1、2014年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 广 东 卷 ） 数 学 文一 、 选 择 题 ： (本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 满 分 50分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 )1.已 知 集 合 M=2， 3， 4， N=0， 2， 3， 5， 则 M N=( )A.0， 2B.2， 3C.3， 4D.3， 5解 析 ： M=2， 3， 4， N=0， 2， 3， 5， M N=2， 3，答 案 ： B 2.已 知 复 数 ： 满 足 (3-4i)z=25， 则 z=( )
2、A. -3-4iB. -3+4iC. 3-4iD. 3+4i解 析 ： 满 足 (3-4i)z=25， 则 z= = =3+4i，答 案 ： D.3.已 知 向 量 =(1， 2)， =(3， 1)， 则 - =( )A.(-2， 1)B.(2， -1) C.(2， 0)D.(4， 3)解 析 ： 向 量 =(1， 2)， =(3， 1)， - =(2， -1)答 案 ： B.4.若 变 量 x， y 满 足 约 束 条 件 ， 则 z=2x+y的 最 大 值 等 于 ( )A.7B.8C.10D.11 解 析 ： 作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 如 图 ： 由 z=2x+
3、y， 得 y=-2x+z，平 移 直 线 y=-2x+z， 由 图 象 可 知 当 直 线 y=-2x+z经 过 点 B(4， 2)时 ，直 线 y=-2x+z的 截 距 最 大 ， 此 时 z最 大 ， 此 时 z=2 4+2=10，答 案 ： C5.下 列 函 数 为 奇 函 数 的 是 ( )A.2x-B.x 3sinxC.2cosx+1D.x2+2x解 析 ： 对 于 函 数 f(x)=2x- ， 由 于 f(-x)=2-x- = -2x=-f(x)， 故 此 函 数 为 奇 函 数 .对 于 函 数 f(x)=x3sinx， 由 于 f(-x)=-x3(-sinx)=x3sinx=f
4、(x)， 故 此 函 数 为 偶 函 数 .对 于 函 数 f(x)=2cosx+1， 由 于 f(-x)=2cos(-x)+1=2cosx+1=f(x)， 故 此 函 数 为 偶 函 数 .对 于 函 数 f(x)=x 2+2x， 由 于 f(-x)=(-x)2+2-x=x2+2-x -f(x)， 且 f(-x) f(x)，故 此 函 数 为 非 奇 非 偶 函 数 .答 案 ： A.6.为 了 解 1000 名 学 生 的 学 习 情 况 ， 采 用 系 统 抽 样 的 方 法 ， 从 中 抽 取 容 量 为 40 的 样 本 ， 则 分段 的 间 隔 为 ( )A.50B.40C.25D
5、.20解 析 ： 从 1000名 学 生 中 抽 取 40个 样 本 ， 样 本 数 据 间 隔 为 1000 40=25，答 案 ： C. 7.在 ABC中 ， 角 A、 B、 C 所 对 应 的 边 分 别 为 a， b， c， 则 “ a b” 是 “ sinA sinB” 的( )A.充 分 必 要 条 件B.充 分 非 必 要 条 件C.必 要 非 充 分 条 件D.非 充 分 非 必 要 条 件 解 析 ： 由 正 弦 定 理 可 知 ， ABC中 ， 角 A、 B、 C 所 对 应 的 边 分 别 为 a， b， c， a， b， sinA， sinB都 是 正 数 ， “ a
6、b” “ sinA sinB” . “ a b” 是 “ sinA sinB” 的 充 分 必 要 条 件 .答 案 ： A.8.若 实 数 k满 足 0 k 5， 则 曲 线 - =1与 - =1的 ( )A.实 半 轴 长 相 等B.虚 半 轴 长 相 等C.离 心 率 相 等D.焦 距 相 等 解 析 ： 当 0 k 5， 则 0 5-k 5， 11 16-k 16，即 曲 线 - =1表 示 焦 点 在 x 轴 上 的 双 曲 线 ， 其 中 a2=16， b2=5-k， c2=21-k，曲 线 - =1表 示 焦 点 在 x轴 上 的 双 曲 线 ， 其 中 a2=16-k， b2=
7、5， c2=21-k，即 两 个 双 曲 线 的 焦 距 相 等 ，答 案 ： D.9.若 空 间 中 四 条 两 两 不 同 的 直 线 l 1， l2， l3， l4， 满 足 l1 l2， l2 l3， l3 l4， 则 下 列 结 论 一定 正 确 的 是 ( )A.l1 l4B.l1 l4C.l1与 l4既 不 垂 直 也 不 平 行D.l1与 l4的 位 置 关 系 不 确 定解 析 ： 在 正 方 体 中 ， 若 AB所 在 的 直 线 为 l2， CD所 在 的 直 线 为 l3， AE 所 在 的 直 线 为 l1， 若 GD 所 在 的 直 线 为 l4， 此 时 l1 l
