1、2014年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 新 课 标 ） 数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 个 选 项符 合 题 目 要 求 .1.设 集 合 M=0， 1， 2， N=x|x2-3x+2 0， 则 M N=( )A.1B.2C.0， 1D.1， 2解 析 ： N=x|x 2-3x+2 0=x|1 x 2， M N=1， 2，答 案 ： D.2.设 复 数 z1， z2在 复 平 面 内 的 对 应 点 关 于 虚 轴 对 称 ， z1=2+i
2、， 则 z1z2=( )A.-5B.5C.-4+iD.-4-i解 析 ： z 1=2+i对 应 的 点 的 坐 标 为 (2， 1)， 复 数 z1， z2在 复 平 面 内 的 对 应 点 关 于 虚 轴 对 称 ， (2， 1)关 于 虚 轴 对 称 的 点 的 坐 标 为 (-2， 1)，则 对 应 的 复 数 ， z2=-2+i，则 z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-1-4=-5，答 案 ： A3.设 向 量 ， 满 足 | + |= ， | - |= ， 则 =( )A.1B.2C.3D.5 解 析 ： | + |= ， | - |= ， 分 别 平 方 得 +2 + =
3、10， -2 + =6，两 式 相 减 得 4 =10-6=4，即 =1，答 案 ： A.4.钝 角 三 角 形 ABC的 面 积 是 ， AB=1， BC= ， 则 AC=( ) A.5B.C.2D.1解 析 ： 钝 角 三 角 形 ABC的 面 积 是 ， AB=c=1， BC=a= ， S= acsinB= ， 即 sinB= ，当 B 为 钝 角 时 ， cosB=- =- ，利 用 余 弦 定 理 得 ： AC 2=AB2+BC2-2ABBCcosB=1+2+2=5， 即 AC= ，当 B 为 锐 角 时 ， cosB= = ，利 用 余 弦 定 理 得 ： AC2=AB2+BC2-
4、2ABBCcosB=1+2-2=1， 即 AC=1，此 时 AB2+AC2=BC2， 即 ABC为 直 角 三 角 形 ， 不 合 题 意 ， 舍 去 ， 则 AC= .答 案 ： B.5.某 地 区 空 气 质 量 监 测 资 料 表 明 ， 一 天 的 空 气 质 量 为 优 良 的 概 率 是 0.75， 连 续 两 天 为 优 良的 概 率 是 0.6， 已 知 某 天 的 空 气 质 量 为 优 良 ， 则 随 后 一 天 的 空 气 质 量 为 优 良 的 概 率 是 ( )A.0.8B.0.75C.0.6 D.0.45解 析 ： 设 随 后 一 天 的 空 气 质 量 为 优 良
5、 的 概 率 为 p， 则 有 题 意 可 得 0.75 p=0.6， 解 得 p=0.8，答 案 ： A.6.如 图 ， 网 格 纸 上 正 方 形 小 格 的 边 长 为 1（ 表 示 1cm） ， 图 中 粗 线 画 出 的 是 某 零 件 的 三 视 图 ，该 零 件 由 一 个 底 面 半 径 为 3cm， 高 为 6cm的 圆 柱 体 毛 坯 切 削 得 到 ， 则 切 削 掉 部 分 的 体 积 与 原来 毛 坯 体 积 的 比 值 为 ( ) A.B.C. D.解 析 ： 几 何 体 是 由 两 个 圆 柱 组 成 ， 一 个 是 底 面 半 径 为 3 高 为 2， 一 个
6、是 底 面 半 径 为 2， 高 为4，组 合 体 体 积 是 ： 32 2+22 4=34 .底 面 半 径 为 3cm， 高 为 6cm的 圆 柱 体 毛 坯 的 体 积 为 ： 32 6=54 .切 削 掉 部 分 的 体 积 与 原 来 毛 坯 体 积 的 比 值 为 ： = .答 案 ： C.7.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 若 输 入 的 x， t 均 为 2， 则 输 出 的 S=( ) A.4B.5C.6D.7解 析 ： 若 x=t=2，则 第 一 次 循 环 ， 1 2成 立 ， 则 M= ， S=2+3=5， k=2，第 二 次 循 环 ， 2 2 成 立
