1、2014年 江 苏 省 连 云 港 市 中 考 真 题 数 学一 、 单 项 选 择 题 (共 8 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 24分 )1.(3分 )下 列 实 数 中 ， 是 无 理 数 的 为 ( )A.-1B.-C.D.3.14解 析 ： A、 是 整 数 ， 是 有 理 数 ， 选 项 错 误 ；B、 是 分 数 、 是 有 理 数 ， 选 项 错 误 ；C、 正 确 ；D、 是 有 限 小 数 ， 是 有 理 数 ， 选 项 错 误 . 答 案 ： C.2.(3分 )计 算 的 结 果 是 ( )A.-3B.3C.-9D.9解 析 ： 原 式 =|-3|=3.答 案
2、 ： B3.(3分 )在 平 面 直 角 坐 标 系 内 ， 点 P(-2， 3)关 于 原 点 的 对 称 点 Q 的 坐 标 为 ( )A.(2， -3) B.(2， 3)C.(3， -2)D.(-2， -3)解 析 ： 根 据 中 心 对 称 的 性 质 ， 得 点 P(-2， 3)关 于 原 点 对 称 点 P 的 坐 标 是 (2， -3).答 案 ： A.4.(3分 )“ 丝 绸 之 路 ” 经 济 带 首 个 实 体 平 台 -中 哈 物 流 合 作 基 地 在 我 市 投 入 使 用 ， 其 年 最 大装 卸 能 力 达 410000 标 箱 .其 中 “ 410000” 用
3、科 学 记 数 法 表 示 为 ( )A.0.41 10 6B.4.1 105C.41 104D.4.1 104解 析 ： 将 410000用 科 学 记 数 法 表 示 为 ： 4.1 105.答 案 ： B.5.(3分 )一 组 数 据 1， 3， 6， 1， 2的 众 数 和 中 位 数 分 别 是 ( )A.1， 6B.1， 1 C.2， 1D.1， 2解 析 ： 1出 现 了 2次 ， 出 现 的 次 数 最 多 ， 众 数 是 1，把 这 组 数 据 从 小 到 大 排 列 1， 1， 2， 3， 6， 最 中 间 的 数 是 2， 则 中 位 数 是 2；答 案 ： D.6.(3
4、分 )如 图 ， 若 ABC 和 DEF的 面 积 分 别 为 S1、 S2， 则 ( ) A.S1= S2B.S1= S2C.S1=S2D.S1= S2解 析 ： 过 A点 作 AG BC 于 G， 过 D点 作 DH EF于 H. 在 Rt ABG中 ， AG=AB sin40 =5sin40 ， DEH=180 -140 =40 ，在 Rt ABG中 ， DH=DE sin40 =8sin40 ，S1=8 5sin40 2=20sin40 ，S2=5 8sin40 2=20sin40 .则 S1=S2.答 案 ： C.7.(3分 )如 图 ， 点 P在 以 AB 为 直 径 的 半 圆
5、内 ， 连 接 AP、 BP， 并 延 长 分 别 交 半 圆 于 点 C、 D，连 接 AD、 BC并 延 长 交 于 点 F， 作 直 线 PF， 下 列 说 法 一 定 正 确 的 是 ( ) AC 垂 直 平 分 BF； AC平 分 BAF； FP AB； BD AF. A. B. C. D. 解 析 ： AB 为 直 径 ， ACB=90 ， AC垂 直 BF， 但 不 能 得 出 AC 平 分 BF， 故 错 误 ， 只 有 当 FP通 过 圆 心 时 ， 才 平 分 ， 所 以 FP 不 通 过 圆 心 时 ， 不 能 证 得 AC 平 分 BAF， 故 错误 ， 如 图 ， A
6、B 为 直 径 ， ACB=90 ， ADB=90 ， D、 P、 C、 F 四 点 共 圆 ， CFP和 CDB都 对 应 ， CFP= CDB， CDB=CAB， CFP=CAB，又 FPC= APM， AMP FCP， ACF=90 ， AMP=90 ， FP AB， 故 正 确 ， AB为 直 径 ， ADB=90 ， BD AF.故 正 确 ，综 上 所 述 只 有 正 确 ，答 案 ： D.8.(3分 )如 图 ， ABC 的 三 个 顶 点 分 别 为 A(1， 2)， B(2， 5)， C(6， 1).若 函 数 y= 在 第 一 象限 内 的 图 象 与 ABC有 交 点 ，
