1、2015年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (新 课 标 I)数 学 理一 、 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要求 的 .1.设 复 数 z满 足 =i， 则 |z|=( )A.1B.2C.3D.2解 析 ： 复 数 z满 足 =i， z=i， |z|=1. 故 选 ： A2. sin20 cos10 -con160 sin10 =yA. 32B. 32C. 12D.12 解 析 ： 原 式 =sin20 cos10 +cos20 sin10 =sin30
2、 =12 .答 案 ： D3.设 命 题 P： nN， 2n 2n ， 则 P为 ( )A.nN， 2n 2nB. nN， 2n 2nC.nN， 2n 2n D. nN， 2n =2n解 析 ： p : n N ， 2 2nn .答 案 ： C 4.投 篮 测 试 中 ， 每 人 投 3 次 ， 至 少 投 中 2次 才 能 通 过 测 试 .己 知 某 同 学 每 次 投 篮 投 中 的 概 率为 0.6， 且 各 次 投 篮 是 否 投 中 相 互 独 立 ， 则 该 同 学 通 过 测 试 的 概 率 为 ( )A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312解 析 ： 由 题 意
3、 可 知 ： 同 学 3 次 测 试 满 足 X B(3， 0.6)，该 同 学 通 过 测 试 的 概 率 为 23C (0.6) 2 (1-0.6)+ 33C (0.6)3=0.648.故 选 ： A5.已 知 M(x0， y0)是 双 曲 线 C： 2 2 12x y 上 的 一 点 ， F1、 F2是 C 上 的 两 个 焦 点 ， 若 1MF 2MF 0， 则 y 0的 取 值 范 围 是 ( )A.(- 33 ， 33 )B.(- 36 ， 36 )C.(-2 23 ， 2 23 )D.(-2 33 ， 2 33 ) 解 析 ： 由 题 意 ， 1MF 2MF =( 3-x0， -
4、y0) (- 3-x0， -y0)=x02-3+y02=3y02-1 0，所 以 - 33 y0 33 .故 选 ： A6. 九 章 算 术 是 我 国 古 代 内 容 极 为 丰 富 的 数 学 名 著 ， 书 中 有 如 下 问 题 :“ 今 有 委 米 依 垣 内角 ， 下 周 八 尺 ， 高 五 尺 。 问 :积 及 为 米 几 何 ?” 其 意 思 为 :“ 在 屋 内 墙 角 处 堆 放 米 (如 图 ， 米 堆为 一 个 圆 锥 的 四 分 之 一 )， 米 堆 为 一 个 圆 锥 的 四 分 之 一 )， 米 堆 底 部 的 弧 度 为 8 尺 ， 米 堆 的 高为 5 尺 ，
5、 问 米 堆 的 体 积 和 堆 放 的 米 各 为 多 少 ?” 已 知 1 斛 米 的 体 积 约 为 1.62立 方 尺 ， 圆 周 率约 为 3， 估 算 出 堆 放 斛 的 米 约 有 ( ) A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛解 析 ： 设 圆 锥 的 底 面 半 径 为 r， 则 14 2 3r=8， 解 得 r=163 ，故 米 堆 的 体 积 为 14 13 3 (163 ) 2 5=3209 ， 1 斛 米 的 体 积 约 为 1.62立 方 ， 3209 1.62 22.故 选 ： B7.设 D为 ABC所 在 平 面 内 一 点 3BC CD ， 则 ( )A.
