1、2014年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 辽 宁 卷 ） 数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的 .1.已 知 全 集 U=R， A=x|x 0， B=x|x 1， 则 集 合 U(A B)=( )A. x|x 0B. x|x 1C. x|0 x 1D. x|0 x 1解 析 ： A B=x|x 1或 x 0， C U(A B)=x|0 x 1，答 案 ： D.2.设 复 数 z满 足 (z-2i)(2-i)=5，
2、则 z=( )A.2+3iB.2-3iC.3+2iD.3-2i解 析 ： 由 (z-2i)(2-i)=5， 得 ： ， z=2+3i.答 案 ： A. 3.已 知 a= ， b=log2 ， c=log ， 则 ( )A.a b cB.a c bC.c a bD.c b a解 析 ： 0 a= 2 0=1， b=log2 log21=0， c=log =log23 log22=1， c a b.答 案 ： C.4.已 知 m， n 表 示 两 条 不 同 直 线 ， 表 示 平 面 ， 下 列 说 法 正 确 的 是 ( )A.若 m ， n ， 则 m nB.若 m ， n ， 则 m nC
3、.若 m ， m n， 则 n D.若 m ， m n， 则 n 解 析 ： A.若 m ， n ， 则 m， n 相 交 或 平 行 或 异 面 ， 故 A错 ；B.若 m ， n ， 则 m n， 故 B 正 确 ；C.若 m ， m n， 则 n 或 n ， 故 C 错 ； D.若 m ， m n， 则 n 或 n 或 n ， 故 D 错 . 答 案 ： B.5.设 ， ， 是 非 零 向 量 ， 已 知 命 题 p： 若 =0， =0， 则 =0； 命 题 q： 若 ， ， 则 ， 则 下 列 命 题 中 真 命 题 是 ( )A.p qB.p qC.( p) ( q)D.p ( q)
4、解 析 ： 若 =0， =0， 则 = ， 即 ( - ) =0， 则 =0 不 一 定 成 立 ， 故 命题 p 为 假 命 题 ， 若 ， ， 则 平 行 ， 故 命 题 q 为 真 命 题 ，则 p q， 为 真 命 题 ， p q， ( p) ( q)， p ( q)都 为 假 命 题 ，答 案 ： A.6. 6把 椅 子 排 成 一 排 ， 3 人 随 机 就 座 ， 任 何 两 人 不 相 邻 的 坐 法 种 数 为 ( )A.144B.120C.72D.24解 析 ： 3人 全 排 ， 有 =6 种 方 法 ， 形 成 4 个 空 ， 在 前 3 个 或 后 3 个 或 中 间
5、两 个 空 中 插 入 椅子 ， 有 4 种 方 法 ， 根 据 乘 法 原 理 可 得 所 求 坐 法 种 数 为 6 4=24种 . 答 案 ： D.7.某 几 何 体 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 体 积 为 ( ) A.8-2B.8- C.8-D.8-解 析 ： 由 三 视 图 知 ： 几 何 体 是 正 方 体 切 去 两 个 圆 柱 ，正 方 体 的 棱 长 为 2， 切 去 的 圆 柱 的 底 面 半 径 为 1， 高 为 2， 几 何 体 的 体 积 V=2 3-2 12 2=8- .答 案 ： B.8.设 等 差 数 列 an的 公 差 为 d， 若