8、4，若 BD 所 在 的 直 线 为 l4， 此 时 l1 l4， 故 l1与 l4的 位 置 关 系 不 确 定 ，答 案 ： D10.对 任 意 复 数 1， 2， 定 义 1* 2= 1 2， 其 中 2是 2的 共 轭 复 数 ， 对 任 意 复 数 z1，z2， z3有 如 下 命 题 ： (z1+z2)*z3=(z1*z3)+(z2*z3) z 1*(z2+z3)=(z1*z2)+(z1*z3) (z1*z2)*z3=z1*(z2*z3)； z1*z2=z2*z1则 真 命 题 的 个 数 是 ( )A.1B.2C.3D.4解 析 ： (z 1+z2)*z3=(z1+z2) =(z
9、1 +z2 =(z1*z3)+(z2*z3)， 正 确 ； z1*(z2+z3)=z1( )=z1( + )=z1 +z1 =(z1*z2)+(z1*z3)， 正 确 ； (z1*z2)*z3=z1 ， z1*(z2*z3)=z1*(z2 )=z1( )=z1 z3， 等 式 不 成 立 ， 故 错 误 ； z1*z2=z1 ， z2*z1=z2 ， 等 式 不 等 式 ， 故 错 误 ；综 上 所 述 ， 真 命 题 的 个 数 是 2个 ，答 案 ： B二 、 填 空 题 (共 3 小 题 ， 考 生 作 答 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 满 分 15 分 )(一 )必 做 题
10、(11-13题 ) 11.曲 线 y=-5ex+3在 点 (0， -2)处 的 切 线 方 程 为 .解 析 ： y =-5ex， y |x=0=-5.因 此 所 求 的 切 线 方 程 为 ： y+2=-5x， 即 5x+y+2=0.答 案 ： 5x+y+2=0.12.从 字 母 a， b， c， d， e 中 任 取 两 个 不 同 字 母 ， 则 取 到 字 母 a 的 概 率 为 .解 析 ： 从 字 母 a， b， c， d， e中 任 取 两 个 不 同 字 母 ， 共 有 =10种 情 况 ， 取 到 字 母 a， 共有 =4种 情 况 ， 所 求 概 率 为 =0.4.答 案
11、： 0.4.13.等 比 数 列 a n的 各 项 均 为 正 数 ， 且 a1a5=4， 则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= .解 析 ： log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2a1a2a3a4a5=log2a35=5log2a3.又 等 比 数 列 an中 ， a1a5=4， 即 a3=2.故 5log2a3=5log22=5.答 案 ： 5. (二 )(14-15题 ， 考 生 只 能 从 中 选 做 一 题 )【 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 】14.在 极 坐 标 系 中 ， 曲 线 C1与
12、 C2的 方 程 分 别 为 2 cos2 =sin 与 cos =1， 以 极 点 为 平 面直 角 坐 标 系 的 原 点 ， 极 轴 为 x轴 的 正 半 轴 ， 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 则 曲 线 C1与 C2交 点 的 直角 坐 标 为 .解 析 ： 由 2 cos2 =sin ， 得 ： 2 2cos2 = sin ， 即 y=2x2.由 cos =1， 得 x=1.联 立 ， 解 得 ： . 曲 线 C 1与 C2交 点 的 直 角 坐 标 为 (1， 2).答 案 ： (1， 2).【 几 何 证 明 选 讲 选 做 题 】15.如 图 ， 在 平 行 四 边
13、形 ABCD中 ， 点 E在 AB上 且 EB=2AE， AC与 DE交 于 点 F， 则= .解 析 ： 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， EB=2AE， AB CD， CD=3AE， CDF AEF， = =3.答 案 ： 3.四 、 解 答 题 (本 大 题 共 6 小 题 ， 满 分 80分 .解 答 须 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 和 演 算 步 骤 )16.(12分 )已 知 函 数 f(x)=Asin(x+ )， x R， 且 f( )= .(1)求 A 的 值 ；(2)若 f( )-f(- )= ， (0， )， 求 f( - ).解 析 ： (1
14、)通 过 函 数 f(x)=Asin(x+ )， x R， 且 f( )= ， 直 接 求 A 的 值 ； (2)利 用 函 数 的 解 析 式 ， 通 过 f( )-f(- )= ， (0， )， 求 出 cos ， 利 用 两 角 差的 正 弦 函 数 求 f( - ).答 案 ： (1) 函 数 f(x)=Asin(x+ )， x R， 且 f( )= ， f( )=Asin( + )=Asin = ， .(2)由 (1)可 知 ： 函 数 f(x)=3sin(x+ )， f( )-f(- )=3sin( + )-3sin(- + )=3( )-( )=32sin cos =3sin =