6、1 43 3AD AB AC B. 1 43 3AD AB AC C. 4 13 3AD AB AC D. 4 13 3AD AB AC 解 析 ： 由 已 知 得 到 如 图 ， 由 1 1( )3 3AD AC CD AC BC AC AC AB = 1 43 3AB AC .故 选 ： A 8.函 数 f(x)=cos( x+ )的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 则 f(x)的 单 调 递 减 区 间 为 ( )A.(k -14 ， k +34 ， )， k zB.(2k -14 ， 2k +34 )， k z C.(k-14 ， k+34 )， k zD.(2k-14 ， 2k+
7、34 )， k z解 析 ： 由 函 数 f(x)=cos( x+ )的 部 分 图 象 ， 可 得 函 数 的 周 期 为 2 =2(54 -14 )=2， = ， f(x)=cos( x+ ).再 根 据 函 数 的 图 象 以 及 五 点 法 作 图 ， 可 得 4 + = 2 ， k z， 即 = 4 ， f(x)=cos( x+ 4 ).由 2k x+ 4 2k + ， 求 得 2k-14 x 2k+34 ， 故 f(x)的 单 调 递 减 区 间 为 (2k-14 ，2k+34 )， k z. 故 选 ： D9.如 图 的 程 序 框 图 ， 如 果 输 入 的 t=0.01， 则
8、 输 出 的 n=( ) A.5B.6C.7D.8解 析 ： 执 行 第 1 次 ， t=0.01， S=1， n=0， m=12 =0.5， S=S-m=0.5， 2mm =0.25， n=1， S=0.5 t=0.01， 是 ， 循 环 ，执 行 第 2 次 ， S=S-m=0.25， 2mm =0.125， n=2， S=0.25 t=0.01， 是 ， 循 环 ，执 行 第 3 次 ， S=S-m=0.125， 2mm =0.0625， n=3， S=0.125 t=0.01， 是 ， 循 环 ，执 行 第 4 次 ， S=S-m=0.0625， 2mm =0.03125， n=4，
9、S=0.0625 t=0.01， 是 ， 循 环 ， 执 行 第 5 次 ， S=S-m=0.03125， 2mm =0.015625， n=5， S=0.03125 t=0.01， 是 ， 循 环 ，执 行 第 6 次 ， S=S-m=0.015625， 2mm =0.0078125， n=6， S=0.015625 t=0.01， 是 ， 循 环 ，执 行 第 7 次 ， S=S-m=0.0078125， 2mm =0.00390625， n=7， S=0.0078125 t=0.01， 否 ，输 出 n=7.故 选 ： C10. 2 5( )x x y 的 展 开 式 中 ， 5 2x
10、y 的 系 数 为 ( )A.10 B.20C.30D.60解 析 ： 在 2 5( )x x y 的 5 个 因 式 中 ， 2个 取 因 式 中 2x 剩 余 的 3 个 因 式 中 1个 取 x， 其 余 因式 取 y， 故 5 2x y 的 系 数 为 2 1 25 3 2C C C =30.故 选 C.11.圆 柱 被 一 个 平 面 截 去 一 部 分 后 与 半 球 (半 径 为 r)组 成 一 个 几 何 体 ， 该 几 何 体 三 视 图 中 的正 视 图 和 俯 视 图 如 图 所 示 .若 该 几 何 体 的 表 面 积 为 16+20 ， 则 r=( ) A.1B.2C
11、.4D.8解 析 ： 由 几 何 体 三 视 图 中 的 正 视 图 和 俯 视 图 可 知 ，截 圆 柱 的 平 面 过 圆 柱 的 轴 线 ， 该 几 何 体 是 一 个 半 球 拼 接 半 个 圆 柱 ， 其 表 面 积 为 ： 12 4 r 2+12 r2+12 2r 2 r+2r 2r+12 r2=5 r2+4r2，又 该 几 何 体 的 表 面 积 为 16+20 ， 5 r2+4r2=16+20 ， 解 得 r=2.故 选 ： B12.设 函 数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a， 其 中 a l， 若 存 在 唯 一 的 整 数 x0使 得 f(x0) 0， 则 a 的 取
