1、2014年 江 苏 省 宿 迁 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 24分 )1.(3分 )-3的 相 反 数 是 ( )A.3B.C.-D.-3解 析 ： -3 的 相 反 数 是 3.答 案 ： A. 2.(3分 )下 列 计 算 正 确 的 是 ( )A.a3+a4=a7B.a3 a4=a7C.a6 a3=a2D.(a3)4=a7解 析 ： A、 a3+a4， 不 是 同 类 项 不 能 相 加 ， 故 A 选 项 错 误 ；B、 a3 a4=a7， 故 B 选 项 正 确 ；C、 a 6 a3=a3， 故 C 选
2、项 错 误 ；D、 (a3)4=a12， 故 D 选 项 错 误 .答 案 ： B.3.(3分 )如 图 ， ABCD中 ， BC=BD， C=74 ， 则 ADB的 度 数 是 ( )A.16B.22 C.32D.68解 析 ： 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， AD BC， C+ ADC=180 ， C=74 ， ADC=106 ， BC=BD， C= BDC=74 ， ADB=106 -74 =32 ，答 案 ： C.4.(3分 )已 知 是 方 程 组 的 解 ， 则 a-b的 值 是 ( )A.-1B.2C.3 D.4解 析 ： 是 方 程 组 的 解 ， ，两 个 方
3、 程 相 减 ， 得 a-b=4，答 案 ： D.5.(3分 )若 一 个 圆 锥 的 主 视 图 是 腰 长 为 5， 底 边 长 为 6 的 等 腰 三 角 形 ， 则 该 圆 锥 的 侧 面 积 是( )A.15B.20C.24D.30解 析 ： 根 据 题 意 得 圆 锥 的 底 面 圆 的 半 径 为 3， 母 线 长 为 5， 所 以 这 个 圆 锥 的 侧 面 积 = 5 2 3=15 .答 案 ： A.6.(3分 )一 只 不 透 明 的 袋 子 中 装 有 两 个 完 全 相 同 的 小 球 ， 上 面 分 别 标 有 1， 2两 个 数 字 ， 若随 机 地 从 中 摸 出
4、 一 个 小 球 ， 记 下 号 码 后 放 回 ， 再 随 机 摸 出 一 个 小 球 ， 则 两 次 摸 出 小 球 的 号 码之 积 为 偶 数 的 概 率 是 ( )A.B.C. D.解 析 ： 列 表 如 下 ：所 有 等 可 能 的 情 况 数 有 4种 ， 两 次 摸 出 小 球 的 号 码 之 积 为 偶 数 的 情 况 有 3 种 ， 则 P= .答 案 ： D.7.(3分 )若 将 抛 物 线 y=x 2向 右 平 移 2 个 单 位 ， 再 向 上 平 移 3 个 单 位 ， 则 所 得 抛 物 线 的 表 达 式为 ( )A.y=(x+2)2+3B.y=(x-2)2+3
5、C.y=(x+2)2-3D.y=(x-2)2-3解 析 ： 将 抛 物 线 y=x2向 右 平 移 2个 单 位 可 得 y=(x-2)2， 再 向 上 平 移 3个 单 位 可 得 y=(x-2)2+3， 答 案 ： B.8.(3分 )如 图 ， 在 直 角 梯 形 ABCD中 ， AD BC， ABC=90 ， AB=8， AD=3， BC=4， 点 P为 AB边 上 一 动 点 ， 若 PAD与 PBC是 相 似 三 角 形 ， 则 满 足 条 件 的 点 P 的 个 数 是 ( )A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 解 析 ： AB BC， B=90 . AD BC， A=180
6、 - B=90 ， PAD= PBC=90 .AB=8， AD=3， BC=4，设 AP 的 长 为 x， 则 BP长 为 8-x.若 AB 边 上 存 在 P 点 ， 使 PAD与 PBC相 似 ， 那 么 分 两 种 情 况 ： 若 APD BPC， 则 AP： BP=AD： BC， 即 x： (8-x)=3： 4， 解 得 x= ； 若 APD BCP， 则 AP： BC=AD： BP， 即 x： 4=3： (8-x)， 解 得 x=2或 x=6. 满 足 条 件 的点 P 的 个 数 是 3个 ，答 案 ： C. 二 、 填 空 题 (本 大 题 共 共 8 小 题 ， 每 小 题 3
