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    2014年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)数学理及答案解析.docx

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    2014年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)数学理及答案解析.docx

    1、2014年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 ( 江 西 卷 ) 数 学 理一 、 选 择 题 : 本 大 题 共 10小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 50分 , 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 , 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的1. 是 z的 共 轭 复 数 , 若 z+ =2, (z- )i=2(i 为 虚 数 单 位 ), 则 z=( )A. 1+iB. -1-iC. -1+iD. 1-i解 析 : 由 于 , (z- )i=2, 可 得 z- =-2i ,又 z+ =2 , 由 解 得 z=1-i 答 案 : D.2.函 数 f(

    2、x)=ln(x2-x)的 定 义 域 为 ( )A. (0, 1)B. 0, 1C. (- , 0) (1, + )D. (- , 0 1, + )解 析 : 要 使 函 数 有 意 义 , 则 x 2-x 0, 即 x 1 或 x 0, 故 函 数 的 定 义 域 为 (- , 0) (1,+ ),答 案 : C3.已 知 函 数 f(x)=5|x|, g(x)=ax2-x(a R), 若 fg(1)=1, 则 a=( )A.1B.2C.3D.-1解 析 : g(1)=a-1, 若 fg(1)=1, 则 f(a-1)=1, 即 5 |a-1|=1, 则 |a-1|=0, 解 得 a=1,答

    3、案 : A.4.在 ABC中 , 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 是 a, b, c, 若 c2=(a-b)2+6, C= , 则 ABC的面 积 是 ( )A.B.C.D.3 解 析 : 由 题 意 得 , c2=a2+b2-2ab+6, 又 由 余 弦 定 理 可 知 , c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab, -2ab+6=-ab, 即ab=6. S ABC= = .答 案 : C.5.一 几 何 体 的 直 观 图 如 图 所 示 , 下 列 给 出 的 四 个 俯 视 图 中 正 确 的 是 ( ) A.B.C.D.解 析 : 几 何 体 的 俯 视 图

    4、 , 轮 廓 是 矩 形 , 几 何 体 的 上 部 的 棱 都 是 可 见 线 段 , 所 以 C、 D 不 正 确 ;几 何 体 的 上 部 的 棱 与 正 视 图 方 向 垂 直 , 所 以 A 不 正 确 , 答 案 : B.6.某 人 研 究 中 学 生 的 性 别 与 成 绩 、 视 力 、 智 商 、 阅 读 量 这 4 个 变 量 的 关 系 , 随 机 抽 查 了 52名 中 学 生 , 得 到 统 计 数 据 如 表 1 至 表 4, 则 与 性 别 有 关 联 的 可 能 性 最 大 的 变 量 是 ( )表 1表 2 表 3表 4 A.成 绩B.视 力C.智 商D.阅

    5、读 量解 析 : 表 1: X2= 0.009;表 2: X 2= 1.769;表 3: X2= 1.3;表 4: X2= 23.48, 阅 读 量 与 性 别 有 关 联 的 可 能 性 最 大 .答 案 : D.7.阅 读 如 图 程 序 框 图 , 运 行 相 应 的 程 序 , 则 程 序 运 行 后 输 出 的 结 果 为 ( ) A.7B.9C.10D.11解 析 : 由 程 序 框 图 知 : 算 法 的 功 能 是 求 S=0+lg +lg +lg + +lg 的 值 , S=lg +lg + +lg =lg -1, 而 S=lg +lg + +lg =lg -1, 跳 出 循

    6、 环 的 i值 为 9, 输 出 i=9.答 案 : B.8.若 f(x)=x 2+2 f(x)dx, 则 f(x)dx=( )A.-1B.-C.D.1解 析 : 若 f(x)dx=-1则 : f(x)=x 2-2, x2-2=x2+2 (x2-2)dx=x2+2( ) =x2- , 显 然 A 不 正 确 ;若 f(x)dx= ,则 : f(x)=x2- , x2- =x2+2 (x2- )dx=x2+2( ) =x2- , 显 然 B 正 确 ;若 f(x)dx= ,则 : f(x)=x 2+ , x2+ =x2+2 (x2+ )dx=x2+2( ) =x2+2, 显 然 C不 正 确 ;

