1、2014年 湖 南 省 长 沙 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (共 10小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 30分 )1.(3分 ) 的 倒 数 是 ( )A.2B.-2C.D.-解 析 ： 的 倒 数 是 2， 答 案 ： A.2.(3分 )下 列 几 何 体 中 ， 主 视 图 、 左 视 图 、 俯 视 图 完 全 相 同 的 是 ( )A.圆 锥B.六 棱 柱C.球D.四 棱 锥解 析 ： A、 圆 锥 的 主 视 图 、 左 视 图 、 俯 视 图 分 别 为 等 腰 三 角 形 ， 等 腰 三 角 形 ， 圆 及 圆 心 ， 故A选 项 不 符 合 题 意 ；B
2、、 六 棱 柱 的 主 视 图 、 左 视 图 、 俯 视 图 分 别 为 四 边 形 ， 四 边 形 ， 六 边 形 ， 故 B 选 项 不 符 合 题意 ；C、 球 的 主 视 图 、 左 视 图 、 俯 视 图 分 别 为 三 个 全 等 的 圆 ， 故 C 选 项 符 合 题 意 ；D、 四 棱 锥 的 主 视 图 、 左 视 图 、 俯 视 图 分 别 为 三 角 形 ， 三 角 形 ， 四 边 形 ， 故 D 选 项 不 符 合 题 意 ；答 案 ： C.3.(3分 )一 组 数 据 3， 3， 4， 2， 8的 中 位 数 和 平 均 数 分 别 是 ( )A.3 和 3B.3
3、和 4C.4 和 3D.4 和 4解 析 ： 将 数 据 从 小 到 大 排 列 为 ： 2， 3， 3， 4， 8， 则 中 位 数 是 3， 平 均 数 = =4.答 案 ： B.4.(3分 )平 行 四 边 形 的 对 角 线 一 定 具 有 的 性 质 是 ( ) A.相 等B.互 相 平 分C.互 相 垂 直D.互 相 垂 直 且 相 等解 析 ： 平 行 四 边 形 的 对 角 线 互 相 平 分 ， 答 案 ： B.5.(3分 )下 列 计 算 正 确 的 是 ( )A. + =B.(ab2)2=ab4C.2a+3a=6aD.a a3=a4解 析 ： A、 被 开 方 数 不 能
4、 相 加 ， 故 A 错 误 ；B、 积 的 乘 方 等 于 每 个 因 式 分 别 乘 方 ， 再 把 所 得 的 幂 相 乘 ， 故 B 错 误 ；C、 系 数 相 加 字 母 部 分 不 变 ， 故 C 错 误 ；D、 底 数 不 变 指 数 相 加 ， 故 D 正 确 ；答 案 ： D. 6.(3分 )如 图 ， C、 D 是 线 段 AB上 的 两 点 ， 且 D 是 线 段 AC 的 中 点 ， 若 AB=10cm， BC=4cm， 则AD的 长 为 ( )A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm解 析 ： AB=10cm， BC=4cm， AC=AB-BC=6cm，又 点 D是
5、AC的 中 点 ， AD= AC=3m，答 案 ： B.7.(3分 )一 个 关 于 x的 一 元 一 次 不 等 式 组 的 解 集 在 数 轴 上 的 表 示 如 图 ， 则 该 不 等 式 组 的 解 集 是 ( )A.x 1B.x 1C.x 3D.x 3解 析 ： 一 个 关 于 x的 一 元 一 次 不 等 式 组 的 解 集 在 数 轴 上 的 表 示 如 图 ， 则 该 不 等 式 组 的 解 集 是x 3.答 案 ： C.8.(3分 )如 图 ， 已 知 菱 形 ABCD的 边 长 为 2， DAB=60 ， 则 对 角 线 BD 的 长 是 ( ) A.1 B.C.2D.2解