7、 分 ， 满 分 24分 )9.(3分 )已 知 实 数 a， b 满 足 ab=3， a-b=2， 则 a2b-ab2的 值 是 .解 析 ： a2b-ab2=ab(a-b)， 将 ab=3， a-b=2， 代 入 得 出 ： 原 式 =ab(a-b)=3 2=6.答 案 ： 6.10.(3分 )不 等 式 组 的 解 集 是 .解 析 ： ，由 得 ， x 1，由 得 ， x 2， 故 此 不 等 式 的 解 集 为 ： 1 x 2. 答 案 ： 1 x 2. 11.(3分 )某 校 规 定 ： 学 生 的 数 学 学 期 综 合 成 绩 是 由 平 时 、 期 中 和 期 末 三 项 成
8、 绩 按 3： 3： 4的 比 例 计 算 所 得 .若 某 同 学 本 学 期 数 学 的 平 时 、 期 中 和 期 末 成 绩 分 别 是 90分 ， 90分 和 85 分 ，则 他 本 学 期 数 学 学 期 综 合 成 绩 是 分 .解 析 ： 本 学 期 数 学 学 期 综 合 成 绩 =90 30%+90 30%+85 40%=88(分 ).答 案 ： 88.12.(3分 )一 块 矩 形 菜 地 的 面 积 是 120m2， 如 果 它 的 长 减 少 2m， 那 么 菜 地 就 变 成 正 方 形 ， 则 原菜 地 的 长 是 m.解 析 ： 长 减 少 2m， 菜 地 就
9、变 成 正 方 形 ， 设 原 菜 地 的 长 为 x米 ， 则 宽 为 (x-2)米 ，根 据 题 意 得 ： x(x-2)=120， 解 得 ： x=12或 x=-10(舍 去 )，答 案 ： 12.13.(3分 )如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 若 菱 形 ABCD的 顶 点 A， B 的 坐 标 分 别 为 (-3， 0)， (2， 0)， 点 D 在 y 轴 上 ， 则 点 C 的 坐 标 是 .解 析 ： 菱 形 ABCD 的 顶 点 A， B 的 坐 标 分 别 为 (-3， 0)， (2， 0)， 点 D 在 y 轴 上 ， AB=5， DO=4， 点
10、 C的 坐 标 是 ： (5， 4).答 案 ： (5， 4).14.(3分 )如 图 ， 正 方 形 ABCD的 边 长 为 2， 点 E 为 边 BC 的 中 点 ， 点 P 在 对 角 线 BD上 移 动 ， 则 PE+PC 的 最 小 值 是 .解 析 ： 如 图 ， 连 接 AE， 点 C关 于 BD 的 对 称 点 为 点 A， PE+PC=PE+AP，根 据 两 点 之 间 线 段 最 短 可 得 AE就 是 AP+PE 的 最 小 值 ， 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 2， E是 BC边 的 中 点 ， BE=1， AE= = ，答 案 ： . 15.(3分 )如 图
11、， 在 Rt ABC中 ， ACB=90 ， AD 平 分 BAC与 BC相 交 于 点 D， 若 AD=4， CD=2，则 AB 的 长 是 .解 析 ： 在 Rt ACD中 ， C=90 ， CD=2， AD=4， CAD=30 ， 由 勾 股 定 理 得 ： AC= =2 ， AD 平 分 BAC， BAC=60 ， B=30 ， AB=2AC=4 ，答 案 ： 4 . 16.(3分 )如 图 ， 一 次 函 数 y=kx-1的 图 象 与 x轴 交 于 点 A， 与 反 比 例 函 数 y= (x 0)的 图 象交 于 点 B， BC 垂 直 x轴 于 点 C.若 ABC的 面 积 为
