1、2014年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 江 西 卷 ） 数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50分 ， 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的1. 是 z的 共 轭 复 数 ， 若 z+ =2， (z- )i=2(i 为 虚 数 单 位 )， 则 z=( )A. 1+iB. -1-iC. -1+iD. 1-i解 析 ： 由 于 ， (z- )i=2， 可 得 z- =-2i ，又 z+ =2 ， 由 解 得 z=1-i 答 案 ： D.2.函 数 f(
2、x)=ln(x2-x)的 定 义 域 为 ( )A. (0， 1)B. 0， 1C. (- ， 0) (1， + )D. (- ， 0 1， + )解 析 ： 要 使 函 数 有 意 义 ， 则 x 2-x 0， 即 x 1 或 x 0， 故 函 数 的 定 义 域 为 (- ， 0) (1，+ )，答 案 ： C3.已 知 函 数 f(x)=5|x|， g(x)=ax2-x(a R)， 若 fg(1)=1， 则 a=( )A.1B.2C.3D.-1解 析 ： g(1)=a-1， 若 fg(1)=1， 则 f(a-1)=1， 即 5 |a-1|=1， 则 |a-1|=0， 解 得 a=1，答
3、案 ： A.4.在 ABC中 ， 内 角 A， B， C 所 对 的 边 分 别 是 a， b， c， 若 c2=(a-b)2+6， C= ， 则 ABC的面 积 是 ( )A.B.C.D.3 解 析 ： 由 题 意 得 ， c2=a2+b2-2ab+6， 又 由 余 弦 定 理 可 知 ， c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab， -2ab+6=-ab， 即ab=6. S ABC= = .答 案 ： C.5.一 几 何 体 的 直 观 图 如 图 所 示 ， 下 列 给 出 的 四 个 俯 视 图 中 正 确 的 是 ( ) A.B.C.D.解 析 ： 几 何 体 的 俯 视 图
4、 ， 轮 廓 是 矩 形 ， 几 何 体 的 上 部 的 棱 都 是 可 见 线 段 ， 所 以 C、 D 不 正 确 ；几 何 体 的 上 部 的 棱 与 正 视 图 方 向 垂 直 ， 所 以 A 不 正 确 ， 答 案 ： B.6.某 人 研 究 中 学 生 的 性 别 与 成 绩 、 视 力 、 智 商 、 阅 读 量 这 4 个 变 量 的 关 系 ， 随 机 抽 查 了 52名 中 学 生 ， 得 到 统 计 数 据 如 表 1 至 表 4， 则 与 性 别 有 关 联 的 可 能 性 最 大 的 变 量 是 ( )表 1表 2 表 3表 4 A.成 绩B.视 力C.智 商D.阅
5、读 量解 析 ： 表 1： X2= 0.009；表 2： X 2= 1.769；表 3： X2= 1.3；表 4： X2= 23.48， 阅 读 量 与 性 别 有 关 联 的 可 能 性 最 大 .答 案 ： D.7.阅 读 如 图 程 序 框 图 ， 运 行 相 应 的 程 序 ， 则 程 序 运 行 后 输 出 的 结 果 为 ( ) A.7B.9C.10D.11解 析 ： 由 程 序 框 图 知 ： 算 法 的 功 能 是 求 S=0+lg +lg +lg + +lg 的 值 ， S=lg +lg + +lg =lg -1， 而 S=lg +lg + +lg =lg -1， 跳 出 循
6、 环 的 i值 为 9， 输 出 i=9.答 案 ： B.8.若 f(x)=x 2+2 f(x)dx， 则 f(x)dx=( )A.-1B.-C.D.1解 析 ： 若 f(x)dx=-1则 ： f(x)=x 2-2， x2-2=x2+2 (x2-2)dx=x2+2( ) =x2- ， 显 然 A 不 正 确 ；若 f(x)dx= ，则 ： f(x)=x2- ， x2- =x2+2 (x2- )dx=x2+2( ) =x2- ， 显 然 B 正 确 ；若 f(x)dx= ，则 ： f(x)=x 2+ ， x2+ =x2+2 (x2+ )dx=x2+2( ) =x2+2， 显 然 C不 正 确 ；
