1、2015年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (安 徽 卷 )数 学 文一 .选 择 题 (每 小 题 5分 ， 共 50分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 个 是 正 确 的 )1.设 i是 虚 数 单 位 ， 则 复 数 (1-i)(1+2i)=( )A.3+3iB.-1+3iC.3+iD.-1+i解 析 ： 直 接 利 用 复 数 的 多 项 式 乘 法 展 开 求 解 即 可 .复 数 (1-i)(1+2i)=1+2-i+2i=3+i.故 选 ： C2.设 全 集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6A=1， 2， B=2， 3
2、， 4， 则 A (C RB)=( )A.1， 2， 5， 6B.1C.2D.1， 2， 3， 4解 析 ： CRB=1， 5， 6； A (CRB)=1， 2 1， 5， 6=1.故 选 ： B3.设 p： x 3， q： -1 x 3， 则 p是 q成 立 的 ( )A.充 分 必 要 条 件B.充 分 不 必 要 条 件C.必 要 不 充 分 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 解 析 ： 设 p： x 3， q： -1 x 3， 则 p成 立 ， 不 一 定 有 q 成 立 ， 但 是 q 成 立 ， 必 有 p 成 立 ，所 以 p是 q成 立 的 必 要 不 充 分
3、条 件 .故 选 ： C4.下 列 函 数 中 ， 既 是 偶 函 数 又 存 在 零 点 的 是 ( )A.y=lnxB.y=x2+1C.y=sinxD.y=cosx解 析 ： 对 于 A， y=lnx 定 义 域 为 (0， + )， 所 以 是 非 奇 非 偶 的 函 数 ；对 于 B， 是 偶 函 数 ， 但 是 不 存 在 零 点 ；对 于 C， sin(-x)=-sinx， 是 奇 函 数 ；对 于 D， cos(-x)=cosx， 是 偶 函 数 并 且 有 无 数 个 零 点 . 故 选 ： D5.已 知 x， y 满 足 约 束 条 件 ， 则 z=-2x+y的 最 大 值
4、是 ( ) A.-1B.-2C.-5D.1解 析 ： 由 已 知 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 如 图 阴 影 部 分 ，当 直 线 y=2x+z经 过 A时 使 得 z最 大 ， 由 得 到 A(1， 1)， 所 以 z的 最 大 值 为 -2 1+1=-1. 故 选 ： A6.下 列 双 曲 线 中 ， 渐 近 线 方 程 为 y= 2x的 是 ( )A.B.C.D. 解 析 ： 由 双 曲 线 方 程 (a 0， b 0)的 渐 近 线 方 程 为 y= ba x，由 A 可 得 渐 近 线 方 程 为 y= 2x，由 B 可 得 渐 近 线 方 程 为 y= 12 x，由
5、 C 可 得 渐 近 线 方 程 为 y= 2 x，由 D 可 得 渐 近 线 方 程 为 y= 22 x.故 选 ： A 7.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 (算 法 流 程 图 )， 输 出 的 n为 ( ) A.3B.4C.5D.6解 析 ： 模 拟 执 行 程 序 框 图 ， 可 得 a=1， n=1，满 足 条 件 |a-1.414| 0.005， a= 32 ， n=2，满 足 条 件 |a-1.414| 0.005， a= 75 ， n=3，满 足 条 件 |a-1.414| 0.005， a=1712 ， n=4，不 满 足 条 件 |a-1.414|=0.0026
6、7 0.005， 退 出 循 环 ， 输 出 n 的 值 为 4.故 选 ： B 8.直 线 3x+4y=b与 圆 x2+y2-2x-2y+1=0 相 切 ， 则 b=( )A.-2或 12B.2或 -12C.-2或 -12D.2或 12解 析 ： x2+y2-2x-2y+1=0 可 化 为 (x-1)2+(y-1)2=1 直 线 3x+4y=b与 圆 x2+y2-2x-2y+1=0 相 切 ， 圆 心 (1， 1)到 直 线 的 距 离 d= =1， 解 得 ： b=2或 12.故 选 ： D9.一 个 四 面 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 四 面 体 的 表 面 积 是
