1、2014年 湖 南 省 湘 潭 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题1.(3分 )下 列 各 数 中 是 无 理 数 的 是 ( )A.B.-2C.0D.解 析 ： A、 正 确 ；B、 是 整 数 ， 是 有 理 数 ， 选 项 错 误 ；C、 是 整 数 ， 是 有 理 数 ， 选 项 错 误 ；D、 是 分 数 ， 是 有 理 数 ， 选 项 错 误 . 答 案 ： A.2.(3分 )下 列 计 算 正 确 的 是 ( )A.a+a2=a3B.2-1=C.2a 3a=6aD.2+ =2解 析 ： A、 原 式 不 能 合 并 ， 答 案 ： 项 错 误 ；B、 原 式 = ， 答
2、 案 ： 项 正 确 ；C、 原 式 =6a 2， 答 案 ： 项 错 误 ；D、 原 式 不 能 合 并 ， 答 案 ： 项 错 误 .答 案 ： B.3.(3分 )如 图 ， AB 是 池 塘 两 端 ， 设 计 一 方 法 测 量 AB 的 距 离 ， 取 点 C， 连 接 AC、 BC， 再 取 它们 的 中 点 D、 E， 测 得 DE=15 米 ， 则 AB=( )米 . A.7.5B.15C.22.5D.30解 析 ： D、 E 分 别 是 AC、 BC的 中 点 ， DE=15 米 ， AB=2DE=30米 ，答 案 ： D. 4.(3分 )分 式 方 程 的 解 为 ( )A
3、.1B.2C.3D.4解 析 ： 去 分 母 得 ： 5x=3x+6， 移 项 合 并 得 ： 2x=6， 解 得 ： x=3， 经 检 验 x=3是 分 式 方 程 的 解 .答 案 ： C.5.(3分 )如 图 ， 所 给 三 视 图 的 几 何 体 是 ( ) A.球B.圆 柱C.圆 锥D.三 棱 锥解 析 ： 主 视 图 和 左 视 图 都 是 等 腰 三 角 形 ， 那 么 此 几 何 体 为 锥 体 ， 由 俯 视 图 为 圆 ， 可 得 此 几 何体 为 圆 锥 .答 案 ： C.6.(3分 )式 子 有 意 义 ， 则 x的 取 值 范 围 是 ( )A.x 1B.x 1C.x
4、 1 D.x 1解 析 ： 根 据 题 意 ， 得 x-1 0， 解 得 ， x 1.答 案 ： C.7.(3分 )以 下 四 个 命 题 正 确 的 是 ( )A.任 意 三 点 可 以 确 定 一 个 圆B.菱 形 对 角 线 相 等C.直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜 边 的 一 半D.平 行 四 边 形 的 四 条 边 相 等解 析 ： A、 不 在 同 一 直 线 上 的 三 点 确 定 一 个 圆 ， 故 错 误 ；B、 菱 形 的 对 角 线 垂 直 但 不 一 定 相 等 ， 故 错 误 ；C、 正 确 ；D、 平 行 四 边 形 的 四 条 边 不 一
5、定 相 等 . 答 案 ： C. 8.(3分 )如 图 ， A、 B 两 点 在 双 曲 线 y= 上 ， 分 别 经 过 A、 B 两 点 向 轴 作 垂 线 段 ， 已 知 S 阴 影 =1，则 S1+S2=( )A.3B.4C.5 D.6解 析 ： 点 A、 B 是 双 曲 线 y= 上 的 点 ， 分 别 经 过 A、 B两 点 向 x轴 、 y 轴 作 垂 线 段 ，则 根 据 反 比 例 函 数 的 图 象 的 性 质 得 两 个 矩 形 的 面 积 都 等 于 |k|=4， S1+S2=4+4-1 2=6.答 案 ： D.二 、 填 空 题9.(3分 )-3的 相 反 数 是 .
