1、2014年 江 西 省 南 昌 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 共 12小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 36 分 ， 每 小 题 只 有 一 个 正 确 选 项 )1.(3分 )下 列 四 个 数 中 ， 最 小 的 数 是 ( )A.-B.0C.-2D.2解 析 ： 画 一 个 数 轴 ， 将 A=- 、 B=0、 C=-2、 D=2标 于 数 轴 之 上 ， 可 得 ： C 点 位 于 数 轴 最 左 侧 ， C 选 项 数 字 最 小 .答 案 ： C.2.(3分 )据 相 关 报 道 ， 截 止 到 今 年 四 月 ， 我 国 已 完 成 5.78万
2、 个 农 村 教 学 点 的 建 设 任 务 .5.78万 可 用 科 学 记 数 法 表 示 为 ( )A.5.78 103B.57.8 103C.0.578 10 4D.5.78 104解 析 ： 5.78万 =57 800=5.78 104.答 案 ： D.3.(3分 )某 市 6月 份 某 周 气 温 (单 位 ： )为 23、 25、 28、 25、 28、 31、 28， 则 这 组 数 据 的 众数 和 中 位 数 分 别 是 ( )A.25、 25B.28、 28C.25、 28D.28、 31解 析 ： 将 这 组 数 据 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 23， 25，
3、25， 28， 28， 28， 31， 在 这 一 组 数 据 中 28 是 出 现 次 数 最 多 的 ， 故 众 数 是 28 .处 于 中 间 位 置 的 那 个 数 是 28， 那 么 由 中 位 数 的 定 义 可 知 ， 这 组 数 据 的 中 位 数 是 28 ；答 案 ： B.4.(3分 )下 列 运 算 正 确 的 是 ( )A.a2+a3=a5B.(-2a2)3=-6a6C.(2a+1)(2a-1)=2a 2-1D.(2a3-a2) a2=2a-1解 析 ： A.a2与 a3不 能 合 并 ， 故 本 项 错 误 ；B.(-2a2)3=-8a6， 故 本 项 错 误 ；C.
4、(2a+1)(2a-1)=4a2-1， 故 本 项 错 误 ； D.(2a3-a2) a2=2a-1， 本 项 正 确 ，答 案 ： D.5.(3分 )如 图 ， 贤 贤 同 学 用 手 工 纸 制 作 一 个 台 灯 灯 罩 ， 做 好 后 发 现 上 口 太 小 了 ， 于 是 他 把 纸灯 罩 对 齐 压 扁 ， 剪 去 上 面 一 截 后 ， 正 好 合 适 ， 以 下 裁 剪 示 意 图 中 ， 正 确 的 是 ( )A. B.C.D.解 析 ： 圆 锥 压 扁 后 为 扇 形 ， 圆 台 压 扁 后 为 扇 形 的 一 部 分 .答 案 ： A.6.(3分 )小 锦 和 小 丽 购
5、 买 了 价 格 分 别 相 同 的 中 性 笔 和 笔 芯 ， 小 锦 买 了 20支 笔 和 2盒 笔 芯 ，用 了 56元 ； 小 丽 买 了 2 支 笔 和 3 盒 笔 芯 ， 仅 用 了 28元 .设 每 支 中 性 笔 x 元 和 每 盒 笔 芯 y 元 ， 根 据 题 意 列 方 程 组 正 确 的 是 ( )A.B.C.D.解 析 ： 设 每 支 中 性 笔 x 元 和 每 盒 笔 芯 y元 ， 由 题 意 得 ， .答 案 ： B. 7.(3分 )如 图 ， AB DE， AC DF， AC=DF， 下 列 条 件 中 不 能 判 断 ABC DEF的 是 ( ) A.AB=
6、DEB. B= EC.EF=BCD.EF BC解 析 ： AB DE， AC DF， A= D，(1)AB=DE， 则 ABC和 DEF 中 ， ， ABC DEF， 故 A 选 项 错 误 ；(2) B= E， 则 ABC和 DEF中 ， ， ABC DEF， 故 B 选 项 错 误 ；(3)EF=BC， 无 法 证 明 ABC DEF(ASS)； 故 C 选 项 正 确 ； (4) EF BC， AB DE， B= E， 则 ABC和 DEF 中 ， ， ABC DEF，故 D 选 项 错 误 ；8.(3分 )如 图 ， A、 B、 C、 D四 个 点 均 在 O 上 ， AOD=70 ，
