1、2014年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 广 东 卷 ） 数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 小 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 40分 .1.已 知 集 合 M-1， 0， 1， N=0， 1， 2， 则 M N=( )A.0， 1B.-1， 0， 1， 2C.-1， 0， 2D.-1， 0， 1解 析 ： 集 合 M-1， 0， 1， N=0， 1， 2， M N=-1， 0， 1， 2，答 案 ： B 2.已 知 复 数 z 满 足 (3+4i)z=25， 则 z=( )A. 3-4iB. 3+4iC. -3-4iD. -3+4i解 析
2、 ： 复 数 z满 足 (3+4i)z=25， 则 z= = = =3-4i，答 案 ： A.3.若 变 量 x， y 满 足 约 束 条 件 ， 且 z=2x+y的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 为 m和 n， 则 m-n=( )A. 5B. 6C. 7D. 8解 析 ： 作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 如 图 ： 由 z=2x+y， 得 y=-2x+z， 平 移 直 线 y=-2x+z， 由 图 象 可 知 当 直 线 y=-2x+z经 过 点 A，直 线 y=-2x+z的 截 距 最 小 ， 此 时 z最 小 ，由 ， 解 得 ， 即 A(-1， -1)， 此
3、时 z=-2-1=-3， 此 时 n=-3，平 移 直 线 y=-2x+z， 由 图 象 可 知 当 直 线 y=-2x+z经 过 点 ， B，直 线 y=-2x+z的 截 距 最 大 ， 此 时 z最 大 ， 由 ， 解 得 ，即 B(2， -1)， 此 时 z=2 2-1=3， 即 m=3， 则 m-n=3-(-3)=6，答 案 ： B. 4.若 实 数 k满 足 0 k 9， 则 曲 线 - =1与 曲 线 - =1的 ( )A.焦 距 相 等B.实 半 轴 长 相 等C.虚 半 轴 长 相 等D.离 心 率 相 等解 析 ： 当 0 k 9， 则 0 9-k 9， 16 25-k 25
4、，即 曲 线 - =1表 示 焦 点 在 x 轴 上 的 双 曲 线 ， 其 中 a 2=25， b2=9-k， c2=34-k，曲 线 - =1表 示 焦 点 在 x轴 上 的 双 曲 线 ， 其 中 a2=25-k， b2=9， c2=34-k，即 两 个 双 曲 线 的 焦 距 相 等 ，答 案 ： A.5.已 知 向 量 =(1， 0， -1)， 则 下 列 向 量 中 与 成 60 夹 角 的 是 ( )A. (-1， 1， 0)B. (1， -1， 0) C. (0， -1， 1)D. (-1， 0， 1)解 析 ： 不 妨 设 向 量 为 =(x， y， z)，A.若 =(-1，
5、 1， 0)， 则 cos = = ， 不 满 足 条 件 .B.若 =(1， -1， 0)， 则 cos = = = ， 满 足 条 件 . C.若 =(-1， 0， 1)， 则 cos = = ， 不 满 足 条 件 .D.若 =(-1， 1， 0)， 则 cos = = ， 不 满 足 条 件 .答 案 ： B6.已 知 某 地 区 中 小 学 学 生 的 近 视 情 况 分 布 如 图 1和 图 2 所 示 ， 为 了 解 该 地 区 中 小 学 生 的 近 视形 成 原 因 ， 用 分 层 抽 样 的 方 法 抽 取 2%的 学 生 进 行 调 查 ， 则 样 本 容 量 和 抽 取
6、 的 高 中 生 近 视 人数 分 别 为 ( ) A. 200， 20B. 100， 20C. 200， 10D. 100， 10解 析 ： 由 图 1 知 ： 总 体 个 数 为 3500+2000+4500=10000， 样 本 容 量 =10000 2%=200，分 层 抽 样 抽 取 的 比 例 为 ， 高 中 生 抽 取 的 学 生 数 为 40， 抽 取 的 高 中 生 近 视 人 数 为 40 50%=20.答 案 ： A.7.若 空 间 中 四 条 两 两 不 同 的 直 线 l 1， l2， l3， l4， 满 足 l1 l2， l2 l3， l3 l4， 则 下 列 结
