1、2014年 湖 南 省 湘 西 州 中 考 真 题 数 学一 、 填 空 题 (本 大 题 6 小 题 , 每 小 题 3 分 , 共 18 分 , 将 正 确 答 案 填 在 相 应 的 横 线 上 )1.(3分 )2014 的 相 反 数 是 .解 析 : 2014的 相 反 数 是 -2014,答 案 : -2014.2.(3分 )分 解 因 式 : ab-2a= .解 析 : ab-2a=a(b-2).(提 取 公 因 式 )答 案 : a(b-2)3.(3分 )已 知 A=60 , 则 它 的 补 角 的 度 数 是 度 .解 析 : 这 个 角 的 补 角 =180 -60 =12
2、0 . 答 案 : 120.4.(3分 )据 中 国 汽 车 协 会 统 计 , 2013年 我 国 汽 车 销 售 量 约 为 2198 万 辆 , 连 续 五 年 位 居 全 球第 一 位 , 请 用 科 学 记 数 法 表 示 21980000= .解 析 : 21980000=2.198 107.答 案 : 2.198 107.5.(3分 )如 图 , 直 线 AB和 CD相 交 于 点 O, OE平 分 DOB, AOC=40 , 则 DOE= 度 .解 析 : AOC=40 , DOB= AOC=40 , OE 平 分 DOB, DOE= BOD=20 ,答 案 : 20.6.(3
3、分 )如 图 , AB 是 O的 直 径 , 弦 CD AB于 点 E, OC=5cm, CD=6cm, 则 OE= cm.解 析 : CD AB CE= CD= 6=3cm, 在 Rt OCE 中 , OE= cm. 答 案 : 4.二 、 选 择 题 (本 大 题 10 小 题 , 每 小 题 4 分 , 共 40 分 )7.(4分 )下 列 运 算 正 确 的 是 ( ) A.(m+n)2=m2+n2B.(x3)2=x5C.5x-2x=3D.(a+b)(a-b)=a2-b2解 析 : A、 (m+n)2=m2+2mn+n2, 故 本 选 项 错 误 ;B、 (x3)2=x6, 故 本 选
4、 项 错 误 ;C、 5x-2x=3x, 故 本 选 项 错 误 ;D、 (a+b)(a-b)=a 2-b2, 故 本 选 项 正 确 ;答 案 : D.点 评 : 本 题 考 查 了 对 完 全 平 方 公 式 , 幂 的 乘 方 , 合 并 同 类 项 法 则 , 平 方 差 公 式 的 应 用 , 注8.(4分 )已 知 x-2y=3, 则 代 数 式 6-2x+4y的 值 为 ( )A.0B.-1C.-3D.3解 析 : x-2y=3, 6-2x+4y=6-2(x-2y)=6-2 3=6-6=0答 案 : A. 9.(4分 )如 图 , 在 Rt ABC中 , ACB=90 , CA=
5、CB, AB=2, 过 点 C作 CD AB, 垂 足 为 D,则 CD 的 长 为 ( )A.B.C.1D.2 解 析 : ACB=90 , CA=CB, A= B=45 , CD AB, AD=BD= AB=1, CDB=90 , CD=BD=1.答 案 : C.10.(4分 )如 图 , 直 线 a b, c a, 则 c 与 b 相 交 所 形 成 的 2度 数 为 ( ) A.45B.60C.90D.120解 析 : c a, 1=90 , a b, 2= 1=90 .答 案 : C. 11.(4分 )在 一 个 不 透 明 的 口 袋 中 , 装 有 5 个 红 球 和 3个 绿
6、球 , 这 些 球 除 了 颜 色 外 都 相 同 ,从 口 袋 中 随 机 摸 出 一 个 球 , 它 是 红 球 的 概 率 是 ( )A.B.C.1D.解 析 : 根 据 题 意 可 知 , 共 有 8个 球 , 红 球 有 5 个 , 故 抽 到 红 球 的 概 率 为 ,答 案 : A. 12.(4分 )下 列 图 形 , 既 是 轴 对 称 图 形 , 又 是 中 心 对 称 图 形 的 是 ( )A.B. C. D.解 析 : A、 是 轴 对 称 图 形 , 不 是 中 心 对 称 图 形 , 故 本 选 项 错 误 ;B、 不 是 轴 对 称 图 形 , 是 中 心 对 称