6、 数 列 为 递 减 数 列 ， 则 ( )A.d 0B.d 0C.a 1d 0D.a1d 0解 析 ： 等 差 数 列 an的 公 差 为 d， an+1-an=d，又 数 列 2 为 递 减 数 列 ， = 1， a1d 0.答 案 ： C.9.将 函 数 y=3sin(2x+ )的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 长 度 ， 所 得 图 象 对 应 的 函 数 ( )A.在 区 间 ， 上 单 调 递 减 B.在 区 间 ， 上 单 调 递 增C.在 区 间 - ， 上 单 调 递 减D.在 区 间 - ， 上 单 调 递 增解 析 ： 把 函 数 y=3sin(2x+ )的 图 象
7、 向 右 平 移 个 单 位 长 度 ，得 到 的 图 象 所 对 应 的 函 数 解 析 式 为 ： y=3sin2(x- )+ .即 y=3sin(2x- ).由 ， 得 .取 k=0， 得 . 所 得 图 象 对 应 的 函 数 在 区 间 ， 上 单 调 递 增 .答 案 ： B. 10.已 知 点 A(-2， 3)在 抛 物 线 C： y2=2px的 准 线 上 ， 过 点 A 的 直 线 与 C 在 第 一 象 限 相 切 于 点B， 记 C 的 焦 点 为 F， 则 直 线 BF的 斜 率 为 ( )A.B.C.D.解 析 ： 点 A(-2， 3)在 抛 物 线 C： y 2=2
8、px的 准 线 上 ，即 准 线 方 程 为 ： x=-2， p 0， =-2即 p=4， 抛 物 线 C： y2=8x， 在 第 一 象 限 的 方 程 为 y=2 ，设 切 点 B(m， n)， 则 n=2 ， 又 导 数 y =2 ， 则 在 切 点 处 的 斜 率 为 ， 即 m =2 m ， 解 得 =2 ( 舍 去 )， 切 点 B(8， 8)， 又 F(2， 0)， 直 线 BF 的 斜 率 为 ，答 案 ： D. 11.当 x -2， 1时 ， 不 等 式 ax3-x2+4x+3 0 恒 成 立 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ( )A.-5， -3B.-6， -
9、C.-6， -2D.-4， -3解 析 ： 当 x=0时 ， 不 等 式 ax3-x2+4x+3 0 对 任 意 a R 恒 成 立 ；当 0 x 1时 ， ax 3-x2+4x+3 0 可 化 为 a ，令 f(x)= ， 则 f (x)= =- (*)，当 0 x 1时 ， f (x) 0， f(x)在 (0， 1上 单 调 递 增 ，f(x) max=f(1)=-6， a -6；当 -2 x 0时 ， ax3-x2+4x+3 0 可 化 为 a ，由 (*)式 可 知 ， 当 -2 x -1 时 ， f (x) 0， f(x)单 调 递 减 ， 当 -1 x 0 时 ， f (x) 0，
10、f(x)单 调 递 增 ， f(x)min=f(-1)=-2， a -2；综 上 所 述 ， 实 数 a 的 取 值 范 围 是 -6 a -2， 即 实 数 a 的 取 值 范 围 是 -6， -2.答 案 ： C. 12.已 知 定 义 在 0， 1上 的 函 数 f(x)满 足 ： f(0)=f(1)=0； 对 所 有 x， y 0， 1， 且 x y， 有 |f(x)-f(y)| |x-y|.若 对 所 有 x， y 0， 1， |f(x)-f(y)| k 恒 成 立 ， 则 k 的 最 小 值 为 ( )A.B.C.D. 解 析 ： 依 题 意 ， 定 义 在 0， 1上 的 函 数
11、 y=f(x)的 斜 率 |k| ，不 妨 令 k 0， 构 造 函 数 f(x)= (0 k )， 满 足 f(0)=f(1)=0， |f(x)-f(y)|x-y|.当 x 0， ， 且 y 0， 时 ， |f(x)-f(y)|=|kx-ky|=k|x-y| k| -0|=k ；当 x 0， ， 且 y ， 1， |f(x)-f(y)|=|kx-(k-ky)|=|k(x+y)-k| |k(1+ )-k|= ；当 y 0， ， 且 y ， 1时 ， 同 理 可 得 ， |f(x)-f(y)| ； 当 x ， 1， 且 y ， 1时 ， |f(x)-f(y)|=|(k-kx)-(k-ky)|=k