6、 析 ： 菱 形 ABCD 的 边 长 为 2， AD=AB=2，又 DAB=60 ， DAB是 等 边 三 角 形 ， AD=BD=AB=2， 则 对 角 线 BD的 长 是 2.答 案 ： C.9.(3分 )下 列 四 个 圆 形 图 案 中 ， 分 别 以 它 们 所 在 圆 的 圆 心 为 旋 转 中 心 ， 顺 时 针 旋 转 120 后 ，能 与 原 图 形 完 全 重 合 的 是 ( )A. B.C.D.解 析 ： A、 最 小 旋 转 角 度 = =120 ； B、 最 小 旋 转 角 度 = =90 ；C、 最 小 旋 转 角 度 = =180 ； D、 最 小 旋 转 角
7、度 = =72 ； 综 上 可 得 ： 顺 时 针 旋 转 120 后 ， 能 与 原 图 形 完 全 重 合 的 是 A.答 案 ： A.10.(3分 )函 数 y= 与 y=ax2(a 0)在 同 一 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 图 象 可 能 是 ( )A. B. C.D.解 析 ： a 0时 ， y= 的 函 数 图 象 位 于 第 一 三 象 限 ， y=ax 2的 函 数 图 象 位 于 第 一 二 象 限 且 经 过原 点 ， a 0时 ， y= 的 函 数 图 象 位 于 第 二 四 象 限 ， y=ax2的 函 数 图 象 位 于 第 三 四 象 限 且 经 过原 点
8、 ， 纵 观 各 选 项 ， 只 有 D 选 项 图 形 符 合 .答 案 ： D.二 、 填 空 题 (共 8 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 24分 )11.(3分 )如 图 ， 直 线 a b， 直 线 c 分 别 与 a， b相 交 ， 若 1=70 ， 则 2= 度 . 解 析 ： 1=70 ， 3= 1=70 ， a b， 2+ 3=180 ， 2=180 -70 =110 .答 案 ： 110.12.(3分 )抛 物 线 y=3(x-2) 2+5的 顶 点 坐 标 是 .解 析 ： 抛 物 线 y=3(x-2)2+5， 顶 点 坐 标 为 ： (2， 5).答 案 ： (
9、2， 5).13.(3分 )如 图 ， A、 B、 C是 O 上 的 三 点 ， AOB=100 ， 则 ACB= 度 . 解 析 ： ACB= AOB= 100 =50 .答 案 ： 50.14.(3分 )已 知 关 于 x的 一 元 二 次 方 程 2x2-3kx+4=0的 一 个 根 是 1， 则 k= .解 析 ： 依 题 意 ， 得 2 12-3k 1+4=0， 即 2-3k+4=0， 解 得 ， k=2.答 案 ： 2.15.(3分 )100件 外 观 相 同 的 产 品 中 有 5件 不 合 格 ， 现 从 中 任 意 抽 取 1件 进 行 检 测 ， 抽 到 不 合格 产 品
10、的 概 率 是 .解 析 ： 100件 外 观 相 同 的 产 品 中 有 5件 不 合 格 ， 从 中 任 意 抽 取 1 件 进 行 检 测 ， 抽 到 不 合 格 产 品 的 概 率 是 ： = . 答 案 ： .16.(3分 )如 图 ， 在 ABC中 ， DE BC， = ， ADE的 面 积 是 8， 则 ABC的 面 积 为18 .解 析 ： 在 ABC中 ， DE BC， ADE ABC. = ， =( )2= ， ， S ABC=18，答 案 ： 18.17.(3分 )如 图 ， 点 B、 E、 C、 F 在 一 条 直 线 上 ， AB DE， AB=DE， BE=CF，
11、AC=6， 则 DF= .解 析 ： AB DE， B= DEF BE=CF， BC=EF，在 ABC和 DEF中 ， ， ABC DEF(SAS)， AC=DF=6.答 案 ： 6.18.(3分 )如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 点 A(2， 3)， 点 B(-2， 1)， 在 x轴 上 存 在 点 P到 A， B 两 点 的 距 离 之 和 最 小 ， 则 P 点 的 坐 标 是 . 解 析 ： 作 A关 于 x 轴 的 对 称 点 C， 连 接 BC 交 x 轴 于 P， 则 此 时 AP+BP 最 小 ， A 点 的 坐 标 为 (2， 3)， B 点 的
