1、2014年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 ( 广 东 卷 ) 数 学 理一 、 选 择 题 : 本 小 题 共 8 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 40分 .1.已 知 集 合 M-1, 0, 1, N=0, 1, 2, 则 M N=( )A.0, 1B.-1, 0, 1, 2C.-1, 0, 2D.-1, 0, 1解 析 : 集 合 M-1, 0, 1, N=0, 1, 2, M N=-1, 0, 1, 2,答 案 : B 2.已 知 复 数 z 满 足 (3+4i)z=25, 则 z=( )A. 3-4iB. 3+4iC. -3-4iD. -3+4i解 析
2、 : 复 数 z满 足 (3+4i)z=25, 则 z= = = =3-4i,答 案 : A.3.若 变 量 x, y 满 足 约 束 条 件 , 且 z=2x+y的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 为 m和 n, 则 m-n=( )A. 5B. 6C. 7D. 8解 析 : 作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 如 图 : 由 z=2x+y, 得 y=-2x+z, 平 移 直 线 y=-2x+z, 由 图 象 可 知 当 直 线 y=-2x+z经 过 点 A,直 线 y=-2x+z的 截 距 最 小 , 此 时 z最 小 ,由 , 解 得 , 即 A(-1, -1), 此
3、时 z=-2-1=-3, 此 时 n=-3,平 移 直 线 y=-2x+z, 由 图 象 可 知 当 直 线 y=-2x+z经 过 点 , B,直 线 y=-2x+z的 截 距 最 大 , 此 时 z最 大 , 由 , 解 得 ,即 B(2, -1), 此 时 z=2 2-1=3, 即 m=3, 则 m-n=3-(-3)=6,答 案 : B. 4.若 实 数 k满 足 0 k 9, 则 曲 线 - =1与 曲 线 - =1的 ( )A.焦 距 相 等B.实 半 轴 长 相 等C.虚 半 轴 长 相 等D.离 心 率 相 等解 析 : 当 0 k 9, 则 0 9-k 9, 16 25-k 25
4、,即 曲 线 - =1表 示 焦 点 在 x 轴 上 的 双 曲 线 , 其 中 a 2=25, b2=9-k, c2=34-k,曲 线 - =1表 示 焦 点 在 x轴 上 的 双 曲 线 , 其 中 a2=25-k, b2=9, c2=34-k,即 两 个 双 曲 线 的 焦 距 相 等 ,答 案 : A.5.已 知 向 量 =(1, 0, -1), 则 下 列 向 量 中 与 成 60 夹 角 的 是 ( )A. (-1, 1, 0)B. (1, -1, 0) C. (0, -1, 1)D. (-1, 0, 1)解 析 : 不 妨 设 向 量 为 =(x, y, z),A.若 =(-1,
5、 1, 0), 则 cos = = , 不 满 足 条 件 .B.若 =(1, -1, 0), 则 cos = = = , 满 足 条 件 . C.若 =(-1, 0, 1), 则 cos = = , 不 满 足 条 件 .D.若 =(-1, 1, 0), 则 cos = = , 不 满 足 条 件 .答 案 : B6.已 知 某 地 区 中 小 学 学 生 的 近 视 情 况 分 布 如 图 1和 图 2 所 示 , 为 了 解 该 地 区 中 小 学 生 的 近 视形 成 原 因 , 用 分 层 抽 样 的 方 法 抽 取 2%的 学 生 进 行 调 查 , 则 样 本 容 量 和 抽 取
6、 的 高 中 生 近 视 人数 分 别 为 ( ) A. 200, 20B. 100, 20C. 200, 10D. 100, 10解 析 : 由 图 1 知 : 总 体 个 数 为 3500+2000+4500=10000, 样 本 容 量 =10000 2%=200,分 层 抽 样 抽 取 的 比 例 为 , 高 中 生 抽 取 的 学 生 数 为 40, 抽 取 的 高 中 生 近 视 人 数 为 40 50%=20.答 案 : A.7.若 空 间 中 四 条 两 两 不 同 的 直 线 l 1, l2, l3, l4, 满 足 l1 l2, l2 l3, l3 l4, 则 下 列 结