12、值 范 围 是 ( )A.- 32e ， 1)B.- 32e ， 34 )C. 32e ， 34 ) D. 32e ， 1)解 析 ： 设 g(x)=ex(2x-1)， y=ax-a，由 题 意 知 存 在 唯 一 的 整 数 x0使 得 g(x0)在 直 线 y=ax-a的 下 方 ， g (x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1)， 当 x -12 时 ， g (x) 0， 当 x， -12 时 ， g (x) 0， 当 x=-12 时 ， g(x)取 最 小 值 122e ，当 x=0时 ， g(0)=-1， 当 x=1 时 ， g(1)=3e 0，直 线 y=ax-a恒 过 定
13、 点 (1， 0)且 斜 率 为 a，故 -a g(0)=-1且 g(-1)=-3e-1 -a-a， 解 得 32e a 1.故 选 ： D 二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 3小 题 ， 每 小 题 5 分13.若 函 数 f(x)=xln(x+ 2a x )为 偶 函 数 ， 则 a= .解 析 ： f(x)=xln(x+ 2a x )为 偶 函 数 ， f(-x)=f(x)， (-x)ln(-x+ 2a x )=xln(x+ 2a x )， -ln(-x+ 2a x )=ln(x+ 2a x )， ln(-x+ 2a x )+ln(x+ 2a x )=0， ln( 2a x +x)
14、( 2a x -x) 0， lna=0， a=1.故 答 案 为 ： 114.一 个 圆 经 过 椭 圆 的 三 个 顶 点 ， 且 圆 心 在 x 轴 上 ， 则 该 圆 的 标 准 方 程 为 .解 析 ： 设 圆 心 为 (a， 0)， 则 半 径 为 4 | |a ， 则 2 2 2(4 | |) | | 2a a ， 解 得 32a ， 故 圆 的 方 程 为 2 23 25( )2 4x y .答 案 ： 2 23 25( )2 4x y 15.若 x， y满 足 约 束 条 件 1 004 0 xx yx y ， 则 yx 的 最 大 值 为 .解 析 ： 作 出 可 行 域 如
15、 图 中 阴 影 部 分 所 示 ， 由 斜 率 的 意 义 知 ， yx 是 可 行 域 内 一 点 与 原 点 连 线 的 斜 率 ， 由 图 可 知 ， 点 A(1， 3)与 原 点 连 线的 斜 率 最 大 ， 故 yx 的 最 大 值 为 3.16.在 平 面 四 边 形 ABCD中 ， A= B= C=75 ， BC=2， 则 AB 的 取 值 范 围 是 .解 析 ： 如 图 所 示 ， 延 长 BA， CD交 于 E， 平 移 AD， 当 A 与 D 重 合 与 E 点 时 ， AB最 长 ， 在 BCE中 ， B= C=75 ， E=30 ， BC=2， 由 正 弦 定 理
16、可 得 sin sinBC BEE C ，即 o o2sin30 sin75BE ， 解 得 BE= 6+ 2， 平 移 AD ， 当 D 与 C 重 合 时 ， AB最 短 ，此 时 与 AB 交 于 F， 在 BCF中 ， B= BFC=75 ， FCB=30 ，由 正 弦 定 理 知 ， sin sinBF BCFCB BFC ， 即 o o2sin30 sin75BF ， 解 得 BF= 6 2 ，所 以 AB的 取 值 范 围 为 ( 6 2 ， 6+ 2 ).答 案 ： ( 6 2 ， 6+ 2) 三 .解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演
17、 算 步 骤 。17. Sn为 数 列 an的 前 n 项 和 .已 知 an 0， an2+a=4Sn+3.( )求 an的 通 项 公 式 ；( )设 11n n nb a a ， 求 数 列 b n的 前 n项 和 .解 析 ： ( )先 用 数 列 第 n 项 与 前 n 项 和 的 关 系 求 出 数 列 an的 递 推 公 式 ， 可 以 判 断 数 列 an是 等 差 数 列 ， 利 用 等 差 数 列 的 通 项 公 式 即 可 写 出 数 列 an的 通 项 公 式 ；( )根 据 ( )数 列 bn的 通 项 公 式 ， 再 用 拆 项 消 去 法 求 其 前 n项 和 .