    7、若 f(x)dx=1则 : f(x)=x2+2, x2+2=x2+2 (x2+2)dx=x2+2( ) =x2+ , 显 然 D 不 正 确 ;答 案 : B.9.在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , A, B分 别 是 x轴 和 y 轴 上 的 动 点 , 若 以 AB为 直 径 的 圆 C 与 直 线2x+y-4=0相 切 , 则 圆 C 面 积 的 最 小 值 为 ( )A. B. C.(6-2 ) D. 解 析 : AB为 直 径 , AOB=90 , O点 必 在 圆 C 上 ,由 O 向 直 线 做 垂 线 , 垂 足 为 D, 则 当 D 恰 为 圆 与 直 线 的 切 点 时

    8、 , 此 时 圆 C 的 半 径 最 小 , 即 面积 最 小 , 此 时 圆 的 直 径 为 O 到 直 线 的 距 离 为 , 则 圆 C 的 面 积 为 : ( )2= .答 案 : A.10.如 图 , 在 长 方 体 ABCD-A 1B1C1D1中 , AB=11, AD=7, AA1=12.一 质 点 从 顶 点 A 射 向 点 E(4, 3,12), 遇 长 方 体 的 面 反 射 (反 射 服 从 光 的 反 射 原 理 ), 将 第 i-1 次 到 第 i 次 反 射 点 之 间 的 线 段记 为 li(i=2, 3, 4), l1=AE, 将 线 段 l1, l2, l3,

    9、 l4竖 直 放 置 在 同 一 水 平 线 上 , 则 大 致 的 图形 是 ( ) A.B. C.D. 解 析 : 根 据 题 意 有 :A的 坐 标 为 : (0, 0, 0), B 的 坐 标 为 (11, 0, 0), C的 坐 标 为 (11, 7, 0), D 的 坐 标 为 (0, 7,0);A1的 坐 标 为 : (0, 0, 12), B1的 坐 标 为 (11, 0, 12), C1的 坐 标 为 (11, 7, 12), D1的 坐 标 为 (0,7, 12);E的 坐 标 为 (4, 3, 12)(1)l 1长 度 计 算 , 所 以 : l1=|AE|= =13.(

    10、2)l2长 度 计 算 , 将 平 面 A1B1C1D1沿 Z 轴 正 向 平 移 AA1个 单 位 , 得 到 平 面 A2B2C2D2; 显 然 有 :A2的 坐 标 为 : (0, 0, 24), B2的 坐 标 为 (11, 0, 24), C2的 坐 标 为 (11, 7, 24), D2的 坐 标 为 (0,7, 24);显 然 平 面 A2B2C2D2和 平 面 ABCD关 于 平 面 A1B1C1D1对 称 .设 AE 与 的 延 长 线 与 平 面 A2B2C2D2相 交 于 : E2(xE2, yE2, 24)根 据 相 识 三 角 形 易 知 : x E2=2xE=2 4

    11、=8, yE2=2yE=2 3=6, 即 : E2(8, 6, 24).根 据 坐 标 可 知 , E2在 长 方 形 A2B2C2D2内 .根 据 反 射 原 理 , E2在 平 面 ABCD上 的 投 影 即 为 AE反 射 光 与 平 面 ABCD的 交 点 .所 以 F的 坐 标 为 (8, 6, 0).因 此 : l2=|EF|= =13.(3)l3长 度 计 算 , 设 G的 坐 标 为 : (xG, yG, zG)如 果 G落 在 平 面 BCC 1B1; 这 个 时 候 有 : xG=11, yG 7, zG 12,根 据 反 射 原 理 有 : AE FG, 于 是 : 向

