1、2 0 1 5年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学文（2）1 9 .（本小题满分1 2分）已知点F为抛物线2: 2 ( 0)E y px p 的焦点，点(2, )A m在抛物线E上，且3AF .（）求抛物线E的方程；（）已知点( 1,0)G ，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切. 【答案】（）2 4y x；（）详见解析.【解析】试题分析：（）利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化.本题由3AF 可得2 32p ，可求p的值，进而确定抛物线方程；（）欲证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切.可证明点F到
2、直线GA和直线GB的距离相等（此时需确定两条直线方程）；也可以证明GF GF ，可转化为证明两条直线的斜率互为相反数.试题解析：解法一：（I）由抛物线的定义得F 2 2p . 因为F 3 ，即2 32p ，解得2p ，所以抛物线的方程为2 4y x .（II）因为点 2,m在抛物线: 2 4y x上，所以2 2m，由抛物线的对称性，不妨设 2,2 2 .由 2,2 2， F 1,0可得直线F的方程为 2 2 1y x . 由 2 2 2 14y xy x ，得22 5 2 0 x x ，解得2x或12x ，从而1 , 22 .又 G 1,0，所以 G 2 2 0 2 22 1 3k ， G 2
3、 0 2 21 312k ，所以G G 0k k ，从而GF GF ，这表明点F到直线G，G的距离相等， 故以F为圆心且与直线G相切的圆必与直线G相切.解法二：（I）同解法一.（II）设以点F为圆心且与直线G相切的圆的半径为r .因为点 2,m在抛物线: 2 4y x上，所以2 2m，由抛物线的对称性，不妨设 2,2 2 . 由 2,2 2， F 1,0可得直线F的方程为 2 2 1y x .由 2 2 2 14y xy x ，得22 5 2 0 x x ，解得2x或12x ，从而1 , 22 .又 G 1,0，故直线G的方程为2 2 3 2 2 0 x y ，从而2 2 2 2 4 28 9
4、 17r . 又直线G的方程为2 2 3 2 2 0 x y ， 所以点F到直线G的距离2 2 2 2 4 28 9 17d r .这表明以点F为圆心且与直线G相切的圆必与直线G相切.2 0 .（本题满分1 2分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,A B的点，垂直于圆所在的平面，且1 . （）若D为线段AC的中点，求证C 平面D ；（）求三棱锥P ABC体积的最大值；（）若2BC ，点E在线段PB上，求CE OE的最小值.【答案】（）详见解析；（）13；（）2 62 .【解析】试题分析：（）要证明C 平面D ，只需证明AC垂直于面D 内的两条相交直线.首先由垂直于圆所在的平面，可证明C
5、；又C，D为C的中点，可证明C D ，进而证明结论；（）三 棱锥P ABC中，高1PO，要使得P ABC体积最大，则底面ABC面积最大，又2AB 是定值，故当AB边上的高最大，此时高为半径，进而求三棱锥P ABC体积；（）将侧面C 绕旋转至平面C ，使之与平面共面，此时线段OC的长度即为CE OE的最小值.试题解析：解法一：（I）在C中，因为C，D为C的中点，所以C D .又垂直于圆所在的平面，所以C .因为D ， 所以C 平面D .（II）因为点C在圆上，所以当C时，C到的距离最大，且最大值为1.又2，所以C面积的最大值为1 2 1 12 . 又因为三棱锥C的高1，故三棱锥C体积的最大值为1
6、 11 13 3 .（III）在中，1，90 ，所以2 21 1 2 .同理C 2 ，所以C C .在三棱锥C中，将侧面C 绕旋转至平面C ，使之与平面共面，如图所示. 当，C共线时，C取得最小值.又因为，C C ，所以C垂直平分，即为中点.从而2 6 2 6C C 2 2 2 ，亦即C的最小值为2 62 .解法二：（I）、（II）同解法一. （III）在中，1，90 ，所以45 ，2 21 1 2 .同理C 2 .所以C C ，所以C 60 .在三棱锥C中，将侧面C 绕旋转至平面C ，使之与平面共面，如图所示.当，C共线时，C取得最小值.所以在C 中，由余弦定理得： 2C 1 2 2 1 2