18、答 案 ： ( )当 1n 时 ， 21 1 1 12 4 3 4 +3a a S a ， 因 为 an 0， 所 以 1a =3，当 2n 时 ， 2 2 1 1n n n na a a a = 14 3 4 3n nS S =4a n， 即1 1 1( )( ) 2( )n n n n n na a a a a a ， 因 为 an 0， 所 以 1n na a =2，所 以 数 列 an是 首 项 为 3， 公 差 为 2 的 等 差 数 列 ， 所 以 na =2 1n .( )由 ( )知 ， nb = 1 1 1 1( )(2 1)(2 3) 2 2 1 2 3n n n n ，所
19、 以 数 列 b n前 n 项 和 为 1 2 nb b b = 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 3 5 5 7 2 1 2 3n n =1 16 4 6n .18.如 图 ， 四 边 形 ABCD为 菱 形 ， ABC=120 ， E， F是 平 面 ABCD同 一 侧 的 两 点 ， BE 平 面ABCD， DF 平 面 ABCD， BE=2DF， AE EC. (1)证 明 ： 平 面 AEC 平 面 AFC；(2)求 直 线 AE 与 直 线 CF 所 成 角 的 余 弦 值 .解 析 ： ( )连 接 BD， 设 BD AC=G， 连 接 EG、 EF、 FG，
20、运 用 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 得 到 EG 平 面 AFC， 再 由 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 ， 即 可 得 到 ；( )以 G 为 坐 标 原 点 ， 分 别 以 GB， GC 为 x 轴 ， y轴 ， |GB|为 单 位 长 度 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标系 G-xyz， 求 得 A， E， F， C 的 坐 标 ， 运 用 向 量 的 数 量 积 的 定 义 ， 计 算 即 可 得 到 所 求 角 的 余弦 值 .【 解 答 】 ( )连 接 BD， 设 BD AC=G， 连 接 EG、 EF、 FG， 在 菱 形 ABCD中 ， 不 妨 设 BG=1，
21、由 ABC=120 ， 可 得 AG=GC= 3，BE 平 面 ABCD， AB=BC=1， 可 知 AE=EC， 又 AE EC，所 以 EG= 3， 且 EG AC，在 直 角 EBG中 ， 可 得 BE= 2， 故 DF= 22 ，在 直 角 三 角 形 FDG中 ， 可 得 FG= 62 ， 在 直 角 梯 形 BDFE中 ， 由 BD=2， BE= 2， FD= 22 ， 可 得 EF=3 22 ，从 而 EG2+FG2=EF2， 则 EG FG，AC FG=G， 可 得 EG 平 面 AFC，由 EG平 面 AEC， 所 以 平 面 AEC 平 面 AFC；( )如 图 ， 以 G
22、为 坐 标 原 点 ， 分 别 以 GB， GC为 x 轴 ， y 轴 ， |GB|为 单 位 长 度 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 G-xyz， 由 ( )可 得 A(0， - 3， 0)， E(1， 0， 2)， F(-1， 0， - 22 )，C(0， 3， 0)，即 有 AE=(1， 3， 2)， CF=(-1， - 3， 22 )，故 cos AE ， CF = .则 有 直 线 AE与 直 线 CF 所 成 角 的 余 弦 值 为 33 . 19.某 公 司 为 确 定 下 一 年 度 投 入 某 种 产 品 的 宣 传 费 ， 需 了 解 年 宣 传 费 x(单 位 ：
23、 千 元 )对 年 销售 量 y(单 位 ： t)和 年 利 润 z(单 位 ： 千 元 )的 影 响 ， 对 近 8年 的 年 宣 传 费 xi和 年 销 售 量 yi(i=1，2， ， 8)数 据 作 了 初 步 处 理 ， 得 到 下 面 的 散 点 图 及 一 些 统 计 量 的 值 .x y w 21 ( )n ii x x 21 ( )n ii w w 1 ( )( )n i ii x x y y 1 ( )( )n i ii w w y y 46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表 中 w 1 = 1x ， 118 n iiw w .( )根 据 散