7、 ， 则 M= ， S=2+5=7， k=3， 此 时 3 2不 成 立 ， 输 出 S=7，答 案 ： D.8.设 曲 线 y=ax-ln(x+1)在 点 (0， 0)处 的 切 线 方 程 为 y=2x， 则 a=( )A.0 B.1C.2D.3解 析 ： ， y (0)=a-1=2， a=3.答 案 ： D. 9.设 x， y 满 足 约 束 条 件 ， 则 z=2x-y的 最 大 值 为 ( )A.10B.8C.3D.2解 析 ： 作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 如 图 ： （ 阴 影 部 分 ABC） . 由 z=2x-y 得 y=2x-z，平 移 直 线 y=2
8、x-z，由 图 象 可 知 当 直 线 y=2x-z经 过 点 C 时 ， 直 线 y=2x-z的 截 距 最 小 ， 此 时 z 最 大 .由 ， 解 得 ， 即 C(5， 2)代 入 目 标 函 数 z=2x-y， 得 z=2 5-2=8.答 案 ： B.10.设 F 为 抛 物 线 C： y 2=3x的 焦 点 ， 过 F 且 倾 斜 角 为 30 的 直 线 交 C 于 A， B 两 点 ， O为 坐标 原 点 ， 则 OAB的 面 积 为 ( )A.B.C.D.解 析 ： 由 y 2=3x， 得 2p=3， p= ， 则 F( ). 过 A， B 的 直 线 方 程 为 y= ， 即
9、 . 联 立 ， 得 .设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 ， . = =.答 案 ： D.11.直 三 棱 柱 ABC-A 1B1C1中 ， BCA=90 ， M， N分 别 是 A1B1， A1C1的 中 点 ， BC=CA=CC1， 则 BM与 AN 所 成 角 的 余 弦 值 为 ( )A.B.C.D.解 析 ： 直 三 棱 柱 ABC-A 1B1C1中 ， BCA=90 ， M， N 分 别 是 A1B1， A1C1的 中 点 ， 如 图 ： BC 的中 点 为 O， 连 结 ON， 则 MN0B 是 平 行 四 边 形 ， BM与 AN所 成 角 就 是 ANO，
10、BC=CA=CC1，设 BC=CA=CC1=2， CO=1， AO= ， AN= ， MB= = = ，在 ANO中 ， 由 余 弦 定 理 可 得 ： cos ANO= = = .答 案 ： C. 12.设 函 数 f(x)= sin ， 若 存 在 f(x)的 极 值 点 x0满 足 x02+f(x0)2 m2， 则 m 的 取 值 范围 是 ( )A.(- ， -6) (6， + )B.(- ， -4) (4， + )C.(- ， -2) (2， + )D.(- ， -1) (1， + )解 析 ： 由 题 意 可 得 ， f(x 0)= ， 且 =k + ， k z， 即 x0= m.
11、再 由 x02+f(x0)2 m2， 可 得 当 m2最 小 时 ， |x0|最 小 ， 而 |x0|最 小 为 |m|， m2 m2+3， m2 4. 求 得 m 2， 或 m -2，答 案 ： C.二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 .(第 13 题 第 21题 为 必 考 题 ， 每 个 试 题 考 生 都必 须 作 答 ， 第 22 题 第 24题 为 选 考 题 ， 考 生 根 据 要 求 作 答 )13. (x+a) 10的 展 开 式 中 ， x7的 系 数 为 15， 则 a= .解 析 ： (x+a)10的 展 开 式 的 通 项 公
12、式 为 Tr+1= x10-rar，令 10-r=7， 求 得 r=3， 可 得 x7的 系 数 为 a3 =120a3=15， a= ，答 案 ： .14.函 数 f(x)=sin(x+2 )-2sin cos(x+ )的 最 大 值 为 .解 析 ： 函 数 f(x)=sin(x+2 )-2sin cos(x+ )=sin(x+ )+ -2sin cos(x+ )=sin(x+ )cos +cos(x+ )sin -2sin cos(x+ )=sin(x+ )cos -cos(x+ )sin=sin(x+ )- =sinx， 故 函 数 f(x)的 最 大 值 为 1，答 案 ： 1.15
13、.已 知 偶 函 数 f(x)在 0， + )单 调 递 减 ， f(2)=0， 若 f(x-1) 0， 则 x 的 取 值 范 围 是 .解 析 ： 偶 函 数 f(x)在 0， + )单 调 递 减 ， f(2)=0， 不 等 式 f(x-1) 0等 价 为 f(x-1) f(2)， 即 f(|x-1|) f(2)， |x-1| 2， 解 得 -1 x 3，答 案 ： (-1， 3)16.设 点 M(x 0， 1)， 若 在 圆 O： x2+y2=1 上 存 在 点 N， 使 得 OMN=45 ， 则 x0的 取 值 范 围是 .解 析 ： 由 题 意 画 出 图 形 如 图 ： 点 M(