7、 AO DC， 则 B 的 度 数 为 ( )A.40B.45 C.50D.55解 析 ： 如 图 ， 连 接 OC， AO DC， ODC= AOD=70 ， OD=OC， ODC= OCD=70 ， COD=40 ， AOC=110 ， B= AOC=55 .答 案 ： D. 9.(3分 )若 ， 是 方 程 x2-2x-3=0的 两 个 实 数 根 ， 则 2+ 2的 值 为 ( )A.10B.9C.7 D.5解 析 ： ， 是 方 程 x2-2x-3=0的 两 个 实 数 根 ， + =2， =-3， 2+ 2=( + )2-2 =22-2 (-3)=10.答 案 ： A.10.(3分
8、 )如 图 ， ABC中 ， AB=4， BC=6， B=60 ， 将 ABC沿 射 线 BC的 方 向 平 移 ， 得 到 A B C ， 再 将 A B C 绕 点 A 逆 时 针 旋 转 一 定 角 度 后 ， 点 B 恰 好 与 点 C 重 合 ，则 平 移 的 距 离 和 旋 转 角 的 度 数 分 别 为 ( ) A.4， 30B.2， 60C.1， 30D.3， 60解 析 ： B=60 ， 将 ABC沿 射 线 BC的 方 向 平 移 ， 得 到 A B C ， 再 将 A B C绕 点 A 逆 时 针 旋 转 一 定 角 度 后 ， 点 B 恰 好 与 点 C 重 合 ， A
9、 B C=60 ， AB=A B =A C=4， A B C 是 等 边 三 角 形 ， B C=4， B A C=60 ， BB =6-4=2， 平 移 的 距 离 和 旋 转 角 的 度 数 分 别 为 ： 2， 60 .答 案 ： B.11.(3分 )如 图 1， 将 一 个 边 长 为 a的 正 方 形 纸 片 剪 去 两 个 小 矩 形 ， 得 到 一 个 “ ” 的 图 案 ，如 图 2所 示 ， 再 将 剪 下 的 两 个 小 矩 形 拼 成 一 个 新 的 矩 形 ， 如 图 3 所 示 ， 则 新 矩 形 的 周 长 可 表 示 为 ( )A.2a-3bB.4a-8bC.2a
10、-4bD.4a-10b 解 析 ： 根 据 题 意 得 ： 2(a-b+a-3b)=2(2a-4b)=4a-8b，答 案 ： B 12.(3分 )已 知 反 比 例 函 数 y= 的 图 象 如 图 ， 则 二 次 函 数 y=2kx2-4x+k2的 图 象 大 致 为 ( ) A.B.C. D.解 析 ： 函 数 y= 的 图 象 经 过 二 、 四 象 限 ， k 0，由 图 知 当 x=-1 时 ， y=-k 1， k -1， 抛 物 线 y=2kx2-4x+k2开 口 向 下 ， 对 称 为 x=- = ， -1 0， 对 称 轴 在 -1与 0 之间 ，答 案 ： D.二 、 填 空
11、 题 (本 大 题 4 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 12 分 )13.(3分 )计 算 ： = .解 析 ： 3 2=9， =3.答 案 ： 3. 14.(3分 )不 等 式 组 的 解 集 是 .解 析 ： ， 由 得 ， x ， 由 得 ， x -2， 故 此 不 等 式 组 的 解 集 为 ：x .答 案 ： x .15.(3分 )如 图 ， 是 将 菱 形 ABCD以 点 O为 中 心 按 顺 时 针 方 向 分 别 旋 转 90 ， 180 ， 270 后形 成 的 图 形 .若 BAD=60 ， AB=2， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 . 解 析 ： 如
12、 图 所 示 ： 连 接 AC， BD交 于 点 E， 连 接 DF， FM， MN， DN， 将 菱 形 ABCD 以 点 O 为 中 心 按 顺 时 针 方 向 分 别 旋 转 90 ， 180 ， 270 后 形 成 的 图 形 ， BAD=60 ， AB=2， AC BD， 四 边 形 DNMF 是 正 方 形 ， AOC=90 ， BD=2， AE=EC= ， AOE=45 ， ED=1， AE=EO= ， DO= -1， S 正 方 形 DNMF=2( -1) 2( -1) =8-4 ， S ADF= AD AFsin30 =1， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 ： 4