7、 则 k的 取 值 范 围 是 ( ) A.2 kB.6 k 10C.2 k 6D.2 k解 析 ： 反 比 例 函 数 和 三 角 形 有 交 点 的 第 一 个 临 界 点 是 交 点 为 A， 过 点 A(1， 2)的 反 比 例 函 数 解 析 式 为 y= ， k 2. 随 着 k指 的 增 大 ， 反 比 例 函 数 的 图 象 必 须 和 BC 直 线 有 交 点 才 能 满 足 题 意 ，经 过 B(2， 5)， C(6， 1)的 直 线 解 析 式 为 y=-x+7， ， 得 x2-7x+k=0，根 据 0， 得 k ， 综 上 可 知 2 k .答 案 ： A.二 、 填
8、空 题 (共 8 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 24分 )9.(3分 )使 有 意 义 的 x的 取 值 范 围 是 .解 析 ： 有 意 义 ， x-1 0， 解 得 x 1. 答 案 ： x 1.10.(3分 )计 算 ： (2x+1)(x-3)= .解 析 ： 原 式 =2x2-6x+x-3=2x2-5x-3.答 案 ： 2x2-5x-3.11.(3分 )一 个 正 多 边 形 的 一 个 外 角 等 于 30 ， 则 这 个 正 多 边 形 的 边 数 为 .解 析 ： 依 题 意 ， 得 多 边 形 的 边 数 =360 30 =12，答 案 ： 12.12.(3分 )
9、若 ab=3， a-2b=5， 则 a 2b-2ab2的 值 是 .解 析 ： ab=3， a-2b=5， 则 a2b-2ab2=ab(a-2b)=3 5=15.答 案 ： 15.13.(3分 )若 函 数 y= 的 图 象 在 同 一 象 限 内 ， y随 x增 大 而 增 大 ， 则 m的 值 可 以 是 (写出 一 个 即 可 ).解 析 ： 函 数 y= 的 图 象 在 同 一 象 限 内 ， y 随 x 增 大 而 增 大 ， m-1 0， 解 得 m 1.故 m 可 以 取 0， -1， -2 等 值 .答 案 ： 0. 14.(3分 )如 图 ， AB CD， 1=62 ， FG
10、平 分 EFD， 则 2= 31 .解 析 ： AB CD， EFD= 1=62 ， FG 平 分 EFD， 2= EFD= 62 =31 . 答 案 ： 31 .15.(3分 )如 图 1， 折 线 段 AOB 将 面 积 为 S 的 O 分 成 两 个 扇 形 ， 大 扇 形 、 小 扇 形 的 面 积 分 别为 S1、 S2， 若 =0.618， 则 称 分 成 的 小 扇 形 为 “ 黄 金 扇 形 ” .生 活 中 的 折 扇 (如 图 2)大致 是 “ 黄 金 扇 形 ” ， 则 “ 黄 金 扇 形 ” 的 圆 心 角 约 为 .(精 确 到 0.1) 解 析 ： 设 “ 黄 金
11、扇 形 的 ” 的 圆 心 角 是 n ， 扇 形 的 半 径 为 r， 则 =0.618，解 得 ： n 137.5，答 案 ： 137.5.16.(3分 )如 图 1， 将 正 方 形 纸 片 ABCD对 折 ， 使 AB与 CD重 合 ， 折 痕 为 EF.如 图 2， 展 开 后 再折 叠 一 次 ， 使 点 C 与 点 E重 合 ， 折 痕 为 GH， 点 B的 对 应 点 为 点 M， EM 交 AB于 N， 则tan ANE= . 解 析 ： 设 正 方 形 的 边 长 为 2a， DH=x， 则 CH=2a-x，由 翻 折 的 性 质 ， DE= AD= 2a=a， EH=CH