14、x0， 1)， 若 在 圆 O： x2+y2=1上 存 在 点 N， 使 得 OMN=45 ， 圆 心 到 MN的 距 离 为 1， 要 使 MN=1， 才 能 使 得 OMN=45 ，图 中 M 显 然 不 满 足 题 意 ， 当 MN 垂 直 x轴 时 ， 满 足 题 意 ， x0的 取 值 范 围 是 -1， 1.答 案 ： -1， 1.三 、 解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 验 算 步 骤 .17.(12分 )已 知 数 列 a n满 足 a1=1， an+1=3an+1.( )证 明 an+ 是 等 比 数 列 ， 并 求 an的 通 项
15、公 式 ；( )证 明 ： + + + .解 析 ： ( )根 据 等 比 数 列 的 定 义 ， 后 一 项 与 前 一 项 的 比 是 常 数 ， 即 =常 数 ， 又 首 项 不 为0， 所 以 为 等 比 数 列 ；再 根 据 等 比 数 列 的 通 项 化 式 ， 求 出 a n的 通 项 公 式 ；( )将 进 行 放 大 ， 即 将 分 母 缩 小 ， 使 得 构 成 一 个 等 比 数 列 ， 从 而 求 和 ， 证 明 不 等 式 .答 案 ： ( ) = =3， 0， 数 列 a n+ 是 以 首 项 为 ， 公 比 为 3的 等 比 数 列 ； an+ = = ， 即 ；
16、( )由 ( )知 ， 当 n 2 时 ， = ， 当 n=1时 ， 成 立 ，当 n 2 时 ， + + + 1+ + = = . 对 n N +时 ， + + + .18.(12分 )如 图 ， 四 棱 柱 P-ABCD 中 ， 底 面 ABCD为 矩 形 ， PA 平 面 ABCD， E为 PD的 中 点 .( )证 明 ： PB 平 面 AEC；( )设 二 面 角 D-AE-C为 60 ， AP=1， AD= ， 求 三 棱 锥 E-ACD的 体 积 . 解 析 ： ( )连 接 BD 交 AC于 O点 ， 连 接 EO， 只 要 证 明 EO PB， 即 可 证 明 PB 平 面
17、AEC；( )延 长 AF 至 M 连 结 DM， 使 得 AM DM， 说 明 CMD=60 ， 是 二 面 角 的 平 面 角 ， 求 出 CD，即 可 三 棱 锥 E-ACD 的 体 积 .答 案 ： ( )连 接 BD 交 AC于 O点 ， 连 接 EO， O 为 BD 中 点 ， E 为 PD 中 点 ， EO PB， (2 分 )EO平 面 AEC， PB平 面 AEC， 所 以 PB 平 面 AEC； (6 分 )( )延 长 AF至 M 连 结 DM， 使 得 AM DM， 四 棱 柱 P-ABCD中 ， 底 面 ABCD为 矩 形 ， PA 平 面 ABCD， CD 平 面
18、AMD， 二 面 角 D-AE-C 为 60 ， CMD=60 ， AP=1， AD= ， ADP=30 ， PD=2， E为 PD的 中 点 .AF=1， DM= ， CD= = .三 棱 锥 E-ACD 的 体 积 为 ： = = . 19.(12分 )某 地 区 2007年 至 2013年 农 村 居 民 家 庭 人 均 纯 收 入 y(单 位 ： 千 元 )的 数 据 如 下 表 ：( )求 y 关 于 t的 线 性 回 归 方 程 ；( )利 用 ( )中 的 回 归 方 程 ， 分 析 2007年 至 2013 年 该 地 区 农 村 居 民 家 庭 人 均 纯 收 入 的 变 化
19、情 况 ， 并 预 测 该 地 区 2015年 农 村 居 民 家 庭 人 均 纯 收 入 .附 ： 回 归 直 线 的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 公 式 分 别 为 ： = ， = - .解 析 ： ( )根 据 所 给 的 数 据 ， 利 用 最 小 二 乘 法 可 得 横 标 和 纵 标 的 平 均 数 ， 横 标 和 纵 标 的 积 的和 ， 与 横 标 的 平 方 和 ， 代 入 公 式 求 出 b的 值 ， 再 求 出 a 的 值 ， 写 出 线 性 回 归 方 程 .( )根 据 上 一 问 做 出 的 线 性 回 归 方 程 ， 代 入 所 给 的 t 的