12、 1， 则 k的 值 是 .解 析 ： 设 B的 坐 标 是 (x， )， 则 BC= ， OC=x， y=kx-1， 当 y=0时 ， x= ， 则 OA= ， AC=x- ， ABC的 面 积 为 1， AC BC=1， (x- ) =1， - =1， kx=3， 解 方 程 组 得 ： =kx-1， =3-2=2， x= ， 即 B 的 坐 标 是 ( ， 2)，把 B 的 坐 标 代 入 y=kx-1 得 ： k=2，答 案 ： 2.点 评 ： 本 题 考 查 了 一 次 函 数 和 反 比 例 函 数 的 交 点 问 题 ， 三 角 形 的 面 积 等 知 识 点 的 应 用 ， 主
13、 三 、 解 答 题 (本 大 题 共 8 小 题 ， 共 52分 )17.(6分 )计 算 ： 2sin30 +|-2|+( -1)0- .解 析 ： 本 题 涉 及 零 指 数 幂 、 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 、 二 次 根 式 化 简 、 绝 对 值 等 四 个 考 点 .针 对每 个 考 点 分 别 进 行 计 算 ， 然 后 根 据 实 数 的 运 算 法 则 求 得 计 算 结 果 .答 案 ： 原 式 =2 +2+1-2=1+2+1-2=2.点 评 ： 本 题 考 查 实 数 的 综 合 运 算 能 力 ， 是 各 地 中 考 题 中 常 见 的 计 算 题 型 .解
14、 决 此 类 题 目 的18.(6分 )解 方 程 ： .解 析 ： 首 先 找 出 最 简 公 分 母 ， 进 而 去 分 母 求 出 方 程 的 根 即 可 .答 案 ： 解 ： 方 程 两 边 同 乘 以 x-2得 ： 1=x-1-3(x-2)整 理 得 出 ： 2x=4，解 得 ： x=2，检 验 ： 当 x=2 时 ， x-2=0， 故 x=2不 是 原 方 程 的 根 ， 故 此 方 程 无 解 .点 评 ： 此 题 主 要 考 查 了 解 分 式 方 程 ， 正 确 去 分 母 得 出 是 解 题 关 键 .19.(6分 )为 了 了 解 某 市 初 三 年 级 学 生 体 育
15、成 绩 (成 绩 均 为 整 数 )， 随 机 抽 取 了 部 分 学 生 的 体育 成 绩 并 分 段 (A： 20.5 22.5； B： 22.5 24.5； C： 24.5 26.5； D： 26.5 28.5； E： 28.530.5)统 计 如 下 体 育 成 绩 统 计 表 根 据 上 面 通 过 的 信 息 ， 回 答 下 列 问 题 ： (1)统 计 表 中 ， a= 0.15 ， b= 60 ， 并 将 统 计 图 补 充 完 整 ；(2)小 明 说 ： “ 这 组 数 据 的 众 数 一 定 在 C 中 .” 你 认 为 小 明 的 说 法 正 确 吗 ？ 错 误 (填 “
16、 正确 ” 或 “ 错 误 ” )；(3)若 成 绩 在 27分 以 上 (含 27分 )定 为 优 秀 ， 则 该 市 今 年 48000 名 初 三 年 级 学 生 中 体 育 成 绩为 优 秀 的 学 生 人 数 约 有 多 少 ？解 析 ： (1)首 先 用 12 0.05即 可 得 到 抽 取 的 部 分 学 生 的 总 人 数 ， 然 后 用 36 除 以 总 人 数 得 到a， 用 总 人 数 乘 以 0.25即 可 求 出 b； 根 据 表 格 的 信 息 就 可 以 补 全 频 数 分 布 直 方 图 ；(2)根 据 众 数 的 定 义 和 表 格 信 息 就 可 以 得 到
17、 这 组 数 据 的 “ 众 数 ” 落 在 哪 一 组 ， 进 而 判 断 小 明的 说 法 是 否 正 确 ；(3)利 用 48000 乘 以 抽 查 的 人 数 中 优 秀 的 学 生 人 数 所 占 的 频 率 即 可 .答 案 ： (1) 抽 取 的 部 分 学 生 的 总 人 数 为 12 0.05=240(人 )， a=36 240=0.15， b=240 0.25=60； 统 计 图 补 充 如 下 ： (2)C组 数 据 范 围 是 24.5 26.5， 由 于 成 绩 均 为 整 数 ， 所 以 C 组 的 成 绩 为 25分 与 26 分 ， 虽然 C 组 人 数 最 多