12、=2a-x，在 Rt DEH中 ， DE2+DH2=EH2， 即 a2+x2=(2a-x)2， 解 得 x= a， MEH= C=90 ， AEN+ DEH=90 ， ANE+ AEN=90 ， ANE= DEH， tan ANE=tan DEH= = = .答 案 ： .三 、 解 答 题 (共 11 小 题 ， 满 分 102分 ,， 解 答 时 写 出 必 要 的 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ) 17.(6分 )计 算 |-5|+ -( )-1.解 析 ： 原 式 第 一 项 利 用 绝 对 值 的 代 数 意 义 化 简 ， 第 二 项 利 用 立 方 根
13、定 义 化 简 ， 最 后 一 项 利 用负 指 数 幂 法 则 计 算 即 可 得 到 结 果 .答 案 ： 原 式 =5+3-3=5.18.(6分 )解 不 等 式 2(x-1)+5 3x， 并 把 解 集 在 数 轴 上 表 示 出 来 .解 析 ： 去 括 号 ， 移 项 ， 合 并 同 类 项 ， 系 数 化 成 1 即 可 .答 案 ： 2(x-1)+5 3x， 2x-2+5-3x 0， -x -3， x 3，在 数 轴 上 表 示 为 ： .19.(6分 )解 方 程 ： +3= .解 析 ： 分 式 方 程 变 形 后 ， 去 分 母 转 化 为 整 式 方 程 ， 求 出 整
14、 式 方 程 的 解 得 到 x 的 值 ， 经 检 验 即可 得 到 分 式 方 程 的 解 .答 案 ： 去 分 母 得 ： 2+3x-6=x-1，移 项 合 并 得 ： 2x=3，解 得 ： x=1.5，经 检 验 x=1.5 是 分 式 方 程 的 解 .20.(8分 )我 市 启 动 了 第 二 届 “ 美 丽 港 城 ， 美 在 悦 读 ” 全 民 阅 读 活 动 ， 为 了 解 市 民 每 天 的 阅 读 时 间 情 况 ， 随 机 抽 取 了 部 分 市 民 进 行 调 查 ， 根 据 调 查 结 果 绘 制 如 下 尚 不 完 整 的 频 数 分 布 表 ：(1)补 全 表
15、格 ；(2)将 每 天 阅 读 时 间 不 低 于 60min 的 市 民 称 为 “ 阅 读 爱 好 者 ” ， 若 我 市 约 有 500 万 人 ， 请 估计 我 市 能 称 为 “ 阅 读 爱 好 者 ” 的 市 民 约 有 多 少 万 人 ？解 析 ： (1)根 据 频 数 、 频 率 与 总 数 之 间 的 关 系 分 别 进 行 计 算 ， 然 后 填 表 即 可 ；(2)用 500万 人 乘 以 时 间 不 低 于 60min 所 占 的 百 分 比 ， 即 可 求 出 我 市 能 称 为 “ 阅 读 爱 好 者 ”的 市 民 数 . 答 案 ： (1)根 据 题 意 得 ：
16、=1000(人 )，0 x 30 的 频 率 是 ： =0.45，60 x 90的 频 数 是 ： 1000 0.1=100(人 )，x 90的 频 率 是 ： 0.05， 填 表 如 下 ：故 答 案 为 ： 0.45， 100， 0.05， 1000；(2)根 据 题 意 得 ：500 (0.1+0.05)=75(万 人 ).答 ： 估 计 我 市 能 称 为 “ 阅 读 爱 好 者 ” 的 市 民 约 有 75万 人 .21.(10分 )如 图 ， 矩 形 ABCD的 对 角 线 AC、 BD相 交 于 点 O， DE AC， CE BD. (1)求 证 ： 四 边 形 OCED为 菱
17、形 ；(2)连 接 AE、 BE， AE与 BE相 等 吗 ？ 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)首 先 利 用 平 行 四 边 形 的 判 定 得 出 四 边 形 DOCE是 平 行 四 边 形 ， 进 而 利 用 矩 形 的 性 质得 出 DO=CO， 即 可 得 出 答 案 ；(2)利 用 等 腰 三 角 形 的 性 质 以 及 矩 形 的 性 质 得 出 AD=BC， ADE= BCE， 进 而 利 用 全 等 三 角 形的 判 定 得 出 .答 案 ： (1) DE AC， CE BD， 四 边 形 DOCE是 平 行 四 边 形 ， 矩 形 ABCD的 对 角 线 AC、 B