12、|x-y| k (1- )= ；综 上 所 述 ， 对 所 有 x， y 0， 1， |f(x)-f(y)| ， 对 所 有 x， y 0， 1， |f(x)-f(y)| k 恒 成 立 ， k ， 即 k 的 最 小 值 为 .答 案 ： B.二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 。 考 生 根 据 要 求 作 答 .13.执 行 如 图 的 程 序 框 图 ， 若 输 入 x=9， 则 输 出 y= . 解 析 ： 由 程 序 框 图 知 ： 第 一 次 循 环 x=9， y= +2=5， |5-9|=4 1；第 二 次 循 环 x=5， y= +2=
13、 ， | -5|= 1；第 三 次 循 环 x= ， y= +2.| +2- |= 1，满 足 条 件 |y-x| 1， 跳 出 循 环 ， 输 出 y= .答 案 ： .14.正 方 形 的 四 个 顶 点 A(-1， -1)， B(1， -1)， C(1， 1)， D(-1， 1)分 别 在 抛 物 线 y=-x 2和 y=x2上 ， 如 图 所 示 ， 若 将 一 个 质 点 随 机 投 入 正 方 形 ABCD 中 ， 则 质 点 落 在 图 中 阴 影 区 域 的 概 率是 .解 析 ： A(-1， -1)， B(1， -1)， C(1， 1)， D(-1， 1)， 正 方 体 的
14、ABCD的 面 积 S=2 2=4， 根 据 积 分 的 几 何 意 义 以 及 抛 物 线 的 对 称 性 可 知 阴 影 部 分 的 面 积S=2 =2 =2(1- )-(-1+ )=2 = ，则 由 几 何 槪 型 的 概 率 公 式 可 得 质 点 落 在 图 中 阴 影 区 域 的 概 率 是 .答 案 ： . 15.已 知 椭 圆 C： + =1， 点 M与 C的 焦 点 不 重 合 ， 若 M 关 于 C的 焦 点 的 对 称 点 分 别 为 A、B， 线 段 MN的 中 点 在 C 上 ， 则 |AN|+|BN|= .解 析 ： 如 图 ： MN的 中 点 为 Q， 易 得 ，
15、 ， Q 在 椭 圆 C 上 ， |QF1|+|QF2|=2a=6， |AN|+|BN|=12.答 案 ： 12.16.对 于 c 0， 当 非 零 实 数 a， b 满 足 4a2-2ab+4b2-c=0且 使 |2a+b|最 大 时 ， - + 的 最 小值 为 .解 析 ： 4a2-2ab+4b2-c=0， =由 柯 西 不 等 式 得 ， =|2a+b| 2故 当 |2a+b|最 大 时 ， 有 ， - + = = = ，当 b= 时 ， 取 得 最 小 值 为 -2.答 案 ： -2 三 、 解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤
16、. 17.(12分 )在 ABC 中 ， 内 角 A、 B、 C的 对 边 分 别 为 a， b， c， 且 a c， 已 知 ， cosB= ，b=3， 求 ：( )a和 c的 值 ；( )cos(B-C)的 值 .解 析 ： ( )利 用 平 面 向 量 的 数 量 积 运 算 法 则 化 简 ， 将 cosB 的 值 代 入 求 出 ac=6，再 利 用 余 弦 定 理 列 出 关 系 式 ， 将 b， cosB以 及 ac的 值 代 入 得 到 a 2+c2=13， 联 立 即 可 求 出 ac的 值 ；( )由 cosB 的 值 ， 利 用 同 角 三 角 函 数 间 基 本 关 系