7、 cos 45 60 2 1 2 31 2 2 2 2 2 2 2 2 3 .从而2 6C 2 3 2 .所以C的最小值为2 62 .2 1 .（本题满分1 2分）已知函数 210 3sin cos 10cos2 2 2x x xf x .（）求函数 f x的最小正周期； （）将函数 f x的图象向右平移6个单位长度，再向下平移a（0a）个单位长度后得到函数 g x的图象，且函数 g x的最大值为2 .（）求函数 g x的解析式；（）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0 x，使得 0 0g x .【答案】（）2；（）（） 10sin 8g x x ；（）详见解析.【解析】试题分析：（）首先利用
8、证明二倍角公式和余弦降幂公式将 f x化为( ) 10sin 56f x x ，然后利用2T 求周期；（）由函数 f x的解析式中给x减6，再将所得解析式整体减去a得 g x的解析式为 10sin 5g x x a ，当sin x取1的时， g x取最大值10 5 a ，列方程求得13a，从而 g x的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数0 x，使得 0 0g x ，可解不等式 0 0g x ，只需解集的长度大于1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数0 x .试题解析：（I）因为 210 3sin cos 10cos2 2 2x x xf x 5 3
9、sin 5cos 5x x 10sin 56x .所以函数 f x的最小正周期2 . （II）（i）将 f x的图象向右平移6个单位长度后得到10sin 5y x 的图象，再向下平移a（0a）个单位长度后得到 10sin 5g x x a 的图象.又已知函数 g x的最大值为2，所以10 5 2a ，解得13a .所以 10sin 8g x x .（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0 x，使得 0 0g x ，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0 x，使得010sin 8 0 x ，即0 4sin 5x . 由4 35 2知，存在00 3 ，使得0 4sin 5 .由正弦函数的性质
10、可知，当 0 0,x 时，均有4sin 5x .因为siny x的周期为2，所以当 0 02 ,2x k k （k）时，均有4sin 5x .因为对任意的整数k， 0 0 02 2 2 13k k ，所以对任意的正整数k，都存在正整数 0 02 ,2kx k k ，使得4sin 5kx . 亦即存在无穷多个互不相同的正整数0 x，使得 0 0g x .2 2 .（本小题满分1 4分）已知函数2( 1)( ) ln 2xf x x .()求函数 f x的单调递增区间；（）证明：当1x时， 1f x x ；（）确定实数k的所有可能取值，使得存在0 1x ，当0(1, )x x时，恒有 1f x k
11、 x . 【答案】() 1 50, 2 ；（）详见解析；（） ,1 .【解析】试题分析：()求导函数 2 1x xf x x ，解不等式( ) 0f x 并与定义域求交集，得函数 f x的单调递增区间；（）构造函数 F 1x f x x ， 1,x .欲证明 1f x x ，只需证明( )F x的最大值小于0即 可；（）由（II）知，当1k 时，不存在0 1x 满足题意；当1k 时，对于1x，有 1 1f x x k x ，则 1f x k x ，从而不存在0 1x 满足题意；当1k 时，构造函数 G 1x f x k x ， 0,x ，利用导数研究函数( )G x的形状，只要存在0 1x ，
12、当0(1, )x x时( ) 0G x 即可.试题解析：（I） 21 11 x xf x xx x ， 0,x .由 0f x 得20 1 0 xx x 解得1 50 2x . 故 f x的单调递增区间是1 50, 2 .（II）令 F 1x f x x ， 0,x .则有 21F xx x .当 1,x 时， F 0 x ，所以 F x在 1,上单调递减，故当1x时， F F 1 0 x ，即当1x时， 1f x x . （III）由（II）知，当1k 时，不存在0 1x 满足题意.当1k 时，对于1x，有 1 1f x x k x ，则 1f x k x ，从而不存在0 1x 满足题意.当1k 时，令 G 1x f x k x ， 0,x ，则有 2 1 11G 1 x k xx x kx x .由 G 0 x 得， 2 1 1 0 x k x .解得 21 1 1 4 02k kx ， 22 1 1 4 12k kx . 当 21,x x时， G 0 x ，故 G x在 21,x内单调递增.从而当 21,x x时， G G 1 0 x ，即 1f x k x ， 综上，k的取值范围是 ,1 .