    12、量 与 向 量 共 线 ; 即 有 : = , 因 为 : =(4, 3, 12); =(xG-8, yG-6, zG-0)=(3, yG-6, zG)即 有 : (4, 3, 12)= (3, yG-6, zG), 解 得 : yG= , zG=9; 故 G 的 坐 标 为 : (11, , 9),因 为 : 7, 故 G 点 不 在 平 面 BCC1B1上 , 所 以 : G 点 只 能 在 平 面 DCC1D1上 ;因 此 有 : yG=7; xG 11, zG 12,此 时 : =(x G-8, yG-6, zG-0)=(xG-8, 1, zG),即 有 : (4, 3, 12)= (

    13、xG-8, 1, zG), 解 得 : xG= , zG=4;满 足 : xG 11, zG 12, 故 G 的 坐 标 为 : ( , 7, 4),所 以 l3=|FG|= = .(4)l 4长 度 计 算 , 设 G点 在 平 面 A1B1C1D1的 投 影 为 G , 坐 标 为 ( , 7, 12).因 为 光 线 经 过 反 射 后 , 还 会 在 原 来 的 平 面 内 ; 即 : AEFGH共 面 ,故 EG 的 反 射 线 GH 只 能 与 平 面 A1B1C1D1相 交 , 且 交 点 H只 能 在 A1G;易 知 : l4 |GG |=12-4=8 l3.根 据 以 上 解

    14、 析 , 可 知 l1, l2, l3, l4要 满 足 以 下 关 系 :l1=l2; 且 l4 l3, 对 比 ABCD选 项 , 可 知 , 只 有 C选 项 满 足 以 上 条 件 .故 本 题 选 : C. 二 、 选 做 题 : 请 考 生 在 下 列 两 题 中 任 选 一 题 作 答 , 若 两 题 都 做 , 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 ,本 题 共 5 分 , 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 , 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .不 等 式 选 做 题11.对 任 意 x, y R, |x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的

    15、最 小 值 为 ( )A.1B.2C.3D.4解 析 : 对 任 意 x, y R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=|x-1|+|-x|+|1-y|+|y+1| |x-1-x|+|1-y+y+1|=3, 当 且 仅 当 x 0, , y 0, 1成 立 .答 案 : C.坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题12.若 以 直 角 坐 标 系 的 原 点 为 极 点 , x 轴 的 非 负 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 , 则 线 段y=1-x(0 x 1)的 极 坐 标 方 程 为 ( )A. = , 0 B. = , 0 C. =cos +sin , 0 D.

    16、=cos +sin , 0 解 析 : 根 据 直 角 坐 标 和 极 坐 标 的 互 化 公 式 x= cos , y= sin , y=1-x(0 x 1),可 得 cos + sin =1, 即 = , 0, ,答 案 : A.三 、 填 空 题 : 本 大 题 共 4 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 20分13.10件 产 品 中 有 7件 正 品 , 3件 次 品 , 从 中 任 取 4件 , 则 恰 好 取 到 1件 次 品 的 概 率 是 .解 析 : 由 题 意 知 本 题 是 一 个 等 可 能 事 件 的 概 率 ,试 验 发 生 包 含 的 事 件 是 从 10

    17、件 中 取 4 件 有 C 104种 结 果 ,满 足 条 件 的 事 件 是 恰 好 有 1 件 次 品 有 C C31种 结 果 , 恰 好 有 一 件 次 品 的 概 率 是 P= =答 案 :14.若 曲 线 y=e -x上 点 P 的 切 线 平 行 于 直 线 2x+y+1=0, 则 点 P 的 坐 标 是 .解 析 : 设 P(x, y), 则 y=e-x, y =-e-x, 在 点 P 处 的 切 线 与 直 线 2x+y+1=0平 行 , -e-x=-2, 解 得 x=-ln2, y=e-x=2, 故 P(-ln2, 2),答 案 : (-ln2, 2).15.已 知 单 位

