1、2014年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 新 课 标 ） 数 学 文一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的1.已 知 集 合 A=-2， 0， 2， B=x|x2-x-2=0， 则 A B=( )A.B.2C.0D.-2解 析 ： A=-2， 0， 2， B=x|x 2-x-2=0=-1， 2， A B=2.答 案 ： B2. =( )A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i解 析 ： 化 简 可 得 = = =
2、=-1+2i 答 案 ： B3.函 数 f(x)在 x=x0处 导 数 存 在 ， 若 p： f (x0)=0： q： x=x0是 f(x)的 极 值 点 ， 则 ( )A.p 是 q 的 充 分 必 要 条 件B.p 是 q 的 充 分 条 件 ， 但 不 是 q 的 必 要 条 件C.p 是 q 的 必 要 条 件 ， 但 不 是 q 的 充 分 条 件D.p 既 不 是 q 的 充 分 条 件 ， 也 不 是 q 的 必 要 条 件解 析 ： 函 数 f(x)=x 3的 导 数 为 f(x)=3x2， 由 f (x0)=0， 得 x0=0， 但 此 时 函 数 f(x)单 调 递 增 ，
3、无 极 值 ， 充 分 性 不 成 立 .根 据 极 值 的 定 义 和 性 质 ， 若 x=x0是 f(x)的 极 值 点 ， 则 f (x0)=0 成 立 ， 即 必 要 性 成 立 ，故 p 是 q 的 必 要 条 件 ， 但 不 是 q 的 充 分 条 件 ，答 案 ： C4.设 向 量 ， 满 足 | + |= ， | - |= ， 则 =( )A.1B.2C.3D.5 解 析 ： | + |= ， | - |= ， 分 别 平 方 得 +2 + =10， -2 + =6， 两 式 相 减 得 4 =10-6=4， 即 =1，答 案 ： A.5.等 差 数 列 an的 公 差 为 2
4、， 若 a2， a4， a8成 等 比 数 列 ， 则 an的 前 n 项 和 Sn=( )A.n(n+1)B.n(n-1)C.D.解 析 ： ： 由 题 意 可 得 a 42=a2a8， 即 a42=(a4-4)(a4+8)， 解 得 a4=8， a1=a4-3 2=2， Sn=na1+ d， =2n+ 2=n(n+1)，答 案 ： A.6.如 图 ， 网 格 纸 上 正 方 形 小 格 的 边 长 为 1(表 示 1cm)， 图 中 粗 线 画 出 的 是 某 零 件 的 三 视 图 ，该 零 件 由 一 个 底 面 半 径 为 3cm， 高 为 6cm的 圆 柱 体 毛 坯 切 削 得
5、到 ， 则 切 削 掉 部 分 的 体 积 与 原来 毛 坯 体 积 的 比 值 为 ( ) A.B.C.D.解 析 ： 几 何 体 是 由 两 个 圆 柱 组 成 ， 一 个 是 底 面 半 径 为 3 高 为 2， 一 个 是 底 面 半 径 为 2， 高 为4，组 合 体 体 积 是 ： 3 2 2+22 4=34 .底 面 半 径 为 3cm， 高 为 6cm的 圆 柱 体 毛 坯 的 体 积 为 ： 32 6=54 .切 削 掉 部 分 的 体 积 与 原 来 毛 坯 体 积 的 比 值 为 ： = .答 案 ： C. 7.正 三 棱 柱 ABC-A1B1C1的 底 面 边 长 为
6、2， 侧 棱 长 为 ， D 为 BC中 点 ， 则 三 棱 锥 A-B1DC1的 体积 为 ( )A.3B.C.1D.解 析 ： 正 三 棱 柱 ABC-A 1B1C1的 底 面 边 长 为 2， 侧 棱 长 为 ， D 为 BC 中 点 ， 底 面 B1DC1的 面 积 ： = ，A到 底 面 的 距 离 就 是 底 面 正 三 角 形 的 高 ： .三 棱 锥 A-B1DC1的 体 积 为 ： =1.答 案 ： C.8.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 若 输 入 的 x， t 均 为 2， 则 输 出 的 S=( ) A.4B.5C.6D.7解 析 ： 若 x=t=2，则