7、图 形 , 故 本 选 项 错 误 ;C、 是 轴 对 称 图 形 , 不 是 中 心 对 称 图 形 , 故 本 选 项 错 误 ;D、 既 是 轴 对 称 图 形 , 又 是 中 心 对 称 图 形 , 故 本 选 项 正 确 .答 案 : D.点 评 : 本 题 考 查 了 中 心 对 称 图 形 与 轴 对 称 图 形 的 概 念 .轴 对 称 图 形 的 关 键 是 寻 找 对 称 轴 ,13.(4分 )每 年 4月 23日 是 “ 世 界 读 书 日 ” , 为 了 了 解 某 校 八 年 级 500名 学 生 对 “ 世 界 读 书日 ” 的 知 晓 情 况 , 从 中 随 机
8、抽 取 了 50 名 学 生 进 行 调 查 .在 这 次 调 查 中 , 样 本 是 ( )A.500名 学 生B.所 抽 取 的 50名 学 生 对 “ 世 界 读 书 日 ” 的 知 晓 情 况C.50名 学 生 D.每 一 名 学 生 对 “ 世 界 读 书 日 ” 的 知 晓 情 况解 析 : 样 本 是 所 抽 取 的 50名 学 生 对 “ 世 界 读 书 日 ” 的 知 晓 情 况 .答 案 : B.14.(4分 )已 知 等 腰 ABC的 两 边 长 分 别 为 2和 3, 则 等 腰 ABC的 周 长 为 ( )A.7B.8C.6 或 8D.7 或 8解 析 : 当 2为
9、底 时 , 三 角 形 的 三 边 为 3, 2、 3 可 以 构 成 三 角 形 , 周 长 为 8;当 3 为 底 时 , 三 角 形 的 三 边 为 3, 2、 2可 以 构 成 三 角 形 , 周 长 为 7.答 案 : D. 15.(4分 )正 比 例 函 数 y=x的 大 致 图 象 是 ( )A.B. C.D.解 析 : 正 比 例 函 数 的 图 象 是 一 条 经 过 原 点 的 直 线 , 且 当 k 0 时 , 经 过 一 、 三 象 限 . 正 比 例 函 数 y=x的 大 致 图 象 是 C.答 案 : C.16.(4分 )下 列 说 法 中 , 正 确 的 是 (
10、)A.相 等 的 角 一 定 是 对 顶 角 B.四 个 角 都 相 等 的 四 边 形 一 定 是 正 方 形C.平 行 四 边 形 的 对 角 线 互 相 平 分D.矩 形 的 对 角 线 一 定 垂 直解 析 : A、 相 等 的 角 一 定 是 对 顶 角 错 误 , 例 如 , 角 平 分 线 分 成 的 两 个 角 相 等 , 但 不 是 对 顶 角 ,故 本 选 项 错 误 ;B、 四 个 角 都 相 等 的 四 边 形 一 定 是 矩 形 , 不 一 定 是 正 方 形 , 故 本 选 项 错 误 ;C、 平 行 四 边 形 的 对 角 线 互 相 平 分 正 确 , 故 本
11、选 项 正 确 ;D、 矩 形 的 对 角 线 一 定 相 等 , 但 不 一 定 垂 直 , 故 本 选 项 错 误 .答 案 : C.三 、 解 答 题 (本 大 题 9 小 题 , 共 92 分 , 每 个 题 目 都 要 求 写 出 计 算 或 证 明 的 主 要 步 骤 )17.(6分 )计 算 : 2 -1+2cos60 + .解 析 : 原 式 第 一 项 利 用 负 指 数 幂 法 则 计 算 , 第 二 项 利 用 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 计 算 , 最 后 一 项利 用 平 方 根 定 义 化 简 , 计 算 即 可 得 到 结 果 .答 案 : 原 式 = +