7、若 f(x)dx=1则 ： f(x)=x2+2， x2+2=x2+2 (x2+2)dx=x2+2( ) =x2+ ， 显 然 D 不 正 确 ；答 案 ： B.9.在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， A， B分 别 是 x轴 和 y 轴 上 的 动 点 ， 若 以 AB为 直 径 的 圆 C 与 直 线2x+y-4=0相 切 ， 则 圆 C 面 积 的 最 小 值 为 ( )A. B. C.(6-2 ) D. 解 析 ： AB为 直 径 ， AOB=90 ， O点 必 在 圆 C 上 ，由 O 向 直 线 做 垂 线 ， 垂 足 为 D， 则 当 D 恰 为 圆 与 直 线 的 切 点 时
8、 ， 此 时 圆 C 的 半 径 最 小 ， 即 面积 最 小 ， 此 时 圆 的 直 径 为 O 到 直 线 的 距 离 为 ， 则 圆 C 的 面 积 为 ： ( )2= .答 案 ： A.10.如 图 ， 在 长 方 体 ABCD-A 1B1C1D1中 ， AB=11， AD=7， AA1=12.一 质 点 从 顶 点 A 射 向 点 E(4， 3，12)， 遇 长 方 体 的 面 反 射 (反 射 服 从 光 的 反 射 原 理 )， 将 第 i-1 次 到 第 i 次 反 射 点 之 间 的 线 段记 为 li(i=2， 3， 4)， l1=AE， 将 线 段 l1， l2， l3，
9、 l4竖 直 放 置 在 同 一 水 平 线 上 ， 则 大 致 的 图形 是 ( ) A.B. C.D. 解 析 ： 根 据 题 意 有 ：A的 坐 标 为 ： (0， 0， 0)， B 的 坐 标 为 (11， 0， 0)， C的 坐 标 为 (11， 7， 0)， D 的 坐 标 为 (0， 7，0)；A1的 坐 标 为 ： (0， 0， 12)， B1的 坐 标 为 (11， 0， 12)， C1的 坐 标 为 (11， 7， 12)， D1的 坐 标 为 (0，7， 12)；E的 坐 标 为 (4， 3， 12)(1)l 1长 度 计 算 ， 所 以 ： l1=|AE|= =13.(
10、2)l2长 度 计 算 ， 将 平 面 A1B1C1D1沿 Z 轴 正 向 平 移 AA1个 单 位 ， 得 到 平 面 A2B2C2D2； 显 然 有 ：A2的 坐 标 为 ： (0， 0， 24)， B2的 坐 标 为 (11， 0， 24)， C2的 坐 标 为 (11， 7， 24)， D2的 坐 标 为 (0，7， 24)；显 然 平 面 A2B2C2D2和 平 面 ABCD关 于 平 面 A1B1C1D1对 称 .设 AE 与 的 延 长 线 与 平 面 A2B2C2D2相 交 于 ： E2(xE2， yE2， 24)根 据 相 识 三 角 形 易 知 ： x E2=2xE=2 4
11、=8， yE2=2yE=2 3=6， 即 ： E2(8， 6， 24).根 据 坐 标 可 知 ， E2在 长 方 形 A2B2C2D2内 .根 据 反 射 原 理 ， E2在 平 面 ABCD上 的 投 影 即 为 AE反 射 光 与 平 面 ABCD的 交 点 .所 以 F的 坐 标 为 (8， 6， 0).因 此 ： l2=|EF|= =13.(3)l3长 度 计 算 ， 设 G的 坐 标 为 ： (xG， yG， zG)如 果 G落 在 平 面 BCC 1B1； 这 个 时 候 有 ： xG=11， yG 7， zG 12，根 据 反 射 原 理 有 ： AE FG， 于 是 ： 向