24、 点 图 判 断 ， y=a+bx与 y=c+d x 哪 一 个 适 宜 作 为 年 销 售 量 y 关 于 年 宣 传 费 x 的 回归 方 程 类 型 ？ (给 出 判 断 即 可 ， 不 必 说 明 理 由 ) ( )根 据 ( )的 判 断 结 果 及 表 中 数 据 ， 建 立 y 关 于 x的 回 归 方 程 ；( )已 知 这 种 产 品 的 年 利 率 z与 x、 y 的 关 系 为 z=0.2y-x.根 据 ( )的 结 果 回 答 下 列 问 题 ：(i)年 宣 传 费 x=49时 ， 年 销 售 量 及 年 利 润 的 预 报 值 是 多 少 ？(ii)年 宣 传 费 x
25、为 何 值 时 ， 年 利 率 的 预 报 值 最 大 ？附 ： 对 于 一 组 数 据 (u1， v1)， (u2， v2) (un， vn)， 其 回 归 线 v= + u的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二乘 估 计 分 别 为 ： 1 21( )( )= ( )n i ii n iiu u v vu u ， =v u .解 析 ： ( )根 据 散 点 图 ， 即 可 判 断 出 . ( )先 建 立 中 间 量 w= x ， 建 立 y 关 于 w 的 线 性 回 归 方 程 ， 根 据 公 式 求 出 w， 问 题 得 以 解 决 ；( )(i)年 宣 传 费 x=49时 ， 代
26、 入 到 回 归 方 程 ， 计 算 即 可 ，(ii)求 出 预 报 值 得 方 程 ， 根 据 函 数 的 性 质 ， 即 可 求 出 .答 案 ： ( )由 散 点 图 可 以 判 断 ， y=c+d x 适 宜 作 为 年 销 售 量 y 关 于 年 宣 传 费 x 的 回 归 方 程类 型 ；( )令 w= x ， 先 建 立 y关 于 w 的 线 性 回 归 方 程 ， 由 于 =68，c y d w =563-68 6.8=100.6，所 以 y关 于 w 的 线 性 回 归 方 程 为 y =100.6+68w， 因 此 y关 于 x 的 回 归 方 程 为 y =100.6+
27、68 x ，( )(i)由 ( )知 ， 当 x=49时 ， 年 销 售 量 y的 预 报 值 y =100.6+68 49 =576.6，年 利 润 z 的 预 报 值 z =576.6 0.2-49=66.32，(ii)根 据 ( )的 结 果 可 知 ， 年 利 润 z 的 预 报 值 z =0.2(100.6+68 x )-x=-x+13.6 x +20.12，当 x =13.62=6.8时 ， 年 利 润 的 预 报 值 最 大 .20.在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 C： y= 24x 与 直 线 y=kx+a(a 0)交 与 M， N 两 点 ， ( )当 k=0
28、时 ， 分 别 求 C在 点 M 和 N 处 的 切 线 方 程 ；( )y轴 上 是 否 存 在 点 P， 使 得 当 k 变 动 时 ， 总 有 OPM= OPN？ 说 明 理 由 . 解 析 ： ( )先 求 出 M， N 的 坐 标 ， 再 利 用 导 数 求 出 M， N.( )先 作 出 判 定 ， 再 利 用 设 而 不 求 思 想 即 将 y=kx+a 代 入 曲 线 C 的 方 程 整 理 成 关 于 x的 一 元二 次 方 程 ， 设 出 M， N 的 坐 标 和 P点 坐 标 ， 利 用 设 而 不 求 思 想 ， 将 直 线 PM， PN 的 斜 率 之 和 用a表 示
29、 出 来 ， 利 用 直 线 PM， PN的 斜 率 为 0， 即 可 求 出 a， b关 系 ， 从 而 找 出 适 合 条 件 的 P 点坐 标 .答 案 ： ( )由 题 设 可 得 (2 , )M a a ， ( 2 2, )N a ， 或 ( 2 2, )M a ， (2 , )N a a . 12y x ， 故 24xy 在 x=2 2a处 的 到 数 值 为 a ， C在 (2 2 , )a a 处 的 切 线 方 程 为( 2 )y a a x a ， 即 0ax y a . 故 24xy 在 x=-2 2a处 的 到 数 值 为 - a ， C 在 ( 2 2 , )a a
30、处 的 切 线 方 程 为( 2 )y a a x a ， 即 0ax y a .故 所 求 切 线 方 程 为 0ax y a 或 0ax y a .( )存 在 符 合 题 意 的 点 ， 证 明 如 下 ：设 P(0， b)为 复 合 题 意 得 点 ， 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y ， 直 线 PM， PN的 斜 率 分 别 为 1 2,k k .将 y kx a 代 入 C得 方 程 整 理 得 2 4 4 0 x kx a . 1 2 1 24 , 4x x k x x a . 1 21 2 1 2y b y bk k x x = 1 2 1 21 2