12、2 +3=4 .18.(8分 )解 不 等 式 : 3(x+2) 0, 并 把 它 的 解 集 在 数 轴 上 表 示 出 来 .解 析 : 不 等 式 两 边 同 时 除 以 3, 得 : x+2 0, 移 项 , 得 : x -2. 19.(8分 )如 图 , 在 ABCD中 , 点 E、 F分 别 在 边 BC 和 AD上 , 且 BE=DF.(1)求 证 : ABE CDF; (2)求 证 : AE=CF.解 析 : (1)根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 得 出 AB=CD, B= D, 根 据 SAS证 出 ABE CDF;(2)根 据 全 等 三 角 形 的 对 应 边 相
13、 等 即 可 证 得 .答 案 : 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 , AB=CD, B= D,在 ABE和 CDF中 , ABE CDF(SAS), AE=CF. 20.(8分 )据 省 环 保 网 发 布 的 消 息 , 吉 首 市 空 气 质 量 评 价 连 续 两 年 居 全 省 14个 省 辖 市 城 市 之最 , 下 表 是 吉 首 市 2014 年 5 月 份 前 10天 的 空 气 质 量 指 数 统 计 表 (1)请 你 计 算 这 10 天 吉 首 市 空 气 质 量 指 数 的 平 均 数 , 并 据 此 判 断 这 10 填 吉 首 市 空 气 质 量 平均
14、 情 况 属 于 哪 个 等 级 ; (用 科 学 计 算 器 计 算 或 笔 算 , 结 果 保 留 整 数 )(2)按 规 定 , 当 空 气 质 量 指 数 AQI 100时 , 空 气 质 量 才 算 “ 达 标 ” , 请 你 根 据 表 (一 )和 表 (二 )所 提 供 的 信 息 , 估 计 今 年 (365天 )吉 首 市 空 气 质 量 “ 达 标 ” 的 天 数 .(结 果 保 留 整 数 )解 析 : (1)求 出 这 10天 的 空 气 质 量 平 均 平 均 数 , 再 根 据 空 气 质 量 污 染 指 数 标 准 找 出 等 级 即 可 ;(2)找 出 这 10
15、 天 空 气 质 量 “ 达 标 ” 的 天 数 , 求 出 占 的 比 列 , 再 乘 以 365即 可 .答 案 : (1) =68.7 69,69在 51 100之 间 , 所 以 吉 首 市 空 气 质 量 平 均 情 况 属 于 良 ;(2) 这 10天 空 气 质 量 “ 达 标 ” 的 天 数 为 9天 , 今 年 (365天 )吉 首 市 空 气 质 量 “ 达 标 ” 的 天数 为 =328.5 329(天 ),答 : 估 计 今 年 (365天 )吉 首 市 空 气 质 量 “ 达 标 ” 的 天 数 为 329天 . 21.(8分 )如 图 , 一 次 函 数 y=-x+
16、m的 图 象 和 y 轴 交 于 点 B, 与 正 比 例 函 数 y= x 图 象 交 于 点P(2, n). (1)求 m 和 n 的 值 ;(2)求 POB的 面 积 .解 析 : (1)先 把 P(2, n)代 入 y= x 即 可 得 到 n的 值 , 从 而 得 到 P 点 坐 标 为 (2, 3), 然 后 把 P点 坐 标 代 入 y=-x+m 可 计 算 出 m 的 值 ;(2)先 利 用 一 次 函 数 解 析 式 确 定 B 点 坐 标 , 然 后 根 据 三 角 形 面 积 公 式 求 解 . 答 案 : (1)把 P(2, n)代 入 y= x得 n=3, 所 以 P
17、 点 坐 标 为 (2, 3),把 P(2, 3)代 入 y=-x+m 得 -2+m=3, 解 得 m=5, 即 m 和 n 的 值 分 别 为 5, 3;(2)把 x=0 代 入 y=-x+5 得 y=5, 所 以 B点 坐 标 为 (0, 5), 所 以 POB的 面 积 = 5 2=5.22.(10分 )五 一 期 间 , 春 华 旅 行 社 组 织 一 个 由 成 人 和 学 生 共 20人 组 成 的 旅 行 团 到 凤 凰 古 城旅 游 , 景 区 门 票 售 票 标 准 是 : 成 人 门 票 148元 /张 , 学 生 门 票 20 元 /张 , 该 旅 行 团 购 买 门 票