7、 第 一 次 循 环 ， 1 2成 立 ， 则 M= ， S=2+3=5， k=2，第 二 次 循 环 ， 2 2 成 立 ， 则 M= ， S=2+5=7， k=3，此 时 3 2 不 成 立 ， 输 出 S=7，答 案 ： D. 9.设 x， y 满 足 约 束 条 件 ， 则 z=x+2y的 最 大 值 为 ( )A.8B.7C.2D.1解 析 ： 作 出 不 等 式 对 应 的 平 面 区 域 ， 由 z=x+2y， 得 y=- ， 平 移 直 线 y=- ， 由 图 象 可 知 当 直 线 y=- 经 过 点 A 时 ，直 线 y=- 的 截 距 最 大 ， 此 时 z最 大 .由
8、， 得 ， 即 A(3， 2)， 此 时 z的 最 大 值 为 z=3+2 2=7，答 案 ： B.10.设 F 为 抛 物 线 C： y 2=3x的 焦 点 ， 过 F 且 倾 斜 角 为 30 的 直 线 交 于 C于 A， B 两 点 ， 则|AB|=( )A.B.6C.12D.7解 析 ： 由 y 2=3x得 其 焦 点 F( ， 0)， 准 线 方 程 为 x=- .则 过 抛 物 线 y2=3x的 焦 点 F 且 倾 斜 角 为 30 的 直 线 方 程 为 y=tan30 (x- )= (x- ).代 入 抛 物 线 方 程 ， 消 去 y， 得 16x2-168x+9=0.设
9、A(x1， y1)， B(x2， y2)则 x1+x2= ， 所 以 |AB|=x1+ +x2+ = + + =12答 案 ： 12. 11.若 函 数 f(x)=kx-lnx 在 区 间 (1， )单 调 递 增 ， 则 k 的 取 值 范 围 是 ( )A.(- ， -2B.(- ， -1C.2， + )D.1， + )解 析 ： 函 数 f(x)=kx-lnx在 区 间 (1， )单 调 递 增 ， 当 x 1 时 ， f (x)=k- 0， k-1 0， k 1，答 案 ： D.12.设 点 M(x 0， 1)， 若 在 圆 O： x2+y2=1 上 存 在 点 N， 使 得 OMN=
10、45 ， 则 x0的 取 值 范 围 是( )A.-1， 1B.- ， C.- ， D.- ， 解 析 ： 由 题 意 画 出 图 形 如 图 ： 点 M(x0， 1)， 若 在 圆 O： x2+y2=1 上 存 在 点 N， 使 得 OMN=45 ， 圆 上 的 点 到 MN的 距 离 的 最 大 值 为 1， 要 使 MN=1， 才 能 使 得 OMN=45 ，图 中 M 显 然 不 满 足 题 意 ， 当 MN 垂 直 x轴 时 ， 满 足 题 意 ， x0的 取 值 范 围 是 -1， 1.答 案 ： A二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 .13
11、.甲 、 乙 两 名 运 动 员 各 自 等 可 能 地 从 红 、 白 、 蓝 3 种 颜 色 的 运 动 服 中 选 择 1 种 ， 则 他 们 选择 相 同 颜 色 运 动 服 的 概 率 为 .解 析 ： 所 有 的 选 法 共 有 3 3=9种 ， 而 他 们 选 择 相 同 颜 色 运 动 服 的 选 法 共 有 3 种 ，故 他 们 选 择 相 同 颜 色 运 动 服 的 概 率 为 = ， 答 案 ： .14.函 数 f(x)=sin(x+ )-2sin cosx 的 最 大 值 为 .解 析 ： f(x)=sin(x+ )-2sin cosx=sinxcos +cosxsin
12、 -2sin cosx=sinxcos -sin cosx=sin(x- ). f(x)的 最 大 值 为 1.答 案 ： 1.15.偶 函 数 y=f(x)的 图 象 关 于 直 线 x=2对 称 ， f(3)=3， 则 f(-1)= .解 析 ： 因 为 偶 函 数 y=f(x)的 图 象 关 于 直 线 x=2对 称 ， 所 以 f(2+x)=f(2-x)=f(x-2)， 即 f(x+4)=f(x)， 则 f(-1)=f(-1+4)=f(3)=3，答 案 ： 316.数 列 an满 足 an+1= ， a2=2， 则 a1= .解 析 ： 由 题 意 得 ， a n+1= ， a2=2，