7、( ) A.1+ 3B.1+2 2C.2+ 3D.2 2解 析 ： 由 三 视 图 画 出 它 的 直 观 图 如 下 ， 三 棱 锥 O-ABC， OE 底 面 ADC， EA=ED=1， OE=1， AB=BC= 2 ， AB BC， 可 判 断 ； OAB OBC的 直 角 三 角 形 ，S OAC=S ABC= 12 2 1=1， S OAB=S OBC= 34 ( 2 )2= 3 ，该 四 面 体 的 表 面 积 ： 2+ 3 .故 选 ： C10.函 数 f(x)=ax 3+bx2+cx+d 的 图 象 如 图 所 示 ， 则 下 列 结 论 成 立 的 是 ( ) A.a 0，
8、b 0， c 0， d 0B.a 0， b 0， c 0， d 0C.a 0， b 0， c 0， d 0D.a 0， b 0， c 0， d 0解 析 ： f(0)=d 0， 排 除 D，当 x + 时 ， y + ， a 0， 排 除 C，函 数 的 导 数 f (x)=3ax2+2bx+c，则 f (x)=0 有 两 个 不 同 的 正 实 根 ，则 f (0)=c 0， 排 除 B.故 选 ： A二 .填 空 题 (每 小 题 5分 ， 共 25分 ) 11. = .解 析 ： 原 式 =lg5-lg2+2lg2-2=lg5+lg2-2=lg10-2=1-2=-1.故 答 案 为 ：
9、-112.在 ABC中 ， AB= 6 ， A=75 ， B=45 ， 则 AC= .解 析 ： A=75 ， B=45 ， 则 C=180 -75 -45 =60 ，由 正 弦 定 理 可 得 ， ， 即 有 AC= =2.故 答 案 为 ： 2 13.已 知 数 列 an中 ， a1=1， an=an-1+ 12 (n 2)， 则 数 列 an的 前 9项 和 等 于 .解 析 ： an=an-1+ 12 (n 2)， an-an-1= 12 (n 2)， 数 列 an的 公 差 d= 12 ，又 a 1=1， an=1+ 12 (n-1)= ， S9=9a1+ d=9+36 12 =27
10、.故 答 案 为 ： 2714.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 若 直 线 y=2a 与 函 数 y=|x-a|-1 的 图 象 只 有 一 个 交 点 ， 则 a 的 值 为 .解 析 ： 由 已 知 直 线 y=2a是 平 行 于 x 轴 的 直 线 ， 函 数 y=|x-a|-1的 图 象 是 折 线 ， 所 以 直 线 y=2a过 折 线 顶 点 时 满 足 题 意 ， 所 以 2a=-1， 解 得 a=- 12 .故 答 案 为 ： - 1215. ABC 是 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形 ， 已 知 向 量 a ， b 满 足 ， ， 则 下列 结 论 中
11、 正 确 的 .(写 出 所 有 正 确 结 论 得 序 号 ) a 为 单 位 向 量 ； b 为 单 位 向 量 ； ； ； . 解 析 ： ABC是 边 长 为 2的 等 边 三 角 形 ， 已 知 向 量 a ， b 满 足 ， ，则 ， AB=2， 所 以 |a |=1， 即 a 是 单 位 向 量 ； 正 确 ；因 为 ， 所 以 ， 故 |b |=2； 故 错 误 ； 正 确 ；a ， b 夹 角 为 120 ， 故 错 误 ； =4 1 2 cos120 +4=-4+4=0； 故 正 确 .故 答 案 为 ： 三 、 解 答 题 16.已 知 函 数 f(x)=(sinx+co