18、共 花 费 1936元 , 问 该 团 购 买 成 人 门 票 和 学 生 门 票 各 多 少 张 ?解 析 : 设 购 买 成 人 门 票 x 张 , 学 生 门 票 y 张 , 则 由 “ 成 人 和 学 生 共 20人 ” 和 “ 购 买 门 票 共花 费 1936元 ” 列 出 方 程 组 解 决 问 题 .答 案 : 设 购 买 成 人 门 票 x张 , 学 生 门 票 y 张 , 由 题 意 得 , 解 得 . 答 : 购 买 成 人 门 票 12 张 , 学 生 门 票 8 张 .23.(10分 )如 图 , 在 8 8的 正 方 形 网 格 中 , CAB和 DEF 的 顶 点
19、 都 在 边 长 为 1 的 小 正 方 形的 顶 点 上 , AC 与 网 格 上 的 直 线 相 交 于 点 M.(1)填 空 : AC= , AB= .(2)求 ACB的 值 和 tan 1 的 值 ;(3)判 断 CAB和 DEF是 否 相 似 ? 并 说 明 理 由 . 解 析 : (1)根 据 勾 股 定 理 来 求 AC、 AB 的 长 度 ;(2)利 用 勾 股 定 理 的 逆 定 理 和 锐 角 三 角 函 数 的 定 义 来 解 题 ;(3)由 “ 三 边 法 ” 法 来 证 它 们 相 似 . 答 案 : (1)如 图 , 由 勾 股 定 理 , 得 AC= =2 , A
20、B= =2 .故 答 案 是 : 2 , 2 ;(2)如 图 所 示 , BC= =2 .又 由 (1)知 , AC=2 , AB=2 , AC2+BC2=AB2=40, ACB=90 .tan 1= = .综 上 所 述 , ACB的 值 是 90 和 tan 1 的 值 是 ;(3) CAB和 DEF相 似 .理 由 如 下 :如 图 , DE=DF= = , EF= = .则 = = =2, 所 以 CAB DEF. 24.(12分 )湘 西 盛 产 椪 柑 , 春 节 期 间 , 一 外 地 运 销 客 户 安 排 15辆 汽 车 装 运 A、 B、 C 三 种 不同 品 质 的 椪
21、柑 120吨 到 外 地 销 售 , 按 计 划 15辆 汽 车 都 要 装 满 且 每 辆 汽 车 只 能 装 同 一 种 品 质的 椪 柑 , 每 种 椪 柑 所 用 车 辆 部 不 少 于 3辆 .(1)设 装 运 A 种 椪 柑 的 车 辆 数 为 x 辆 , 装 运 B 种 椪 柑 车 辆 数 为 y 辆 , 根 据 下 表 提 供 的 信 息 ,求 出 y与 x之 间 的 函 数 关 系 式 ;(2)在 (1)条 件 下 , 求 出 该 函 数 自 变 量 x 的 取 值 范 围 , 车 辆 的 安 排 方 案 共 有 几 种 ? 请 写 出 每 种安 排 方 案 ;(3)为 了
22、减 少 椪 柑 积 压 , 湘 西 州 制 定 出 台 了 促 进 椪 柑 销 售 的 优 惠 政 策 , 在 外 地 运 销 客 户 原 有获 利 不 变 的 情 况 下 , 政 府 对 外 地 运 销 客 户 , 按 每 吨 50 元 的 标 准 实 行 运 费 补 贴 .若 要 使 该 外 地 运 销 客 户 所 获 利 润 W(元 )最 大 , 应 采 用 哪 种 车 辆 安 排 方 案 ? 并 求 出 利 润 W(元 )的 最 大 值 ?解 析 : (1)等 量 关 系 为 : 车 辆 数 之 和 =15, 由 此 可 得 出 x 与 y 的 关 系 式 ;(2)关 系 式 为 :