18、D相 交 于 点 O， OC= AC= BD=OD， 四 边 形 OCED为 菱 形 ；(2)AE=BE.理 由 ： 四 边 形 OCED为 菱 形 ， ED=CE， EDC= ECD， ADE= BCE，在 ADE和 BCE中 ， ， ADE BCE(SAS)， AE=BE.22.(10分 )如 图 1， 在 一 个 不 透 明 的 袋 中 装 有 四 个 球 ， 分 别 标 有 字 母 A、 B、 C、 D， 这 些 球 除了 所 标 字 母 外 都 相 同 ， 另 外 ， 有 一 面 白 色 、 另 一 面 黑 色 、 大 小 相 同 的 4 张 正 方 形 卡 片 ， 每 张卡 片 上
19、 面 的 字 母 相 同 ， 分 别 标 有 A、 B、 C、 D.最 初 ， 摆 成 图 2的 样 子 ， A、 D是 黑 色 ， B、 C是 白 色 .操 作 ： 从 袋 中 任 意 取 一 个 球 ； 将 与 取 出 球 所 标 字 母 相 同 的 卡 片 翻 过 来 ； 将 取 出 的 球 放 回 袋 中再 次 操 作 后 ， 观 察 卡 片 的 颜 色 .(如 ： 第 一 次 取 出 球 A， 第 二 次 取 出 球 B， 此 时 卡 片 的 颜 色 变 )(1)求 四 张 卡 片 变 成 相 同 颜 色 的 概 率 ； (2)求 四 张 卡 片 变 成 两 黑 两 白 ， 并 恰
20、好 形 成 各 自 颜 色 矩 形 的 概 率 .解 析 ： (1)首 先 根 据 题 意 画 出 树 状 图 ， 然 后 由 树 状 图 求 得 所 有 等 可 能 的 结 果 与 四 张 卡 片 变 成相 同 颜 色 的 情 况 ， 再 利 用 概 率 公 式 即 可 求 得 答 案 ；(2)由 (1)中 的 树 状 图 可 求 得 四 张 卡 片 变 成 两 黑 两 白 ， 并 恰 好 形 成 各 自 颜 色 矩 形 的 情 况 ， 再 利用 概 率 公 式 即 可 求 得 答 案 .答 案 ： (1)画 树 状 图 得 ： 共 有 16 种 等 可 能 的 结 果 ， 四 张 卡 片
21、变 成 相 同 颜 色 的 有 4 种 情 况 ， 四 张 卡 片 变 成 相 同 颜 色 的 概 率 为 ： = ；(2) 四 张 卡 片 变 成 两 黑 两 白 ， 并 恰 好 形 成 各 自 颜 色 矩 形 的 有 8 种 情 况 ， 四 张 卡 片 变 成 两 黑 两 白 ， 并 恰 好 形 成 各 自 颜 色 矩 形 的 概 率 为 ： = .23.(10分 )小 林 在 某 商 店 购 买 商 品 A、 B 共 三 次 ， 只 有 一 次 购 买 时 ， 商 品 A、 B 同 时 打 折 ， 其余 两 次 均 按 标 价 购 买 ， 三 次 购 买 商 品 A、 B 的 数 量 和
22、 费 用 如 下 表 ： (1)小 林 以 折 扣 价 购 买 商 品 A、 B 是 第 次 购 物 ；(2)求 出 商 品 A、 B 的 标 价 ；(3)若 商 品 A、 B的 折 扣 相 同 ， 问 商 店 是 打 几 折 出 售 这 两 种 商 品 的 ？解 析 ： (1)根 据 图 表 可 得 小 林 以 折 扣 价 购 买 商 品 A、 B是 第 三 次 购 物 ；(2)设 商 品 A 的 标 价 为 x 元 ， 商 品 B 的 标 价 为 y 元 ， 根 据 图 表 列 出 方 程 组 求 出 x 和 y 的 值 ；(3)设 商 店 是 打 a折 出 售 这 两 种 商 品 ， 根
23、 据 打 折 之 后 购 买 9个 A商 品 和 8个 B商 品 共 花 费 1062元 ， 列 出 方 程 求 解 即 可 .答 案 ： (1)小 林 以 折 扣 价 购 买 商 品 A、 B是 第 三 次 购 物 .故 答 案 为 ： 三 ；(2)设 商 品 A 的 标 价 为 x 元 ， 商 品 B 的 标 价 为 y 元 ，根 据 题 意 ， 得 ， 解 得 ： .答 ： 商 品 A的 标 价 为 90 元 ， 商 品 B 的 标 价 为 120元 ； (3)设 商 店 是 打 a 折 出 售 这 两 种 商 品 ，由 题 意 得 ， (9 90+8 120) =1062， 解 得 ：