13、S ADF+S 正 方 形 DNMF=4+8-4 =12-4 .答 案 ： 12-4 .16.(3分 )在 Rt ABC中 ， A=90 ， 有 一 个 锐 角 为 60 ， BC=6.若 点 P 在 直 线 AC 上 (不 与 点A， C 重 合 )， 且 ABP=30 ， 则 CP的 长 为 .解 析 ： 如 图 1： 当 C=60 时 ， ABC=30 ， 与 ABP=30 矛 盾 ；如 图 2： 当 C=60 时 ， ABC=30 ， ABP=30 ， CBP=60 ， PBC是 等 边 三 角 形 ， CP=BC=6；如 图 3： 当 ABC=60 时 ， C=30 ， ABP=30
14、 ， PBC=60 -30 =30 ， PC=PB， BC=6， AB=3， PC=PB= = =2 ；如 图 4： 当 ABC=60 时 ， C=30 ， ABP=30 ， PBC=60 +30 =90 ， PC=BC cos30 =4 .答 案 ： 6或 2 或 4 .三 、 (本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 6 分 ， 共 24分 )17.(6分 )计 算 ： ( - ) .解 析 ： 原 式 括 号 中 两 项 利 用 同 分 母 分 式 的 减 法 法 则 计 算 ， 同 时 利 用 除 法 法 则 变 形 ， 约 分 即 可得 到 结 果 .答 案 ： 原 式 = =x
15、-1. 18.(6分 )已 知 梯 形 ABCD， 请 使 用 无 刻 度 直 尺 画 图 .(1)在 图 1 中 画 出 一 个 与 梯 形 ABCD面 积 相 等 ， 且 以 CD为 边 的 三 角 形 ；(2)图 2 中 画 一 个 与 梯 形 ABCD面 积 相 等 ， 且 以 AB为 边 的 平 行 四 边 形 .解 析 ： (1)求 出 三 角 形 CD边 上 的 高 作 图 ，(2)找 出 BE 及 它 的 高 相 乘 得 20， 以 AB为 一 边 作 平 行 四 边 形 . 答 案 ： 设 小 正 方 形 的 边 长 为 1， 则 S 梯 形 ABCD= (AD+BC) 4=
16、 10 4=20，(1) CD=4 ， 三 角 形 的 高 =20 2 4 =5 ， 如 图 1， CDE就 是 所 作 的 三 角 形 ， (2)如 图 2， BE=5， BE边 上 的 高 为 4， 平 行 四 边 形 ABEF 的 面 积 是 5 4=20， 平 行 四 边 形 ABEF就 是 所 作 的 平 行 四 边 形 .19.(6分 )有 六 张 完 全 相 同 的 卡 片 ， 分 A， B 两 组 ， 每 组 三 张 ， 在 A 组 的 卡 片 上 分 别 画 上 “ ， ， ” ， 在 B组 的 卡 片 上 分 别 画 上 “ ， ， ” ， 如 图 1所 示 . (1)若
17、将 卡 片 无 标 记 的 一 面 朝 上 摆 在 桌 上 再 分 别 从 两 组 卡 片 中 随 机 各 抽 取 一 张 ， 求 两 张 卡 片上 标 记 都 是 “ ” 的 概 率 .(请 用 “ 树 形 图 法 ” 或 “ 列 表 法 “ 求 解 )(2)若 把 A， B 两 组 卡 片 无 标 记 的 一 面 对 应 粘 贴 在 一 起 得 到 三 张 卡 片 ， 其 正 、 反 面 标 记 如 图 2所 示 ， 将 卡 片 正 面 朝 上 摆 在 桌 上 ， 并 用 瓶 盖 盖 住 标 记 . 若 随 机 揭 开 其 中 一 个 盖 子 ， 看 到 的 标 记 是 “ ” 的 概 率
18、 是 多 少 ？ 若 揭 开 盖 子 ， 看 到 的 卡 片 正 面 标 记 是 “ ” 后 ， 猜 想 它 的 反 面 也 是 “ ” ， 求 猜 对 的 概 率 .解 析 ： (1)列 表 得 出 所 有 等 可 能 的 情 况 数 ， 找 出 两 种 卡 片 上 标 记 都 是 “ ” 的 情 况 数 ， 即 可求 出 所 求 的 概 率 ；(2) 根 据 题 意 得 到 所 有 等 可 能 情 况 有 3 种 ， 其 中 看 到 的 标 记 是 “ ” 的 情 况 有 2 种 ， 即 可求 出 所 求 概 率 ； 所 有 等 可 能 的 情 况 有 2 种 ， 其 中 揭 开 盖 子