12、量 与 向 量 共 线 ； 即 有 ： = ， 因 为 ： =(4， 3， 12)； =(xG-8， yG-6， zG-0)=(3， yG-6， zG)即 有 ： (4， 3， 12)= (3， yG-6， zG)， 解 得 ： yG= ， zG=9； 故 G 的 坐 标 为 ： (11， ， 9)，因 为 ： 7， 故 G 点 不 在 平 面 BCC1B1上 ， 所 以 ： G 点 只 能 在 平 面 DCC1D1上 ；因 此 有 ： yG=7； xG 11， zG 12，此 时 ： =(x G-8， yG-6， zG-0)=(xG-8， 1， zG)，即 有 ： (4， 3， 12)= (
13、xG-8， 1， zG)， 解 得 ： xG= ， zG=4；满 足 ： xG 11， zG 12， 故 G 的 坐 标 为 ： ( ， 7， 4)，所 以 l3=|FG|= = .(4)l 4长 度 计 算 ， 设 G点 在 平 面 A1B1C1D1的 投 影 为 G ， 坐 标 为 ( ， 7， 12).因 为 光 线 经 过 反 射 后 ， 还 会 在 原 来 的 平 面 内 ； 即 ： AEFGH共 面 ，故 EG 的 反 射 线 GH 只 能 与 平 面 A1B1C1D1相 交 ， 且 交 点 H只 能 在 A1G；易 知 ： l4 |GG |=12-4=8 l3.根 据 以 上 解
14、 析 ， 可 知 l1， l2， l3， l4要 满 足 以 下 关 系 ：l1=l2； 且 l4 l3， 对 比 ABCD选 项 ， 可 知 ， 只 有 C选 项 满 足 以 上 条 件 .故 本 题 选 ： C. 二 、 选 做 题 ： 请 考 生 在 下 列 两 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 若 两 题 都 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 ，本 题 共 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .不 等 式 选 做 题11.对 任 意 x， y R， |x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的
15、最 小 值 为 ( )A.1B.2C.3D.4解 析 ： 对 任 意 x， y R，|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=|x-1|+|-x|+|1-y|+|y+1| |x-1-x|+|1-y+y+1|=3， 当 且 仅 当 x 0， ， y 0， 1成 立 .答 案 ： C.坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题12.若 以 直 角 坐 标 系 的 原 点 为 极 点 ， x 轴 的 非 负 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 则 线 段y=1-x(0 x 1)的 极 坐 标 方 程 为 ( )A. = ， 0 B. = ， 0 C. =cos +sin ， 0 D.
16、=cos +sin ， 0 解 析 ： 根 据 直 角 坐 标 和 极 坐 标 的 互 化 公 式 x= cos ， y= sin ， y=1-x(0 x 1)，可 得 cos + sin =1， 即 = ， 0， ，答 案 ： A.三 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20分13.10件 产 品 中 有 7件 正 品 ， 3件 次 品 ， 从 中 任 取 4件 ， 则 恰 好 取 到 1件 次 品 的 概 率 是 .解 析 ： 由 题 意 知 本 题 是 一 个 等 可 能 事 件 的 概 率 ，试 验 发 生 包 含 的 事 件 是 从 10
17、件 中 取 4 件 有 C 104种 结 果 ，满 足 条 件 的 事 件 是 恰 好 有 1 件 次 品 有 C C31种 结 果 ， 恰 好 有 一 件 次 品 的 概 率 是 P= =答 案 ：14.若 曲 线 y=e -x上 点 P 的 切 线 平 行 于 直 线 2x+y+1=0， 则 点 P 的 坐 标 是 .解 析 ： 设 P(x， y)， 则 y=e-x， y =-e-x， 在 点 P 处 的 切 线 与 直 线 2x+y+1=0平 行 ， -e-x=-2， 解 得 x=-ln2， y=e-x=2， 故 P(-ln2， 2)，答 案 ： (-ln2， 2).15.已 知 单 位