24、 a=6.答 ： 商 店 是 打 6 折 出 售 这 两 种 商 品 的 .24.(10分 )在 一 次 科 技 活 动 中 ， 小 明 进 行 了 模 拟 雷 达 扫 描 实 验 .如 图 ， 表 盘 是 ABC， 其 中AB=AC， BAC=120 ， 在 点 A处 有 一 束 红 外 光 线 AP， 从 AB开 始 ， 绕 点 A 逆 时 针 匀 速 旋 转 ，每 秒 钟 旋 转 15 ， 到 达 AC后 立 即 以 相 同 旋 转 速 度 返 回 AB， 到 达 后 立 即 重 复 上 述 旋 转 过 程 .小 明 通 过 实 验 发 现 ， 光 线 从 AB处 旋 转 开 始 计 时
25、 ， 旋 转 1 秒 ， 此 时 光 线 AP 交 BC 边 于 点 M，BM的 长 为 (20 -20)cm. (1)求 AB 的 长 ；(2)从 AB 处 旋 转 开 始 计 时 ， 若 旋 转 6 秒 ， 此 时 光 线 AP与 BC 边 的 交 点 在 什 么 位 置 ？ 若 旋 转2014秒 ， 交 点 又 在 什 么 位 置 ？ 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)如 图 1， 过 A点 作 AD BC， 垂 足 为 D.令 AB=2tcm.在 Rt ABD中 ， 根 据 三 角 函 数 可得 AD= AB=t， BD= AB= t.在 Rt AMD中 ， MD=AD=t.由
26、BM=BD-MD， 得 到 关 于 t 的 方 程 ，求 得 t的 值 ， 从 而 求 得 AB的 长 ；(2)如 图 2， 当 光 线 旋 转 6 秒 ， 设 AP交 BC于 点 N， 在 Rt ABN中 ， 根 据 三 角 函 数 可 得 BN；如 图 3， 设 光 线 AP旋 转 2014秒 后 光 线 与 BC的 交 点 为 Q.求 得 CQ= ， BC=40 .根 据BQ=BC-CQ即 可 求 解 .答 案 ： (1)如 图 1， 过 A点 作 AD BC， 垂 足 为 D. BAC=120 ， AB=AC， ABC= C=30 .令 AB=2tcm.在 Rt ABD中 ， AD=
27、AB=t， BD= AB= t.在 Rt AMD中 ， AMD= ABC+ BAM=45 ， MD=AD=t. BM=BD-MD.即 t-t=20 -20.解 得 t=20. AB=2 20=40cm.答 ： AB的 长 为 40cm.(2)如 图 2， 当 光 线 旋 转 6秒 ， 设 AP 交 BC于 点 N， 此 时 BAN=15 6=90 .在 Rt ABN中 ， BN= = = . 光 线 AP 旋 转 6 秒 ， 与 BC 的 交 点 N 距 点 B cm 处 .如 图 3， 设 光 线 AP 旋 转 2014秒 后 光 线 与 BC的 交 点 为 Q. 由 题 意 可 知 ， 光
28、 线 从 边 AB开 始 到 第 一 次 回 到 AB处 需 8 2=16秒 ，而 2014=125 16+14， 即 AP 旋 转 2014秒 与 旋 转 14 秒 时 和 BC的 交 点 是 同 一 个 点 Q.旋 转 14s的 过 程 是 B C： 8s， C Q： 6s， 因 此 CQ=BN= ， AB=AC， BAC=120 ， BC=2ABcos30 =2 40 =40 ， BQ=BC-CQ=40 - = ， 光 线 AP 旋 转 2014秒 后 ， 与 BC 的 交 点 Q 在 距 点 B cm处 .25.(10分 )为 了 考 察 冰 川 的 融 化 状 况 ， 一 支 科 考