17、 求 出 sinB 的 值 ， 由 c， b， sinB， 利 用 正弦 定 理 求 出 sinC 的 值 ， 进 而 求 出 cosC的 值 ， 原 式 利 用 两 角 和 与 差 的 余 弦 函 数 公 式 化 简 后 ，将 各 自 的 值 代 入 计 算 即 可 求 出 值 .答 案 ： ( ) ， cosB= ， c acosB=2， 即 ac=6 ， b=3， 由 余 弦 定 理 得 ： b 2=a2+c2-2accosB， 即 9=a2+c2-4， a2+c2=13 ，联 立 得 ： a=3， c=2；( )在 ABC中 ， sinB= = = ，由 正 弦 定 理 = 得 ： s
18、inC= sinB= = ， a=b c， C为 锐 角 ， cosC= = = ，则 cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC= + = . 18.(12分 )一 家 面 包 房 根 据 以 往 某 种 面 包 的 销 售 记 录 ， 绘 制 了 日 销 售 量 的 频 率 分 布 直 方 图 ，如 图 所 示 .将 日 销 售 量 落 入 各 组 的 频 率 视 为 概 率 ， 并 假 设 每 天 的 销 售 量 相 互 独 立 . ( )求 在 未 来 连 续 3天 里 ， 有 连 续 2 天 的 日 销 售 量 都 不 低 于 100 个 且 另 1 天 的 日 销 售 量
19、 低 于50个 的 概 率 ； ( )用 X 表 示 在 未 来 3 天 里 日 销 售 量 不 低 于 100个 的 天 数 ， 求 随 机 变 量 X 的 分 布 列 ， 期 望E(X)及 方 差 D(X).解 析 ： ( )由 频 率 分 布 直 方 图 求 出 事 件 A1， A2的 概 率 ， 利 用 相 互 独 立 事 件 的 概 率 公 式 求 出 事件 “ 在 未 来 连 续 3 天 里 ， 有 连 续 2天 的 日 销 售 量 都 不 低 于 100个 且 另 1天 的 日 销 售 量 低 于50个 ” 的 概 率 ；( )写 出 X 可 取 得 值 ， 利 用 相 互 独
20、立 事 件 的 概 率 公 式 求 出 X 取 每 一 个 值 的 概 率 ； 列 出 分 布 列 .根 据 服 从 二 项 分 布 的 随 机 变 量 的 期 望 与 方 差 公 式 求 出 期 望 E(X)及 方 差 D(X).答 案 ： ( )设 A 1表 示 事 件 “ 日 销 售 量 不 低 于 100个 ” ， A2表 示 事 件 “ 日 销 售 量 低 于 50个 ”B表 示 事 件 “ 在 未 来 连 续 3 天 里 ， 有 连 续 2 天 的 日 销 售 量 都 不 低 于 100个 且 另 1 天 的 日 销 售量 低 于 50 个 ” ，因 此 P(A1)=(0.006+
21、0.004+0.002) 50=0.6，P(A2)=0.003 50=0.15，P(B)=0.6 0.6 0.15 2=0.108，( )X可 能 取 的 值 为 0， 1， 2， 3， 相 应 的 概 率 为 ：， ， ，随 机 变 量 X的 分 布 列 为因 为 X B(3， 0.6)， 所 以 期 望 E(X)=3 0.6=1.8，方 差 D(X)=3 0.6 (1-0.6)=0.72.19.(12分 )如 图 ， ABC和 BCD所 在 平 面 互 相 垂 直 ， 且 AB=BC=BD=2. ABC= DBC=120 ， E、F分 别 为 AC、 DC的 中 点 . ( )求 证 ：
22、EF BC；( )求 二 面 角 E-BF-C的 正 弦 值 . 解 析 ： ( )以 B为 坐 标 原 点 ， 在 平 面 DBC内 过 B作 垂 直 BC的 直 线 为 x 轴 ， BC所 在 直 线 为 y轴 ， 在 平 面 ABC内 过 B 作 垂 直 BC的 直 线 为 z 轴 ， 建 立 如 图 所 示 空 间 直 角 坐 标 系 ， 得 到 E、 F、B、 C 点 的 坐 标 ， 易 求 得 此 =0， 所 以 EF BC；( )设 平 面 BFC的 一 个 法 向 量 =(0， 0， 1)， 平 面 BEF 的 法 向 量 =(x， y， z)， 依 题 意 ，可 求 得 一