13、 令 n=1 代 入 上 式 得 ， a2= ， 解 得 a1= ，答 案 ： .三 、 解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .17.(12分 )四 边 形 ABCD的 内 角 A 与 C 互 补 ， AB=1， BC=3， CD=DA=2.(1)求 C 和 BD；(2)求 四 边 形 ABCD的 面 积 .解 析 ： (1)在 三 角 形 BCD 中 ， 利 用 余 弦 定 理 列 出 关 系 式 ， 将 BC， CD， 以 及 cosC的 值 代 入 表示 出 BD 2， 在 三 角 形 ABD 中 ， 利 用 余 弦 定 理 列 出
14、 关 系 式 ， 将 AB， DA以 及 cosA的 值 代 入 表 示出 BD2， 两 者 相 等 求 出 cosC的 值 ， 确 定 出 C的 度 数 ， 进 而 求 出 BD 的 长 ；(2)由 C 的 度 数 求 出 A 的 度 数 ， 利 用 三 角 形 面 积 公 式 求 出 三 角 形 ABD 与 三 角 形 BCD 面 积 ， 之和 即 为 四 边 形 ABCD面 积 .答 案 ： (1)在 BCD中 ， BC=3， CD=2，由 余 弦 定 理 得 ： BD2=BC2+CD2-2BC CDcosC=13-12cosC ，在 ABD中 ， AB=1， DA=2， A+C= ，由
15、 余 弦 定 理 得 ： BD 2=AB2+AD2-2ABADcosA=5-4cosA=5+4cosC ，由 得 ： cosC= ， 则 C=60 ， BD= .(2) cosC= ， cosA=- ， sinC=sinA= ， 则 S= AB DAsinA+ BC CDsinC= 1 2 + 3 2 =2 .18.(12分 )如 图 ， 四 棱 锥 P-ABCD 中 ， 底 面 ABCD为 矩 形 ， PA 平 面 ABCD， E为 PD的 中 点 . ( )证 明 ： PB 平 面 AEC；( )设 AP=1， AD= ， 三 棱 锥 P-ABD 的 体 积 V= ， 求 A 到 平 面
16、PBC的 距 离 .解 析 ： ( )设 BD与 AC 的 交 点 为 O， 连 结 EO， 通 过 直 线 与 平 面 平 行 的 判 定 定 理 证 明 PB 平面 AEC；( )通 过 AP=1， AD= ， 三 棱 锥 P-ABD的 体 积 V= ， 求 出 AB， 作 AH PB角 PB于 H， 说明 AH就 是 A 到 平 面 PBC的 距 离 .通 过 解 三 角 形 求 解 即 可 .答 案 ： ( )设 BD与 AC 的 交 点 为 O， 连 结 EO， ABCD是 矩 形 ， O 为 BD 的 中 点 E 为 PD 的 中 点 ， EO PB. EO平 面 AEC， PB平
17、 面 AEC PB 平 面 AEC；( ) AP=1， AD= ， 三 棱 锥 P-ABD 的 体 积 V= ， V= = ， AB= ， 作 AH PB 角 PB于 H， 由 题 意 可 知 BC 平 面 PAB BC AH，故 AH 平 面 PBC.又 A 到 平 面 PBC的 距 离 .19.(12分 )某 市 为 了 考 核 甲 、 乙 两 部 门 的 工 作 情 况 ， 随 机 访 问 了 50位 市 民 ， 根 据 这 50 位 市民 对 两 部 门 的 评 分 (评 分 越 高 表 明 市 民 的 评 价 越 高 )绘 制 的 茎 叶 图 如 图 ： ( )分 别 估 计 该 市
18、 市 民 对 甲 、 乙 两 部 门 评 分 的 中 位 数 ；( )分 别 估 计 该 市 的 市 民 对 甲 、 乙 两 部 门 的 评 分 高 于 90 的 概 率 ；( )根 据 茎 叶 图 分 析 该 市 的 市 民 对 甲 、 乙 两 部 门 的 评 价 .解 析 ： ( )根 据 茎 叶 图 的 知 识 ， 中 位 数 是 指 中 间 的 一 个 或 两 个 的 平 均 数 ， 首 先 要 排 序 ， 然 后再 找 ，( )利 用 样 本 来 估 计 总 体 ， 只 要 求 出 样 本 的 概 率 就 可 以 了 .( )根 据 ( )( )的 结 果 和 茎 叶 图 ， 合 理
19、 的 评 价 ， 恰 当 的 描 述 即 可 .答 案 ： ( )由 茎 叶 图 知 ， 50位 市 民 对 甲 部 门 的 评 分 有 小 到 大 顺 序 ， 排 在 排 在 第 25， 26 位 的是 75， 75， 故 样 本 的 中 位 数 是 75， 所 以 该 市 的 市 民 对 甲 部 门 的 评 分 的 中 位 数 的 估 计 值 是 75.50位 市 民 对 乙 部 门 的 评 分 有 小 到 大 顺 序 ， 排 在 排 在 第 25， 26位 的 是 66， 68， 故 样 本 的 中 位数 是 =67， 所 以 该 市 的 市 民 对 乙 部 门 的 评 分 的 中 位