19、， 看 到 的 卡 片 正 面 标 记 是 “ ” 后 ， 它 的 反 面 也是 “ ” 的 情 况 有 1 种 ， 即 可 求 出 所 求 概 率 .答 案 ： (1)列 表 如 下 ： 所 有 等 可 能 的 情 况 有 9 种 ， 两 种 卡 片 上 标 记 都 是 “ ” 的 情 况 有 2种 ， 则 P= ；(2) 所 有 等 可 能 的 情 况 有 3 种 ， 其 中 随 机 揭 开 其 中 一 个 盖 子 ， 看 到 的 标 记 是 “ ” 的 情 况有 2 种 ， 则 P= ； 所 有 等 可 能 的 情 况 有 2种 ， 其 中 揭 开 盖 子 ， 看 到 的 卡 片 正 面
20、 标 记 是 “ ” 后 ， 它 的 反 面 也是 “ ” 的 情 况 有 1种 ， 则 P= .20.(6分 )如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， Rt PBD的 斜 边 PB落 在 y 轴 上 ， tan BPD= .延 长BD交 x轴 于 点 C， 过 点 D作 DA x轴 ， 垂 足 为 A， OA=4， OB=3. (1)求 点 C 的 坐 标 ；(2)若 点 D 在 反 比 例 函 数 y= (k 0)的 图 象 上 ， 求 反 比 例 函 数 的 解 析 式 .解 析 ： (1)根 据 正 切 值 ， 可 得 PD的 斜 率 ， 根 据 直 线 垂 直 ， 可 得
21、 BD 的 斜 率 ， 可 得 直 线 BC， 根据 函 数 值 为 0， 可 得 C 点 坐 标 ；(2)根 据 自 变 量 的 值 ， 可 得 D 点 坐 标 ， 根 据 待 定 系 数 法 ， 可 得 函 数 解 析 式 .答 案 ： Rt PBD的 斜 边 PB落 在 y 轴 上 ， BD PB，k PD=cot BPD= ， kBD kPD=-1， kBD=- ，直 线 BD的 解 析 式 是 y=- x+3，当 y=0时 ， - x+3=0， x=6， C 点 坐 标 是 (6， 0)；(2)当 x=4 时 ， y=- 4+3=1， D(4， 1).点 D 在 反 比 例 函 数
22、y= (k 0)的 图 象 上 ， k=4 1=4， 反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 y= .四 、 (本 大 题 共 3 小 题 ， 每 小 题 8 分 ， 共 24分 )21.(8分 )某 教 研 机 构 为 了 了 解 在 校 初 中 生 阅 读 数 学 教 科 书 的 现 状 ， 随 机 抽 取 某 校 部 分 初 中学 生 进 行 了 调 查 ， 依 据 相 关 数 据 绘 制 成 以 下 不 完 整 的 统 计 表 ， 请 根 据 图 表 中 的 信 息 解 答 下 列问 题 ：某 校 初 中 生 阅 读 数 学 教 科 书 情 况 统 计 图 表 (1)求 样 本 容 量
23、 及 表 格 中 a， b， c 的 值 ， 并 补 全 统 计 图 ；(2)若 该 校 共 有 初 中 生 2300名 ， 请 估 计 该 校 “ 不 重 视 阅 读 数 学 教 科 书 ” 的 初 中 人 数 ；(3) 根 据 上 面 的 统 计 结 果 ， 谈 谈 你 对 该 校 初 中 生 阅 读 数 学 教 科 书 的 现 状 的 看 法 及 建 议 ； 如 果 要 了 解 全 省 初 中 生 阅 读 数 学 教 科 书 的 情 况 ， 你 认 为 应 该 如 何 进 行 抽 样 ？ 解 析 ： (1)利 用 类 别 为 “ 一 般 ” 人 数 与 所 占 百 分 比 ， 进 而 得
24、 出 样 本 容 量 ， 进 而 得 出 a， b， c的 值 ；(2)利 用 “ 不 重 视 阅 读 数 学 教 科 书 ” 在 样 本 中 所 占 比 例 ， 进 而 估 计 全 校 在 这 一 类 别 的 人 数 ；(3)根 据 (1)中 所 求 数 据 进 而 分 析 得 出 答 案 ， 再 从 样 本 抽 出 的 随 机 性 进 而 得 出 答 案 .答 案 ： (1)由 题 意 可 得 出 ： 样 本 容 量 为 ： 57 0.38=150(人 )， a=150 0.3=45，b=150-57-45-9=39， c=39 150=0.26， 如 图 所 示 ： (2)若 该 校 共