23、个 =(1， - ， 1)， 设 二 面 角 E-BF-C的 大 小 为 ， 可 求 得 sin 的 值 .答 案 ： ( )证 由 题 意 ， 以 B 为 坐 标 原 点 ， 在 平 面 DBC内 过 B 作 垂 直 BC的 直 线 为 x 轴 ， BC所在 直 线 为 y轴 ， 在 平 面 ABC内 过 B 作 垂 直 BC 的 直 线 为 z 轴 ， 建 立 如 图 所 示 空 间 直 角 坐 标 系 ，易 得 B(0， 0， 0)， A(0， -1， )， D( ， -1， 0)， C(0， 2， 0)， 因 而 E(0， ， )， F( ， ， 0)， 所 以 =( ， 0， - )
24、， =(0， 2， 0)， 因 此 =0， 所 以 EF BC.( )在 图 中 ， 设 平 面 BFC的 一 个 法 向 量 =(0， 0， 1)， 平 面 BEF 的 法 向 量 =(x， y， z)，又 =( ， ， 0)， =(0， ， )， 由 得 其 中 一 个 =(1， - ， 1)，设 二 面 角 E-BF-C的 大 小 为 ， 由 题 意 知 为 锐 角 ， 则cos =|cos ， |=| |= ，因 此 sin = = ， 即 所 求 二 面 角 正 弦 值 为 .20.(12分 )圆 x 2+y2=4的 切 线 与 x 轴 正 半 轴 ， y轴 正 半 轴 围 成 一
25、个 三 角 形 ， 当 该 三 角 形 面 积 最小 时 ， 切 点 为 P(如 图 )， 双 曲 线 C1： - =1过 点 P 且 离 心 率 为 . ( )求 C1的 方 程 ；( )若 椭 圆 C2过 点 P 且 与 C1有 相 同 的 焦 点 ， 直 线 l 过 C2的 右 焦 点 且 与 C2交 于 A， B 两 点 ， 若以 线 段 AB 为 直 径 的 圆 过 点 P， 求 l的 方 程 .解 析 ： ( )设 切 点 P(x0， y0)， (x0 0， y0 0)， 利 用 相 互 垂 直 的 直 线 斜 率 之 间 的 关 系 可 得 切线 的 斜 率 和 切 线 的 方
26、程 ， 即 可 得 出 三 角 形 的 面 积 ， 利 用 基 本 不 等 式 的 性 质 可 得 点 P 的 坐 标 ，再 利 用 双 曲 线 的 标 准 方 程 及 其 性 质 即 可 得 出 ；( )由 ( )可 得 椭 圆 C 2的 焦 点 .可 设 椭 圆 C2的 方 程 为 (b1 0).把 P的 坐 标 代 入即 可 得 出 方 程 .由 题 意 可 设 直 线 l 的 方 程 为 x=my+ ，A(x1， y1)， B(x2， y2)， 与 椭 圆 的 方 程 联 立 即 可 得 出 根 与 系 数 的 关 系 ， 再 利 用 向 量 垂 直 与 数 量积 的 关 系 即 可
27、得 出 .答 案 ： ( )设 切 点 P(x0， y0)， (x0 0， y0 0)， 则 切 线 的 斜 率 为 ，可 得 切 线 的 方 程 为 ， 化 为 x 0 x+y0y=4.令 x=0， 可 得 ； 令 y=0， 可 得 . 切 线 与 x轴 正 半 轴 ， y轴 正 半 轴 围 成 一 个 三 角 形 的 面 积 S= = . 4= ， 当 且 仅 当 时 取 等 号 . .此 时 P . 由 题 意 可 得 ， ， 解 得 a2=1， b2=2.故 双 曲 线 C1的 方 程 为 .( )由 ( )可 知 双 曲 线 C1的 焦 点 ( ， 0)， 即 为 椭 圆 C2的 焦