7、论 一定 正 确 的 是 ( )A. l1 l4B. l1 l4C. l1与 l4既 不 垂 直 也 不 平 行D. l1与 l4的 位 置 关 系 不 确 定解 析 : l1 l2, l2 l3, l1与 l3的 位 置 关 系 不 确 定 ,又 l 4 l3, l1与 l4的 位 置 关 系 不 确 定 .故 A、 B、 C 错 误 .答 案 : D.8.设 集 合 A=(x1, x2, x3, x4, x5)|xi -1, 0, 1, i=1, 2, 3, 4, 5, 那 么 集 合 A 中 满 足条 件 “ 1 |x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5| 3” 的 元 素 个 数
8、 为 ( )A. 60B. 90 C. 120D. 130解 析 : 由 题 目 中 “ 1 |x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5| 3” 考 虑 x1, x2, x3, x4, x5的 可 能 取 值 , 设A=0, B=-1, 1分 为 有 2个 取 值 为 0, 另 外 3 个 从 B中 取 , 共 有 方 法 数 : ; 有 3个 取 值 为 0, 另 外 2 个 从 B中 取 , 共 有 方 法 数 : ; 有 4个 取 值 为 0, 另 外 1 个 从 B中 取 , 共 有 方 法 数 : . 总 共 方 法 数 是 + + =130.即 元 素 个 数 为 130. 答
9、 案 : D.二 、 填 空 题 : 本 大 题 共 5 小 题 , 考 生 作 答 6 小 题 , 每 小 题 5 分 , 满 分 25 分 .(一 )必 做 题 (913题 )9.不 等 式 |x-1|+|x+2| 5的 解 集 为 .解 析 : 由 不 等 式 |x-1|+|x+2| 5, 可 得 , 或 , 或 .解 求 得 x -3, 解 求 得 x , 解 求 得 x 2.综 上 , 不 等 式 的 解 集 为 (- , -3 2, + ), 答 案 : (- , -3 2, + ).10.曲 线 y=e-5x+2在 点 (0, 3)处 的 切 线 方 程 为 .解 析 : y =
10、-5e-5x, k=-5, 曲 线 y=e-5x+2在 点 (0, 3)处 的 切 线 方 程 为 y-3=-5x, 即 y=-5x+3.答 案 : y=-5x+311.从 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 中 任 取 七 个 不 同 的 数 , 则 这 七 个 数 的 中 位 数 是 6 的 概率 为 .解 析 : 从 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 中 任 取 七 个 不 同 的 数 , 有 种 方 法 ,若 七 个 数 的 中 位 数 是 6, 则 只 需 从 0, 1, 2, 3, 4, 5, 选 3个 , 从 7, 8, 9 中 选
11、3 个 不 同 的 数 即 可 , 有 种 方 法 ,则 这 七 个 数 的 中 位 数 是 6的 概 率 P= = , 答 案 :12.在 ABC中 , 角 A, B, C所 对 应 的 边 分 别 为 a, b, c, 已 知 bcosC+ccosB=2b, 则 = .解 析 : 将 bcosC+ccosB=2b, 利 用 正 弦 定 理 化 简 得 : sinBcosC+sinCcosB=2sinB, 即sin(B+C)=2sinB, sin(B+C)=sinA, sinA=2sinB, 利 用 正 弦 定 理 化 简 得 : a=2b, 则 =2.答 案 : 213.若 等 比 数 列
12、 a n的 各 项 均 为 正 数 , 且 a10a11+a9a12=2e5, 则 lna1+lna2+ lna20= .解 析 : 数 列 an为 等 比 数 列 , 且 a10a11+a9a12=2e5, a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,则 a10a11=e5, lna1+lna2+ lna20= =ln(e5)10=lne50=50.答 案 : 50.(二 )、 选 做 题 (1415 题 , 考 生 只 能 从 中 选 作 一 题 )【 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 】14.在 极 坐 标 系 中 , 曲 线 C 1和 C2的 方 程 分 别 为 sin