23、装 运 每 种 脐 橙 的 车 辆 数 3;(3)总 利 润 为 : 装 运 A 种 椪 柑 的 车 辆 数 10 800+装 运 B 种 椪 柑 的 车 辆 数 8 1200+装 运 C种 椪 柑 的 车 辆 数 6 1000+运 费 补 贴 , 然 后 按 x 的 取 值 来 判 定 .答 案 : (1)设 装 运 A 种 椪 柑 的 车 辆 数 为 x 辆 , 装 运 B 种 椪 柑 车 辆 数 为 y 辆 , 则 装 C 种 椪 柑 的车 辆 是 (15-x-y)辆 .则 10 x+8y+6(15-x-y)=120, 即 10 x+8y+90-6x-6y=120, 则 y=15-2x;
24、 (2)根 据 题 意 得 : , 解 得 : 3 x 6.则 有 四 种 方 案 : A、 B、 C三 种 的 车 辆 数 分 别 是 : 3 辆 , 9 辆 , 3辆 或 4 辆 , 7辆 , 4 辆 或 5 辆5辆 、 2 辆 、 8 辆 或 6辆 、 3 辆 、 6辆 ;(3)W=10 800 x+8 1200(15-x)+6 100015-x-(15-2x)+120 50=4400 x+150000,根 据 一 次 函 数 的 性 质 , 当 x=6时 , W 有 最 大 值 , 是 4400 6+150000=176400(元 ).应 采 用 A、 B、 C 三 种 的 车 辆 数
25、 分 别 是 : 6辆 、 3 辆 、 6 辆 .25.(22分 )如 图 , 抛 物 线 y=ax 2+bx+c 关 于 y轴 对 称 , 它 的 顶 点 在 坐 标 原 点 O, 点 B(2, - )和 点 C(-3, -3)两 点 均 在 抛 物 线 上 , 点 F(0, - )在 y轴 上 , 过 点 (0, )作 直 线 l 与 x 轴 平行 .(1)求 抛 物 线 的 解 析 式 和 线 段 BC 的 解 析 式 .(2)设 点 D(x, y)是 线 段 BC上 的 一 个 动 点 (点 D 不 与 B, C重 合 ), 过 点 D作 x轴 的 垂 线 , 与抛 物 线 交 于 点
26、 G.设 线 段 GD的 长 度 为 h, 求 h 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 , 并 求 出 当 x 为 何 值 时 ,线 段 GD的 长 度 h 最 大 , 最 大 长 度 h 的 值 是 多 少 ?(3)若 点 P(m, n)是 抛 物 线 上 位 于 第 三 象 限 的 一 个 动 点 , 连 接 PF并 延 长 , 交 抛 物 线 于 另 一 点Q, 过 点 Q 作 QS l, 垂 足 为 点 S, 过 点 P 作 PN l, 垂 足 为 点 N, 试 判 断 FNS的 形 状 , 并说 明 理 由 ;(4)若 点 A(-2, t)在 线 段 BC 上 , 点 M为 抛
27、物 线 上 的 一 个 动 点 , 连 接 AF, 当 点 M 在 何 位 置 时 , MF+MA的 值 最 小 , 请 直 接 写 出 此 时 点 M的 坐 标 与 MF+MA 的 最 小 值 .解 析 : (1)由 于 抛 物 线 的 顶 点 在 坐 标 原 点 O, 故 抛 物 线 的 解 析 式 可 设 为 y=ax 2, 把 点 C 的 坐 标代 入 即 可 求 出 抛 物 线 的 解 析 式 ; 设 直 线 BC 的 解 析 式 为 y=mx+n, 把 点 B、 C 的 坐 标 代 入 即 可求 出 直 线 BC的 解 析 式 .(2)由 点 D(x, y)在 线 段 BC上 可
28、得 yD= x-2, 由 点 G 在 抛 物 线 y=- x2上 可 得 yG=- x2.由h=DG=yG-yD=- x2-( x-2)配 方 可 得 h=- (x+ )2+ .根 据 二 次 函 数 的 最 值 性 即 可 解 决 问 题 .(3)可 以 证 明 PF=PN, 结 合 PN OF可 推 出 PFN= OFN; 同 理 可 得 QFS= OFS.由 PFN+ OFN+ OFS+ QFS=180 可 推 出 NFS=90 , 故 NFS是 直 角 三 角 形 . (4)过 点 M 作 MH l, 垂 足 为 H, 如 图 4, 由 (3)中 推 出 的 结 论 PF=PN可 得