6、解 析 ： -(-3)=3， 故 -3的 相 反 数 是 3.答 案 ： 3.10.(3分 )分 解 因 式 ： ax-a= .解 析 ： ax-a=a(x-1). 答 案 ： a(x-1)11.(3分 )未 测 试 两 种 电 子 表 的 走 时 误 差 ， 做 了 如 下 统 计则 这 两 种 电 子 表 走 时 稳 定 的 是 .解 析 ： 甲 的 方 差 是 0.026， 乙 的 方 差 是 0.137， 0.026 0.137， 这 两 种 电 子 表 走 时 稳 定的 是 甲 ；答 案 ： 甲 .12.(3分 )计 算 ： ( ) 2-|-2|= .解 析 ： 原 式 =3-2=1
7、.答 案 ： 1.13.(3分 )如 图 ， 直 线 a、 b 被 直 线 c 所 截 ， 若 满 足 ， 则 a、 b 平 行 . 解 析 ： 1= 2， a b(同 位 角 相 等 两 直 线 平 行 )，同 理 可 得 ： 2= 3或 3+ 4=180 时 ， a b，答 案 ： 1= 2或 2= 3 或 3+ 4=180 .14.(3分 )如 图 ， O的 半 径 为 3， P是 CB延 长 线 上 一 点 ， PO=5， PA切 O于 A点 ， 则 PA= .解 析 ： PA切 O 于 A 点 ， OA PA， 在 Rt OPA中 ， OP=5， OA=3， PA= =4.答 案 ：
8、 4.15.(3分 )七 、 八 年 级 学 生 分 别 到 雷 锋 、 毛 泽 东 纪 念 馆 参 观 ， 共 589人 ， 到 毛 泽 东 纪 念 馆 的人 数 是 到 雷 锋 纪 念 馆 人 数 的 2倍 多 56 人 .设 到 雷 锋 纪 念 馆 的 人 数 为 x 人 ， 可 列 方 程为 .解 析 ： 设 到 雷 锋 纪 念 馆 的 人 数 为 x人 ， 则 到 毛 泽 东 纪 念 馆 的 人 数 为 (589-x)人 ，由 题 意 得 ， 2x+56=589-x.答 案 ： 2x+56=589-x.16.(3分 )如 图 ， 按 此 规 律 ， 第 6 行 最 后 一 个 数 字
9、 是 ， 第 行 最 后 一 个 数 是 2014. 解 析 ： 每 一 行 的 最 后 一 个 数 字 构 成 等 差 数 列 1， 4， 7， 10 ，第 n 行 的 最 后 一 个 数 字 为 1+3(n-1)=3n-2， 第 6行 最 后 一 个 数 字 是 3 6-2=16； 3n-2=2014， 解 得 n=672.因 此 第 6 行 最 后 一 个 数 字 是 16， 第 672行 最 后 一 个 数 是 2014.答 案 ： 16， 672. 三 、 综 合 解 答 题17.在 边 长 为 1 的 小 正 方 形 网 格 中 ， AOB的 顶 点 均 在 格 点 上 ，(1)B
10、点 关 于 y 轴 的 对 称 点 坐 标 为 ；(2)将 AOB向 左 平 移 3 个 单 位 长 度 得 到 A1O1B1， 请 画 出 A1O1B1；(3)在 (2)的 条 件 下 ， A1的 坐 标 为 . 解 析 ： (1)根 据 关 于 y 轴 对 称 的 点 的 横 坐 标 互 为 相 反 数 ， 纵 坐 标 相 等 解 答 ；(2)根 据 网 格 结 构 找 出 点 A、 O、 B 向 左 平 移 后 的 对 应 点 A1、 O1、 B1的 位 置 ， 然 后 顺 次 连 接 即可 ；(3)根 据 平 面 直 角 坐 标 系 写 出 坐 标 即 可 .答 案 ： (1)B点 关
11、 于 y轴 的 对 称 点 坐 标 为 (-3， 2)；(2) A1O1B1如 图 所 示 ；(3)A1的 坐 标 为 (-2， 3).故 答 案 为 ： (1)(-3， 2)； (3)(-2， 3). 18.先 化 简 ， 在 求 值 ： ( + ) ， 其 中 x=2.解 析 ： 原 式 括 号 中 两 项 通 分 并 利 用 同 分 母 分 式 的 加 法 法 则 计 算 ， 同 时 利 用 除 法 法 则 变 形 ， 约分 即 可 得 到 结 果 . 答 案 ： 原 式= + = =，当 x=2时 ， 原 式 = = .19.如 图 ， 修 公 路 遇 到 一 座 山 ， 于 是 要