    18、 向 量 与 的 夹 角 为 , 且 cos = , 向 量 =3 -2 与 =3 - 的夹 角 为 , 则 cos = . 解 析 : 单 位 向 量 与 的 夹 角 为 , 且 cos = , 不 妨 =(1, 0), = ,=3 -2 =( ), =3 - =( ), cos = = = .答 案 : . 16.过 点 M(1, 1)作 斜 率 为 - 的 直 线 与 椭 圆 C: + =1(a b 0)相 交 于 A, B两 点 , 若 M是 线 段 AB 的 中 点 , 则 椭 圆 C 的 离 心 率 等 于 .解 析 : 设 A(x1, y1), B(x2, y2), 则 , ,

    19、过 点 M(1, 1)作 斜 率 为 - 的 直 线 与 椭 圆 C: + =1(a b 0)相 交 于 A, B 两 点 , M 是线 段 AB的 中 点 , 两 式 相 减 可 得 , a= b, =b, e= = . 答 案 : .五 、 解 答 题 : 本 大 题 共 6 小 题 , 共 75分 , 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤17.(12分 )已 知 函 数 f(x)=sin(x+ )+acos(x+2 ), 其 中 a R, (- , )(1)当 a= , = 时 , 求 f(x)在 区 间 0, 上 的 最 大 值 与 最 小 值 ;

    20、(2)若 f( )=0, f( )=1, 求 a, 的 值 .解 析 : (1)由 条 件 利 用 两 角 和 差 的 正 弦 公 式 、 余 弦 公 式 化 简 函 数 的 解 析 式 为f(x)=-sin(x- ), 再 根 据 x 0, , 利 用 正 弦 函 数 的 定 义 域 和 值 域 求 得 函 数 的 最 值 . (2)由 条 件 可 得 (- , ), cos -asin2 =0 , -sin -acos2 =1 , 由 这 两 个式 子 求 出 a 和 的 值 . 答 案 : (1)当 a= , = 时 , f(x)=sin(x+ )+acos(x+2 )=sin(x+ )

    21、+ cos(x+ )= sinx+ cosx- sinx=- sinx+ cosx=sin( -x)=-sin(x- ). x 0, , x- - , , sin(x- ) - , 1, -sin(x- ) -1, ,故 f(x)在 区 间 0, 上 的 最 小 值 为 -1, 最 大 值 为 .(2) f(x)=sin(x+ )+acos(x+2 ), a R, (- , ), f( )=0, f( )=1, cos -asin2 =0 , -sin -acos2 =1 ,由 求 得 sin = , 由 可 得 cos2 = =- - .再 根 据 cos2 =1-2sin2 , 可 得 -

    22、 - =1-2 ,求 得 a=-1, sin =- , =- .综 上 可 得 , 所 求 的 a=-1, =- .18.(12分 )已 知 首 项 是 1的 两 个 数 列 a n, bn(bn 0, n N*)满 足 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.(1)令 cn= , 求 数 列 cn的 通 项 公 式 ;(2)若 bn=3n-1, 求 数 列 an的 前 n 项 和 Sn.解 析 : (1)由 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0, en= , 可 得 数 列 cn是 以 1 为 首 项 , 2 为 公 差 的 等 差 数列 , 即 可 求 数 列 c n的

    23、通 项 公 式 ;(2)用 错 位 相 减 法 来 求 和 .答 案 : (1) anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0, cn= , cn-cn+1+2=0, cn+1-cn=2, 首 项 是 1的 两 个 数 列 an, bn, 数 列 cn是 以 1为 首 项 , 2为 公 差 的 等 差 数 列 , cn=2n-1;(2) b n=3n-1, cn= , an=(2n-1) 3n-1, Sn=1 30+3 31+ +(2n-1) 3n-1, 3Sn=1 31+3 32+ +(2n-1) 3n, -2Sn=1+2 (31+32+ +3n-1)-(2n-1) 3n=-2-(2n-2