29、: 抛 物 线 y=- x2上的 点 到 点 F(0, - )的 距 离 与 到 直 线 y= 的 距 离 相 等 , 从 而 有 MF=MH, 则 MA+MF=MA+MH.由 两点 之 间 线 段 最 短 可 得 : 当 A、 M、 H三 点 共 线 (即 AM l)时 , MA+MH(即 MA+MF)最 小 , 此 时 xM=xA=-2,从 而 可 以 求 出 点 M 及 点 A 的 坐 标 , 就 可 求 出 MF+MA 的 最 小 值 .答 案 : (1)如 图 1, 抛 物 线 y=ax2+bx+c关 于 y 轴 对 称 , 它 的 顶 点 在 坐 标 原 点 O, 抛 物 线 解
30、析 式 为 y=ax2. 点 C(-3, -3)在 抛 物 线 y=ax2上 , 9a=-3. a=- . 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=- x2.设 直 线 BC 的 解 析 式 为 y=mx+n. B(2, - )、 C(-3, -3)在 直 线 y=mx+n 上 , .解 得 . 直 线 BC 的 解 析 式 为 y= x-2.(2)如 图 2, 点 D(x, y)是 线 段 BC 上 的 一 个 动 点 (点 D不 与 B, C重 合 ), yD= x-2, 且 -3 x 2. DG x 轴 , xG=xD=x. 点 G在 抛 物 线 y=- x2上 , yG=- x2. h=D
31、G=yG-yD=- x2-( x-2)=- x2- x+2=- (x2+x)+2=- (x2+x+ - )+2=- (x+ )2+ +2=- (x+ )2+ . - 0, -3 - 2, 当 x=- 时 , h 取 到 最 大 值 , 最 大 值 为 . h 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 为 h=- (x+ )2+ , 其 中 -3 x 2;当 x=- 时 , 线 段 GD 的 长 度 h 最 大 , 最 大 长 度 h 的 值 是 .(3) FNS是 直 角 三 角 形 .证 明 : 过 点 F作 FT PN, 垂 足 为 T, 如 图 3, 点 P(m, n)是 抛 物 线 y=
32、- x2上 位 于 第 三 象 限 的 一 个 动 点 , n=- m2.m 0, n 0. m2=-3n.在 Rt PTF中 , PT=- -n, FT=-m, PF= = = = =-n. PN l, 且 l 是 过 点 (0, )平 行 于 x 轴 的 直 线 , PN= -n. PF=PN. PNF= PFN. PN l, OF l, PN OF. PNF= OFN. PFN= OFN.同 理 可 得 : QFS= OFS. PFN+ OFN+ OFS+ QFS=180 , 2 OFN+2 OFS=180 . OFN+ OFS=90 . NFS=90 . NFS是 直 角 三 角 形
33、. (4)过 点 M 作 MH l, 垂 足 为 H, 如 图 4, 在 (3)中 已 证 到 PF=PN, 由 此 可 得 : 抛 物 线 y=- x2上 的 点 到 点 F(0, - )的 距 离 与 到 直 线 y=的 距 离 相 等 . MF=MH. MA+MF=MA+MH.由 两 点 之 间 线 段 最 短 可 得 :当 A、 M、 H三 点 共 线 (即 AM l)时 , MA+MH(即 MA+MF)最 小 , 等 于 AH.即 xM=xA=-2时 , MA+MF 取 到 最 小 值 .此 时 , yM=- (-2)2=- , 点 M 的 坐 标 为 (-2, - );y A= (-2)-2=- , 点 A的 坐 标 为 (-2, - );MF+MA的 最 小 值 =AH= -(- )= . 当 点 M 的 坐 标 为 (-2, - )时 , MF+MA 的 值 最 小 , 最 小 值 为 .