1、2014 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 江 苏 卷 ） 数 学一 、 填 空 题 (本 大 题 共 14小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 计 70 分 )1.已 知 集 合 A=-2， -1， 3， 4， B=-1， 2， 3， 则 A B= .解 析 ： A=-2， -1， 3， 4， B=-1， 2， 3， A B=-1， 3，答 案 ： -1， 32.已 知 复 数 z=(5-2i) 2(i为 虚 数 单 位 )， 则 z的 实 部 为 .解 析 ： z=(5-2i)2=25-10i-4=21-10i， 故 z 的 实 部 为 21，答 案 ： 2
2、13.如 图 是 一 个 算 法 流 程 图 ， 则 输 出 的 n的 值 是 . 解 析 ： 由 程 序 框 图 知 ： 算 法 的 功 能 是 求 满 足 2n 20 的 最 小 的 正 整 数 n 的 值 ， 24=16 20， 25=32 20， 输 出 n=5.答 案 ： 5.4.从 1， 2， 3， 6 这 4 个 数 中 一 次 随 机 抽 取 2 个 数 ， 则 所 取 2 个 数 的 乘 积 为 6 的 概 率 是 .解 析 ： 从 1， 2， 3， 6 这 4 个 数 中 一 次 随 机 抽 取 2 个 数 的 所 有 基 本 事 件 有 (1， 2)， (1， 3)，(1
3、， 6)， (2， 3)， (2， 6)， (3， 6)共 6个 ，所 取 2个 数 的 乘 积 为 6 的 基 本 事 件 有 (1， 6)， (2， 3)共 2个 ， 故 所 求 概 率 P= .答 案 ： . 5.已 知 函 数 y=cosx 与 y=sin(2x+ )(0 )， 它 们 的 图 象 有 一 个 横 坐 标 为 的 交 点 ，则 的 值 是 .解 析 ： 函 数 y=cosx与 y=sin(2x+ )， 它 们 的 图 象 有 一 个 横 坐 标 为 的 交 点 ， = . 0 ， ， + = ， 解 得 = .答 案 ： .6.为 了 了 解 一 片 经 济 林 的 生
4、 长 情 况 ， 随 机 抽 测 了 其 中 60 株 树 木 的 底 部 周 长 (单 位 ： cm)， 所得 数 据 均 在 区 间 80， 130上 ， 其 频 率 分 布 直 方 图 如 图 所 示 ， 则 在 抽 测 的 60株 树 木 中 ， 有 24株 树 木 的 底 部 周 长 小 于 100cm. 解 析 ： 由 频 率 分 布 直 方 图 知 ： 底 部 周 长 小 于 100cm 的 频 率 为 (0.015+0.025) 10=0.4， 底 部 周 长 小 于 100cm 的 频 数 为 60 0.4=24(株 ).答 案 ： 24.7.在 各 项 均 为 正 数 的
5、等 比 数 列 an中 ， 若 a2=1， a8=a6+2a4， 则 a6的 值 是 .解 析 ： 设 等 比 数 列 an的 公 比 为 q 0， a1 0. a 8=a6+2a4， ， 化 为 q4-q2-2=0， 解 得q2=2. a6= = =1 22=4.答 案 ： 4.8.设 甲 、 乙 两 个 圆 柱 的 底 面 积 分 别 为 S 1， S2， 体 积 分 别 为 V1， V2， 若 它 们 的 侧 面 积 相 等 ， 且 = ，则 的 值 是 .解 析 ： 设 两 个 圆 柱 的 底 面 半 径 分 别 为 R， r； 高 分 别 为 H， h； = ， ， 它 们 的 侧