29、 队 在 某 冰 川 上 设 定 一 个 以 大 本 营 O 为 圆 心 ，半 径 为 4km的 圆 形 考 察 区 域 ， 线 段 P 1P2是 冰 川 的 部 分 边 界 线 (不 考 虑 其 它 边 界 )， 当 冰 川 融 化时 ， 边 界 线 沿 着 与 其 垂 直 的 方 向 朝 考 察 区 域 平 等 移 动 ， 若 经 过 n 年 ， 冰 川 的 边 界 线 P1P2移 动的 距 离 为 s(km)， 并 且 s与 n(n为 正 整 数 )的 关 系 是 s= n2- n+ .以 O 为 原 点 ， 建 立 如图 所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系 ， 其 中 P1、 P2
30、的 坐 标 分 别 为 (-4， 9)、 (-13、 -3). (1)求 线 段 P1P2所 在 直 线 对 应 的 函 数 关 系 式 ；(2)求 冰 川 边 界 线 移 动 到 考 察 区 域 所 需 的 最 短 时 间 .解 析 ： (1)设 P1P2所 在 直 线 对 应 的 函 数 关 系 式 是 y=kx+b， 由 待 定 系 数 法 求 出 其 解 就 可 以 得 出结 论 ；(2)由 (1)的 解 析 式 求 出 直 线 P1P2与 坐 标 轴 的 交 点 ， 设 最 短 距 离 为 a， 由 三 角 形 的 面 积 相 等建 立 方 程 ， 求 出 a 的 值 就 求 出 了
31、 s 的 值 ， 再 代 入 s= n2- n+ 就 可 以 求 出 时 间 .答 案 ： (1)设 P 1P2所 在 直 线 对 应 的 函 数 关 系 式 是 y=kx+b， 根 据 题 意 ，得 ， 解 得 ： ， 直 线 P1P2的 解 析 式 是 ： y= x+ ；(2)在 y= x+ 中 ，当 x=0， 则 y= ，当 y=0， 则 x=- ， 与 x、 y 轴 的 交 点 坐 标 是 (0， )、 (- ， 0). 由 勾 股 定 理 ， 得 = ，当 P1P2与 O 相 切 时 ， 此 时 冰 川 移 动 的 距 离 最 短 ，设 移 动 的 最 短 距 离 是 s， O 点
32、到 直 线 P1P2的 距 离 为 x，则 根 据 面 积 相 等 列 出 等 式 ， = x， 解 得 x= ， 即 s= -4= s= n2- n+ ， n2- n+ = ， 解 得 ： n 1=6， n2=-4.8(舍 去 )答 ： 冰 川 边 界 线 移 动 到 考 察 区 域 所 需 的 最 短 时 间 为 6 年 .26.(12分 )已 知 二 次 函 数 y=x2+bx+c， 其 图 象 抛 物 线 交 x 轴 于 点 A(1， 0)， B(3， 0)， 交 y 轴于 点 C， 直 线 l过 点 C， 且 交 抛 物 线 于 另 一 点 E(点 E不 与 点 A、 B 重 合 )
33、.(1)求 此 二 次 函 数 关 系 式 ；(2)若 直 线 l 1经 过 抛 物 线 顶 点 D， 交 x轴 于 点 F， 且 l1 l， 则 以 点 C、 D、 E、 F 为 顶 点 的 四边 形 能 否 为 平 行 四 边 形 ？ 若 能 ， 求 出 点 E 的 坐 标 ； 若 不 能 ， 请 说 明 理 由 . (3)若 过 点 A 作 AG x 轴 ， 交 直 线 l 于 点 G， 连 接 OG、 BE， 试 证 明 OG BE.解 析 ： (1)由 二 次 函 数 y=x 2+bx+c， 其 图 象 抛 物 线 交 x轴 于 点 A(1， 0)， B(3， 0)， 直 接 利 用
34、待 定 系 数 法 求 解 ， 即 可 求 得 此 二 次 函 数 关 系 式 ；(2)以 点 C、 D、 E、 F为 顶 点 的 四 边 形 构 成 平 行 四 边 形 ， 有 两 种 情 形 ， 需 要 分 类 讨 论 ， 避 免 漏解 ： 若 CD为 平 行 四 边 形 的 对 角 线 ， 如 答 图 2-1所 示 ； 若 CD为 平 行 四 边 形 的 边 ， 如 答 图 2-2所 示 ；(3)首 先 过 点 E 作 EH x 轴 于 点 H， 设 直 线 CE的 解 析 式 为 ： y=kx+3， 然 后 分 别 求 得 点 G与 E的 坐 标 ， 即 可 证 得 OAG BHE，