7、论 一定 正 确 的 是 ( )A. l1 l4B. l1 l4C. l1与 l4既 不 垂 直 也 不 平 行D. l1与 l4的 位 置 关 系 不 确 定解 析 ： l1 l2， l2 l3， l1与 l3的 位 置 关 系 不 确 定 ，又 l 4 l3， l1与 l4的 位 置 关 系 不 确 定 .故 A、 B、 C 错 误 .答 案 ： D.8.设 集 合 A=(x1， x2， x3， x4， x5)|xi -1， 0， 1， i=1， 2， 3， 4， 5， 那 么 集 合 A 中 满 足条 件 “ 1 |x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5| 3” 的 元 素 个 数
8、 为 ( )A. 60B. 90 C. 120D. 130解 析 ： 由 题 目 中 “ 1 |x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5| 3” 考 虑 x1， x2， x3， x4， x5的 可 能 取 值 ， 设A=0， B=-1， 1分 为 有 2个 取 值 为 0， 另 外 3 个 从 B中 取 ， 共 有 方 法 数 ： ； 有 3个 取 值 为 0， 另 外 2 个 从 B中 取 ， 共 有 方 法 数 ： ； 有 4个 取 值 为 0， 另 外 1 个 从 B中 取 ， 共 有 方 法 数 ： . 总 共 方 法 数 是 + + =130.即 元 素 个 数 为 130. 答
9、 案 ： D.二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 5 小 题 ， 考 生 作 答 6 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 满 分 25 分 .(一 )必 做 题 (913题 )9.不 等 式 |x-1|+|x+2| 5的 解 集 为 .解 析 ： 由 不 等 式 |x-1|+|x+2| 5， 可 得 ， 或 ， 或 .解 求 得 x -3， 解 求 得 x ， 解 求 得 x 2.综 上 ， 不 等 式 的 解 集 为 (- ， -3 2， + )， 答 案 ： (- ， -3 2， + ).10.曲 线 y=e-5x+2在 点 (0， 3)处 的 切 线 方 程 为 .解 析 ： y =
10、-5e-5x， k=-5， 曲 线 y=e-5x+2在 点 (0， 3)处 的 切 线 方 程 为 y-3=-5x， 即 y=-5x+3.答 案 ： y=-5x+311.从 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 中 任 取 七 个 不 同 的 数 ， 则 这 七 个 数 的 中 位 数 是 6 的 概率 为 .解 析 ： 从 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 中 任 取 七 个 不 同 的 数 ， 有 种 方 法 ，若 七 个 数 的 中 位 数 是 6， 则 只 需 从 0， 1， 2， 3， 4， 5， 选 3个 ， 从 7， 8， 9 中 选
11、3 个 不 同 的 数 即 可 ， 有 种 方 法 ，则 这 七 个 数 的 中 位 数 是 6的 概 率 P= = ， 答 案 ：12.在 ABC中 ， 角 A， B， C所 对 应 的 边 分 别 为 a， b， c， 已 知 bcosC+ccosB=2b， 则 = .解 析 ： 将 bcosC+ccosB=2b， 利 用 正 弦 定 理 化 简 得 ： sinBcosC+sinCcosB=2sinB， 即sin(B+C)=2sinB， sin(B+C)=sinA， sinA=2sinB， 利 用 正 弦 定 理 化 简 得 ： a=2b， 则 =2.答 案 ： 213.若 等 比 数 列
12、 a n的 各 项 均 为 正 数 ， 且 a10a11+a9a12=2e5， 则 lna1+lna2+ lna20= .解 析 ： 数 列 an为 等 比 数 列 ， 且 a10a11+a9a12=2e5， a10a11+a9a12=2a10a11=2e5，则 a10a11=e5， lna1+lna2+ lna20= =ln(e5)10=lne50=50.答 案 ： 50.(二 )、 选 做 题 (1415 题 ， 考 生 只 能 从 中 选 作 一 题 )【 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 】14.在 极 坐 标 系 中 ， 曲 线 C 1和 C2的 方 程 分 别 为 sin