6、面 积 相 等 ， ， = = = . 答 案 ： .9.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 直 线 x+2y-3=0被 圆 (x-2)2+(y+1)2=4截 得 的 弦 长 为 .解 析 ： 圆 (x-2)2+(y+1)2=4的 圆 心 为 C(2， -1)， 半 径 r=2， 点 C到 直 线 直 线 x+2y-3=0 的 距 离 d= = ， 根 据 垂 径 定 理 ， 得 直 线 x+2y-3=0被 圆 (x-2) 2+(y+1)2=4截 得 的 弦 长 为2 =2 =答 案 ： .10.已 知 函 数 f(x)=x2+mx-1， 若 对 于 任 意 x m， m+1， 都
7、有 f(x) 0 成 立 ， 则 实 数 m的 取值 范 围 是 .解 析 ： 二 次 函 数 f(x)=x 2+mx-1 的 图 象 开 口 向 上 ， 对 称 轴 为 x=- ，对 于 任 意 x m， m+1， 都 有 f(x) 0 成 立 ， ，即 ， 解 得 - m 0，答 案 ： (- ， 0).11.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 若 曲 线 y=ax 2+ (a， b为 常 数 )过 点 P(2， -5)， 且 该 曲 线 在 点P处 的 切 线 与 直 线 7x+2y+3=0平 行 ， 则 a+b的 值 是 .解 析 ： 直 线 7x+2y+3=0的 斜 率 k
8、= ，曲 线 y=ax2+ (a， b 为 常 数 )过 点 P(2， -5)， 且 该 曲 线 在 点 P 处 的 切 线 与 直 线 7x+2y+3=0 平行 ， y =2ax- ， ， 解 得 ： ， 故 a+b=-3，答 案 ： -3 12.如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ， 已 知 AB=8， AD=5， =3 ， =2， 则 的值 是 . 解 析 ： =3 ， = + ， = - ，又 AB=8， AD=5， =( + ) ( - )=| |2- - | |2=25- -12=2，故 =22，答 案 ： 22.13.已 知 f(x)是 定 义 在 R上 且 周 期
9、为 3的 函 数 ， 当 x 0， 3)时 ， f(x)=|x 2-2x+ |， 若 函 数y=f(x)-a在 区 间 -3， 4上 有 10 个 零 点 (互 不 相 同 )， 则 实 数 a的 取 值 范 围 是 .解 析 ： f(x)是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 3 的 函 数 ， 当 x 0， 3)时 ， f(x)=|x2-2x+ |， 若 函 数y=f(x)-a在 区 间 -3， 4上 有 10 个 零 点 (互 不 相 同 )， 在 同 一 坐 标 系 中 画 出 函 数 f(x)与 y=a的 图 象 如 图 ： 由 图 象 可 知 .答 案 ： (0， ).14.若 A
10、BC的 内 角 满 足 sinA+ sinB=2sinC， 则 cosC的 最 小 值 是 .解 析 ： 由 整 形 定 理 得 a+ b=2c， cosC= = = = ，当 且 仅 当 时 ， 取 等 号 ，答 案 ： .二 、 解 答 题 (本 大 题 共 6 小 题 ， 共 计 90分 )15.(14分 )已 知 ( ， )， sin = . (1)求 sin( + )的 值 ；(2)求 cos( -2 )的 值 .解 析 ： (1)通 过 已 知 条 件 求 出 cos ， 然 后 利 用 两 角 和 的 正 弦 函 数 求 sin( + )的 值 ；(2)求 出 cos2 ， 然
11、后 利 用 两 角 差 的 余 弦 函 数 求 cos( -2 )的 值 .答 案 ： ( ， )， sin = . cos =- =(1)sin( + )=sin cos +cos sin = =- ； sin( + )的 值 为 ： - . (2) ( ， )， sin = . cos2 =1-2sin2 = ， sin2 =2sin cos =- cos( -2 )=cos cos2 +sin sin2 = =- .cos( -2 )的 值 为 ： - .16.(14分 )如 图 ， 在 三 棱 锥 P-ABC 中 ， D， E， F 分 别 为 棱 PC， AC， AB 的 中 点 ，