12、坐 标 为 (-2， 1)， C(2， -3)，设 直 线 BC 的 解 析 式 是 ： y=kx+b，把 B、 C 的 坐 标 代 入 得 ： ， 解 得 .即 直 线 BC 的 解 析 式 是 y=-x-1，当 y=0时 ， -x-1=0， 解 得 ： x=-1， P点 的 坐 标 是 (-1， 0).答 案 ： (-1， 0). 三 、 解 答 题 (共 2 小 题 ， 每 小 题 6 分 ， 共 12分 )19.(6分 )计 算 ： (-1)2014+ -( )-1+ sin45 .解 析 ： 本 题 涉 及 零 指 数 幂 、 乘 方 、 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 、 二
13、次 根 式 化 简 四 个 考 点 .针 对 每 个考 点 分 别 进 行 计 算 ， 然 后 根 据 实 数 的 运 算 法 则 求 得 计 算 结 果 .答 案 ： 原 式 =1+2-3+1=1. 20.(6分 )先 简 化 ， 再 求 值 ： (1+ ) ， 其 中 x=3.解 析 ： 原 式 括 号 中 两 项 通 分 并 利 用 同 分 母 分 式 的 加 法 法 则 计 算 ， 同 时 利 用 除 法 法 则 变 形 ， 约分 得 到 最 简 结 果 ， 将 x 的 值 代 入 计 算 即 可 求 出 值 .答 案 ： 原 式 = = = ，当 x=3时 ， 原 式 = = .四
14、、 解 答 题 (共 2 小 题 ， 每 小 题 8 分 ， 共 16分 ) 21.(8分 )某 数 学 兴 趣 小 组 在 全 校 范 围 内 随 机 抽 取 了 50名 同 学 进 行 “ 舌 尖 上 的 长 沙 -我 最 喜爱 的 长 沙 小 吃 ” 调 查 活 动 ， 将 调 查 问 卷 整 理 后 绘 制 成 如 图 所 示 的 不 完 整 条 形 统 计 图 ： 请 根 据 所 给 信 息 解 答 以 下 问 题 ：(1)请 补 全 条 形 统 计 图 ；(2)若 全 校 有 2000名 同 学 ， 请 估 计 全 校 同 学 中 最 喜 爱 “ 臭 豆 腐 ” 的 同 学 有 多
15、 少 人 ？(3)在 一 个 不 透 明 的 口 袋 中 有 四 个 完 全 相 同 的 小 球 ， 把 它 们 分 别 标 号 为 四 种 小 吃 的 序 号 A、 B、C、 D， 随 机 地 摸 出 一 个 小 球 然 后 放 回 ， 再 随 机 地 摸 出 一 个 小 球 ， 请 用 列 表 或 画 树 形 图 的 方 法 ，求 出 恰 好 两 次 都 摸 到 “ A” 的 概 率 .解 析 ： (1)总 人 数 以 及 条 形 统 计 图 求 出 喜 欢 “ 唆 螺 ” 的 人 数 ， 补 全 条 形 统 计 图 即 可 ；(2)求 出 喜 欢 “ 臭 豆 腐 ” 的 百 分 比 ，
16、乘 以 2000即 可 得 到 结 果 ；(3)列 表 得 出 所 有 等 可 能 的 情 况 数 ， 找 出 恰 好 两 次 都 摸 到 “ A” 的 情 况 数 ， 即 可 求 出 所 求 的 概率 .答 案 ： (1)根 据 题 意 得 ： 喜 欢 “ 唆 螺 ” 人 数 为 ： 50-(14+21+5)=10(人 )， 补 全 统 计 图 ， 如 图 所示 ： (2)根 据 题 意 得 ： 2000 100%=560(人 )， 则 估 计 全 校 同 学 中 最 喜 爱 “ 臭 豆 腐 ” 的 同 学 有560人 ；(3)列 表 如 下 ：所 有 等 可 能 的 情 况 有 16种 ，