20、 值 ， 预 测 该 地 区 2015 年 农 村 居 民 家庭 人 均 纯 收 入 ， 这 是 一 个 估 计 值 .答 案 ： ( )由 题 意 ， = (1+2+3+4+5+6+7)=4， = (2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3， = =0.5，= - =4.3-0.5 4=2.3. y 关 于 t的 线 性 回 归 方 程 为 =0.5t+2.3；( )由 ( )知 ， b=0.5 0， 故 2007年 至 2013年 该 地 区 农 村 居 民 家 庭 人 均 纯 收 入 逐 年 增 加 ，平 均 每 年 增 加 0.5千 元 .将 2015年 的 年
21、 份 代 号 t=9代 入 =0.5t+2.3， 得 ： =0.5 9+2.3=6.8，故 预 测 该 地 区 2015年 农 村 居 民 家 庭 人 均 纯 收 入 为 6.8 千 元 .20.(12分 )设 F1， F2分 别 是 C： + =1(a b 0)的 左 ， 右 焦 点 ， M是 C上 一 点 且 MF2与 x轴 垂 直 ， 直 线 MF 1与 C 的 另 一 个 交 点 为 N.(1)若 直 线 MN 的 斜 率 为 ， 求 C的 离 心 率 ；(2)若 直 线 MN 在 y 轴 上 的 截 距 为 2， 且 |MN|=5|F1N|， 求 a， b.解 析 ： (1)根 据
22、条 件 求 出 M 的 坐 标 ， 利 用 直 线 MN的 斜 率 为 ， 建 立 关 于 a， c 的 方 程 即 可 求C的 离 心 率 ；(2)根 据 直 线 MN 在 y 轴 上 的 截 距 为 2， 以 及 |MN|=5|F 1N|， 建 立 方 程 组 关 系 ， 求 出 N 的 坐 标 ，代 入 椭 圆 方 程 即 可 得 到 结 论 .答 案 ： (1) M 是 C 上 一 点 且 MF2与 x 轴 垂 直 ， M 的 横 坐 标 为 c， 当 x=c时 ， y= ， 即 M(c， )，若 直 线 MN 的 斜 率 为 ， 即 tan MF 1F2= ，即 b2= =a2-c2
23、， 即 c2- -a2=0， 则 ， 解 得 e= .( )由 题 意 ， 原 点 O是 F1F2的 中 点 ， 则 直 线 MF1与 y 轴 的 交 点 D(0， 2)是 线 段 MF1的 中 点 ，故 =4， 即 b2=4a，由 |MN|=5|F 1N|， 解 得 |DF1|=2|F1N|， 设 N(x1， y1)， 由 题 意 知 y1 0， 则 ， 即代 入 椭 圆 方 程 得 ，将 b 2=4a代 入 得 ， 解 得 a=7， b= . 21.(12分 )已 知 函 数 f(x)=ex-e-x-2x.( )讨 论 f(x)的 单 调 性 ；( )设 g(x)=f(2x)-4bf(x)
24、， 当 x 0 时 ， g(x) 0， 求 b的 最 大 值 ；( )已 知 1.4142 1.4143， 估 计 ln2的 近 似 值 (精 确 到 0.001).解 析 ： 对 第 ( )问 ， 直 接 求 导 后 ， 利 用 基 本 不 等 式 可 达 到 目 的 ；对 第 ( )问 ， 先 验 证 g(0)=0， 只 需 说 明 g(x)在 0+ )上 为 增 函 数 即 可 ， 从 而 问 题 转 化 为 “ 判断 g(x) 0 是 否 成 立 ” 的 问 题 ；对 第 ( )问 ， 根 据 第 ( )问 的 结 论 ， 设 法 寻 求 ln2， 于 是 在 b=2及 b 2 的 情
25、 况 下 分 别 计 算， 最 后 可 估 计 ln2的 近 似 值 .答 案 ： ( )由 f(x)得 f(x)=e x+e-x-2 ，即 f(x) 0， 当 且 仅 当 ex=e-x即 x=0时 ， f(x)=0， 函 数 f(x)在 R上 为 增 函 数 .( )g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x)+(8b-4)x，则 g(x)=2e2x+e-2x-2b(ex+e-x)+(4b-2)=2(ex+e-x)2-2b(ex+e-x)+(4b-4)=2(e x+e-x-2)(ex+e-x-2b+2). ex+e-x 2， ex+e-x+2 4， 当 2b 4
26、， 即 b 2时 ， g(x) 0， 当 且 仅 当 x=0时 取 等 号 ，从 而 g(x)在 R 上 为 增 函 数 ， 而 g(0)=0， x 0时 ， g(x) 0， 符 合 题 意 . 当 b 2 时 ， 若 x满 足 2 ex+e-x 2b-2即 时 ， g(x) 0，又 由 g(0)=0知 ， 当 时 ， g(x) 0， 不 符 合 题 意 . 综 合 、 知 ， b 2， 得 b 的 最 大 值 为 2.( )由 ( )知 ， .当 b=2时 ， 由 ， 得；当 时 ， 有 ，由 ， 得.所 以 ln2 的 近 似 值 为 0.693. 请 考 生 在 第 22、 23、 24