18、 向 量 与 的 夹 角 为 ， 且 cos = ， 向 量 =3 -2 与 =3 - 的夹 角 为 ， 则 cos = . 解 析 ： 单 位 向 量 与 的 夹 角 为 ， 且 cos = ， 不 妨 =(1， 0)， = ，=3 -2 =( )， =3 - =( )， cos = = = .答 案 ： . 16.过 点 M(1， 1)作 斜 率 为 - 的 直 线 与 椭 圆 C： + =1(a b 0)相 交 于 A， B两 点 ， 若 M是 线 段 AB 的 中 点 ， 则 椭 圆 C 的 离 心 率 等 于 .解 析 ： 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 ， ，
19、过 点 M(1， 1)作 斜 率 为 - 的 直 线 与 椭 圆 C： + =1(a b 0)相 交 于 A， B 两 点 ， M 是线 段 AB的 中 点 ， 两 式 相 减 可 得 ， a= b， =b， e= = . 答 案 ： .五 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 75分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤17.(12分 )已 知 函 数 f(x)=sin(x+ )+acos(x+2 )， 其 中 a R， (- ， )(1)当 a= ， = 时 ， 求 f(x)在 区 间 0， 上 的 最 大 值 与 最 小 值 ；
20、(2)若 f( )=0， f( )=1， 求 a， 的 值 .解 析 ： (1)由 条 件 利 用 两 角 和 差 的 正 弦 公 式 、 余 弦 公 式 化 简 函 数 的 解 析 式 为f(x)=-sin(x- )， 再 根 据 x 0， ， 利 用 正 弦 函 数 的 定 义 域 和 值 域 求 得 函 数 的 最 值 . (2)由 条 件 可 得 (- ， )， cos -asin2 =0 ， -sin -acos2 =1 ， 由 这 两 个式 子 求 出 a 和 的 值 . 答 案 ： (1)当 a= ， = 时 ， f(x)=sin(x+ )+acos(x+2 )=sin(x+ )
21、+ cos(x+ )= sinx+ cosx- sinx=- sinx+ cosx=sin( -x)=-sin(x- ). x 0， ， x- - ， ， sin(x- ) - ， 1， -sin(x- ) -1， ，故 f(x)在 区 间 0， 上 的 最 小 值 为 -1， 最 大 值 为 .(2) f(x)=sin(x+ )+acos(x+2 )， a R， (- ， )， f( )=0， f( )=1， cos -asin2 =0 ， -sin -acos2 =1 ，由 求 得 sin = ， 由 可 得 cos2 = =- - .再 根 据 cos2 =1-2sin2 ， 可 得 -
22、 - =1-2 ，求 得 a=-1， sin =- ， =- .综 上 可 得 ， 所 求 的 a=-1， =- .18.(12分 )已 知 首 项 是 1的 两 个 数 列 a n， bn(bn 0， n N*)满 足 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.(1)令 cn= ， 求 数 列 cn的 通 项 公 式 ；(2)若 bn=3n-1， 求 数 列 an的 前 n 项 和 Sn.解 析 ： (1)由 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0， en= ， 可 得 数 列 cn是 以 1 为 首 项 ， 2 为 公 差 的 等 差 数列 ， 即 可 求 数 列 c n的