12、 已 知 PA AC，PA=6， BC=8， DF=5.求 证 ： (1)直 线 PA 平 面 DEF；(2)平 面 BDE 平 面 ABC.解 析 ： (1)由 D、 E 为 PC、 AC 的 中 点 ， 得 出 DE PA， 从 而 得 出 PA 平 面 DEF；(2)要 证 平 面 BDE 平 面 ABC， 只 需 证 DE 平 面 ABC， 即 证 DE EF， 且 DE AC即 可 .答 案 ： (1) D、 E 为 PC、 AC 的 中 点 ， DE PA，又 PA平 面 DEF， DE平 面 DEF， PA 平 面 DEF；(2) D、 E为 PC、 AC的 中 点 ， DE=
13、PA=3；又 E、 F 为 AC、 AB的 中 点 ， EF= BC=4； DE 2+EF2=DF2， DEF=90 ， DE EF； DE PA， PA AC， DE AC； AC EF=E， DE 平 面 ABC； DE平 面 BDE， 平 面 BDE 平 面 ABC.17.(14分 )如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， F 1， F2分 别 为 椭 圆 + =1(a b 0)的 左 、右 焦 点 ， 顶 点 B的 坐 标 为 (0， b)， 连 接 BF2并 延 长 交 椭 圆 于 点 A， 过 点 A作 x轴 的 垂 线 交 椭圆 于 另 一 点 C， 连 接 F
14、1C. (1)若 点 C 的 坐 标 为 ( ， )， 且 BF2= ， 求 椭 圆 的 方 程 ；(2)若 F1C AB， 求 椭 圆 离 心 率 e 的 值 .解 析 ： (1)根 据 椭 圆 的 定 义 ， 建 立 方 程 关 系 即 可 求 出 a， b的 值 . (2)求 出 C 的 坐 标 ， 利 用 F1C AB建 立 斜 率 之 间 的 关 系 ， 解 方 程 即 可 可 求 出 e 的 值 .答 案 ： (1) C 的 坐 标 为 ( ， )， ， 即 ， ， a2=( )2=2， 即 b2=1， 则 椭 圆 的 方 程 为 +y2=1.(2)设 F1(-c， 0)， F2(
15、c， 0)， B(0， b)， 直 线 BF 2： y=- x+b， 代 入 椭 圆 方 程 + =1(a 得 ( )x2- =0，解 得 x=0， 或 x= ， A( ， b- )， 且 A， C关 于 x 轴 对 称 ， C( ， -b)，则 = ， F1C AB， ( )=-1， 由 b2=a2-c2得 ， 即 e= .18.(16分 )如 图 ， 为 保 护 河 上 古 桥 OA， 规 划 建 一 座 新 桥 BC， 同 时 设 立 一 个 圆 形 保 护 区 ， 规划 要 求 ： 新 桥 BC与 河 岸 AB 垂 直 ； 保 护 区 的 边 界 为 圆 心 M 在 线 段 OA 上
16、并 与 BC 相 切 的 圆 ， 且古 桥 两 端 O和 A到 该 圆 上 任 意 一 点 的 距 离 均 不 少 于 80m， 经 测 量 ， 点 A位 于 点 O正 北 方 向 60m处 ， 点 C 位 于 点 O 正 东 方 向 170m 处 (OC为 河 岸 )， tan BCO= . (1)求 新 桥 BC 的 长 ；(2)当 OM 多 长 时 ， 圆 形 保 护 区 的 面 积 最 大 ？ 解 析 ： (1)在 四 边 形 AOCB中 ， 过 B作 BE OC于 E， 过 A作 AF BE于 F， 设 出 AF， 然 后 通 过解 直 角 三 角 形 列 式 求 解 BE， 进 一