17、 其 中 恰 好 两 次 都 摸 到 “ A” 的 情 况 有 1 种 ， 则 P= . 22.(8分 )如 图 ， 四 边 形 ABCD是 矩 形 ， 把 矩 形 沿 对 角 线 AC折 叠 ， 点 B 落 在 点 E 处 ， CE与 AD相 交 于 点 O.(1)求 证 ： AOE COD；(2)若 OCD=30 ， AB= ， 求 AOC的 面 积 .解 析 ： (1)根 据 矩 形 的 对 边 相 等 可 得 AB=CD， B= D=90 ， 再 根 据 翻 折 的 性 质 可 得 AB=AE， B= E， 然 后 求 出 AE=CD， D= E， 再 利 用 “ 角 角 边 ” 证
18、明 即 可 ；(2)根 据 全 等 三 角 形 对 应 边 相 等 可 得 AO=CO， 解 直 角 三 角 形 求 出 CO， 然 后 利 用 三 角 形 的 面 积 公 式 列 式 计 算 即 可 得 解 .答 案 ： (1) 四 边 形 ABCD是 矩 形 ， AB=CD， B= D=90 ， 矩 形 ABCD沿 对 角 线 AC折 叠 点 B落 在 点 E处 ， AB=AE， B= E， AE=CD， D= E，在 AOE和 COD中 ， ， AOE COD(AAS)；(2) AOE COD， AO=CO， OCD=30 ， AB= ， CO=CD cos30 = =2， AOC的 面
19、 积 = AO CD= 2 = .五 、 解 答 题 (共 2 小 题 ， 每 小 题 9 分 ， 共 18分 )23.(9分 )为 建 设 “ 秀 美 幸 福 之 市 ” ， 长 沙 市 绿 化 提 质 改 造 工 程 正 如 火 如 荼 地 进 行 ， 某 施 工队 计 划 购 买 甲 、 乙 两 种 树 苗 共 400棵 对 芙 蓉 路 的 某 标 段 道 路 进 行 绿 化 改 造 ， 已 知 甲 种 树 苗 每棵 200元 ， 乙 种 树 苗 每 棵 300元 .(1)若 购 买 两 种 树 苗 的 总 金 额 为 90000 元 ， 求 需 购 买 甲 、 乙 两 种 树 苗 各
20、多 少 棵 ？(2)若 购 买 甲 种 树 苗 的 金 额 不 少 于 购 买 乙 种 树 苗 的 金 额 ， 至 少 应 购 买 甲 种 树 苗 多 少 棵 ？解 析 ： (1)设 购 买 甲 种 树 苗 x棵 ， 则 购 买 乙 种 树 苗 (400-x)棵 ， 根 据 购 买 两 种 树 苗 的 总 金 额 为 90000元 建 立 方 程 求 出 其 解 即 可 ；(2)设 至 少 应 购 买 甲 种 树 苗 a 棵 ， 则 购 买 乙 种 树 苗 (400-a)棵 ， 根 据 购 买 甲 种 树 苗 的 金 额 不 少于 购 买 乙 种 树 苗 的 金 额 建 立 不 等 式 求 出
21、 其 解 即 可 .答 案 ： (1)设 购 买 甲 种 树 苗 x 棵 ， 则 购 买 乙 种 树 苗 (400-x)棵 ， 由 题 意 ， 得200 x+300(400-x)=90000， 解 得 ： x=300， 购 买 乙 种 树 苗 400-300=100棵 ，答 ： 购 买 甲 种 树 苗 300棵 ， 则 购 买 乙 种 树 苗 100棵 ；(2)设 至 少 应 购 买 甲 种 树 苗 a 棵 ， 则 购 买 乙 种 树 苗 (400-a)棵 ， 由 题 意 ， 得 200a 300(400-a)，解 得 ： a 240.答 ： 至 少 应 购 买 甲 种 树 苗 240棵 .2
22、4.(9分 )如 图 ， 以 ABC的 一 边 AB为 直 径 作 O， O 与 BC 边 的 交 点 恰 好 为 BC的 中 点 D， 过 点 D作 O 的 切 线 交 AC于 点 E.(1)求 证 ： DE AC；(2)若 AB=3DE， 求 tan ACB的 值 .解 析 ： (1)连 接 OD， 可 以 证 得 DE OD， 然 后 证 明 OD AC 即 可 证 明 DE AC； (2)利 用 DAE CDE， 求 出 DE 与 CE的 比 值 即 可 .答 案 ： (1)连 接 OD， D 是 BC 的 中 点 ， OA=OB， OD 是 ABC的 中 位 线 ， OD AC， D