23、通 项 公 式 ；(2)用 错 位 相 减 法 来 求 和 .答 案 ： (1) anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0， cn= ， cn-cn+1+2=0， cn+1-cn=2， 首 项 是 1的 两 个 数 列 an， bn， 数 列 cn是 以 1为 首 项 ， 2为 公 差 的 等 差 数 列 ， cn=2n-1；(2) b n=3n-1， cn= ， an=(2n-1) 3n-1， Sn=1 30+3 31+ +(2n-1) 3n-1， 3Sn=1 31+3 32+ +(2n-1) 3n， -2Sn=1+2 (31+32+ +3n-1)-(2n-1) 3n=-2-(2n-2
24、)3n， Sn=(n-1)3n+1.19.(12分 )已 知 函 数 f(x)=(x2+bx+b) (b R)(1)当 b=4 时 ， 求 f(x)的 极 值 ；(2)若 f(x)在 区 间 (0， )上 单 调 递 增 ， 求 b 的 取 值 范 围 .解 析 ： (1)把 b=4代 入 函 数 解 析 式 ， 求 出 函 数 的 导 函 数 ， 由 导 函 数 的 零 点 对 定 义 域 分 段 ， 由导 函 数 在 各 区 间 段 内 的 符 号 判 断 原 函 数 的 单 调 性 ， 从 而 求 得 极 值 ；(2)求 出 原 函 数 的 导 函 数 ， 由 导 函 数 在 区 间 (
25、0， )上 大 于 等 于 0 恒 成 立 ， 得 到 对 任 意 x (0， )恒 成 立 .由 单 调 性 求 出 的 范 围 得 答 案 .答 案 ： (1)当 b=4时 ， f(x)=(x2+4x+4) = (x )，则 =.由 f (x)=0， 得 x=-2或 x=0.当 x -2 时 ， f (x) 0， f(x)在 (- ， -2)上 为 减 函 数 . 当 -2 x 0时 ， f (x) 0， f(x)在 (-2， 0)上 为 增 函 数 .当 0 x 时 ， f (x) 0， f(x)在 (0， )上 为 减 函 数 . 当 x=-2 时 ， f(x)取 极 小 值 为 0.
26、当 x=0时 ， f(x)取 极 大 值 为 4；(2)由 f(x)=(x2+bx+b) ， 得 ：= . 由 f(x)在 区 间 (0， )上 单 调 递 增 ，得 f (x) 0 对 任 意 x (0， )恒 成 立 .即 -5x2-3bx+2x 0 对 任 意 x (0， )恒 成 立 . 对 任 意 x (0， )恒 成 立 . . . b的 取 值 范 围 是 .20.(12分 )如 图 ， 四 棱 锥 P-ABCD 中 ， ABCD 为 矩 形 ， 平 面 PAD 平 面 ABCD.(1)求 证 ： AB PD；(2)若 BPC=90 ， PB= ， PC=2， 问 AB 为 何
27、值 时 ， 四 棱 锥 P-ABCD 的 体 积 最 大 ？ 并 求 此 时 平 面 BPC与 平 面 DPC夹 角 的 余 弦 值 .解 析 ： (1)要 证 AD PD， 可 以 证 明 AB 面 PAD， 再 利 用 面 面 垂 直 以 及 线 面 垂 直 的 性 质 ， 即 可证 明 AD PD.(2)过 P做 PO AD得 到 PO 平 面 ABCD， 作 OM BC， 连 接 PM， 由 边 长 关 系 得 到 BC= ， PM= ，设 AB=x， 则 VP-ABCD= ， 故 当 时 ， VP-ABCD取 最 大 值 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系O-AMP， 利 用 向
28、 量 方 法 即 可 得 到 夹 角 的 余 弦 值 .答 案 ： (1) 在 四 棱 锥 P-ABCD中 ， ABCD为 矩 形 ， AB AD，又 平 面 PAD 平 面 ABCD， 平 面 PAD 平 面 ABCD=AD， AB 面 PAD， AD PD.(2)过 P 做 PO AD， PO 平 面 ABCD， 作 OM BC， 连 接 PM PM BC， BPC=90 ， PB= ， PC=2， BC= ， PM= ， 设 AB=x， OM=x PO= ， VP-ABCD= x =当 ， 即 x= ， VP-ABCD= ，建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O-AMP， 如 图 所 示