13、2 =cos 和 sin =1, 以 极 点 为 平 面 直角 坐 标 系 的 原 点 , 极 轴 为 x 轴 的 正 半 轴 , 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 , 则 曲 线 C1和 C2交 点 的 直 角坐 标 为 .解 析 : 曲 线 C1的 方 程 sin2 =cos 化 为 直 角 坐 标 方 程 为 y2=x,C2的 方 程 sin =1即 y=1, 由 , 求 得 , 曲 线 C1和 C2交 点 的 直 角 坐 标 为 (1,1),答 案 : (1, 1).【 几 何 证 明 选 讲 选 做 题 】15.(2014广 东 )如 图 , 在 平 行 四 边 形 ABCD 中
14、, 点 E 在 AB上 且 EB=2AE, AC 与 DE交 于 点 F, 则 = .解 析 : ABCD是 平 行 四 边 形 , 点 E在 AB上 且 EB=2AE, = , ABCD是 平 行 四 边 形 , AB CD, CDF AEF, =( ) 2=9. 答 案 : 9.三 、 解 答 题 : 本 大 题 共 6 小 题 , 满 分 80分 , 解 答 须 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .16.(12分 )已 知 函 数 f(x)=Asin(x+ ), x R, 且 f( )= .(1)求 A 的 值 ;(2)若 f( )+f(- )= , (0,
15、 ), 求 f( - ).解 析 : (1)由 函 数 f(x)的 解 析 式 以 及 f( )= , 求 得 A 的 值 .(2)由 (1)可 得 f(x)= sin(x+ ), 根 据 f( )+f(- )= , 求 得 cos 的 值 , 再 由 (0, ), 求 得 sin 的 值 , 从 而 求 得 f( - ) 的 值 .答 案 : (1) 函 数 f(x)=Asin(x+ ), x R, 且 f( )= . Asin( + )=Asin =A = , A= .(2)由 (1)可 得 f(x)= sin(x+ ), f( )+f(- )= sin( + )+ sin(- + )=2
16、 sin cos = cos = , cos = , 再 由 (0, ), 可 得 sin = . f( - )= sin( - + )= sin( - )= sin = . 17.(13分 )随 机 观 测 生 产 某 种 零 件 的 某 工 作 厂 25名 工 人 的 日 加 工 零 件 个 数 (单 位 : 件 ), 获得 数 据 如 下 : 30, 42, 41, 36, 44, 40, 37, 37, 25, 45, 29, 43, 31, 36, 49, 34, 33,43, 38, 42, 32, 34, 46, 39, 36.根 据 上 述 数 据 得 到 样 本 的 频 率
17、分 布 表 如 下 :分 组 频 数 频 率25, 30 3 0.12(30, 35 5 0.20(35, 40 8 0.32(40, 45 n 1 f1(45, 50 n2 f2(1)确 定 样 本 频 率 分 布 表 中 n1, n2, f1和 f2的 值 ;(2)根 据 上 述 频 率 分 布 表 , 画 出 样 本 频 率 分 布 直 方 图 ;(3)根 据 样 本 频 率 分 布 直 方 图 , 求 在 该 厂 任 取 4人 , 至 少 有 1 人 的 日 加 工 零 件 数 落 在 区 间 (30,35的 概 率 .解 析 : (1)利 用 所 给 数 据 , 可 得 样 本 频
18、率 分 布 表 中 n 1, n2, f1和 f2的 值 ;(2)根 据 上 述 频 率 分 布 表 , 可 得 样 本 频 率 分 布 直 方 图 ; (3)利 用 对 立 事 件 可 求 概 率 .答 案 : (1)(40, 45的 频 数 n1=7, 频 率 f1=0.28; (45, 50的 频 数 n2=2, 频 率 f2=0.08;(2)频 率 分 布 直 方 图 : (3)设 在 该 厂 任 取 4 人 , 没 有 一 人 的 日 加 工 零 件 数 落 在 区 间 (30, 35为 事 件 A, 则 至 少 有 一人 的 日 加 工 零 件 数 落 在 区 间 (30, 35为