12、sx)2+cos2x(1)求 f(x)最 小 正 周 期 ；(2)求 f(x)在 区 间 0， 2 上 的 最 大 值 和 最 小 值 .解 析 ： (1)由 条 件 利 用 三 角 恒 等 变 换 求 得 f(x)的 解 析 式 ， 再 利 用 正 弦 函 数 的 周 期 性 求 得 f(x)最 小 正 周 期 .(2)由 条 件 利 用 正 弦 函 数 的 定 义 域 和 值 域 ， 求 得 f(x)在 区 间 0， 2 上 的 最 大 值 和 最 小 值 .解 析 ： (1) 函 数 f(x)=(sinx+cosx) 2+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+ 2 sin(2x+
13、4 )， 它 的 最 小 正 周 期 为 22 = .(2)在 区 间 0， 2 上 ， 2x+ 4 4 ， 54 ， 故 当 2x+ 4 = 54 时 ， f(x)取 得 最 小 值 为 1+ 2 (- 22 )=0， 当 2x+ 4 = 2 时 ， f(x)取 得 最 大 值 为 1+ 2 1=1+ 2 .17.某 企 业 为 了 解 下 属 某 部 门 对 本 企 业 职 工 的 服 务 情 况 ， 随 机 访 问 50名 职 工 ， 根 据 这 50名职 工 对 该 部 门 的 评 分 ， 绘 制 频 率 分 布 直 方 图 (如 图 所 示 )， 其 中 样 本 数 据 分 组 区
14、间 为 40， 50，50， 60， ， 80， 90， 90， 100 (1)求 频 率 分 布 图 中 a 的 值 ；(2)估 计 该 企 业 的 职 工 对 该 部 门 评 分 不 低 于 80 的 概 率 ；(3)从 评 分 在 40， 60的 受 访 职 工 中 ， 随 机 抽 取 2 人 ， 求 此 2 人 评 分 都 在 40， 50的 概 率 .解 析 ： (1)利 用 频 率 分 布 直 方 图 中 的 信 息 ， 所 有 矩 形 的 面 积 和 为 1， 得 到 a；(2)对 该 部 门 评 分 不 低 于 80 的 即 为 90 和 100， 的 求 出 频 率 ， 估
15、计 概 率 ；(3)求 出 评 分 在 40， 60的 受 访 职 工 和 评 分 都 在 40， 50的 人 数 ， 随 机 抽 取 2人 ， 列 举 法 求出 所 有 可 能 ， 利 用 古 典 概 型 公 式 解 答 .答 案 ： (1)因 为 (0.004+a+0.018+0.022 2+0.028) 10=1， 解 得 a=0.006；(2)由 已 知 的 频 率 分 布 直 方 图 可 知 ， 50 名 受 访 职 工 评 分 不 低 于 80的 频 率 为 (0.022+0.018)10=4， 所 以 该 企 业 职 工 对 该 部 门 评 分 不 低 于 80 的 概 率 的
16、估 计 值 为 0.4；(3)受 访 职 工 中 评 分 在 50， 60)的 有 ： 50 0.006 10=3(人 )， 记 为 A 1， A2， A3；受 访 职 工 评 分 在 40， 50)的 有 ： 50 0.004 10=2(人 )， 记 为 B1， B2.从 这 5名 受 访 职 工 中 随 机 抽 取 2 人 ， 所 有 可 能 的 结 果 共 有 10 种 ，分 别 是 A1， A2， A1， A3， A1， B1， A1， B2， A2， A3， A2， B1， A2， B2， A3， B1， A3，B2， B1， B2，又 因 为 所 抽 取 2人 的 评 分 都 在
17、40， 50)的 结 果 有 1 种 ， 即 B1， B2，故 所 求 的 概 率 为 P= 110 .18.已 知 数 列 a n是 递 增 的 等 比 数 列 ， 且 a1+a4=9， a2a3=8.(1)求 数 列 an的 通 项 公 式 ；(2)设 Sn为 数 列 an的 前 n项 和 ， bn= ， 求 数 列 bn的 前 n项 和 Tn.解 析 ： (1)根 据 等 比 数 列 的 通 项 公 式 求 出 首 项 和 公 比 即 可 ， 求 数 列 an的 通 项 公 式 ；(2)求 出 bn= ， 利 用 裂 项 法 即 可 求 数 列 bn的 前 n项 和 Tn.答 案 ： (