29、 ，则 P(0， 0， )， D( ， 0， 0)， C( ， ， 0)， M(0， ， 0)， B( ， ，0)， 面 PBC的 法 向 量 为 =(0， 0， 1)， 面 DPC的 法 向 量 为 =(1， 1， 1)， cos = = . 21.(13分 )如 图 ， 已 知 双 曲 线 C： -y2=1(a 0)的 右 焦 点 为 F， 点 A， B 分 别 在 C 的 两 条 渐近 线 AF x轴 ， AB OB， BF OA(O为 坐 标 原 点 ). (1)求 双 曲 线 C 的 方 程 ；(2)过 C 上 一 点 P(x0， y0)(y0 0)的 直 线 l： -y0y=1与
30、直 线 AF相 交 于 点 M， 与 直 线 x= 相交 于 点 N.证 明 ： 当 点 P 在 C 上 移 动 时 ， 恒 为 定 值 ， 并 求 此 定 值 .解 析 ： (1)依 题 意 知 ， A(c， )， 设 B(t， - )， 利 用 AB OB， BF OA， 可 求 得 a= ， 从 而可 得 双 曲 线 C 的 方 程 ； (2)易 求 A(2， )， l 的 方 程 为 ： -y0y=1， 直 线 l： -y0y=1 与 直 线 AF相 交 于 点M， 与 直 线 x= 相 交 于 点 N， 可 求 得 M(2， )， N( ， )， 于 是 化 简= 可 得 其 值 为
31、 ， 于 是 原 结 论 得 证 .答 案 ： (1)依 题 意 知 ， A(c， )， 设 B(t， - )， AB OB， BF OA， =-1， = ， 整 理 得 ： t= ， a= ， 双 曲 线 C的 方 程 为 -y2=1；(2)由 (1)知 A(2， )， l 的 方 程 为 ： -y0y=1，又 F(2， 0)， 直 线 l： -y 0y=1 与 直 线 AF相 交 于 点 M， 与 直 线 x= 相 交 于 点 N.于 是 可 得 M(2， )， N( ， )， = = = = = .22.(14分 )随 机 将 1， 2， ， 2n(n N*， n 2)这 2n个 连 续
32、 正 整 数 分 成 A、 B两 组 ， 每 组 n个 数 ， A组 最 小 数 为 a1， 最 大 数 为 a2； B 组 最 小 数 为 b1， 最 大 数 为 b2； 记 =a2-a1， =b2-b1.(1)当 n=3 时 ， 求 的 分 布 列 和 数 学 期 望 ；(2)C表 示 时 间 “ 与 的 取 值 恰 好 相 等 ” ， 求 事 件 C发 生 的 概 率 P(C)；(3)对 (2)中 的 事 件 C， 表 示 C的 对 立 时 间 ， 判 断 P(C)和 P( )的 大 小 关 系 ， 并 说 明 理 由 . 解 析 ： (1)当 n=3 时 ， 的 取 值 可 能 为 2
33、， 3， 4， 5， 求 出 随 机 变 量 的 分 布 列 ， 代 入 数 学 期望 公 式 可 得 其 数 学 期 望 E .(2)根 据 C 表 示 时 间 “ 与 的 取 值 恰 好 相 等 ” ， 利 用 分 类 加 法 原 理 ， 可 得 事 件 C 发 生 的 概率 P(C)的 表 达 式 ；(3)判 断 P(C)和 P( )的 大 小 关 系 ， 即 判 断 P(C)和 的 大 小 关 系 ， 根 据 (2)的 公 式 ， 可 得 答 案 .答 案 ： (1)当 n=3时 ， 的 取 值 可 能 为 2， 3， 4， 5其 中 P( =2)= = ， P( =3)= = ， P( =4)= = ， P( =5)= = ，故 随 机 变 量 的 分 布 列 为 ： 的 数 学 期 望 E( )=2 +3 +4 +5 = ；(2) C表 示 时 间 “ 与 的 取 值 恰 好 相 等 ” ， P(C)=2(3)当 n=2 时 ， P(C)=2 = ， 此 时 P( ) ； 即 P( ) P(C)；当 n 3 时 ， P(C)=2 ， 此 时 P( ) ；即 P( ) P(C).