17、 步 得 到 CE， 然 后 由 勾 股 定 理 得 答 案 ；(2)设 BC 与 M切 于 Q， 延 长 QM、 CO 交 于 P， 设 OM=xm， 把 PC、 PQ 用 含 有 x 的 代 数 式 表 示 ，再 结 合 古 桥 两 端 O 和 A 到 该 圆 上 任 意 一 点 的 距 离 均 不 少 于 80m列 式 求 得 x 的 范 围 ， 得 到 x取 最 小 值 时 圆 的 半 径 最 大 ， 即 圆 形 保 护 区 的 面 积 最 大 .答 案 ： (1)如 图 ， 过 B 作 BE OC 于 E， 过 A作 AF BE于 F， ABC=90 ， BEC=90 ， ABF=
18、BCE， .设 AF=4x(m)， 则 BF=3x(m). AOE= AFE= OEF=90 ， OE=AF=4x(m)， EF=AO=60(m)， BE=(3x+60)m. ， CE= (m). (m). ， 解 得 ： x=20. BE=120m， CE=90m， 则 BC=150m；(2)如 图 ， 设 BC 与 M切 于 Q， 延 长 QM、 CO 交 于 P， POM= PQC=90 ， PMO= BCO.设 OM=xm， 则 OP= m， PM= m. PC= m， PQ= m.设 M半 径 为 R， R=MQ= m= m. A、 O到 M 上 任 一 点 距 离 不 少 于 80
19、m，则 R-AM 80， R-OM 80， 136- -(60-x) 80， 136- -x 80.解 得 ： 10 x 35. 当 且 仅 当 x=10时 R 取 到 最 大 值 . OM=10m时 ， 保 护 区 面 积 最 大 .19.(16分 )已 知 函 数 f(x)=e x+e-x， 其 中 e 是 自 然 对 数 的 底 数 . (1)证 明 ： f(x)是 R 上 的 偶 函 数 ；(2)若 关 于 x 的 不 等 式 mf(x) e-x+m-1 在 (0， + )上 恒 成 立 ， 求 实 数 m 的 取 值 范 围 ；(3)已 知 正 数 a 满 足 ： 存 在 x0 1，
20、 + )， 使 得 f(x0) a(-x03+3x0)成 立 ， 试 比 较 ea-1与 ae-1的 大 小 ， 并 证 明 你 的 结 论 .解 析 ： (1)根 据 函 数 奇 偶 性 的 定 义 即 可 证 明 f(x)是 R上 的 偶 函 数 ；(2)利 用 参 数 分 离 法 ， 将 不 等 式 mf(x) e-x+m-1 在 (0， + )上 恒 成 立 ， 进 行 转 化 求 最 值 问 题即 可 求 实 数 m 的 取 值 范 围 ；(3)构 u 造 函 数 ， 利 用 函 数 的 单 调 性 ， 最 值 与 单 调 性 之 间 的 关 系 ， 分 别 进 行 讨 论 即 可
21、得 到 结论 .答 案 ： (1) f(x)=e x+e-x， f(-x)=e-x+ex=f(x)， 即 函 数 ： f(x)是 R上 的 偶 函 数 ；(2)若 关 于 x 的 不 等 式 mf(x) e-x+m-1 在 (0， + )上 恒 成 立 ，即 m(ex+e-x-1) e-x-1， x 0， ex+e-x-1 0， 即 m 在 (0， + )上 恒 成 立 ，设 t=e x， (t 1)， 则 m 在 (1， + )上 恒 成 立 ， =- =- ， 当 且 仅 当 t=2时 等 号成 立 ， m .(3)f (x)=e x-e-x， 当 x 1 时 ， f (x) 0， 此 时
22、 函 数 单 调 递 增 ，令 h(x)=a(- +3x0)， 则 h (x)=-3ax0(x0-1)， a 0， x 1， h (x)=-3ax0(x0-1) 0， 即 函 数 h(x)在 (1， + )上 单 调 递 减 ， 存 在 x0 1， + )， 使 得 f(x0) a(-x03+3x0)成 立 ， f(1)=e+ 2a， 即 a (e+ )， ln =lna e-1-lnea-1=(e-1)lna-a+1， 设 m(a)=(e-1)lna-a+1，则 m (a)= ， a (e+ )，当 (e+ ) a e-1时 ， m (a) 0， m(a)单 调 递 增 ，当 a e-1 时