28、 点 . 可 设 椭 圆 C2的 方 程 为 (b1 0).把 P 代 入 可 得 ， 解 得 =3， 因 此 椭 圆 C2的 方 程 为 .由 题 意 可 设 直 线 l 的 方 程 为 x=my+ ， A(x1， y1)， B(x2， y2)，联 立 ， 化 为 ， ， . x 1+x2= = ，x1x2= = .， ， ， ， + ， ， 解 得 m= 或 m= ，因 此 直 线 l 的 方 程 为 ： 或 . 21.(12分 )已 知 函 数 f(x)=(cosx-x)( +2x)- (sinx+1)，g(x)=3(x- )cosx-4(1+sinx)ln(3- )， 证 明 ：( )
29、存 在 唯 一 x0 (0， )， 使 f(x0)=0；( )存 在 唯 一 x1 ( ， )， 使 g(x1)=0， 且 对 ( )中 的 x0， 有 x0+x1 .解 析 ： ( )由 x (0， )时 ， f (x) 0， 得 出 f(x)在 (0， )上 为 减 函 数 ， 且 f(0) 0，f( ) 0， 即 可 得 出 结 论 ；( )由 函 数 h(x)= -4ln(3- x)， x ， ， 令 t= -x， t 0， ， 得 u(t)=h( -t)， 求 出 u(t)存 在 唯 一 的 零 点 t1 (0， )， 即 证 g(x)存 在 唯 一 的 零 点 x1 ( ， )，
30、且 满 足 x0+x1 .答 案 ： ( ) 当 x (0， )时 ， f (x)=-(1+sinx)( +2x)-2x- cosx 0， 函 数 f(x)在 (0， )上 为 减 函 数 ，又 f(0)= - 0， f( )=- 2- 0； 存 在 唯 一 的 x0 (0， )， 使 f(x0)=0；( )考 虑 函 数 h(x)= -4ln(3- x)， x ， ，令 t= -x， 则 x ， 时 ， t 0， ，记 u(t)=h( -t)= -4ln(1+ t)， 则 u (t)= ，由 ( )得 ， 当 t (0， x 0)时 ， u (t) 0；在 (0， x0)上 u(x)是 增
31、函 数 ， 又 u(0)=0， 当 t (， x0时 ， u(t) 0， u(t)在 (0， x0上 无 零 点 ；在 (x0， )上 u(t)是 减 函 数 ， 由 u(x0) 0， u( )=-4ln2 0， 存 在 唯 一 的 t1 (x0， )， 使 u(t1)=0； 存 在 唯 一 的 t 1 (0， )， 使 u(t1)=0； 存 在 唯 一 的 x1= -t1 ( ， )， 使 h(x1)=h( -t1)=u(t1)=0； 当 x ( ， )时 ， 1+sinx 0， g(x)=(1+sinx)h(x)与 h(x)有 相 同 的 零 点 ， 存 在 唯 一 的 x1 ( ， )，
32、 使 g(x1)=0， x 1= -t1， t1 x0， x0+x1 .四 、 请 考 生 在 第 22、 23、 24 三 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 ， 作答 时 用 2B铅 笔 在 答 题 卡 上 把 所 选 题 目 对 应 题 号 下 方 的 方 框 涂 黑 .选 修 4-1： 几 何 证 明 选 讲 .22.(10分 )如 图 ， EP 交 圆 于 E， C 两 点 ， PD 切 圆 于 D， G为 CE上 一 点 且 PG=PD， 连 接 DG 并 延长 交 圆 于 点 A， 作 弦 AB 垂 直 EP， 垂 足
33、为 F. ( )求 证 ： AB 为 圆 的 直 径 ；( )若 AC=BD， 求 证 ： AB=ED.解 析 ： ( )证 明 AB 为 圆 的 直 径 ， 只 需 证 明 BDA=90 ； ( )证 明 Rt BDA Rt ACB， 再 证 明 DCE为 直 角 ， 即 可 证 明 AB=ED.答 案 ： ( ) PG=PD， PDG= PGD， PD 为 切 线 ， PDA= DBA， PGD= EGA， DBA= EGA， DBA+ BAD= EGA+ BDA， NDA= PFA， AF EP， PFA=90 . BDA=90 ， AB为 圆 的 直 径 ；( )连 接 BC， DC，