27、三 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 计 分 ， 作 答 时请 写 清 题 号 .【 选 修 4-1： 几 何 证 明 选 讲 】22.(10分 )如 图 ， P 是 O外 一 点 ， PA 是 切 线 ， A为 切 点 ， 割 线 PBC与 O 相 交 于 点 B， C，PC=2PA， D为 PC的 中 点 ， AD 的 延 长 线 交 O于 点 E， 证 明 ： ( )BE=EC；( )AD DE=2PB2.解 析 ： ( )连 接 OE， OA， 证 明 OE BC， 可 得 E 是 的 中 点 ， 从 而 BE=EC；( )利 用
28、切 割 线 定 理 证 明 PD=2PB， PB=BD， 结 合 相 交 弦 定 理 可 得 AD DE=2PB2.答 案 ： ( )连 接 OE， OA， 则 OAE= OEA， OAP=90 ， PC=2PA， D 为 PC 的 中 点 ， PA=PD， PAD= PDA， PDA= CDE， OEA+ CDE= OAE+ PAD=90 ， OE BC， E 是 的 中 点 ， BE=EC； ( ) PA 是 切 线 ， A为 切 点 ， 割 线 PBC与 O 相 交 于 点 B， C， PA2=PB PC， PC=2PA， PA=2PB， PD=2PB， PB=BD， BD DC=PB
29、2PB， AD DE=BD DC， AD DE=2PB2.【 选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 】23.在 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 半 圆 C 的极 坐 标 方 程 =2cos ， 0， .( )求 C 的 参 数 方 程 ；( )设 点 D在 C上 ， C在 D处 的 切 线 与 直 线 l： y= x+2垂 直 ， 根 据 ( )中 你 得 到 的 参 数 方程 ， 确 定 D的 坐 标 .解 析 ： ( )半 圆 C 的 极 坐 标 方 程 化 为 直 角 坐 标 方
30、程 为 (x-1) 2+y2=1， 令 x-1=cos -1， 1，y=sin ， 可 得 半 圆 C 的 参 数 方 程 .( )由 题 意 可 得 直 线 CD和 直 线 l 平 行 .设 点 D 的 坐 标 为 (1+cos ， sin )， 根 据 直 线 CD和直 线 l 的 斜 率 相 等 求 得 cot 的 值 ， 可 得 的 值 ， 从 而 得 到 点 D 的 坐 标 .答 案 ： ( )半 圆 C 的 极 坐 标 方 程 =2cos ， 0， ， 即 2=2 cos ，化 为 直 角 坐 标 方 程 为 (x-1)2+y2=1， x 0， 2、 y 0， 1.令 x-1=co
31、s -1， 1， y=sin ， 0， .故 半 圆 C 的 参 数 方 程 为 ， 0， .( )设 点 D在 C上 ， C 在 D 处 的 切 线 与 直 线 l： y= x+2垂 直 ， 直 线 CD 和 直 线 l 平 行 ， 故 直 线 CD 和 直 线 l 斜 率 相 等 . 设 点 D的 坐 标 为 (1+cos ， sin )， C(1， 0)， = ，解 得 tan = ， 即 = ， 故 点 D 的 坐 标 为 ( ， ).24.设 函 数 f(x)=|x+ |+|x-a|(a 0).( )证 明 ： f(x) 2；( )若 f(3) 5， 求 a 的 取 值 范 围 .解
32、 析 ： ( )由 a 0， f(x)=|x+ |+|x-a|， 利 用 绝 对 值 三 角 不 等 式 、 基 本 不 等 式 证 得 f(x) 2成 立 . ( )由 f(3)=|3+ |+|3-a| 5， 分 当 a 3时 和 当 0 a 3时 两 种 情 况 ， 分 别 去 掉 绝 对 值 ，求 得 不 等 式 的 解 集 ， 再 取 并 集 ， 即 得 所 求 .答 案 ： ( ) a 0， f(x)=|x+ |+|x-a| |(x+ )-(x-a)|=|a+ |=a+ 2 =2，故 不 等 式 f(x) 2 成 立 .( ) f(3)=|3+ |+|3-a| 5， 当 a 3 时 ， 不 等 式 即 a+ 5， 即 a2-5a+1 0， 解 得 3 a .当 0 a 3时 ， 不 等 式 即 6-a+ 5， 即 a2-a-1 0， 求 得 3.综 上 可 得 ， a的 取 值 范 围 ( ， ).