23、E 是 O的 切 线 ， OD DE， DE AC；(2)连 接 AD， AB 是 O的 直 径 ， ADB=90 ， DE AC， ADC= DEC= AED=90 ， ADE= DCE 在 ADE和 CDE中 ， ， CDE DAE， ，设 tan ACB=x， CE=a， 则 DE=ax， AC=3ax， AE=3ax-a， ， 整 理 得 ： x2-3x+1=0， 解 得 ： x= ， tan ACB= .六 、 解 答 题 (共 2 小 题 ， 每 小 题 10 分 ， 共 20分 )25.(10分 )在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 我 们 不 妨 把 横 坐 标 与 纵 坐
24、 标 相 等 的 点 称 为 “ 梦 之 点 ” ， 例如 点 (-1， -1)， (0， 0)， ( ， )， 都 是 “ 梦 之 点 ” ， 显 然 ， 这 样 的 “ 梦 之 点 ” 有 无数 个 .(1)若 点 P(2， m)是 反 比 例 函 数 y= (n为 常 数 ， n 0)的 图 象 上 的 “ 梦 之 点 ” ， 求 这 个 反 比 例 函 数 的 解 析 式 ；(2)函 数 y=3kx+s-1(k， s是 常 数 )的 图 象 上 存 在 “ 梦 之 点 ” 吗 ？ 若 存 在 ， 请 求 出 “ 梦 之 点 ”的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 ；(
25、3)若 二 次 函 数 y=ax2+bx+1(a， b 是 常 数 ， a 0)的 图 象 上 存 在 两 个 不 同 的 “ 梦 之 点 ” A(x1，x1)， B(x2， x2)， 且 满 足 -2 x1 2， |x1-x2|=2， 令 t=b2-2b+ ， 试 求 出 t 的 取 值 范 围 .解 析 ： (1)先 由 “ 梦 之 点 ” 的 定 义 得 出 m=2， 再 将 点 P坐 标 代 入 y= ， 运 用 待 定 系 数 法 即 可求 出 反 比 例 函 数 的 解 析 式 ；(2)假 设 函 数 y=3kx+s-1(k， s是 常 数 )的 图 象 上 存 在 “ 梦 之 点
26、 ” (x， x)， 则 有 x=3kx+s-1，整 理 得 (3k-1)x=1-s， 再 分 三 种 情 况 进 行 讨 论 即 可 ；(3)先 将 A(x 1， x1)， B(x2， x2)代 入 y=ax2+bx+1， 得 到 ax12+(b-1)x1+1=0， ax22+(b-1)x2+1=0，根 据 方 程 的 解 的 定 义 可 知 x1， x2是 一 元 二 次 方 程 ax2+(b-1)x+1=0的 两 个 根 ， 由 根 与 系 数 的关 系 可 得 x1+x2= ， x1 x2= ， 则 (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1 x2= =4， 整 理 得出 b2-2b=
27、(2a+1)2-2， 则 t=b2-2b+ =(2a+1)2+ .再 由 -2 x1 2， |x1-x2|=2， 得 出 -4 x2 4， -8 x1 x2 8， 即 -8 8， 又 a 0， 解 不 等 式 组 得 出 a ， 进 而 求 出 t 的 取 值 范围 .答 案 ： (1) 点 P(2， m)是 “ 梦 之 点 ” ， m=2， 点 P(2， 2)在 反 比 例 函 数 y= (n 为 常 数 ， n 0)的 图 象 上 ， n=2 2=4， 反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 y= .(2)假 设 函 数 y=3kx+s-1(k， s是 常 数 )的 图 象 上 存 在 “
