ， 解 得 . y 2= x2-x+ (1 x 12)；(2)设 y1=kx+b(k 0)，由 图 可 知 ， 函 数 图 象 经 过 点 (4， 11)， (8， 10)，则 ， 解 得 ， y1=- x+12(1 x 12)， 每 千 克 所 获 得 利 润=(- x+12)-( x2-x+ )=- x+12- x2+x- =- x2+ x+ =- (x2-6x+9)+ + =- (x-3)2+ ， - 0， 当 x=3时 ， 所 获 得 利 润 最 大 ， 最 大 为 元
30、.答 ： 第 3 月 销 售 这 种 水 果 ， 每 千 克 所 获 得 利 润 最 大 ， 最 大 利 润 是 元 /千 克 .24.(12分 )如 图 ， 在 边 长 为 4的 正 方 形 ABCD中 ， 动 点 E 以 每 秒 1 个 单 位 长 度 的 速 度 从 点 A开 始 沿 边 AB向 点 B 运 动 ， 动 点 F 以 每 秒 2 个 单 位 长 度 的 速 度 从 点 B开 始 沿 折 线 BC-CD向 点D运 动 ， 动 点 E比 动 点 F先 出 发 1秒 ， 其 中 一 个 动 点 到 达 终 点 时 ， 另 一 个 动 点 也 随 之 停 止 运 动 ， 设 点 F
31、 的 运 动 时 间 为 t秒 .(1)点 F 在 边 BC上 . 如 图 1， 连 接 DE， AF， 若 DE AF， 求 t 的 值 ； 如 图 2， 连 结 EF， DF， 当 t为 何 值 时 ， EBF与 DCF 相 似 ？(2)如 图 3， 若 点 G 是 边 AD的 中 点 ， BG， EF相 交 于 点 O， 试 探 究 ： 是 否 存 在 在 某 一 时 刻 t， 使 得 = ？ 若 存 在 ， 求 出 t 的 值 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1) 利 用 正 方 形 的 性 质 及 条 件 ， 得 出 ABF DAE， 由 AE=BF 列
32、式 计 算 . 利 用 EBF DCF， 得 出 = ， 列 出 方 程 求 解 .(2) 0 t 2时 如 图 3， 以 点 B 为 原 点 ， BC 为 x 轴 ， BA为 y 轴 建 立 坐 标 系 ， 先 求 出 EF 所 在的 直 线 和 BG 所 在 的 直 线 函 数 关 系 式 ， 再 利 用 勾 股 定 理 求 出 BG， 运 用 = ， 求 出 点 O 的 坐标 ， 把 O 的 坐 标 代 入 EF所 在 的 直 线 函 数 关 系 式 求 解 . 当 t 2 时 如 图 4， 以 点 B 为 原 点 ，BC为 x 轴 ， BA为 y 轴 建 立 坐 标 系 ， 先 求 出
33、 EF 所 在 的 直 线 和 BG 所 在 的 直 线 函 数 关 系 式 ， 再利 用 勾 股 定 理 求 出 BG， 运 用 = ， 求 出 点 O的 坐 标 ， 把 O的 坐 标 代 入 EF所 在 的 直 线 函 数关 系 式 求 解 . 答 案 ： (1) 如 图 1， DE AF， AOE=90 ， BAF+ AEO=90 ， ADE+ AEO=90 ， BAF= ADE，又 四 边 形 ABCD是 正 方 形 ， AB=AD， ABF= DAE=90 ，在 ABF和 DAE中 ， ， ABF DAE(ASA) AE=BF， 1+t=2t， 解 得 t=1. 如 图 2， 四 边