35、则 可 得 AOG= HBE， 继 而 可 证 得 OG BE.答 案 ： (1)二 次 函 数 y=x 2+bx+c， 其 图 象 抛 物 线 交 x 轴 于 点 A(1， 0)， B(3， 0)， ， 解 得 ： ， 此 二 次 函 数 关 系 式 为 ： y=x2-4x+3；(2)假 设 以 点 C、 D、 E、 F为 顶 点 的 四 边 形 能 成 为 平 行 四 边 形 . 若 CD为 平 行 四 边 形 的 对 角 线 ， 如 答 图 2-1.过 点 D作 DM AB于 点 M， 过 点 E 作 EN OC 于点 N， y=x2-4x+3=(x-2)2-1， 点 D(2， -1)，
36、 点 C(0， 3)， DM=1， l1 l， 当 CE=DF时 ， 四 边 形 CEDF是 平 行 四 边 形 ， ECF+ CFD=180 ， OCF+ OFC=90 ， ECN+ DFM=90 ， DFM+ FDM=90 ， ECN= FDM，在 ECN和 FDM中 ， ， ECN FDM(AAS)， CN=DM=1， ON=OC-CN=3-1=2，当 y=2时 ， x 2-4x+3=2， 解 得 x=2 ； 当 x=2 时 ， 可 得 E(2+ ， 2)， F(- ， 0)或 E(2- ， 2， )， F( ， 0)，此 时 四 边 形 CFDE为 平 行 四 边 形 . 若 CD为
37、平 行 四 边 形 的 边 ， 如 答 图 2-2， 则 EF CD， 且 EF=CD.过 点 D作 DM y轴 于 点 M， 则 DM=2， OM=1， CM=OM+OC=4；过 点 E作 EN x轴 于 点 N.易 证 CDM EFN， EN=CM=4. x2-4x+3=4， 解 得 ： x=2 .综 上 所 述 ， 以 点 C、 D、 E、 F 为 顶 点 的 四 边 形 能 成 为 平 行 四 边 形 ； 点 E 的 坐 标 为 (2+ ， 2)、(2- ， 2)、 (2+ ， 4)、 (2- ， 4).(3)如 图 ， 过 点 E 作 EH x 轴 于 点 H， 设 直 线 CE 的
38、 解 析 式 为 ： y=kx+3， A(1， 0)， AG x 轴 ， 点 G(1， k+3)， 即 OA=1， AG=k+3， E 是 直 线 与 抛 物 线 的 交 点 ， ， 解 得 ： ， 点 E(k+4， (k+1)(k+3)， BH=OH-OB=k+3， EH=(k+1)(k+3)， ， OAG= BHE=90 ， OAG BHE， AOG= HBE， OG BE.27.(14分 )某 数 学 兴 趣 小 组 对 线 段 上 的 动 点 问 题 进 行 探 究 ， 已 知 AB=8.问 题 思 考 ： 如 图 1， 点 P 为 线 段 AB 上 的 一 个 动 点 ， 分 别 以
39、 AP、 BP为 边 在 同 侧 作 正 方 形 APDC、 BPEF.(1)当 点 P 运 动 时 ， 这 两 个 正 方 形 的 面 积 之 和 是 定 值 吗 ？ 若 是 ， 请 求 出 ； 若 不 是 ， 请 求 出 这两 个 正 方 形 面 积 之 和 的 最 小 值 .(2)分 别 连 接 AD、 DF、 AF， AF交 DP于 点 K， 当 点 P运 动 时 ， 在 APK、 ADK、 DFK中 ， 是否 存 在 两 个 面 积 始 终 相 等 的 三 角 形 ？ 请 说 明 理 由 .问 题 拓 展 ：(3)如 图 2， 以 AB 为 边 作 正 方 形 ABCD， 动 点 P
40、、 Q 在 正 方 形 ABCD的 边 上 运 动 ， 且 PQ=8.若 点P从 点 A 出 发 ， 沿 A B C D的 线 路 ， 向 点 D 运 动 ， 求 点 P 从 A 到 D 的 运 动 过 程 中 ， PQ 的中 点 O所 经 过 的 路 径 的 长 .(4)如 图 3， 在 “ 问 题 思 考 ” 中 ， 若 点 M、 N是 线 段 AB上 的 两 点 ， 且 AM=BN=1， 点 G、 H 分 别是 边 CD、 EF的 中 点 ， 请 直 接 写 出 点 P 从 M 到 N 的 运 动 过 程 中 ， GH的 中 点 O 所 经 过 的 路 径 的长 及 OM+OB的 最 小