    24、)3n, Sn=(n-1)3n+1.19.(12分 )已 知 函 数 f(x)=(x2+bx+b) (b R)(1)当 b=4 时 , 求 f(x)的 极 值 ;(2)若 f(x)在 区 间 (0, )上 单 调 递 增 , 求 b 的 取 值 范 围 .解 析 : (1)把 b=4代 入 函 数 解 析 式 , 求 出 函 数 的 导 函 数 , 由 导 函 数 的 零 点 对 定 义 域 分 段 , 由导 函 数 在 各 区 间 段 内 的 符 号 判 断 原 函 数 的 单 调 性 , 从 而 求 得 极 值 ;(2)求 出 原 函 数 的 导 函 数 , 由 导 函 数 在 区 间 (

    25、0, )上 大 于 等 于 0 恒 成 立 , 得 到 对 任 意 x (0, )恒 成 立 .由 单 调 性 求 出 的 范 围 得 答 案 .答 案 : (1)当 b=4时 , f(x)=(x2+4x+4) = (x ),则 =.由 f (x)=0, 得 x=-2或 x=0.当 x -2 时 , f (x) 0, f(x)在 (- , -2)上 为 减 函 数 . 当 -2 x 0时 , f (x) 0, f(x)在 (-2, 0)上 为 增 函 数 .当 0 x 时 , f (x) 0, f(x)在 (0, )上 为 减 函 数 . 当 x=-2 时 , f(x)取 极 小 值 为 0.

    26、当 x=0时 , f(x)取 极 大 值 为 4;(2)由 f(x)=(x2+bx+b) , 得 := . 由 f(x)在 区 间 (0, )上 单 调 递 增 ,得 f (x) 0 对 任 意 x (0, )恒 成 立 .即 -5x2-3bx+2x 0 对 任 意 x (0, )恒 成 立 . 对 任 意 x (0, )恒 成 立 . . . b的 取 值 范 围 是 .20.(12分 )如 图 , 四 棱 锥 P-ABCD 中 , ABCD 为 矩 形 , 平 面 PAD 平 面 ABCD.(1)求 证 : AB PD;(2)若 BPC=90 , PB= , PC=2, 问 AB 为 何

    27、值 时 , 四 棱 锥 P-ABCD 的 体 积 最 大 ? 并 求 此 时 平 面 BPC与 平 面 DPC夹 角 的 余 弦 值 .解 析 : (1)要 证 AD PD, 可 以 证 明 AB 面 PAD, 再 利 用 面 面 垂 直 以 及 线 面 垂 直 的 性 质 , 即 可证 明 AD PD.(2)过 P做 PO AD得 到 PO 平 面 ABCD, 作 OM BC, 连 接 PM, 由 边 长 关 系 得 到 BC= , PM= ,设 AB=x, 则 VP-ABCD= , 故 当 时 , VP-ABCD取 最 大 值 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系O-AMP, 利 用 向

    28、 量 方 法 即 可 得 到 夹 角 的 余 弦 值 .答 案 : (1) 在 四 棱 锥 P-ABCD中 , ABCD为 矩 形 , AB AD,又 平 面 PAD 平 面 ABCD, 平 面 PAD 平 面 ABCD=AD, AB 面 PAD, AD PD.(2)过 P 做 PO AD, PO 平 面 ABCD, 作 OM BC, 连 接 PM PM BC, BPC=90 , PB= , PC=2, BC= , PM= , 设 AB=x, OM=x PO= , VP-ABCD= x =当 , 即 x= , VP-ABCD= ,建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O-AMP, 如 图 所 示