12、修 一 条 隧 道 .为 了 加 快 施 工 进 度 ， 想 在 小 山 的 另 一 侧 同时 施 工 .为 了 使 山 的 另 一 侧 的 开 挖 点 C 在 AB的 延 长 线 上 ， 设 想 过 C点 作 直 线 AB 的 垂 线 L，过 点 B作 一 直 线 (在 山 的 旁 边 经 过 )， 与 L相 交 于 D点 ， 经 测 量 ABD=135 ， BD=800米 ， 求直 线 L上 距 离 D点 多 远 的 C 处 开 挖 ？ ( 1.414， 精 确 到 1 米 ) 解 析 ： 首 先 证 明 BCD是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 再 根 据 勾 股 定 理 可 得 CD2
13、+BC2=BD2， 然 后 再 代 入BD=800米 进 行 计 算 即 可 .答 案 ： CD AC， ACD=90 ， ABD=135 ， DBC=45 ， D=45 ， CB=CD，在 Rt DCB中 ： CD2+BC2=BD2， 2CD2=8002， CD=400 566(米 )，答 ： 直 线 L 上 距 离 D 点 566 米 的 C 处 开 挖 .20.如 图 ， 将 矩 形 ABCD沿 BD 对 折 ， 点 A 落 在 E 处 ， BE与 CD 相 交 于 F， 若 AD=3， BD=6.(1)求 证 ： EDF CBF；(2)求 EBC. 解 析 ： (1)首 先 根 据 矩
14、 形 的 性 质 和 折 叠 的 性 质 可 得 DE=BC， E= C=90 ， 对 顶 角 DFE= BFC，利 用 AAS可 判 定 DEF BCF； (2)在 Rt ABD中 ， 根 据 AD=3， BD=6， 可 得 出 ABD=30 ， 然 后 利 用 折 叠 的 性 质 可 得 DBE=30 ，继 而 可 求 得 EBC的 度 数 .答 案 ： (1)由 折 叠 的 性 质 可 得 ： DE=BC， E= C=90 ，在 DEF和 BCF中 ， ， DEF BCF(AAS)；(2)在 Rt ABD 中 ， AD=3， BD=6， ABD=30 ，由 折 叠 的 性 质 可 得 ；
15、 DBE= ABD=30 ， EBC=90 -30 -30 =30 .21.某 企 业 新 增 了 一 个 化 工 项 目 ， 为 了 节 约 资 源 ， 保 护 环 境 ， 该 企 业 决 定 购 买 A、 B 两 种 型 号的 污 水 处 理 设 备 共 8台 ， 具 体 情 况 如 下 表 ： 经 预 算 ， 企 业 最 多 支 出 89万 元 购 买 设 备 ， 且 要 求 月 处 理 污 水 能 力 不 低 于 1380吨 .(1)该 企 业 有 几 种 购 买 方 案 ？(2)哪 种 方 案 更 省 钱 ， 说 明 理 由 .解 析 ： (1)设 购 买 污 水 处 理 设 备 A
16、 型 号 x 台 ， 则 购 买 B 型 号 (8-x)台 ， 根 据 企 业 最 多 支 出 89万 元 购 买 设 备 ， 要 求 月 处 理 污 水 能 力 不 低 于 1380吨 ， 列 出 不 等 式 组 ， 然 后 找 出 最 合 适 的 方案 即 可 .(2)计 算 出 每 一 方 案 的 花 费 ， 通 过 比 较 即 可 得 到 答 案 .答 案 ： 设 购 买 污 水 处 理 设 备 A型 号 x 台 ， 则 购 买 B 型 号 (8-x)台 ，根 据 题 意 ， 得 ， 解 这 个 不 等 式 组 ， 得 ： 2.5 x 4.5. x 是 整 数 ， x=3 或 x=4.