13、2 =cos 和 sin =1， 以 极 点 为 平 面 直角 坐 标 系 的 原 点 ， 极 轴 为 x 轴 的 正 半 轴 ， 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 则 曲 线 C1和 C2交 点 的 直 角坐 标 为 .解 析 ： 曲 线 C1的 方 程 sin2 =cos 化 为 直 角 坐 标 方 程 为 y2=x，C2的 方 程 sin =1即 y=1， 由 ， 求 得 ， 曲 线 C1和 C2交 点 的 直 角 坐 标 为 (1，1)，答 案 ： (1， 1).【 几 何 证 明 选 讲 选 做 题 】15.(2014广 东 )如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD 中
14、， 点 E 在 AB上 且 EB=2AE， AC 与 DE交 于 点 F， 则 = .解 析 ： ABCD是 平 行 四 边 形 ， 点 E在 AB上 且 EB=2AE， = ， ABCD是 平 行 四 边 形 ， AB CD， CDF AEF， =( ) 2=9. 答 案 ： 9.三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 满 分 80分 ， 解 答 须 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .16.(12分 )已 知 函 数 f(x)=Asin(x+ )， x R， 且 f( )= .(1)求 A 的 值 ；(2)若 f( )+f(- )= ， (0，
15、 )， 求 f( - ).解 析 ： (1)由 函 数 f(x)的 解 析 式 以 及 f( )= ， 求 得 A 的 值 .(2)由 (1)可 得 f(x)= sin(x+ )， 根 据 f( )+f(- )= ， 求 得 cos 的 值 ， 再 由 (0， )， 求 得 sin 的 值 ， 从 而 求 得 f( - ) 的 值 .答 案 ： (1) 函 数 f(x)=Asin(x+ )， x R， 且 f( )= . Asin( + )=Asin =A = ， A= .(2)由 (1)可 得 f(x)= sin(x+ )， f( )+f(- )= sin( + )+ sin(- + )=2
16、 sin cos = cos = ， cos = ， 再 由 (0， )， 可 得 sin = . f( - )= sin( - + )= sin( - )= sin = . 17.(13分 )随 机 观 测 生 产 某 种 零 件 的 某 工 作 厂 25名 工 人 的 日 加 工 零 件 个 数 (单 位 ： 件 )， 获得 数 据 如 下 ： 30， 42， 41， 36， 44， 40， 37， 37， 25， 45， 29， 43， 31， 36， 49， 34， 33，43， 38， 42， 32， 34， 46， 39， 36.根 据 上 述 数 据 得 到 样 本 的 频 率
17、分 布 表 如 下 ：分 组 频 数 频 率25， 30 3 0.12(30， 35 5 0.20(35， 40 8 0.32(40， 45 n 1 f1(45， 50 n2 f2(1)确 定 样 本 频 率 分 布 表 中 n1， n2， f1和 f2的 值 ；(2)根 据 上 述 频 率 分 布 表 ， 画 出 样 本 频 率 分 布 直 方 图 ；(3)根 据 样 本 频 率 分 布 直 方 图 ， 求 在 该 厂 任 取 4人 ， 至 少 有 1 人 的 日 加 工 零 件 数 落 在 区 间 (30，35的 概 率 .解 析 ： (1)利 用 所 给 数 据 ， 可 得 样 本 频