34、 形 ABCD 是 正 方 形 ， AB=BC=CD=4， BF=2t， AE=1+t， FC=4-2t， BE=4-1-t=3-t，当 EBF DCF时 ， = ， = ， 解 得 ， t= ， t= (舍 去 )，故 t= .当 EBF FCD时 ， = ， = ， t2-3t+3=0， 方 程 没 有 实 数 根 ，所 以 当 t= 时 ， EBF与 DCF相 似 .(2) 0 t 2 时 ， 如 图 3， 以 点 B为 原 点 ， BC 为 x 轴 ， BA为 y 轴 建 立 坐 标 系 ， A的 坐 标 (0， 4)， G 的 坐 标 (2， 4)， F 点 的 坐 标 (2t， 0
35、)， E 的 坐 标 (0， 3-t)，EF所 在 的 直 线 函 数 关 系 式 是 ： y= x+3-t， BG所 在 的 直 线 函 数 关 系 式 是 ： y=2x， BG= =2 ， = ， BO= ， OG= ， 设 O 的 坐 标 为 (a， b)， ， 解 得 ， O 的 坐 标 为 ( ， )把 O 的 坐 标 为 ( ， )代 入 y= x+3-t， 得 = +3-t，解 得 ， t= (舍 去 )， t= ， 当 3 t 2 时 如 图 4， 以 点 B 为 原 点 BC 为 x 轴 ， BA为 y 轴 建 立 坐 标 系 ， A的 坐 标 (0， 4)， G 的 坐 标
36、 (2， 4)， F 点 的 坐 标 (4， 2t-4)， E 的 坐 标 (0， 3-t)，EF所 在 的 直 线 函 数 关 系 式 是 ： y= x+3-t，BG所 在 的 直 线 函 数 关 系 式 是 ： y=2x， BG= =2 ， = ， BO= ， OG= ，设 O 的 坐 标 为 (a， b)， ， 解 得 ， O 的 坐 标 为 ( ， )，把 O 的 坐 标 为 ( ， )代 入 y= x+3-t， 得 = +3-t， 解 得 ： t= . 综 上 所 述 ， 存 在 t= 或 t= ， 使 得 = .25.(14分 )如 图 ， 抛 物 线 C1： y=(x+m)2(m
37、为 常 数 ， m 0)， 平 移 抛 物 线 y=-x2， 使 其 顶 点 D 在抛 物 线 C1位 于 y 轴 右 侧 的 图 象 上 ， 得 到 抛 物 线 C2.抛 物 线 C2交 x 轴 于 A， B 两 点 (点 A在 点 B的 左 侧 )， 交 y 轴 于 点 C， 设 点 D 的 横 坐 标 为 a. (1)如 图 1， 若 m= . 当 OC=2 时 ， 求 抛 物 线 C2的 解 析 式 ； 是 否 存 在 a， 使 得 线 段 BC上 有 一 点 P， 满 足 点 B与 点 C到 直 线 OP的 距 离 之 和 最 大 且 AP=BP？若 存 在 ， 求 出 a的 值 ；
38、 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 ；(2)如 图 2， 当 OB=2 -m(0 m )时 ， 请 直 接 写 出 到 ABD的 三 边 所 在 直 线 的 距 离 相 等的 所 有 点 的 坐 标 (用 含 m 的 式 子 表 示 ).解 析 ： (1) 首 先 写 出 平 移 后 抛 物 线 C 2的 解 析 式 (含 有 未 知 数 a)， 然 后 利 用 点 C(0， 2)在 C2上 ， 求 出 抛 物 线 C2的 解 析 式 ； 认 真 审 题 ， 题 中 条 件 “ AP=BP” 意 味 着 点 P 在 对 称 轴 上 ， “ 点 B 与 点 C 到 直 线 OP 的 距 离
39、 之和 最 大 ” 意 味 着 OP BC.画 出 图 形 ， 如 答 图 1 所 示 ， 利 用 三 角 函 数 (或 相 似 )， 求 出 a的 值 ；(2)解 题 要 点 有 3 个 ：i)判 定 ABD为 等 边 三 角 形 ；ii)理 论 依 据 是 角 平 分 线 的 性 质 ， 即 角 平 分 线 上 的 点 到 角 两 边 的 距 离 相 等 ；iii)满 足 条 件 的 点 有 4 个 ， 即 ABD形 内 1个 (内 心 )， 形 外 3个 .不 要 漏 解 .答 案 ： (1)当 m= 时 ， 抛 物 线 C 1： y=(x+ )2. 抛 物 线 C2的 顶 点 D 在