17、当 x=3时 ， 8-x=5； 当 x=4时 ， 8-x=4.答 ： 有 2 种 购 买 方 案 ： 第 一 种 是 购 买 3台 A型 污 水 处 理 设 备 ， 5 台 B 型 污 水 处 理 设 备 ；第 二 种 是 购 买 4台 A型 污 水 处 理 设 备 ， 4 台 B 型 污 水 处 理 设 备 ；(2)当 x=3 时 ， 购 买 资 金 为 12 1+10 5=62(万 元 )，当 x=4时 ， 购 买 资 金 为 12 4+10 4=88(万 元 ).因 为 88 62，所 以 为 了 节 约 资 金 ， 应 购 污 水 处 理 设 备 A 型 号 3台 ， B 型 号 5台
18、 .答 ： 购 买 3 台 A 型 污 水 处 理 设 备 ， 5台 B型 污 水 处 理 设 备 更 省 钱 .22.有 两 个 构 造 完 全 相 同 (除 所 标 数 字 外 )的 转 盘 A、 B， 游 戏 规 定 ， 转 动 两 个 转 盘 各 一 次 ， 指向 大 的 数 字 获 胜 .现 由 你 和 小 明 各 选 择 一 个 转 盘 游 戏 ， 你 会 选 择 哪 一 个 ， 为 什 么 ？ 解 析 ： 首 先 根 据 题 意 画 出 树 状 图 ， 然 后 由 树 状 图 求 得 所 有 等 可 能 的 结 果 与 A 大 于 B 的 有 5种 情 况 ， A小 于 B的 有
19、 4种 情 况 ， 再 利 用 概 率 公 式 即 可 求 得 答 案 .答 案 ： 选 择 A 转 盘 .画 树 状 图 得 ： 共 有 9 种 等 可 能 的 结 果 ， A大 于 B 的 有 5种 情 况 ， A 小 于 B 的 有 4 种 情 况 ， P(A大 于 B)= ， P(A小 于 B)= ， 选 择 A 转 盘 .23.从 全 校 1200名 学 生 中 随 机 选 取 一 部 分 学 生 进 行 调 查 ， 调 查 情 况 ： A、 上 网 时 间 1 小 时 ； B、 1 小 时 上 网 时 间 4 小 时 ； C、 4小 时 上 网 时 间 7 小 时 ； D、 上 网
20、 时 间 7 小 时 .统 计结 果 制 成 了 如 图 统 计 图 ：(1)参 加 调 查 的 学 生 有 人 ；(2)请 将 条 形 统 计 图 补 全 ；(3)请 估 计 全 校 上 网 不 超 过 7 小 时 的 学 生 人 数 .解 析 ： (1)用 A 的 人 数 除 以 所 占 的 百 分 比 求 出 总 人 数 ； (2)用 总 人 数 减 去 A、 B、 D 的 人 数 ， 再 画 出 即 可 ；(3)用 总 人 数 乘 以 全 校 上 网 不 超 过 7 小 时 的 学 生 人 数 所 占 的 百 分 比 即 可 .答 案 ： (1)参 加 调 查 的 学 生 有 20 =
21、200(人 )；故 答 案 为 ： 200；(2)C的 人 数 是 ： 200-20-80-40=60(人 )， 补 图 如 下 ： (3)根 据 题 意 得 ：1200 =960(人 )，答 ： 全 校 上 网 不 超 过 7 小 时 的 学 生 人 数 是 960 人 . 24.已 知 两 直 线 L1： y=k1x+b1， L2： y=k2x+b2， 若 L1 L2， 则 有 k1k2=-1.(1)应 用 ： 已 知 y=2x+1 与 y=kx-1 垂 直 ， 求 k；(2)直 线 经 过 A(2， 3)， 且 与 y= x+3垂 直 ， 求 解 析 式 .解 析 ： (1)根 据 L1
22、 L2， 则 k1 k2=-1， 可 得 出 k 的 值 即 可 ；(2)根 据 直 线 互 相 垂 直 ， 则 k1 k2=-1， 可 得 出 过 点 A直 线 的 k等 于 3， 得 出 所 求 的 解 析 式 即可 .答 案 ： (1) L 1 L2， 则 k1 k2=-1， 2k=-1， k=-(2) 过 点 A 直 线 与 y= x+3 垂 直 ， 设 过 点 A 直 线 的 直 线 解 析 式 为 y=3x+b，把 A(2， 3)代 入 得 ， b=-3， 解 析 式 为 y=3x-3.25. ABC为 等 边 三 角 形 ， 边 长 为 a， DF AB， EF AC，(1)求
23、证 ： BDF CEF；(2)若 a=4， 设 BF=m， 四 边 形 ADFE 面 积 为 S， 求 出 S与 m之 间 的 函 数 关 系 ， 并 探 究 当 m 为 何值 时 S取 最 大 值 ；(3)已 知 A、 D、 F、 E四 点 共 圆 ， 已 知 tan EDF= ， 求 此 圆 直 径 . 解 析 ： (1)只 需 找 到 两 组 对 应 角 相 等 即 可 .(2)四 边 形 ADFE面 积 S 可 以 看 成 ADF与 AEF 的 面 积 之 和 ， 借 助 三 角 函 数 用 m 表 示 出 AD、DF、 AE、 EF的 长 ， 进 而 可 以 用 含 m 的 代 数
24、式 表 示 S， 然 后 通 过 配 方 ， 转 化 为 二 次 函 数 的 最 值问 题 ， 就 可 以 解 决 问 题 .(3)易 知 AF就 是 圆 的 直 径 ， 利 用 圆 周 角 定 理 将 EDF转 化 为 EAF.在 AFC中 ， 知 道 tan EAF、 C、 AC， 通 过 解 直 角 三 角 形 就 可 求 出 AF 长 .答 案 ： (1) DF AB， EF AC， BDF= CEF=90 . ABC为 等 边 三 角 形 ， B= C=60 . BDF= CEF， B= C， BDF CEF.(2) BDF=90 ， B=60 ， sin60 = = ， cos60
25、 = = . BF=m， DF= m， BD= . AB=4， AD=4- . S ADF= AD DF= (4- ) m=- m2+ m. 同 理 ： S AEF= AE EF= (4- ) (4-m)=- m2+2 . S=S ADF+S AEF=- m2+ m+2 =- (m2-4m-8)=- (m-2)2+3 .其 中 0 m 4. - 0， 0 2 4， 当 m=2时 ， S 取 最 大 值 ， 最 大 值 为 3 . S 与 m 之 间 的 函 数 关 系 为 ： S=- (m-2)2+3 (其 中 0 m 4).当 m=2时 ， S 取 到 最 大 值 ， 最 大 值 为 3 .