28、 梦 之 点 ” (x， x)， 则 有 x=3kx+s-1，整 理 ， 得 (3k-1)x=1-s，当 3k-1 0， 即 k 时 ， 解 得 x= ；当 3k-1=0， 1-s=0， 即 k= ， s=1时 ， x 有 无 穷 多 解 ； 当 3k-1=0， 1-s 0， 即 k= ， s 1时 ， x 无 解 ；综 上 所 述 ， 当 k 时 ， “ 梦 之 点 ” 的 坐 标 为 ( ， )； 当 k= ， s=1时 ， “ 梦 之点 ” 有 无 数 个 ； 当 k= ， s 1 时 ， 不 存 在 “ 梦 之 点 ” ；(3) 二 次 函 数 y=ax2+bx+1(a， b 是 常
29、数 ， a 0)的 图 象 上 存 在 两 个 不 同 的 “ 梦 之 点 ” A(x1，x 1)， B(x2， x2)， x1=ax12+bx1+1， x2=ax22+bx2+1， ax12+(b-1)x1+1=0， ax22+(b-1)x2+1=0， x1， x2是 一 元 二 次 方 程 ax2+(b-1)x+1=0的 两 个 不 等 实 根 ， x1+x2= ， x1 x2= ， (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1 x2=( )2-4 = =4， b2-2b=4a2+4a-1=(2a+1)2-2， t=b2-2b+ =(2a+1)2-2+ =(2a+1)2+ . -2 x 1
30、2， |x1-x2|=2， -4 x2 0或 0 x2 4， -4 x2 4， -8 x1 x2 8， -8 8， a 0， a (2a+1)2+ + = ， t .26.(10分 )如 图 ， 抛 物 线 y=ax2+bx+c(a， b， c是 常 数 ， a 0)的 对 称 轴 为 y轴 ， 且 经 过 (0， 0)和 ( ， )两 点 ， 点 P在 该 抛 物 线 上 运 动 ， 以 点 P为 圆 心 的 P总 经 过 定 点 A(0， 2).(1)求 a， b， c 的 值 ；(2)求 证 ： 在 点 P 运 动 的 过 程 中 ， P 始 终 与 x 轴 相 交 ；(3)设 P 与
31、x 轴 相 交 于 M(x 1， 0)， N(x2， 0)(x1 x2)两 点 ， 当 AMN为 等 腰 三 角 形 时 ， 求 圆心 P 的 纵 坐 标 . 解 析 ： (1)根 据 题 意 得 出 二 次 函 数 一 般 形 式 进 而 将 已 知 点 代 入 求 出 a， b， c 的 值 即 可 ；(2)设 P(x， y)， 表 示 出 P 的 半 径 r， 进 而 与 x2比 较 得 出 答 案 即 可 ；(3)分 别 表 示 出 AM， AN的 长 ， 进 而 分 别 利 用 当 AM=AN时 ， 当 AM=MN 时 ， 当 AN=MN时 ， 求 出 a的 值 ， 进 而 得 出
32、圆 心 P 的 纵 坐 标 即 可 .答 案 ： (1) 抛 物 线 y=ax2+bx+c(a， b， c 是 常 数 ， a 0)的 对 称 轴 为 y轴 ， 且 经 过 (0， 0)和 ( ，)两 点 ， 抛 物 线 的 一 般 式 为 ： y=ax2， =a( )2， 解 得 ： a= ， 图 象 开 口 向 上 ， a= ， 抛 物 线 解 析 式 为 ： y= x 2， 故 a= ， b=c=0；(2)设 P(x， y)， P的 半 径 r= ，又 y= x2， 则 r= ， 化 简 得 ： r= x2， 点 P在 运 动 过 程 中 ， P 始 终 与 x 轴 相 交 ；(3)设 P(a， a 2)， PA= ， 作 PH MN于 H， 则 PM=PN= ， 又 PH= a2， 则 MH=NH= =2， 故 MN=4， M(a-2， 0)， N(a+2， 0)，又 A(0， 2)， AM= ， AN= ，当 AM=AN 时 ， = ， 解 得 ： a=0， 当 AM=MN 时 ， =4， 解 得 ： a=2 2 ， 则 a2=4 2 ；当 AN=MN 时 ， =4， 解 得 ： a=-2 2 ， 则 a2=4 2 ；综 上 所 述 ， P 的 纵 坐 标 为 0 或 4+2 或 4-2 .