23、 ， m (a) 0， m(a)单 调 递 减 ，因 此 m(a)至 多 有 两 个 零 点 ， 而 m(1)=m(e)=0， 当 a e 时 ， m(a) 0，当 (e+ ) a e-1时 ， m(a) 0， 当 a=e， m(a)=0， m(a) 0， 等 价 为 a e-1 ea-1， m(a) 0等 价 为 ae-1 ea-1， m(a)=0 等 价 为 ae-1=ea-1， 当 (e+ ) a e时 ， ae-1 ea-1， 当 a=e时 ， ae-1=ea-1，当 a e 时 ， ae-1 ea-1.20.(16分 )设 数 列 an的 前 n 项 和 为 Sn， 若 对 任 意
24、的 正 整 数 n， 总 存 在 正 整 数 m， 使 得 Sn=am，则 称 an是 “ H 数 列 ” .(1)若 数 列 an的 前 n项 和 为 Sn=2n(n N*)， 证 明 ： an是 “ H 数 列 ” ；(2)设 an是 等 差 数 列 ， 其 首 项 a1=1， 公 差 d 0， 若 an是 “ H数 列 ” ， 求 d的 值 ；(3)证 明 ： 对 任 意 的 等 差 数 列 a n， 总 存 在 两 个 “ H 数 列 ” bn和 cn， 使 得 an=bn+cn(n N*)成 立 .解 析 ： (1)利 用 “ 当 n 2时 ， an=Sn-Sn-1， 当 n=1时
25、， a1=S1” 即 可 得 到 an， 再 利 用 “ H” 数 列的 意 义 即 可 得 出 .(2)利 用 等 差 数 列 的 前 n 项 和 即 可 得 出 Sn， 对 n N*， m N*使 Sn=am， 取 n=2和 根 据 d 0即 可 得 出 ；(3)设 an的 公 差 为 d， 构 造 数 列 ： bn=a1-(n-1)a1=(2-n)a1， cn=(n-1)(a1+d)， 可 证 明 bn和 cn是 等 差 数 列 .再 利 用 等 差 数 列 的 前 n 项 和 公 式 及 其 通 项 公 式 、 “ H” 的 意 义 即 可 得 出 .答 案 ： (1)当 n 2 时
26、， a n=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1，当 n=1时 ， a1=S1=2.当 n=1时 ， S1=a1.当 n 2 时 ， Sn=an+1. 数 列 an是 “ H” 数 列 .(2)Sn= = ，对 n N*， m N*使 S n=am， 即 ，取 n=2时 ， 得 1+d=(m-1)d， 解 得 ， d 0， m 2， 又 m N*， m=1， d=-1.(3)设 an的 公 差 为 d， 令 bn=a1-(n-1)a1=(2-n)a1，对 n N*， bn+1-bn=-a1，c n=(n-1)(a1+d)，对 n N*， cn+1-cn=a1+d，则 bn+cn=a1+(n
27、-1)d=an， 且 数 列 bn和 cn是 等 差 数 列 .数 列 bn的 前 n项 和 Tn= ，令 Tn=(2-m)a1， 则 .当 n=1时 ， m=1； 当 n=2 时 ， m=1.当 n 3 时 ， 由 于 n 与 n-3的 奇 偶 性 不 同 ， 即 n(n-3)为 非 负 偶 数 ， m N *.因 此 对 n N*， 都 可 找 到 m N*， 使 Tn=bm成 立 ， 即 bn为 H数 列 .数 列 cn的 前 n项 和 Rn= ，令 cm=(m-1)(a1+d)=Rn， 则 m= . 对 n N*， n(n-3)为 非 负 偶 数 ， m N*.因 此 对 n N *，