19、 事 件 ,已 知 该 厂 每 人 日 加 工 零 件 数 落 在 区 间 (30, 35的 概 率 为 , P(A)= = , P( )=1-P(A)= , 在 该 厂 任 取 4 人 , 至 少 有 1 人 的 日 加 工 零 件 数 落 在 区 间 (30, 35的 概 率 为 .18.(13分 )如 图 , 四 边 形 ABCD 为 正 方 形 .PD 平 面 ABCD, DPC=30 , AF PC于 点 F, FE CD,交 PD 于 点 E. (1)证 明 : CF 平 面 ADF;(2)求 二 面 角 D-AF-E的 余 弦 值 .解 析 : (1)结 合 已 知 又 直 线
20、和 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 判 PC 平 面 ADF, 即 得 所 求 ;(2)由 已 知 数 据 求 出 必 要 的 线 段 的 长 度 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 由 向 量 法 计 算 即 可 .答 案 : (1) PD 平 面 ABCD, PD AD,又 CD AD, PD CD=D, AD 平 面 PCD, AD PC, 又 AF PC, PC 平 面 ADF, 即 CF 平 面 ADF;(2)设 AB=1, 在 RT PDC中 , CD=1, DPC=30 , PC=2, PD= , 由 (1)知 CF DF, DF= , AF= = , CF= =
21、 , 又 FE CD, , DE= , 同 理 可 得 EF= CD= ,如 图 所 示 , 以 D为 原 点 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则 A(0, 0, 1), E( , 0, 0), F( , , 0), P( , 0, 0), C(0, 1, 0)设 向 量 =(x, y, z)为 平 面 AEF的 法 向 量 , 则 有 , , , 令 x=4可 得 z= , =(4, 0, ),由 (1)知 平 面 ADF的 一 个 法 向 量 为 =( , 1, 0),设 二 面 角 D-AF-E的 平 面 角 为 , 可 知 为 锐 角 ,cos =|cos , |= = =
22、 二 面 角 D-AF-E的 余 弦 值 为 :19.(14分 )设 数 列 an的 前 n 项 和 为 Sn, 满 足 Sn=2nan+1-3n2-4n, n N*, 且 S3=15.(1)求 a1, a2, a3的 值 ;(2)求 数 列 an的 通 项 公 式 .解 析 : (1)在 数 列 递 推 式 中 取 n=2 得 一 关 系 式 , 再 把 S3变 为 S2+a3得 另 一 关 系 式 , 联 立 可 求a 3, 然 后 把 递 推 式 中 n 取 1, 再 结 合 S3=15联 立 方 程 组 求 得 a1, a2;(2)由 (1)中 求 得 的 a1, a2, a3的 值
23、猜 测 出 数 列 的 一 个 通 项 公 式 , 然 后 利 用 数 学 归 纳 法 证 明 .答 案 : (1)由 Sn=2nan+1-3n2-4n, n N*, 得 : S2=4a3-20 又 S3=S2+a3=15 联 立 解 得 : a3=7.再 在 Sn=2nan+1-3n2-4n中 取 n=1, 得 : a1=2a2-7 又 S3=a1+a2+7=15 联 立 得 : a2=5, a1=3. a1, a2, a3的 值 分 别 为 3, 5, 7;(2) a1=3=2 1+1, a2=5=2 2+1, a3=7=2 3+1.由 此 猜 测 an=2n+1.下 面 由 数 学 归
24、纳 法 证 明 :1、 当 n=1 时 , a 1=3=2 1+1成 立 .2、 假 设 n=k时 结 论 成 立 , 即 ak=2k+1.那 么 , 当 n=k+1时 ,由 Sn=2nan+1-3n2-4n, 得 , ,两 式 作 差 得 : .= =2(k+1)+1. 综 上 , 当 n=k+1时 结 论 成 立 . an=2n+1.20.(14分 )已 知 椭 圆 C: + =1(a b 0)的 每 一 个 焦 点 为 ( , 0), 离 心 率 为 .(1)求 椭 圆 C 的 标 准 方 程 ;(2)若 动 点 P(x 0, y0)为 椭 圆 C 外 一 点 , 且 点 P到 椭 圆