18、 ， 但 是 25分 与 26分 的 人 数 不 一 定 最 多 ， 所 以 这 组 数 据 的 众 数 不 一 定 在 C中 .故 小 明 的 说 法 错 误 ；(3)48000 (0.25+0.20)=21600(人 ).即 该 市 今 年 48000 名 初 三 年 级 学 生 中 体 育 成 绩 为 优 秀 的 学 生 人 数 约 有 21600人 .故 答 案 为 0.15， 60； 错 误 .点 评 ： 本 题 考 查 读 频 数 分 布 直 方 图 的 能 力 和 利 用 统 计 图 获 取 信 息 的 能 力 ； 利 用 统 计 图 获 取20.(6分 )如 图 是 两 个 全
19、 等 的 含 30 角 的 直 角 三 角 形 . (1)将 其 相 等 边 拼 在 一 起 ， 组 成 一 个 没 有 重 叠 部 分 的 平 面 图 形 ， 请 你 画 出 所 有 不 同 的 拼 接 平面 图 形 的 示 意 图 ；(2)若 将 (1)中 平 面 图 形 分 别 印 制 在 质 地 、 形 状 、 大 小 完 全 相 同 的 卡 片 上 ， 洗 匀 后 从 中 随 机 抽取 一 张 ， 求 抽 取 的 卡 片 上 平 面 图 形 为 轴 对 称 图 形 的 概 率 . 解 析 ： (1)由 于 等 腰 三 角 形 的 两 腰 相 等 ， 且 底 边 的 高 线 即 是 底
20、 边 的 中 线 ， 所 以 把 任 意 相 等 的两 边 重 合 组 成 图 形 即 可 ；(2)利 用 轴 对 称 图 形 的 性 质 得 出 轴 对 称 图 形 ， 进 而 利 用 概 率 公 式 求 出 即 可 .答 案 ： (1)如 图 所 示 ： (2)由 题 意 得 ： 轴 对 称 图 形 有 (2)， (3)， (5)， (6)，故 抽 取 的 卡 片 上 平 面 图 形 为 轴 对 称 图 形 的 概 率 为 ： = .21.(6分 )如 图 ， AB 是 O的 弦 ， OP OA交 AB 于 点 P， 过 点 B的 直 线 交 OP 的 延 长 线 于 点 C，且 CP=C
21、B.(1)求 证 ： BC是 O 的 切 线 ； (2)若 O 的 半 径 为 ， OP=1， 求 BC的 长 .解 析 ： (1)由 垂 直 定 义 得 A+ APO=90 ， 根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 由 CP=CB 得 CBP= CPB，根 据 对 顶 角 相 等 得 CPB= APO， 所 以 APO= CBP， 而 A= OBA， 所 以 OBC= CBP+ OBA= APO+ A=90 ， 然 后 根 据 切 线 的 判 定 定 理 得 到 BC是 O 的 切 线 ；(2)设 BC=x， 则 PC=x， 在 Rt OBC中 ， 根 据 勾 股 定 理 得 到 ( )2
22、+x2=(x+1)2， 然 后 解 方 程 即可 .答 案 ： (1)连 结 OB， 如 图 ， OP OA， AOP=90 ， A+ APO=90 ， CP=CB， CBP= CPB， 而 CPB= APO， APO= CBP， OA=OB， A= OBA， OBC= CBP+ OBA= APO+ A=90 ， OB BC， BC 是 O的 切 线 ； (2)设 BC=x， 则 PC=x， 在 Rt OBC中 ， OB= ， OC=CP+OP=x+1， OB2+BC2=OC2， ( )2+x2=(x+1)2， 解 得 x=2， 即 BC的 长 为 2.22.(6分 )如 图 ， 在 ABC中
23、 ， 点 D， E， F 分 别 是 AB， BC， CA 的 中 点 ， AH是 边 BC上 的 高 .(1)求 证 ： 四 边 形 ADEF是 平 行 四 边 形 ；(2)求 证 ： DHF= DEF. 解 析 ： (1)根 据 三 角 形 的 中 位 线 平 行 于 第 三 边 并 且 等 于 第 三 边 的 一 半 可 得 EF AB， DE AC，再 根 据 平 行 四 边 形 的 定 义 证 明 即 可 ；(2)根 据 平 行 四 边 形 的 对 角 线 相 等 可 得 DEF= BAC， 根 据 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜 边的 一 半 可 得 DH=