18、率 分 布 表 中 n 1， n2， f1和 f2的 值 ；(2)根 据 上 述 频 率 分 布 表 ， 可 得 样 本 频 率 分 布 直 方 图 ； (3)利 用 对 立 事 件 可 求 概 率 .答 案 ： (1)(40， 45的 频 数 n1=7， 频 率 f1=0.28； (45， 50的 频 数 n2=2， 频 率 f2=0.08；(2)频 率 分 布 直 方 图 ： (3)设 在 该 厂 任 取 4 人 ， 没 有 一 人 的 日 加 工 零 件 数 落 在 区 间 (30， 35为 事 件 A， 则 至 少 有 一人 的 日 加 工 零 件 数 落 在 区 间 (30， 35为
19、 事 件 ，已 知 该 厂 每 人 日 加 工 零 件 数 落 在 区 间 (30， 35的 概 率 为 ， P(A)= = ， P( )=1-P(A)= ， 在 该 厂 任 取 4 人 ， 至 少 有 1 人 的 日 加 工 零 件 数 落 在 区 间 (30， 35的 概 率 为 .18.(13分 )如 图 ， 四 边 形 ABCD 为 正 方 形 .PD 平 面 ABCD， DPC=30 ， AF PC于 点 F， FE CD，交 PD 于 点 E. (1)证 明 ： CF 平 面 ADF；(2)求 二 面 角 D-AF-E的 余 弦 值 .解 析 ： (1)结 合 已 知 又 直 线
20、和 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 判 PC 平 面 ADF， 即 得 所 求 ；(2)由 已 知 数 据 求 出 必 要 的 线 段 的 长 度 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 由 向 量 法 计 算 即 可 .答 案 ： (1) PD 平 面 ABCD， PD AD，又 CD AD， PD CD=D， AD 平 面 PCD， AD PC， 又 AF PC， PC 平 面 ADF， 即 CF 平 面 ADF；(2)设 AB=1， 在 RT PDC中 ， CD=1， DPC=30 ， PC=2， PD= ， 由 (1)知 CF DF， DF= ， AF= = ， CF= =
21、 ， 又 FE CD， ， DE= ， 同 理 可 得 EF= CD= ，如 图 所 示 ， 以 D为 原 点 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 A(0， 0， 1)， E( ， 0， 0)， F( ， ， 0)， P( ， 0， 0)， C(0， 1， 0)设 向 量 =(x， y， z)为 平 面 AEF的 法 向 量 ， 则 有 ， ， ， 令 x=4可 得 z= ， =(4， 0， )，由 (1)知 平 面 ADF的 一 个 法 向 量 为 =( ， 1， 0)，设 二 面 角 D-AF-E的 平 面 角 为 ， 可 知 为 锐 角 ，cos =|cos ， |= = =
22、 二 面 角 D-AF-E的 余 弦 值 为 ：19.(14分 )设 数 列 an的 前 n 项 和 为 Sn， 满 足 Sn=2nan+1-3n2-4n， n N*， 且 S3=15.(1)求 a1， a2， a3的 值 ；(2)求 数 列 an的 通 项 公 式 .解 析 ： (1)在 数 列 递 推 式 中 取 n=2 得 一 关 系 式 ， 再 把 S3变 为 S2+a3得 另 一 关 系 式 ， 联 立 可 求a 3， 然 后 把 递 推 式 中 n 取 1， 再 结 合 S3=15联 立 方 程 组 求 得 a1， a2；(2)由 (1)中 求 得 的 a1， a2， a3的 值
23、猜 测 出 数 列 的 一 个 通 项 公 式 ， 然 后 利 用 数 学 归 纳 法 证 明 .答 案 ： (1)由 Sn=2nan+1-3n2-4n， n N*， 得 ： S2=4a3-20 又 S3=S2+a3=15 联 立 解 得 ： a3=7.再 在 Sn=2nan+1-3n2-4n中 取 n=1， 得 ： a1=2a2-7 又 S3=a1+a2+7=15 联 立 得 ： a2=5， a1=3. a1， a2， a3的 值 分 别 为 3， 5， 7；(2) a1=3=2 1+1， a2=5=2 2+1， a3=7=2 3+1.由 此 猜 测 an=2n+1.下 面 由 数 学 归
24、纳 法 证 明 ：1、 当 n=1 时 ， a 1=3=2 1+1成 立 .2、 假 设 n=k时 结 论 成 立 ， 即 ak=2k+1.那 么 ， 当 n=k+1时 ，由 Sn=2nan+1-3n2-4n， 得 ， ，两 式 作 差 得 ： .= =2(k+1)+1. 综 上 ， 当 n=k+1时 结 论 成 立 . an=2n+1.20.(14分 )已 知 椭 圆 C： + =1(a b 0)的 每 一 个 焦 点 为 ( ， 0)， 离 心 率 为 .(1)求 椭 圆 C 的 标 准 方 程 ；(2)若 动 点 P(x 0， y0)为 椭 圆 C 外 一 点 ， 且 点 P到 椭 圆