25、 有 初 中 生 2300名 ，该 校 “ 不 重 视 阅 读 数 学 教 科 书 ” 的 初 中 人 数 约 为 ： 2300 0.26=598(人 )；(3) 根 据 以 上 所 求 可 得 出 ： 只 有 30%的 学 生 重 视 阅 读 数 学 教 科 书 ， 有 32%的 学 生 不 重 视 阅 读数 学 教 科 书 或 说 不 清 楚 ， 可 以 看 出 大 部 分 学 生 忽 略 了 阅 读 数 学 教 科 书 ， 同 学 们 应 重 视 阅 读 数学 教 科 书 ， 从 而 获 取 更 多 的 数 学 课 外 知 识 和 对 相 关 习 题 、 定 理 的 深 层 次 理 解
26、与 认 识 . 如 果 要 了 解 全 省 初 中 生 阅 读 数 学 教 科 书 的 情 况 ， 应 随 机 抽 取 不 同 的 学 校 以 及 不 同 的 年 级 进行 抽 样 ， 进 而 分 析 .22.(8分 )图 1 中 的 中 国 结 挂 件 是 由 四 个 相 同 的 菱 形 在 顶 点 处 依 次 串 联 而 成 ， 每 相 邻 两 个 菱形 均 成 30 的 夹 角 ， 示 意 图 如 图 2.在 图 2 中 ， 每 个 菱 形 的 边 长 为 10cm， 锐 角 为 60 .(1)连 接 CD， EB， 猜 想 它 们 的 位 置 关 系 并 加 以 证 明 ；(2)求 A
27、， B两 点 之 间 的 距 离 (结 果 取 整 数 ， 可 以 使 用 计 算 器 )(参 考 数 据 ： 1.41， 1.73， 2.45) 解 析 ： (1)连 接 DE.根 据 菱 形 的 性 质 和 角 的 和 差 关 系 可 得 CDE= BED=90 ， 再 根 据 平 行 线的 判 定 可 得 CD， EB 的 位 置 关 系 ；(2)根 据 菱 形 的 性 质 可 得 BE， DE， 再 根 据 三 角 函 数 可 得 BD， AD， 根 据 AB=BD+AD， 即 可 求 解 .答 案 ： (1)猜 想 CD EB.证 明 ： 连 接 DE. 中 国 结 挂 件 是 四
28、个 相 同 的 菱 形 ， 每 相 邻 两 个 菱 形 均 成 30 的 夹 角 ， 菱 形 的 锐 角 为 60 CDE=60 2 2+30 =90 ， BED=60 2 2+30 =90 ， CDE= BED， CD EB.(2)BE=2OE=2 10 cos30 =10 cm，同 理 可 得 ， DE=10 cm，则 BD=10 cm，同 理 可 得 ， AD=10 cm，AB=BD+AD=20 49cm.答 ： A， B 两 点 之 间 的 距 离 大 约 为 49cm. 23.(8分 )如 图 1， AB是 O 的 直 径 ， 点 C 在 AB 的 延 长 线 上 ， AB=4， B
29、C=2， P是 O 上 半 部 分的 一 个 动 点 ， 连 接 OP， CP.(1)求 OPC的 最 大 面 积 ；(2)求 OCP的 最 大 度 数 ；(3)如 图 2， 延 长 PO交 O 于 点 D， 连 接 DB， 当 CP=DB 时 ， 求 证 ： CP是 O 的 切 线 . 解 析 ： (1)在 OPC中 ， 底 边 OC长 度 固 定 ， 因 此 只 要 OC 边 上 高 最 大 ， 则 OPC的 面 积 最 大 ；观 察 图 形 ， 当 OP OC时 满 足 要 求 ；(2)PC与 O 相 切 时 ， OCP的 度 数 最 大 ， 根 据 切 线 的 性 质 即 可 求 得
30、；(3)连 接 AP， BP 通 过 ODB BPC可 求 得 DP PC， 从 而 求 得 PC 是 O的 切 线 .答 案 ： (1) AB=4， OB=2， OC=OB+BC=4.在 OPC中 ， 设 OC 边 上 的 高 为 h， S OPC= OC h=2h， 当 h最 大 时 ， S OPC取 得 最 大 值 .观 察 图 形 ， 当 OP OC时 ， h 最 大 ， 如 答 图 1所 示 ： 此 时 h=半 径 =2， S OPC=2 2=4. OPC的 最 大 面 积 为 4.(2)当 PC 与 O相 切 时 ， OCP最 大 .如 答 图 2 所 示 ： tan OCP= =