24、AD， FH=AF， 再 根 据 等 边 对 等 角 可 得 DAH= DHA， FAH= FHA， 然 后 求 出 DHF= BAC， 等 量 代 换 即 可 得 到 DHF= DEF.答 案 ： (1) 点 D， E， F分 别 是 AB， BC， CA的 中 点 ， DE、 EF都 是 ABC 的 中 位 线 ， EF AB， DE AC， 四 边 形 ADEF是 平 行 四 边 形 ；(2) 四 边 形 ADEF是 平 行 四 边 形 ， DEF= BAC， D， F分 别 是 AB， CA的 中 点 ， AH是 边 BC上 的 高 ， DH=AD， FH=AF， DAH= DHA，
25、FAH= FHA， DAH+ FAH= BAC， DHA+ FHA= DHF， DHF= BAC， DHF= DEF.23.(8分 )如 图 是 某 通 道 的 侧 面 示 意 图 ， 已 知 AB CD EF， AM BC DE， AB=CD=EF， BAM=30 ，AB=6m. (1)求 FM 的 长 ；(2)连 接 AF， 若 sin FAM= ， 求 AM的 长 .解 析 ： (1)分 别 过 点 B、 D、 F 作 BN AM 于 点 N， DG BC延 长 线 于 点 G， FH DE延 长 线 于 点 H，根 据 AB CD EF， AM BC DE， 分 别 解 Rt ABN、
26、 Rt DCG、 Rt FEH， 求 出 BN、 DG、 FH 的长 度 ， 继 而 可 求 出 FM的 长 度 ；(2)在 Rt FAM中 ， 根 据 sin FAM= ， 求 出 AF 的 长 度 ， 然 后 利 用 勾 股 定 理 求 出 AM 的 长 度 .答 案 ： (1)分 别 过 点 B、 D、 F 作 BN AM 于 点 N， DG BC延 长 线 于 点 G， FH DE延 长 线 于 点 H， 在 Rt ABN中 ， AB=6m， BAM=30 ， BN=ABsin BAN=6 =3m， AB CD EF， AM BC DE， 同 理 可 得 ： DG=FH=3m， FM=
27、FH+DG+BN=9m；(2)在 Rt FAM 中 ， FM=9m， sin FAM= ， AF=27m， AM= =18 (m).即 AM 的 长 为 18 m.24.(8分 )如 图 ， 在 直 角 梯 形 ABCD中 ， AB DC， ABC=90 ， AB=8cm.BC=4cm， CD=5cm.动 点P从 点 B开 始 沿 折 线 BC-CD-DA以 1cm/s的 速 度 运 动 到 点 A.设 点 P运 动 的 时 间 为 t(s)， PAB面 积 为 S(cm 2).(1)当 t=2 时 ， 求 S 的 值 ；(2)当 点 P 在 边 DA 上 运 动 时 ， 求 S关 于 t 的
28、 函 数 表 达 式 ；(3)当 S=12时 ， 求 t的 值 .解 析 ： (1)当 t=2时 ， 可 求 出 P 运 动 的 路 程 即 BP的 长 ， 再 根 据 三 角 形 的 面 积 公 式 计 算 即 可 ；(2)当 点 P 在 DA上 运 动 时 ， 过 D 作 DH AB， P M AB， 求 出 P M 的 值 即 为 PAB中 AB 边 上 的 高 ， 再 利 用 三 角 形 的 面 积 公 式 计 算 即 可 ；(3)当 S=12时 ， 则 P 在 BC 或 AD 上 运 动 ， 利 用 (1)和 (2)中 的 面 积 和 高 的 关 系 求 出 此 时 的 t即 可 ，