26、(3)如 图 ， A、 D、 F、 E 四 点 共 圆 ， EDF= EAF. ADF= AEF=90 ， AF 是 此 圆 的 直 径 . tan EDF= ， tan EAF= . = . C=60 ， =tan60 = .设 EC=x， 则 EF= x， EA=2x. AC=a， 2x+x=a. x= . EF= ， AE= . AEF=90 ， AF= = . 此 圆 直 径 长 为 .26.已 知 二 次 函 数 y=-x 2+bx+c的 对 称 轴 为 x=2， 且 经 过 原 点 ， 直 线 AC 解 析 式 为 y=kx+4，(1)求 二 次 函 数 解 析 式 ；(2)若 =
27、 ， 求 k； (3)若 以 BC为 直 径 的 圆 经 过 原 点 ， 求 k. 解 析 ： (1)由 对 称 轴 为 x=- ， 且 函 数 过 (0， 0)， 则 可 推 出 b， c， 进 而 得 函 数 解 析 式 .(2) = ， 且 两 三 角 形 为 同 高 不 同 底 的 三 角 形 ， 易 得 = ， 考 虑 计 算 方 便 可 作 B， C对 x 轴 的 垂 线 ， 进 而 有 B， C 横 坐 标 的 比 为 = .由 B， C为 直 线 与 二 次 函 数 的 交 点 ， 则 联立 可 求 得 B， C 坐 标 .由 上 述 倍 数 关 系 ， 则 k易 得 .(3)
28、以 BC 为 直 径 的 圆 经 过 原 点 ， 即 BOC=90 ， 一 般 考 虑 表 示 边 长 ， 再 用 勾 股 定 理 构 造 方 程求 解 k.可 是 这 个 思 路 计 算 量 异 常 复 杂 ， 基 本 不 考 虑 ， 再 考 虑 (2)的 思 路 ， 发 现 B， C横 纵 坐标 恰 好 可 表 示 出 EB， EO， OF， OC.而 由 BOC=90 ， 易 证 EBO FOC， 即 EB FC=EO FO.有 此 构 造 方 程 发 现 k 值 大 多 可 约 去 ， 进 而 可 得 k 值 .答 案 ： (1) 二 次 函 数 y=-x 2+bx+c的 对 称 轴
29、为 x=2， 且 经 过 原 点 ， - =2， 0=0+0+c， b=4， c=0， y=-x2+4x.(2)如 图 1， 连 接 OB， OC， 过 点 A 作 AE y 轴 于 E， 过 点 B作 BF y轴 于 F， = ， = ， = ， EB FC， = = . y=kx+4 交 y=-x2+4x于 B， C， kx+4=-x2+4x， 即 x2+(k-4)x+4=0， =(k-4)2-4 4=k2-8k， x= ， 或 x= ， x B xC， EB=xB= ， FC=xC= ， 4 = ，解 得 k=9(交 点 不 在 y 轴 右 边 ， 不 符 题 意 ， 舍 去 )或 k=-1. k=-1.(3) BOC=90 ， EOB+ FOC=90 ， EOB+ EBO=90 ， EBO= FOC， BEO= OFC=90 ， EBO FOC， ， EB FC=EO FO. xB= ， xC= ， 且 B、 C过 y=kx+4， yB=k +4， yC=k +4， EO=yB=k +4， OF=-yC=-k -4， =(k +4) (-k-4)， 整 理 得 16k=-20， k=- .