31、2 ( )( )kx x a b x xx x = ( )k a ba .当 b=-a 时 ， 有 1 2k k =0， 则 直 线 PM 的 倾 斜 角 与 直 线 PN 的 倾 斜 角 互 补 ，故 OPM= OPN， 所 以 P(0， -a)符 合 题 意 .21.已 知 函 数 f(x)= 3 1, ( ) ln4x ax g x x ( )当 a 为 何 值 时 ， x 轴 为 曲 线 y=f(x) 的 切 线 ；( )用 minm， n表 示 m， n 中 的 最 小 值 ， 设 函 数 ( ) min ( ), ( ) ( 0)h x f x g x x ， 讨 论h(x)零 点
32、 的 个 数 . 解 析 ： ( )先 利 用 导 数 的 几 何 意 义 列 出 关 于 切 点 的 方 程 组 ， 解 出 切 点 坐 标 与 对 应 的 a 值 ； ( )根 据 对 数 函 数 的 图 像 与 性 质 将 x 分 为 1, 1,0 1x x x 研 究 h(x)的 零 点 个 数 ， 若 零 点 不 容 易 求 解 ， 则 对 a再 分 类 讨 论 .答 案 ： ( )设 曲 线 y= f(x)与 x轴 相 切 于 点 0( ,0)x ， 则 0( ) 0f x ， 0( ) 0f x ， 即30 020 1 043 0 x axx a ， 解 得 0 1 3,2 4x
33、 a .因 此 ， 当 34a 时 ， x轴 是 曲 线 y= f(x)的 切 线 .( )当 (1, )x 时 ， ( ) ln 0g x x ， 从 而 ( ) min ( ), ( ) ( ) 0h x f x g x g x ， h(x)在 (1， + )无 零 点 . 当 x=1时 ， 若 54a ， 则 5(1) 04f a ， (1) min (1), (1) (1) 0h f g g ， 故 x=1是 h(x)的 零 点 ；若 54a ， 则 5(1) 04f a ， (1) min (1), (1) (1) 0h f g f ， 故 x=1 不 是 h(x)的零 点 .当 (
34、0,1)x 时 ， ( ) ln 0g x x ， 所 以 只 需 考 虑 f(x)在 (0， 1)的 零 点 个 数 .( )若 3a 或 0a ， 则 2( ) 3f x x a 在 (0， 1)无 零 点 ， 故 f(x)在 (0， 1)单 调 ， 而1(0) 4f ， 5(1) 4f a ， 所 以 当 3a 时 ， f(x)在 (0， 1)有 一 个 零 点 ； 当 a 0时 ， f(x) 在 (0， 1)无 零 点 .( )若 3 0a ， 则 f(x)在 (0， 3a )单 调 递 减 ， 在 ( 3a ， 1)单 调 递 增 ， 故 当 x= 3a时 ， f(x)取 的 最 小
35、 值 ， 最 小 值 为 ( )3af = 2 13 3 4a a . 若 ( )3af 0， 即 34 a 0， f(x)在 (0， 1)无 零 点 . 若 ( )3af =0， 即 34a ， 则 f(x)在 (0， 1)有 唯 一 零 点 ； 若 ( )3af 0， 即 33 4a ， 由 于 1(0) 4f ， 5(1) 4f a ， 所 以 当 5 34 4a 时 ， f(x)在 (0， 1)有 两 个 零 点 ； 当 53 4a 时 ， f(x)在 (0， 1)有 一 个 零 点 . 综 上 ， 当 34a 或 54a 时 ， h(x)由 一 个 零 点 ；当 34a 或 54a
36、时 ， h(x)有 两 个 零 点 ；当 5 34 4a 时 ， h(x)有 三 个 零 点 .22.选 修 4-1： 几 何 证 明 选 讲如 图 ， AB 是 O的 直 径 ， AC 是 O的 切 线 ， BC 交 O于 E. ( )若 D 为 AC 的 中 点 ， 证 明 ： DE是 O 的 切 线 ；( )若 3OA CE ， 求 ACB的 大 小 .解 析 ： ( )连 接 AE 和 OE， 由 三 角 形 和 圆 的 知 识 易 得 OED=90 ， 可 得 DE 是 O的 切 线 ；( )设 CE=1， AE=x， 由 射 影 定 理 可 得 关 于 x 的 方 程 2 212x
37、 x ， 解 方 程 可 得 x 值 ， 可 得所 求 角 度 .答 案 ： ( )连 接 AE， 由 已 知 得 AE BC， AC AB， 在 Rt ABC中 ， 由 已 知 可 得 DE=DC， DEC= DCE，连 接 OE， 则 OBE= OEB，又 ACB+ ABC=90 ， DEC+ OEB=90 ， OED=90 ， DE是 O 的 切 线 .( )设 CE=1， AE=x，由 已 知 得 AB=2 3， BE= 212 x ，由 射 影 定 理 可 得 AE 2=CE BE， 2 212x x ， 即 x4+x2-12=0， 解 方 程 可 得 x= 3， ACB=60 .