29、答 案 ： (1) 动 点 P 以 1cm/s 的 速 度 运 动 ， 当 t=2 时 ， BP=2cm， S 的 值 = AB BP= 8 2=8cm2；(2)过 D 作 DH AB， 过 P 作 P M AB， P M DH， AP M ADH， ， AB=8cm， CD=5cm， AH=AB-DC=3cm， BC=4cm， AD= =5cm， 又 A P=14-t， ， P M= ， S= AB P M= ， 即 S 关 于 t 的 函 数 表 达 式 S= ；(3)由 题 意 可 知 当 P 在 CD上 运 动 时 ， S= AB BC= 8 4=16cm2，所 以 当 S=12时 ，
30、 P 在 BC或 AD上 ，当 P 在 BC 上 时 ， 12= 8 t， 解 得 ： t=3；当 P 在 AD 上 时 ， 12= ， 解 得 ： t= . 当 S=12时 ， t 的 值 为 3 或 .四 、 附 加 题 (本 大 题 共 2 小 题 ， 共 20分 ) 25.(10分 )如 图 ， 已 知 BAD 和 BCE均 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， BAD= BCE=90 ， 点 M为 DE的 中 点 ， 过 点 E与 AD平 行 的 直 线 交 射 线 AM于 点 N.(1)当 A， B， C 三 点 在 同 一 直 线 上 时 (如 图 1)， 求 证 ： M 为 AN
31、 的 中 点 ；(2)将 图 1 中 的 BCE绕 点 B 旋 转 ， 当 A， B， E 三 点 在 同 一 直 线 上 时 (如 图 2)， 求 证 ： ACN为 等 腰 直 角 三 角 形 ；(3)将 图 1 中 BCE绕 点 B旋 转 到 图 3 位 置 时 ， (2)中 的 结 论 是 否 仍 成 立 ？ 若 成 立 ， 试 证 明 之 ，若 不 成 立 ， 请 说 明 理 由 . 解 析 ： (1)由 EN AD和 点 M 为 DE 的 中 点 可 以 证 到 ADM NEM， 从 而 证 到 M 为 AN 的 中 点 .(2)易 证 AB=DA=NE， ABC= NEC=135
32、， 从 而 可 以 证 到 ABC NEC， 进 而 可 以 证 到 AC=NC， ACN= BCE=90 ， 则 有 ACN为 等 腰 直 角 三 角 形 .(3)借 鉴 (2)中 的 解 题 经 验 可 得 AB=DA=NE， ABC= NEC=180 - CBN， 从 而 可 以 证 到 ABC NEC， 进 而 可 以 证 到 AC=NC， ACN= BCE=90 ， 则 有 ACN为 等 腰 直 角 三 角 形 .答 案 ： (1)如 图 1， EN AD， MAD= MNE， ADM= NEM. 点 M为 DE的 中 点 ， DM=EM.在 ADM和 NEM中 ， . ADM NE
33、M. AM=MN. M为 AN的 中 点 .(2)如 图 2， BAD和 BCE均 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， AB=AD， CB=CE， CBE= CEB=45 . AD NE， DAE+ NEA=180 . DAE=90 ， NEA=90 . NEC=135 . A， B， E三 点 在 同 一 直 线 上 ， ABC=180 - CBE=135 . ABC= NEC. ADM NEM(已 证 )， AD=NE. AD=AB， AB=NE.在 ABC和 NEC中 ， ABC NEC. AC=NC， ACB= NCE. ACN= BCE=90 . ACN为 等 腰 直 角 三 角 形
34、 .(3) ACN仍 为 等 腰 直 角 三 角 形 .证 明 ： 如 图 3， 此 时 A、 B、 N 三 点 在 同 一 条 直 线 上 . AD EN， DAB=90 ， ENA= DAN=90 . BCE=90 ， CBN+ CEN=360 -90 -90 =180 . A、 B、 N三 点 在 同 一 条 直 线 上 ， ABC+ CBN=180 . ABC= NEC. ADM NEM(已 证 )， AD=NE. AD=AB， AB=NE.在 ABC和 NEC中 ， ABC NEC. AC=NC， ACB= NCE. ACN= BCE=90 . ACN为 等 腰 直 角 三 角 形