28、 都 可 找 到 m N*， 使 Rn=cm成 立 ， 即 cn为 H数 列 .因 此 命 题 得 证 . 三 、 附 加 题 （ 本 大 题 包 括 选 做 题 和 必 做 题 两 部 分 ）(一 )选 择 题 （ 本 题 包 括 21、 22、 23、 24四 小 题 ， 请 选 定 其 中 两 个 小 题 作 答 ， 若 多 做 ， 则 按作 答 的 前 两 个 小 题 评 分 ）【 选 修 4-1： 几 何 证 明 选 讲 】21.(10分 )如 图 ， AB是 圆 O的 直 径 ， C， D是 圆 O 上 位 于 AB异 侧 的 两 点 ， 证 明 ： OCB= D.解 析 ： 利
29、用 OC=OB， 可 得 OCB= B， 利 用 同 弧 所 对 的 圆 周 角 相 等 ， 即 可 得 出 结 论 . 答 案 ： OC=OB， OCB= B， B= D， OCB= D.【 选 修 4-2： 矩 阵 与 变 换 】22.(10分 )已 知 矩 阵 A= ， B= ， 向 量 = ， x， y 为 实 数 ， 若 A =B ，求 x， y 的 值 .解 析 ： 利 用 矩 阵 的 乘 法 ， 结 合 A =B ， 可 得 方 程 组 ， 即 可 求 x， y 的 值 .答 案 ： 矩 阵 A= ， B= ， 向 量 = ， A =B ， ， x=- ， y=4.【 选 修 4
30、-3： 极 坐 标 及 参 数 方 程 】23.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 已 知 直 线 l 的 参 数 方 程 为 (t为 参 数 )， 直 线 l与 抛 物 线 y 2=4x相 交 于 A， B 两 点 ， 求 线 段 AB的 长 .解 析 ： 直 线 l 的 参 数 方 程 化 为 普 通 方 程 ， 与 抛 物 线 y2=4x联 立 ， 求 出 A， B的 坐 标 ， 即 可 求线 段 AB 的 长 .答 案 ： 直 线 l 的 参 数 方 程 为 ， 化 为 普 通 方 程 为 x+y=3，与 抛 物 线 y 2=4x联 立 ， 可 得 x2-10 x+9=0，
31、交 点 A(1， 2)， B(9， -6)， |AB|= =8 .【 选 修 4-4： 不 等 式 选 讲 】24.已 知 x 0， y 0， 证 明 (1+x+y2)(1+x2+y) 9xy.解 析 ： 由 均 值 不 等 式 可 得 1+x+y2 3 ， 1+x2+y ， 两 式 相 乘 可 得 结 论 .答 案 ： 由 均 值 不 等 式 可 得 1+x+y 2 3 ， 1+x2+y分 别 当 且 仅 当 x=y2=1， x2=y=1时 等 号 成 立 ， 两 式 相 乘 可 得 (1+x+y2)(1+x2+y) 9xy.(二 )必 做 题 （ 本 部 分 包 括 25、 26两 题 ，
32、 每 题 10分 ， 共 计 20 分 ）25.(10分 )盒 中 共 有 9 个 球 ， 其 中 有 4个 红 球 ， 3 个 黄 球 和 2 个 绿 球 ， 这 些 球 除 颜 色 外 完 全相 同 .(1)从 盒 中 一 次 随 机 取 出 2 个 球 ， 求 取 出 的 2 个 球 颜 色 相 同 的 概 率 P；(2)从 盒 中 一 次 随 机 取 出 4 个 球 ， 其 中 红 球 、 黄 球 、 绿 球 的 个 数 分 别 记 为 x 1， x2， x3， 随 机 变量 X 表 示 x1， x2， x3中 的 最 大 数 ， 求 X 的 概 率 分 布 和 数 学 期 望 E(X