31、 = ， OCP=30 OCP的 最 大 度 数 为 30 .(3)如 答 图 3， 连 接 AP， BP. A= D= APD= ABD， = ， = ， AP=BD， CP=DB， AP=CP， A= C， A= D= APD= ABD= C，在 ODB与 BPC中 ， ， ODB BPC(SAS)， D= BPC， PD 是 直 径 ， DBP=90 ， D+ BPD=90 ， BPC+ BPD=90 ， DP PC， DP 经 过 圆 心 ， PC是 O 的 切 线 .五 、 (本 大 题 共 2 小 题 ， 每 小 题 12 分 ， 共 24分 )24.(12分 )如 图 1， 边
32、长 为 4 的 正 方 形 ABCD中 ， 点 E在 AB边 上 (不 与 点 A， B 重 合 )， 点 F在 BC 边 上 (不 与 点 B， C 重 合 ). 第 一 次 操 作 ： 将 线 段 EF 绕 点 F 顺 时 针 旋 转 ， 当 点 E 落 在 正 方 形 上 时 ， 记 为 点 G；第 二 次 操 作 ： 将 线 段 FG 绕 点 G 顺 时 针 旋 转 ， 当 点 F 落 在 正 方 形 上 时 ， 记 为 点 H；依 次 操 作 下 去 (1)图 2 中 的 EFD是 经 过 两 次 操 作 后 得 到 的 ， 其 形 状 为 ， 求 此 时 线 段 EF的 长 ；(2
33、)若 经 过 三 次 操 作 可 得 到 四 边 形 EFGH. 请 判 断 四 边 形 EFGH的 形 状 为 ， 此 时 AE 与 BF的 数 量 关 系 是 ； 以 中 的 结 论 为 前 提 ， 设 AE的 长 为 x， 四 边 形 EFGH的 面 积 为 y， 求 y 与 x 的 函 数 关 系 式及 面 积 y 的 取 值 范 围 ；(3)若 经 过 多 次 操 作 可 得 到 首 尾 顺 次 相 接 的 多 边 形 ， 其 最 大 边 数 是 多 少 ？ 它 可 能 是 正 多 边 形吗 ？ 如 果 是 ， 请 直 接 写 出 其 边 长 ； 如 果 不 是 ， 请 说 明 理
34、由 .解 析 ： (1)由 旋 转 性 质 ， 易 得 EFD是 等 边 三 角 形 ； 利 用 等 边 三 角 形 的 性 质 、 勾 股 定 理 求 出EF的 长 ；(2) 四 边 形 EFGH的 四 边 长 都 相 等 ， 所 以 是 正 方 形 ； 利 用 三 角 形 全 等 证 明 AE=BF； 求 面 积 y的 表 达 式 ， 这 是 一 个 二 次 函 数 ， 利 用 二 次 函 数 性 质 求 出 最 值 及 y的 取 值 范 围 .(3)如 答 图 2 所 示 ， 经 过 多 次 操 作 可 得 到 首 尾 顺 次 相 接 的 多 边 形 ， 可 能 是 正 多 边 形 ，
35、最 大 边数 为 8， 边 长 为 4 -4. 答 案 ： (1)如 题 图 2， 由 旋 转 性 质 可 知 EF=DF=DE， 则 DEF为 等 边 三 角 形 .在 Rt ADE与 Rt CDF中 ， ， Rt ADE Rt CDF(HL) AE=CF.设 AE=CF=x， 则 BE=BF=4-x BEF为 等 腰 直 角 三 角 形 . EF= BF= (4-x). DE=DF=EF= (4-x). 在 Rt ADE中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： AE2+AD2=DE2， 即 ： x+42= (4-x2，解 得 ： x1=8-4 ， x2=8+4 (舍 去 ) EF= (4-x)=
36、4 -4 .DEF的 形 状 为 等 边 三 角 形 ， EF的 长 为 4 -4 .(2) 四 边 形 EFGH的 形 状 为 正 方 形 ， 此 时 AE=BF.理 由 如 下 ： 依 题 意 画 出 图 形 ， 如 答 图 1 所示 ： 由 旋 转 性 质 可 知 ， EF=FG=GH=HE， 四 边 形 EFGH的 形 状 为 正 方 形 . 1+ 2=90 ， 2+ 3=90 ， 1= 3. 3+ 4=90 ， 2+ 3=90 ， 2= 4.在 AEH与 BFE中 ， ， AEH BFE(ASA) AE=BF. 利 用 中 结 论 ， 易 证 AEH、 BFE、 CGF、 DHG均