25、C的 两 条 切 线 相 互 垂 直 ， 求 点 P 的 轨 迹方 程 .解 析 ： (1)根 据 焦 点 坐 标 和 离 心 率 求 得 a 和 b， 则 椭 圆 的 方 可 得 .(2)设 出 切 线 的 方 程 ， 带 入 椭 圆 方 程 ， 整 理 后 利 用 =0， 整 理 出 关 于 k 的 一 元 二 次 方 程 ， 利用 韦 达 定 理 表 示 出 k1k2， 进 而 取 得 x0和 y0的 关 系 式 ， 即 P 点 的 轨 迹 方 程 .答 案 ： (1)依 题 意 知 ， 求 得 a=3， b=2， 椭 圆 的 方 程 为 + =1.(2)当 过 点 P 的 直 线 斜
26、率 不 存 在 时 ， P 的 坐 标 为 ( 3， 2)时 符 合 题 意 ，设 过 点 P(x 0， y0)的 切 线 为 y=k(x-x0)+y0，+ = + =1， 整 理 得 (9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9(y0-kx0)2-4=0， =18k(y0-kx0)2-4(9k2+4) 9(y0-kx0)2-4， (x02-9)k2-2x0 y0 k+(y02-4)=0， -1=k1k2= =-1， x02+y02=13.把 点 ( 3， 2)亦 成 立 ， 点 P 的 轨 迹 方 程 为 ： x2+y2=13.21.(14分 )设 函 数 f(x)= ， 其 中 k -
27、2.(1)求 函 数 f(x)的 定 义 域 D(用 区 间 表 示 )；(2)讨 论 函 数 f(x)在 D 上 的 单 调 性 ；(3)若 k -6， 求 D 上 满 足 条 件 f(x) f(1)的 x 的 集 合 (用 区 间 表 示 ).解 析 ： (1)利 用 换 元 法 ， 结 合 函 数 成 立 的 条 件 ， 即 可 求 出 函 数 的 定 义 域 .(2)根 据 复 合 函 数 的 定 义 域 之 间 的 关 系 即 可 得 到 结 论 . (3)根 据 函 数 的 单 调 性 ， 即 可 得 到 不 等 式 的 解 集 .答 案 ： (1)设 t=x2+2x+k， 则 f
28、(x)等 价 为 y=g(t)= ，要 使 函 数 有 意 义 ， 则 t2+2t-3 0， 解 得 t 1 或 t -3，即 x2+2x+k 1 或 x2+2x+k -3，则 (x+1)2 2-k， 或 (x+1)2 k-4， (舍 去 )，即 x+1 或 x+1 ，即 x -1或 x ，则 函 数 的 定 义 域 为 ( -1， + ) (- ， -1- ) (-1- ， -1+ ). (2) =，由 f(x) 0， 即 (x2+2x+k+1)(2x+2) 0， 则 (x+1+ )(x+1- )(x+1) 0解 得 x -1- 或 -1 x -1+ ， 结 合 定 义 域 知 ， x -1
29、- 或 -1 x-1+ ，即 函 数 的 单 调 递 增 区 间 为 ： (- ， -1- )， (-1， -1+ )， 同 理 解 得 单 调 递 减 区 间 为 ： (-1- ， -1)， (-1+ ， + ).(3)由 f(x)=f(1)得 (x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)-3=(3+k)2+2(3+k)-3， 则 (x2+2x+k)2-(3+k)2+2(x2+2x+k)-(3+k)=0， (x2+2x+2k+5)(x2+2x-3)=0即 (x+1+ )(x+1- )(x+3)(x-1)=0， x=-1- 或 x=-1+ 或 x=-3或 x=1， k -6， 1 (-1， -1+ )， -3 (-1- ， -1)， f(-3)=f(1)=f(-1- )=f(-1+ )，且 满 足 -1- (- ， -1- )， -1+ (-1+ ， + )， 由 (2)可 知 函 数 f(x)在 上 述 四 个 区 间 内 均 单 调 递 增 或 递 减 ， 结 合 图 象 ， 要 使 f(x) f(1)的 集合 为 ：( ) (-1- ， -3) (1，-1+ ) (-1+ ， -1+ ).