33、).解 析 ： (1)先 求 出 取 2 个 球 的 所 有 可 能 ， 再 求 出 颜 色 相 同 的 所 有 可 能 ， 最 后 利 用 概 率 公 式 计算 即 可 ；(2)先 判 断 X 的 所 有 可 能 值 ， 在 分 别 求 出 所 有 可 能 值 的 概 率 ， 列 出 分 布 列 ， 根 据 数 学 期 望 公式 计 算 即 可 .答 案 ： (1)一 次 取 2 个 球 共 有 =36种 可 能 ， 2个 球 颜 色 相 同 共 有 =10 种 可 能 情况 取 出 的 2 个 球 颜 色 相 同 的 概 率 P= .(2)X的 所 有 可 能 值 为 4， 3， 2， 则
34、 P(X=4)= ， P(X=3)= ， 于 是 P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)= ， X 的 概 率 分 布 列 为故 X 数 学 期 望 E(X)= .26.(10分 )已 知 函 数 f 0(x)= (x 0)， 设 fn(x)为 fn-1(x)的 导 数 ， n N*.(1)求 2f1( )+ f2( )的 值 ； (2)证 明 ： 对 任 意 n N*， 等 式 |nfn-1( )+ fn( )|= 都 成 立 .解 析 ： (1)由 于 求 两 个 函 数 的 相 除 的 导 数 比 较 麻 烦 ， 根 据 条 件 和 结 论 先 将 原 函 数 化 为 ：xf0(x
35、)=sinx， 然 后 两 边 求 导 后 根 据 条 件 两 边 再 求 导 得 ： 2f1(x)+xf2(x)=-sinx， 把 x= 代 入式 子 求 值 ；(2)由 (1)得 ， f0(x)+xf1(x)=cosx和 2f1(x)+xf2(x)=-sinx， 利 用 相 同 的 方 法 再 对 所 得 的 式 子两 边 再 求 导 ， 并 利 用 诱 导 公 式 对 所 得 式 子 进 行 化 简 、 归 纳 ， 再 进 行 猜 想 得 到 等 式 ， 用 数 学 归纳 法 进 行 证 明 等 式 成 立 ， 主 要 利 用 假 设 的 条 件 、 诱 导 公 式 、 求 导 公 式
36、以 及 题 意 进 行 证 明 ， 最后 再 把 x= 代 入 所 给 的 式 子 求 解 验 证 .答 案 ： (1) f 0(x)= ， xf0(x)=sinx， 则 两 边 求 导 ， xf0(x) =(sinx) ， fn(x)为 fn-1(x)的 导 数 ， n N*， f0(x)+xf1(x)=cosx，两 边 再 同 时 求 导 得 ， 2f1(x)+xf2(x)=-sinx，将 x= 代 入 上 式 得 ， 2f1( )+ f2( )=-1，(2)由 (1)得 ， f0(x)+xf1(x)=cosx=sin(x+ )，恒 成 立 两 边 再 同 时 求 导 得 ， 2f 1(x
37、)+xf2(x)=-sinx=sin(x+ )，再 对 上 式 两 边 同 时 求 导 得 ， 3f2(x)+xf3(x)=-cosx=sin(x+ )，同 理 可 得 ， 两 边 再 同 时 求 导 得 ， 4f3(x)+xf4(x)=sinx=sin(x+2 )，猜 想 得 ， nfn-1(x)+xfn(x)=sin(x+ )对 任 意 n N*恒 成 立 ，下 面 用 数 学 归 纳 法 进 行 证 明 等 式 成 立 ： 当 n=1时 ， 成 立 ， 则 上 式 成 立 ； 假 设 n=k(k 1 且 k N *)时 等 式 成 立 ， 即 ， kfk-1(x)+xfk(x) =kfk-1 (x)+fk(x)+xfk (x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x)又= = = ， 那 么 n=k(k 1 且 k N *)时 .等 式 也 成 立 ，由 得 ， nfn-1(x)+xfn(x)=sin(x+ )对 任 意 n N*恒 成 立 ，令 x= 代 入 上 式 得 ， nfn-1( )+ fn( )=sin( + )= cos = ，所 以 ， 对 任 意 n N *， 等 式 |nfn-1( )+ fn( )|= 都 成 立 .