38、23. 选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程在 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 直 线 C1： x=-2， 圆 C2： (x-1)2+(y-2)2=1， 以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x 轴 的正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 .( )求 C1， C2的 极 坐 标 方 程 ；( )若 直 线 C 3的 极 坐 标 方 程 为 = 4 ( R)， 设 C2与 C3的 交 点 为 M， N， 求 C2MN 的 面 积 .解 析 ： ( )由 条 件 根 据 x= cos ， y= sin 求 得 C1， C2的 极 坐 标 方 程 .( )把 直 线 C3的 极
39、 坐 标 方 程 代 入 2-3 2 +4=0， 求 得 1和 2的 值 ， 结 合 圆 的 半 径 可 得C2M C2N， 从 而 求 得 C2MN的 面 积 12 C2M C2N 的 值 .答 案 ： ( )由 于 x= cos ， y= sin ， C 1： x=-2 的 极 坐 标 方 程 为 cos =-2，故 C2： (x-1)2+(y-2)2=1的 极 坐 标 方 程 为 ： ( cos -1)2+( sin -2)2=1， 化 简 可 得 2-3 2 +4=0.( )把 直 线 C3的 极 坐 标 方 程 = 4 ( R)代 入 2-3 2 +4=0， 求 得 1=2 2， 2
40、= 2， |MN|= 1- 2= 2， 由 于 圆 C2的 半 径 为 1， C2M C2N， C2MN的 面 积 为 12 C2M C2N=12 .24. 选 修 4-5： 不 等 式 选 讲已 知 函 数 f(x)=|x+1|-2|x-a|， a0.( )当 a=1时 ， 求 不 等 式 f(x)1 的 解 集 ；( )若 f(x)的 图 像 与 x 轴 围 成 的 三 角 形 面 积 大 于 6， 求 a的 取 值 范 围 .解 析 ： ( )当 a=1时 ， 把 原 不 等 式 去 掉 绝 对 值 ， 转 化 为 与 之 等 价 的 三 个 不 等 式 组 ， 分 别 求 得每 个 不
41、 等 式 组 的 解 集 ， 再 取 并 集 ， 即 得 所 求 . ( )化 简 函 数 f(x)的 解 析 式 ， 求 得 它 的 图 象 与 x轴 围 成 的 三 角 形 的 三 个 顶 点 的 坐 标 ， 从 而求 得 f(x)的 图 象 与 x轴 围 成 的 三 角 形 面 积 ； 再 根 据 f(x)的 图 象 与 x 轴 围 成 的 三 角 形 面 积 大于 6， 从 而 求 得 a 的 取 值 范 围 .答 案 ： ( )当 a=1时 ， 不 等 式 f(x) 1， 即 |x+1|-2|x-1| 1， 即 ，或 ， 或 . 解 求 得 x ， 解 求 得 23 x 1， 解 求 得 1 x 2.综 上 可 得 ， 原 不 等 式 的 解 集 为 (23 ， 2).( )函 数 f(x)=|x+1|-2|x-a|= ，由 此 求 得 f(x)的 图 象 与 x轴 的 交 点 A (2 13a ， 0)， B(2a+1， 0)，故 f(x)的 图 象 与 x 轴 围 成 的 三 角 形 的 第 三 个 顶 点 C(a， a+1)， 由 ABC的 面 积 大 于 6，可 得 12 2a+1-2 13a (a+1) 6， 求 得 a 2. 故 要 求 的 a的 范 围 为 (2， + ).