37、为 全 等 三 角 形 ， BF=CG=DH=AE=x， AH=BE=CF=DG=4-x. y=S 正 方 形 ABCD-4S AEH=4 4-4 x(4-x)=2x2-8x+16. y=2x2-8x+16(0 x 4) y=2x2-8x+16=2(x-2)2+8， 当 x=2时 ， y取 得 最 小 值 8； 当 x=0 时 ， y=16， y 的 取 值 范 围 为 ： 8 y 16.(3)经 过 多 次 操 作 可 得 到 首 尾 顺 次 相 接 的 多 边 形 ， 其 最 大 边 数 是 8， 它 可 能 为 正 多 边 形 ， 边长 为 4 -4.如 答 图 2 所 示 ， 粗 线
38、部 分 是 由 线 段 EF 经 过 7 次 操 作 所 形 成 的 正 八 边 形 . 设 边 长 EF=FG=x， 则 BF=CG= x， BC=BF+FG+CG= x+x+ x=4， 解 得 ： x=4 -4.25.(12分 )如 图 1， 抛 物 线 y=ax2+bx+c(a 0)的 顶 点 为 M， 直 线 y=m与 x轴 平 行 ， 且 与 抛 物线 交 于 点 A， B， 若 AMB为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 我 们 把 抛 物 线 上 A， B 两 点 之 间 的 部 分 与 线 段AB围 成 的 图 形 称 为 该 抛 物 线 对 应 的 准 蝶 形 ， 线 段 AB
39、 称 为 碟 宽 ， 顶 点 M 称 为 碟 顶 ， 点 M 到 线段 AB 的 距 离 称 为 碟 高 . (1)抛 物 线 y= x2对 应 的 碟 宽 为 ； 抛 物 线 y=4x2对 应 的 碟 宽 为 ； 抛 物 线 y=ax2(a 0)对 应 的 碟 宽 为 ； 抛 物 线 y=a(x-2)2+3(a 0)对 应 的 碟 宽 为 ；(2)抛 物 线 y=ax2-4ax- (a 0)对 应 的 碟 宽 为 6， 且 在 x轴 上 ， 求 a 的 值 ；(3)将 抛 物 线 y=anx2+bnx+cn(an 0)的 对 应 准 蝶 形 记 为 Fn(n=1， 2， 3 )， 定 义 F
40、1， F2， ， Fn为 相 似 准 蝶 形 ， 相 应 的 碟 宽 之 比 即 为 相 似 比 .若 Fn与 Fn-1的 相 似 比 为 ， 且 Fn的 碟 顶 是 Fn-1的 碟 宽 的 中 点 ， 现 将 (2)中 求 得 的 抛 物 线 记 为 y 1， 其 对 应 的 准 蝶 形 记 为 F1. 求 抛 物 线 y2的 表 达 式 ； 若 F1的 碟 高 为 h1， F2的 碟 高 为 h2， Fn的 碟 高 为 hn， 则 hn= ， Fn的 碟 宽 有 端 点 横坐 标 为 2+ ； F1， F2， ， Fn的 碟 宽 右 端 点 是 否 在 一 条 直 线 上 ？ 若 是 ，
41、直 接 写 出 该 直线 的 表 达 式 ； 若 不 是 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)根 据 定 义 易 算 出 含 具 体 值 的 抛 物 线 y= x 2， 抛 物 线 y=4x2的 碟 宽 ， 且 都 利 用 端 点 (第一 象 限 )横 纵 坐 标 的 相 等 .推 广 至 含 字 母 的 抛 物 线 y=ax2(a 0)， 类 似 .而 抛 物 线y=a(x-2)2+3(a 0)为 顶 点 式 ， 可 看 成 y=ax2平 移 得 到 ， 则 发 现 碟 宽 只 和 a 有 关 .(2)根 据 (1)的 结 论 ， 根 据 碟 宽 易 得 a 的 值 .(3) 由 y
42、1， 易 推 y2. 结 合 画 图 ， 易 知 h1， h2， h3， ， hn-1， hn都 在 直 线 x=2上 ， 但 证 明 需要 有 一 般 推 广 ， 可 以 考 虑 hn hn-1， 且 都 过 Fn-1的 碟 宽 中 点 ， 进 而 可 得 .另 画 图 时 易 知 碟 宽 有规 律 递 减 ， 所 以 推 理 也 可 得 右 端 点 的 特 点 .对 于 “ F 1， F2， ， Fn的 碟 宽 右 端 点 是 否 在 一 条 直线 上 ？ ” ， 如 果 写 出 所 有 端 点 规 律 似 乎 很 难 ， 找 规 律 更 难 ， 所 以 可 以 考 虑 基 础 的 几 个