    29、 ,则 P(0, 0, ), D( , 0, 0), C( , , 0), M(0, , 0), B( , ,0), 面 PBC的 法 向 量 为 =(0, 0, 1), 面 DPC的 法 向 量 为 =(1, 1, 1), cos = = . 21.(13分 )如 图 , 已 知 双 曲 线 C: -y2=1(a 0)的 右 焦 点 为 F, 点 A, B 分 别 在 C 的 两 条 渐近 线 AF x轴 , AB OB, BF OA(O为 坐 标 原 点 ). (1)求 双 曲 线 C 的 方 程 ;(2)过 C 上 一 点 P(x0, y0)(y0 0)的 直 线 l: -y0y=1与

    30、直 线 AF相 交 于 点 M, 与 直 线 x= 相交 于 点 N.证 明 : 当 点 P 在 C 上 移 动 时 , 恒 为 定 值 , 并 求 此 定 值 .解 析 : (1)依 题 意 知 , A(c, ), 设 B(t, - ), 利 用 AB OB, BF OA, 可 求 得 a= , 从 而可 得 双 曲 线 C 的 方 程 ; (2)易 求 A(2, ), l 的 方 程 为 : -y0y=1, 直 线 l: -y0y=1 与 直 线 AF相 交 于 点M, 与 直 线 x= 相 交 于 点 N, 可 求 得 M(2, ), N( , ), 于 是 化 简= 可 得 其 值 为

    31、 , 于 是 原 结 论 得 证 .答 案 : (1)依 题 意 知 , A(c, ), 设 B(t, - ), AB OB, BF OA, =-1, = , 整 理 得 : t= , a= , 双 曲 线 C的 方 程 为 -y2=1;(2)由 (1)知 A(2, ), l 的 方 程 为 : -y0y=1,又 F(2, 0), 直 线 l: -y 0y=1 与 直 线 AF相 交 于 点 M, 与 直 线 x= 相 交 于 点 N.于 是 可 得 M(2, ), N( , ), = = = = = .22.(14分 )随 机 将 1, 2, , 2n(n N*, n 2)这 2n个 连 续

    32、 正 整 数 分 成 A、 B两 组 , 每 组 n个 数 , A组 最 小 数 为 a1, 最 大 数 为 a2; B 组 最 小 数 为 b1, 最 大 数 为 b2; 记 =a2-a1, =b2-b1.(1)当 n=3 时 , 求 的 分 布 列 和 数 学 期 望 ;(2)C表 示 时 间 “ 与 的 取 值 恰 好 相 等 ” , 求 事 件 C发 生 的 概 率 P(C);(3)对 (2)中 的 事 件 C, 表 示 C的 对 立 时 间 , 判 断 P(C)和 P( )的 大 小 关 系 , 并 说 明 理 由 . 解 析 : (1)当 n=3 时 , 的 取 值 可 能 为 2

    33、, 3, 4, 5, 求 出 随 机 变 量 的 分 布 列 , 代 入 数 学 期望 公 式 可 得 其 数 学 期 望 E .(2)根 据 C 表 示 时 间 “ 与 的 取 值 恰 好 相 等 ” , 利 用 分 类 加 法 原 理 , 可 得 事 件 C 发 生 的 概率 P(C)的 表 达 式 ;(3)判 断 P(C)和 P( )的 大 小 关 系 , 即 判 断 P(C)和 的 大 小 关 系 , 根 据 (2)的 公 式 , 可 得 答 案 .答 案 : (1)当 n=3时 , 的 取 值 可 能 为 2, 3, 4, 5其 中 P( =2)= = , P( =3)= = , P( =4)= = , P( =5)= = ,故 随 机 变 量 的 分 布 列 为 : 的 数 学 期 望 E( )=2 +3 +4 +5 = ;(2) C表 示 时 间 “ 与 的 取 值 恰 好 相 等 ” , P(C)=2(3)当 n=2 时 , P(C)=2 = , 此 时 P( ) ; 即 P( ) P(C);当 n 3 时 , P(C)=2 , 此 时 P( ) ;即 P( ) P(C).


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