20、数 的 估 计 值 是 67. ( )由 茎 叶 图 知 ， 50位 市 民 对 甲 、 乙 部 门 的 评 分 高 于 90 的 比 率 分 别 为 ，故 该 市 的 市 民 对 甲 、 乙 两 部 门 的 评 分 高 于 90的 概 率 得 估 计 值 分 别 为 0.1， 0.16，( )由 茎 叶 图 知 ， 市 民 对 甲 部 门 的 评 分 的 中 位 数 高 于 乙 部 门 的 评 分 的 中 位 数 ， 而 且 由 茎 叶 图可 以 大 致 看 出 对 甲 部 门 的 评 分 标 准 差 要 小 于 乙 部 门 的 标 准 差 ， 说 明 该 市 市 民 对 甲 部 门 的 评
21、 价较 高 、 评 价 较 为 一 致 ， 对 乙 部 门 的 评 价 较 低 、 评 价 差 异 较 大 . 20.(12分 )设 F1， F2分 别 是 C： + =1(a b 0)的 左 ， 右 焦 点 ， M是 C上 一 点 且 MF2与 x轴 垂 直 ， 直 线 MF1与 C 的 另 一 个 交 点 为 N.(1)若 直 线 MN 的 斜 率 为 ， 求 C的 离 心 率 ；(2)若 直 线 MN 在 y 轴 上 的 截 距 为 2， 且 |MN|=5|F1N|， 求 a， b.解 析 ： (1)根 据 条 件 求 出 M 的 坐 标 ， 利 用 直 线 MN的 斜 率 为 ， 建
22、立 关 于 a， c 的 方 程 即 可 求C的 离 心 率 ；(2)根 据 直 线 MN 在 y 轴 上 的 截 距 为 2， 以 及 |MN|=5|F 1N|， 建 立 方 程 组 关 系 ， 求 出 N 的 坐 标 ，代 入 椭 圆 方 程 即 可 得 到 结 论 .答 案 ： (1) M 是 C 上 一 点 且 MF2与 x 轴 垂 直 ， M 的 横 坐 标 为 c， 当 x=c时 ， y= ， 即 M(c， )，若 直 线 MN 的 斜 率 为 ， 即 tan MF 1F2= ，即 b2= =a2-c2， 即 c2- -a2=0， 则 ， 解 得 e= .( )由 题 意 ， 原
23、点 O是 F1F2的 中 点 ， 则 直 线 MF1与 y 轴 的 交 点 D(0， 2)是 线 段 MF1的 中 点 ， 故 =4， 即 b2=4a，由 |MN|=5|F1N|， 解 得 |DF1|=2|F1N|，设 N(x1， y1)， 由 题 意 知 y1 0， 则 ， 即代 入 椭 圆 方 程 得 ， 将 b 2=4a代 入 得 ， 解 得 a=7， b= .21.(12分 )已 知 函 数 f(x)=x3-3x2+ax+2， 曲 线 y=f(x)在 点 (0， 2)处 的 切 线 与 x 轴 交 点 的 横 坐标 为 -2.( )求 a； ( )证 明 ： 当 k 1 时 ， 曲 线
24、 y=f(x)与 直 线 y=kx-2 只 有 一 个 交 点 .解 析 ： ( )求 函 数 的 导 数 ， 利 用 导 数 的 几 何 意 义 建 立 方 程 即 可 求 a；( )构 造 函 数 g(x)=f(x)-kx+2， 利 用 函 数 导 数 和 极 值 之 间 的 关 系 即 可 得 到 结 论 .答 案 ： ( )函 数 的 导 数 f (x)=3x2-6x+a； f (0)=a；则 y=f(x)在 点 (0， 2)处 的 切 线 方 程 为 y=ax+2， 切 线 与 x轴 交 点 的 横 坐 标 为 -2， f(-2)=-2a+2=0， 解 得 a=1.( )当 a=1时
25、 ， f(x)=x 3-3x2+x+2，设 g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4，由 题 设 知 1-k 0，当 x 0 时 ， g (x)=3x2-6x+1-k 0， g(x)单 调 递 增 ， g(-1)=k-1， g(0)=4，则 g(x)=0 在 (- ， 0有 唯 一 实 根 .当 x 0 时 ， 令 h(x)=x3-3x2+4， 则 g(x)=h(x)+(1-k)x h(x).则 h (x)=3x2-6x=3x(x-2)单 调 递 增 ， g(-1)=k-1， g(0)=4，则 g(x)=0 在 (- ， 0有 唯 一 实 根 . g(x) h(x) h(2