25、C的 两 条 切 线 相 互 垂 直 , 求 点 P 的 轨 迹方 程 .解 析 : (1)根 据 焦 点 坐 标 和 离 心 率 求 得 a 和 b, 则 椭 圆 的 方 可 得 .(2)设 出 切 线 的 方 程 , 带 入 椭 圆 方 程 , 整 理 后 利 用 =0, 整 理 出 关 于 k 的 一 元 二 次 方 程 , 利用 韦 达 定 理 表 示 出 k1k2, 进 而 取 得 x0和 y0的 关 系 式 , 即 P 点 的 轨 迹 方 程 .答 案 : (1)依 题 意 知 , 求 得 a=3, b=2, 椭 圆 的 方 程 为 + =1.(2)当 过 点 P 的 直 线 斜
26、率 不 存 在 时 , P 的 坐 标 为 ( 3, 2)时 符 合 题 意 ,设 过 点 P(x 0, y0)的 切 线 为 y=k(x-x0)+y0,+ = + =1, 整 理 得 (9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9(y0-kx0)2-4=0, =18k(y0-kx0)2-4(9k2+4) 9(y0-kx0)2-4, (x02-9)k2-2x0 y0 k+(y02-4)=0, -1=k1k2= =-1, x02+y02=13.把 点 ( 3, 2)亦 成 立 , 点 P 的 轨 迹 方 程 为 : x2+y2=13.21.(14分 )设 函 数 f(x)= , 其 中 k -
27、2.(1)求 函 数 f(x)的 定 义 域 D(用 区 间 表 示 );(2)讨 论 函 数 f(x)在 D 上 的 单 调 性 ;(3)若 k -6, 求 D 上 满 足 条 件 f(x) f(1)的 x 的 集 合 (用 区 间 表 示 ).解 析 : (1)利 用 换 元 法 , 结 合 函 数 成 立 的 条 件 , 即 可 求 出 函 数 的 定 义 域 .(2)根 据 复 合 函 数 的 定 义 域 之 间 的 关 系 即 可 得 到 结 论 . (3)根 据 函 数 的 单 调 性 , 即 可 得 到 不 等 式 的 解 集 .答 案 : (1)设 t=x2+2x+k, 则 f
28、(x)等 价 为 y=g(t)= ,要 使 函 数 有 意 义 , 则 t2+2t-3 0, 解 得 t 1 或 t -3,即 x2+2x+k 1 或 x2+2x+k -3,则 (x+1)2 2-k, 或 (x+1)2 k-4, (舍 去 ),即 x+1 或 x+1 ,即 x -1或 x ,则 函 数 的 定 义 域 为 ( -1, + ) (- , -1- ) (-1- , -1+ ). (2) =,由 f(x) 0, 即 (x2+2x+k+1)(2x+2) 0, 则 (x+1+ )(x+1- )(x+1) 0解 得 x -1- 或 -1 x -1+ , 结 合 定 义 域 知 , x -1
29、- 或 -1 x-1+ ,即 函 数 的 单 调 递 增 区 间 为 : (- , -1- ), (-1, -1+ ), 同 理 解 得 单 调 递 减 区 间 为 : (-1- , -1), (-1+ , + ).(3)由 f(x)=f(1)得 (x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)-3=(3+k)2+2(3+k)-3, 则 (x2+2x+k)2-(3+k)2+2(x2+2x+k)-(3+k)=0, (x2+2x+2k+5)(x2+2x-3)=0即 (x+1+ )(x+1- )(x+3)(x-1)=0, x=-1- 或 x=-1+ 或 x=-3或 x=1, k -6, 1 (-1, -1+ ), -3 (-1- , -1), f(-3)=f(1)=f(-1- )=f(-1+ ),且 满 足 -1- (- , -1- ), -1+ (-1+ , + ), 由 (2)可 知 函 数 f(x)在 上 述 四 个 区 间 内 均 单 调 递 增 或 递 减 , 结 合 图 象 , 要 使 f(x) f(1)的 集合 为 :( ) (-1- , -3) (1,-1+ ) (-1+ , -1+ ).