35、.26.(10分 )如 图 ， 已 知 抛 物 线 y=ax 2+bx+c(a 0， c 0)交 x 轴 于 点 A， B， 交 y 轴 于 点 C， 设过 点 A， B， C 三 点 的 圆 与 y 轴 的 另 一 个 交 点 为 D. (1)如 图 1， 已 知 点 A， B， C 的 坐 标 分 别 为 (-2， 0)， (8， 0)， (0， -4)； 求 此 抛 物 线 的 表 达 式 与 点 D的 坐 标 ； 若 点 M 为 抛 物 线 上 的 一 动 点 ， 且 位 于 第 四 象 限 ， 求 BDM面 积 的 最 大 值 ；(2)如 图 2， 若 a=1， 求 证 ： 无 论
36、b， c 取 何 值 ， 点 D 均 为 定 点 ， 求 出 该 定 点 坐 标 . 解 析 ： (1) 利 用 待 定 系 数 法 求 抛 物 线 的 解 析 式 ； 利 用 勾 股 定 理 的 逆 定 理 证 明 ACB=90 ，由 圆 周 角 定 理 得 AB 为 圆 的 直 径 ， 再 由 垂 径 定 理 知 点 C、 D关 于 AB 对 称 ， 由 此 得 出 点 D 的 坐标 ； 求 出 BDM面 积 的 表 达 式 ， 再 利 用 二 次 函 数 的 性 质 求 出 最 值 .解 答 中 提 供 了 两 种 解 法 ， 请分 析 研 究 ；(3)根 据 抛 物 线 与 x 轴 的
37、 交 点 坐 标 、 根 与 系 数 的 关 系 、 相 似 三 角 形 求 解 .答 案 ： (1) 抛 物 线 y=ax2+bx+c 过 点 A(-2， 0)， B(8， 0)， C(0， -4)， ， 解 得 ， 抛 物 线 的 解 析 式 为 ： y= x 2- x-4； OA=2， OB=8， OC=4， AB=10.如 答 图 1， 连 接 AC、 BC. 由 勾 股 定 理 得 ： AC= ， BC= . AC2+BC2=AB2=100， ACB=90 ， AB 为 圆 的 直 径 .由 垂 径 定 理 可 知 ， 点 C、 D 关 于 直 径 AB对 称 ， D(0， 4).
38、(2)解 法 一 ：设 直 线 BD 的 解 析 式 为 y=kx+b， B(8， 0)， D(0， 4)， ， 解 得 ， 直 线 BD 解 析 式 为 ： y=- x+4.设 M(x， x2- x-4)， 如 答 图 2-1， 过 点 M作 ME y轴 ， 交 BD于 点 E， 则 E(x， - x+4). ME=(- x+4)-( x2- x-4)=- x2+x+8. S BDM=S MED+S MEB= ME(xE-xD)+ ME(xB-xE)= ME(xB-xD)=4ME， S BDM=4(- x2+x+8)=-x2+4x+32=-(x-2)2+36. 当 x=2时 ， BDM的 面
39、 积 有 最 大 值 为 36；解 法 二 ： 如 答 图 2-2， 过 M 作 MN y 轴 于 点 N. 设 M(m， m2- m-4)， S OBD= OB OD= =16，S 梯 形 OBMN= (MN+OB) ON= (m+8)-( m2- m-4)=- m( m2- m-4)-4( m2- m-4)， S MND= MN DN= m4-( m2- m-4)=2m- m( m2- m-4)， S BDM=S OBD+S 梯 形 OBMN-S MND=16- m( m2- m-4)-4( m2- m-4)-2m+ m( m2- m-4)=16-4( m2- m-4)-2m=-m2+4m+32=-(m-2)2+36； 当 m=2时 ， BDM的 面 积 有 最 大 值 为 36.(3)如 答 图 3， 连 接 AD、 BC. 由 圆 周 角 定 理 得 ： ADO= CBO， DAO= BCO， AOD COB， = ，设 A(x1， 0)， B(x2， 0)， 已 知 抛 物 线 y=x2+bx+c(c 0)， OC=-c， x1x2=c， = ， OD= =1， 无 论 b， c 取 何 值 ， 点 D 均 为 定 点 ， 该 定 点 坐 标 D(0， 1).