26、)=0， g(x)=0 在 (0， + )上 没 有 实 根 .综 上 当 k 1 时 ， 曲 线 y=f(x)与 直 线 y=kx-2只 有 一 个 交 点 . 三 、 选 修 4-1： 几 何 证 明 选 讲22.(10分 )如 图 ， P 是 O外 一 点 ， PA 是 切 线 ， A为 切 点 ， 割 线 PBC与 O 相 交 于 点 B， C，PC=2PA， D为 PC的 中 点 ， AD 的 延 长 线 交 O于 点 E， 证 明 ：( )BE=EC；( )AD DE=2PB 2.解 析 ： ( )连 接 OE， OA， 证 明 OE BC， 可 得 E 是 的 中 点 ， 从 而
27、 BE=EC；( )利 用 切 割 线 定 理 证 明 PD=2PB， PB=BD， 结 合 相 交 弦 定 理 可 得 AD DE=2PB2.答 案 ： ( )连 接 OE， OA， 则 OAE= OEA， OAP=90 ， PC=2PA， D 为 PC 的 中 点 ， PA=PD， PAD= PDA， PDA= CDE， OEA+ CDE= OAE+ PAD=90 ， OE BC， E是 的 中 点 ， BE=EC； ( ) PA 是 切 线 ， A为 切 点 ， 割 线 PBC与 O 相 交 于 点 B， C， PA2=PB PC， PC=2PA， PA=2PB， PD=2PB， PB=
28、BD， BD DC=PB 2PB， AD DE=BD DC， AD DE=2PB2.四 、 选 修 4-4， 坐 标 系 与 参 数 方 程23.在 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 半 圆 C 的极 坐 标 方 程 =2cos ， 0， .( )求 C 的 参 数 方 程 ；( )设 点 D在 C上 ， C在 D处 的 切 线 与 直 线 l： y= x+2垂 直 ， 根 据 ( )中 你 得 到 的 参 数 方程 ， 确 定 D的 坐 标 .解 析 ： ( )半 圆 C 的 极 坐 标 方 程 化
29、 为 直 角 坐 标 方 程 为 (x-1) 2+y2=1， 令 x-1=cos -1， 1，y=sin ， 可 得 半 圆 C 的 参 数 方 程 .( )由 题 意 可 得 直 线 CD和 直 线 l 平 行 .设 点 D 的 坐 标 为 (1+cos ， sin )， 根 据 直 线 CD和直 线 l 的 斜 率 相 等 求 得 cot 的 值 ， 可 得 的 值 ， 从 而 得 到 点 D 的 坐 标 .答 案 ： ( )半 圆 C 的 极 坐 标 方 程 =2cos ， 0， ， 即 2=2 cos ，化 为 直 角 坐 标 方 程 为 (x-1)2+y2=1， x 0， 2、 y
30、0， 1.令 x-1=cos -1， 1， y=sin ， 0， .故 半 圆 C 的 参 数 方 程 为 ， 0， .( )设 点 D在 C上 ， C 在 D 处 的 切 线 与 直 线 l： y= x+2垂 直 ， 直 线 CD 和 直 线 l 平 行 ， 故 直 线 CD 和 直 线 l 斜 率 相 等 . 设 点 D的 坐 标 为 (1+cos ， sin )， C(1， 0)， = ，解 得 tan = ， 即 = ，故 点 D 的 坐 标 为 ( ， ).五 、 选 修 4-5： 不 等 式 选 讲24.设 函 数 f(x)=|x+ |+|x-a|(a 0).( )证 明 ： f(
31、x) 2； ( )若 f(3) 5， 求 a 的 取 值 范 围 .解 析 ： ( )由 a 0， f(x)=|x+ |+|x-a|， 利 用 绝 对 值 三 角 不 等 式 、 基 本 不 等 式 证 得 f(x) 2成 立 .( )由 f(3)=|3+ |+|3-a| 5， 分 当 a 3时 和 当 0 a 3时 两 种 情 况 ， 分 别 去 掉 绝 对 值 ，求 得 不 等 式 的 解 集 ， 再 取 并 集 ， 即 得 所 求 .答 案 ： ( ) a 0， f(x)=|x+ |+|x-a| |(x+ )-(x-a)|=|a+ |=a+ 2 =2，故 不 等 式 f(x) 2 成 立 .( ) f(3)=|3+ |+|3-a| 5， 当 a 3 时 ， 不 等 式 即 a+ 5， 即 a2-5a+1 0，解 得 3 a .当 0 a 3时 ， 不 等 式 即 6-a+ 5，即 a2-a-1 0， 求 得 3.综 上 可 得 ， a的 取 值 范 围 ( ， ).