43、 图 形 关系 ， 如 果 相 邻 3 个 点 构 成 的 两 条 线 段 不 共 线 ， 则 结 论 不 成 立 ， 反 正 结 论 成 立 .求 直 线 方 程 只需 考 虑 特 殊 点 即 可 .答 案 ： (1)4； 1； ； .分 析 如 下 ： a 0， y=ax2的 图 象 大 致 如 下 ： 其 必 过 原 点 O， 记 AB为 其 碟 宽 ， AB与 y 轴 的 交 点 为 C， 连 接 OA， OB. OAB为 等 腰 直 角 三 角 形 ， AB x轴 ， OC AB， AOC= BOC= AOB= 90 =45 ， ACO与 BCO亦 为 等 腰 直 角 三 角 形 ，
44、 AC=OC=BC， xA=yA， xB=yB， 代 入 y=ax2， A(- ， )， B( ， )， C(0， )， AB= ， OC= ， 即 y=ax2的 碟 宽 为 . 抛 物 线 y= x2对 应 的 a= ， 得 碟 宽 为 4； 抛 物 线 y=4x 2对 应 的 a=4， 得 碟 宽 为 为 ； 抛 物 线 y=ax2(a 0)， 碟 宽 为 ； 抛 物 线 y=a(x-2)2+3(a 0)可 看 成 y=ax2向 右 平 移 2 个 单 位 长 度 ， 再 向 上 平 移 3 个 单 位 长度 后 得 到 的 图 形 ， 平 移 不 改 变 形 状 、 大 小 、 方 向
45、， 抛 物 线 y=a(x-2)2+3(a 0)的 准 碟 形 抛 物 线 y=ax2的准 碟 ， 抛 物 线 y=ax 2(a 0)， 碟 宽 为 ， 抛 物 线 y=a(x-2)2+3(a 0)， 碟 宽 为 .(2) y=ax2-4ax- =a(x-2)2-(4a+ )， 同 (1)， 其 碟 宽 为 ， y=ax2-4ax- 的 碟 宽 为 6， =6， 解 得 a= ， y= (x-2)2-3.(3) F 1的 碟 宽 ： F2的 碟 宽 =2： 1， ， a1= ， a2= . y= (x-2)2-3 的 碟 宽 AB 在 x 轴 上 (A在 B 左 边 )， A(-1， 0)，
46、B(5， 0)， F2的 碟 顶 坐 标 为 (2， 0)， y2= (x-2)2. Fn的 准 碟 形 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， Fn的 碟 宽 为 2hn， 2h n： 2hn-1=1： 2， hn= hn-1=( )2hn-2=( )3hn-3= =( )n+1h1， h1=3， hn= . hn hn-1， 且 都 过 Fn-1的 碟 宽 中 点 ， h1， h2， h3， ， hn-1， hn都 在 一 条 直 线 上 ， h1在 直 线 x=2上 ， h1， h2， h3， ， hn-1， hn都 在 直 线 x=2上 ， Fn的 碟 宽 右 端 点 横 坐 标 为 2+
47、 .另 F 1， F2， ， Fn的 碟 宽 右 端 点 在 一 条 直 线 上 ， 直 线 为 y=-x+5.分 析 如 下 ： 考 虑 Fn-2， Fn-1， Fn情 形 ， 关 系 如 图 2， Fn-2， Fn-1， Fn的 碟 宽 分 别 为 AB， DE， GH； C， F， I分 别 为 其 碟 宽 的 中 点 ， 都 在 直 线 x=2上 ，连 接 右 端 点 ， BE， EH. AB x 轴 ， DE x轴 ， GH x轴 ， AB DE GH， GH 平 行 相 等 于 FE， DE平 行 相 等 于 CB， 四 边 形 GFEH， 四 边 形 DCBE都 为 平 行 四
48、边 形 ， HE GF， EB DC， GFI= GFH= DCE= DCF， GF DC， HE EB， HE， EB 都 过 E点 ， HE， EB在 一 条 直 线 上 ， Fn-2， Fn-1， Fn的 碟 宽 的 右 端 点 是 在 一 条 直 线 ， F 1， F2， ， Fn的 碟 宽 的 右 端 点 是 在 一 条 直 线 . F1： y1= (x-2)2-3 准 碟 形 右 端 点 坐 标 为 (5， 0)，F2： y2= (x-2)2准 碟 形 右 端 点 坐 标 为 (2+ ， )， 待 定 系 数 可 得 过 两 点 的 直 线 为 y=-x+5， F1， F2， ， Fn的 碟 宽 的 右 端 点 是 在 直 线 y=-x+5上 .