40、抛 物 线 C1上 ， 且 横 坐 标 为 a， D(a， (a+ )2). 抛 物 线 C2： y=-(x-a)2+(a+ )2 . OC=2， C(0， 2). 点 C在 抛 物 线 C 2上 ， -(0-a)2+(a+ )2=2， 解 得 ： a= ， 代 入 抛 物 线 C2： y=-(x-a)2+(a+ )2，得 抛 物 线 C2的 解 析 式 为 ： y=-x2+ x+2. 存 在 a 使 得 点 P， 满 足 点 B与 点 C 到 直 线 OP 的 距 离 之 和 最 大 且 AP=BP；在 式 中 ， 令 y=0， 即 ： -(x-a)2+(a+ )2=0，解 得 x=2a+
41、或 x=- ， B(2a+ ， 0)；令 x=0， 得 ： y=a+ ， C(0， a+ ).设 直 线 BC 的 解 析 式 为 y=kx+b， 则 有 ： ， 解 得 ， 直 线 BC 的 解 析 式 为 ： y=- x+(a+ ).假 设 存 在 满 足 条 件 的 a 值 . AP=BP， 点 P 在 AB 的 垂 直 平 分 线 上 ， 即 点 P在 C2的 对 称 轴 上 ； 点 B与 点 C 到 直 线 OP 的 距 离 之 和 BC， 只 有 OP BC 时 等 号 成 立 ， OP BC.如 答 图 1 所 示 ， 设 C2对 称 轴 x=a(a 0)与 BC交 于 点 P，
42、 与 x 轴 交 于 点 E， 则 OP BC， OE=a. 点 P在 直 线 BC上 ， P(a， a+ )， PE= a+ . tan EOP=tan BCO= = =2， = =2， 解 得 ： a= . 存 在 a= ， 使 得 线 段 BC上 有 一 点 P， 满 足 点 B与 点 C到 直 线 OP的 距 离 之 和 最 大 且 AP=BP.(3) 抛 物 线 C 2的 顶 点 D 在 抛 物 线 C1上 ， 且 横 坐 标 为 a， D(a， (a+m)2). 抛 物 线 C2： y=-(x-a)2+(a+m)2.令 y=0， 即 -(x-a)2+(a+m)2=0， 解 得 ：
43、x1=2a+m， x2=-m， B(2a+m， 0). OB=2 -m， 2a+m=2 -m， a= -m. D( -m， 3).AB=OB+OA=2 -m+m=2 .如 答 图 2 所 示 ， 设 对 称 轴 与 x轴 交 于 点 E， 则 DE=3， BE= AB= ， OE=OB-BE= -m. tan ABD= = = ， ABD=60 .又 AD=BD， ABD为 等 边 三 角 形 .作 ABD的 平 分 线 ， 交 DE于 点 P1， 则 P1E=BE tan30 = =1， P1( -m， 1)；在 ABD形 外 ， 依 次 作 各 个 外 角 的 平 分 线 ， 它 们 相 交 于 点 P2、 P3、 P4.在 Rt BEP 2中 ， P2E=BE tan60 = =3， P2( -m， -3)；易 知 ADP3、 BDP4均 为 等 边 三 角 形 ， DP3=DP4=AB=2 ， 且 P3P4 x 轴 . P3(- -m， 3)、 P4(3 -m， 3). 综 上 所 述 ， 到 ABD的 三 边 所 在 直 线 的 距 离 相 等 的 所 有 点 有 4个 ，其 坐 标 为 ： P1( -m， 1)， P2( -m， -3)， P3(- -m， 3)， P4(3 -m， 3).