41、 值 .解 析 ： (1)设 AP=x， 则 PB=1-x， 根 据 正 方 形 的 面 积 公 式 得 到 这 两 个 正 方 形 面 积 之 和 =x 2+(8-x)2，配 方 得 到 2(x-4)2+32， 然 后 根 据 二 次 函 数 的 最 值 问 题 求 解 .(2)根 据 PE BF求 得 PK= ， 进 而 求 得 DK=PD-PK=a- = ， 然 后 根 据面 积 公 式 即 可 求 得 .(3)本 问 涉 及 点 的 运 动 轨 迹 .PQ的 中 点 O所 经 过 的 路 径 是 三 段 半 径 为 4， 圆 心 角 为 90 的 圆弧 ， 如 答 图 3 所 示 ；(
42、4)本 问 涉 及 点 的 运 动 轨 迹 .GH中 点 O的 运 动 路 径 是 与 AB平 行 且 距 离 为 3的 线 段 XY上 ， 如答 图 4-1 所 示 ； 然 后 利 用 轴 对 称 的 性 质 ， 求 出 OM+OB 的 最 小 值 ， 如 答 图 4-2所 示 .答 案 ： (1)当 点 P 运 动 时 ， 这 两 个 正 方 形 的 面 积 之 和 不 是 定 值 .设 AP=x， 则 PB=8-x，根 据 题 意 得 这 两 个 正 方 形 面 积 之 和 =x 2+(8-x)2=2x2-16x+64=2(x-4)2+32，所 以 当 x=4时 ， 这 两 个 正 方
43、形 面 积 之 和 有 最 小 值 ， 最 小 值 为 32.(2)存 在 两 个 面 积 始 终 相 等 的 三 角 形 ， 它 们 是 APK与 DFK.依 题 意 画 出 图 形 ， 如 答 图 2 所示 .设 AP=a， 则 PB=BF=8-a. PE BF， ， 即 ， PK= ， DK=PD-PK=a- = ， S APK= PK PA= a= ，S DFK= DK EF= (8-a)= ， S APK=S DFK.(3)当 点 P 从 点 A 出 发 ， 沿 A B C D的 线 路 ， 向 点 D 运 动 时 ， 不 妨 设 点 Q在 DA边 上 ，若 点 P在 点 A， 点
44、Q在 点 D， 此 时 PQ 的 中 点 O 即 为 DA边 的 中 点 ；若 点 Q在 DA边 上 ， 且 不 在 点 D， 则 点 P在 AB上 ， 且 不 在 点 A.此 时 在 Rt APQ中 ， O 为 PQ 的 中 点 ， 所 以 AO= PQ=4.所 以 点 O 在 以 A为 圆 心 ， 半 径 为 4， 圆 心 角 为 90 的 圆 弧 上 .PQ的 中 点 O所 经 过 的 路 径 是 三 段 半 径 为 4， 圆 心 角 为 90 的 圆 弧 ， 如 答 图 3所 示 ： 所 以 PQ的 中 点 O 所 经 过 的 路 径 的 长 为 ： 2 4=6 .(4)点 O 所 经
45、 过 的 路 径 长 为 3， OM+OB 的 最 小 值 为 .如 答 图 4-1， 分 别 过 点 G、 O、 H 作 AB 的 垂 线 ， 垂 足 分 别 为 点 R、 S、 T， 则 四 边 形 GRTH为 梯形 . 点 O为 中 点 ， OS= (GR+HT)= (AP+PB)=4， 即 OS为 定 值 . 点 O的 运 动 路 径 在 与 AB距 离 为 4 的 平 行 线 上 . MN=6， 点 P 在 线 段 MN 上 运 动 ， 且 点 O 为 GH 中 点 ， 点 O的 运 动 路 径 为 线 段 XY， XY= MN=3， XY AB且 平 行 线 之 间 距 离 为 4， 点 X 与 点 A、 点Y与 点 B 之 间 的 水 平 距 离 均 为 2.5.如 答 图 4-2， 作 点 M关 于 直 线 XY 的 对 称 点 M ， 连 接 BM ， 与 XY交 于 点 O. 由 轴 对 称 性 质 可 知 ， 此 时 OM+OB=BM 最 小 .在 Rt BMM 中 ， MM =2 4=8， BM=7， 由 勾 股 定 理 得 ： BM = = . OM+OB的 最 小 值 为 .