18、1) 数 列 a n是 递 增 的 等 比 数 列 ， 且 a1+a4=9， a2a3=8， a1+a4=9， a1a4=8.解 得 a1=1， a4=8或 a1=8， a4=1(舍 )， 解 得 q=2， 即 数 列 an的 通 项 公 式 an=2n-1；(2) =2n-1， ， 数 列 b n的 前 n 项 和 .19.如 图 ， 三 棱 锥 P-ABC 中 ， PA 平 面 ABC， PA=1， AB=1， AC=2， BAC=60 .(1)求 三 棱 锥 P-ABC 的 体 积 ； (2)证 明 ： 在 线 段 PC上 存 在 点 M， 使 得 AC BM， 并 求 PMMC 的 值
19、 .解 析 ： (1)利 用 VP-ABC= 13 S ABC PA， 求 三 棱 锥 P-ABC 的 体 积 ；(2)过 B作 BN AC， 垂 足 为 N， 过 N 作 MN PA， 交 PA于 点 M， 连 接 BM， 证 明 AC 平 面 MBN，可 得 AC BM， 利 用 MN PA， 求 PMMC 的 值 .答 案 ： (1)由 题 设 ， AB=1， AC=2， BAC=60 ，可 得 S ABC= 12 AB AC sin60 = 32 .因 为 PA 平 面 ABC， PA=1， 所 以 VP-ABC= 13 S ABC PA= 36 .(2)过 B 作 BN AC， 垂
20、足 为 N， 过 N 作 MN PA， 交 PA于 点 M， 连 接 BM， 由 PA 平 面 ABC， 知 PA AC， 所 以 MN AC，因 为 BN MN=N， 所 以 AC 平 面 MBN. 因 为 BM平 面 MBN， 所 以 AC BM.在 Rt BAN中 ， AN=AB cos BAC= 12 ， 从 而 NC=AC-AN= 32 .由 MN PA 得 = 13 .20.设 椭 圆 E 的 方 程 为 (a b 0)， 点 O 为 坐 标 原 点 ， 点 A 的 坐 标 为 (a， 0)， 点 B的 坐 标 为 (0， b)， 点 M 在 线 段 AB 上 ， 满 足 |BM|
21、=2|MA|， 直 线 OM 的 斜 率 为 .(1)求 E 的 离 心 率 e；(2)设 点 C 的 坐 标 为 (0， -b)， N 为 线 段 AC 的 中 点 ， 证 明 ： MN AB. 解 析 ： (1)通 过 题 意 ， 利 用 ， 可 得 点 M 坐 标 ， 利 用 直 线 OM 的 斜 率 为 ， 计 算 即得 结 论 ；(2)通 过 中 点 坐 标 公 式 解 得 点 N 坐 标 ， 利 用 即 得 结 论 .答 案 ： (1)设 M(x， y)， A(a， 0)、 B(0， b)， 点 M 在 线 段 AB上 且 |BM|=2|MA|， ， 即 (x-0， y-b)=2(
22、a-x， 0-y)，解 得 x= 23 a， y= 13 b， 即 M( 23 a， 13 b)，又 直 线 OM的 斜 率 为 ， ， a= 5 b， c= =2b， 椭 圆 E 的 离 心 率 e= . (2) 点 C 的 坐 标 为 (0， -b)， N 为 线 段 AC 的 中 点 ， N( )， NM=( )，又 =(-a， b)， ，由 (1)可 知 a2=5b2， 故 =0， 即 MN AB.21.已 知 函 数 f(x)= (a 0， r 0)(1)求 f(x)的 定 义 域 ， 并 讨 论 f(x)的 单 调 性 ；(2)若 ar =400， 求 f(x)在 (0， + )内
23、 的 极 值 . 解 析 ： (1)通 过 令 分 母 不 为 0 即 得 f(x)的 定 义 域 ， 通 过 求 导 即 得 f(x)的 单 调 区 间 ；(2)通 过 (1)知 x=r是 f(x)的 极 大 值 点 ， 计 算 即 可 .答 案 ： (1) 函 数 f(x)= (a 0， r 0)， x -r， 即 f(x)的 定 义 域 为 (- ， -r) (-r， + ).又 f(x)= ， f (x)= ， 当 x -r或 x r 时 ， f (x) 0； 当 -r x r时 ， f (x) 0；因 此 ， f(x)的 单 调 递 减 区 间 为 ： (- ， -r)、 (r， + )， 递 增 区 间 为 ： (-r， r)；(2)由 (1)的 解 答 可 得 f (x)=0， f(x)在 (0， r)上 单 调 递 增 ， 在 (r， + )上 单 调 递 减 ， x=r是 f(x)的 极 大 值 点 ， f(x)在 (0， + )内 的 极 大 值 为 f(r)= =100.