34、 则 AB为 圆 的 直 径 ， BDA= ACB=90 ， 在 Rt BDA与 Rt ACB中 ， AB=BA， AC=BD， Rt BDA Rt ACB， DAB= CBA， DCB= DAB， DCB= CBA， DC AB， AB EP， DC EP， DCE为 直 角 ， ED 为 圆 的 直 径 ， AB 为 圆 的 直 径 ， AB=ED.选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程23.将 圆 x 2+y2=1上 每 一 点 的 横 坐 标 保 持 不 变 ， 纵 坐 标 变 为 原 来 的 2倍 ， 得 曲 线 C.( )写 出 C的 参 数 方 程 ；( )设 直 线
35、l： 2x+y-2=0与 C的 交 点 为 P1， P2， 以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立极 坐 标 系 ， 求 过 线 段 P1P2的 中 点 且 与 l垂 直 的 直 线 的 极 坐 标 方 程 .解 析 ： ( )在 曲 线 C 上 任 意 取 一 点 (x， y)， 再 根 据 点 (x， )在 圆 x2+y2=1上 ， 求 出 C 的 方 程 ，化 为 参 数 方 程 .( )解 方 程 组 求 得 P 1、 P2的 坐 标 ， 可 得 线 段 P1P2的 中 点 坐 标 .再 根 据 与 l 垂 直 的 直 线 的 斜 率为 ， 用 点
36、斜 式 求 得 所 求 的 直 线 的 方 程 ， 再 根 据 x= cos 、 y= sin 可 得 所 求 的 直 线 的极 坐 标 方 程 .答 案 ： ( )在 曲 线 C上 任 意 取 一 点 (x， y)， 由 题 意 可 得 点 (x， )在 圆 x2+y2=1上 ， x 2+ =1， 即 曲 线 C的 方 程 为 x2+ =1， 化 为 参 数 方 程 为 (0 2 ， 为 参 数 ).( )由 ， 可 得 ， ， 不 妨 设 P1(1， 0)、 P2(0， 2)，则 线 段 P 1P2的 中 点 坐 标 为 ( ， 1)， 再 根 据 与 l垂 直 的 直 线 的 斜 率 为
37、 ， 故 所 求 的 直 线 的 方 程 为 y-1= (x- )， 即 x-2y+ =0.再 根 据 x= cos 、 y= sin 可 得 所 求 的 直 线 的 极 坐 标 方 程 为 cos -2 sin + =0，即 = .不 等 式 选 讲24.设 函 数 f(x)=2|x-1|+x-1， g(x)=16x 2-8x+1.记 f(x) 1 的 解 集 为 M， g(x) 4的 解 集 为N.( )求 M；( )当 x M N时 ， 证 明 ： x2f(x)+xf(x)2 .解 析 ： ( )由 所 给 的 不 等 式 可 得 ， 或 ， 分 别 求 得 、 的解 集 ， 再 取 并
38、 集 ， 即 得 所 求 .( )由 g(x) 4， 求 得 N， 可 得 M N=0， .当 x M N时 ， f(x)=1-x， 不 等 式 的 左 边 化为 - ， 显 然 它 小 于 或 等 于 ， 要 证 的 不 等 式 得 证 . 答 案 ： ( )由 f(x)=2|x-1|+x-1 1 可 得 ， 或 .解 求 得 1 x ， 解 求 得 0 x 1.综 上 ， 原 不 等 式 的 解 集 为 0， .( )由 g(x)=16x 2-8x+1 4， 求 得 - x ， N=- ， ， M N=0， . 当 x M N 时 ， f(x)=1-x， x2f(x)+xf(x)2 =xf(x)x+f(x)= - ，故 要 证 的 不 等 式 成 立 .