15、 ， sin = ， cos = ， f( - )=3sin( )=3sin( )3cos = .17.(13分 )某 车 间 20名 工 人 年 龄 数 据 如 下 表 ： (1)求 这 20名 工 人 年 龄 的 众 数 与 极 差 ；(2)以 十 位 数 为 茎 ， 个 位 数 为 叶 ， 作 出 这 20名 工 人 年 龄 的 茎 叶 图 ；(3)求 这 20名 工 人 年 龄 的 方 差 .解 析 ： (1)根 据 众 数 和 极 差 的 定 义 ， 即 可 得 出 ；(2)根 据 画 茎 叶 图 的 步 骤 ， 画 图 即 可 ；(3)利 用 方 差 的 计 算 公 式 ， 代 入
16、 数 据 ， 计 算 即 可 .答 案 ： (1)这 这 20 名 工 人 年 龄 的 众 数 为 30， 极 差 为 40-19=21；(2)茎 叶 图 如 下 ： (3)年 龄 的 平 均 数 为 ： =30.这 20名 工 人 年 龄 的 方 差 为S2= (19-30)2+3 (28-30)2+3 (29-30)2+5 (30-30)2+4 (31-30)2+3 (32-30)2+(40-30)2=12.6.18.(13分 )如 图 1， 四 边 形 ABCD为 矩 形 ， PD 平 面 ABCD， AB=1， BC=PC=2作 如 图 2折 叠 ； 折痕 EF DC， 其 中 点 E
17、， F 分 别 在 线 段 PD， PC 上 ， 沿 EF折 叠 后 点 P叠 在 线 段 AD上 的 点 记 为 M，并 且 MF CF. (1)证 明 ： CF 平 面 MDF；(2)求 三 棱 锥 M-CDE 的 体 积 .解 析 ： (1)要 证 CF 平 面 MDF， 只 需 证 CF MD， 且 CF MF即 可 ； 由 PD 平 面 ABCD， 得 出 平面 PCD 平 面 ABCD， 即 证 MD 平 面 PCD， 得 CF MD；(2)求 出 CDE的 面 积 S CDE， 对 应 三 棱 锥 的 高 MD， 计 算 它 的 体 积 VM-CDE.答 案 ： (1) PD 平
18、 面 ABCD， PD平 面 PCD， 平 面 PCD 平 面 ABCD；又 平 面 PCD 平 面 ABCD=CD， MD平 面 ABCD， MD CD， MD 平 面 PCD， CF平 面 PCD， CF MD；又 CF MF， MD、 MF平 面 MDF， MD MF=M， CF 平 面 MDF；(2) CF 平 面 MDF， CF DF，又 PCD=60 ， CDF=30 ， CF= CD= ； EF DC， = ， 即 = ， DE= ， PE= ， S CDE= CDDE= ；MD= = = ， V M-CDE= S CDEMD= = .19.(14分 )设 各 项 均 为 正 数
19、 的 数 列 an的 前 n项 和 为 Sn满 足 Sn2-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0， n N*. (1)求 a1的 值 ；(2)求 数 列 an的 通 项 公 式 ；(3)证 明 ： 对 一 切 正 整 数 n， 有 + + + .解 析 ： (1)本 题 可 以 用 n=1代 入 题 中 条 件 ， 利 用 S1=a1求 出 a1的 值 ；(2)利 用 an与 Sn的 关 系 ， 将 条 件 转 化 为 an的 方 程 ， 从 而 求 出 an；(3)利 用 放 缩 法 ， 将 所 求 的 每 一 个 因 式 进 行 裂 项 求 和 ， 即 可 得 到 本 题 结 论 .答
20、 案 ： (1)令 n=1得 ： ， 即 . (S 1+3)(S1-2)=0. S1 0， S1=2， 即 a1=2.(2)由 得 ： . an 0(n N*)， Sn 0. . 当 n 2 时 ， ，又 a 1=2=2 1， .(3)当 k N*时 ， ，= . = .20.(14分 )已 知 椭 圆 C： + =1(a b 0)的 每 一 个 焦 点 为 ( ， 0)， 离 心 率 为 . (1)求 椭 圆 C 的 标 准 方 程 ；(2)若 动 点 P(x0， y0)为 椭 圆 C 外 一 点 ， 且 点 P到 椭 圆 C的 两 条 切 线 相 互 垂 直 ， 求 点 P 的 轨 迹方
21、程 .解 析 ： (1)根 据 焦 点 坐 标 和 离 心 率 求 得 a 和 b， 则 椭 圆 的 方 可 得 .(2)设 出 切 线 的 方 程 ， 带 入 椭 圆 方 程 ， 整 理 后 利 用 =0， 整 理 出 关 于 k 的 一 元 二 次 方 程 ， 利用 韦 达 定 理 表 示 出 k1k2， 进 而 取 得 x0和 y0的 关 系 式 ， 即 P 点 的 轨 迹 方 程 .答 案 ： (1)依 题 意 知 ， 求 得 a=3， b=2， 椭 圆 的 方 程 为 + =1. (2)当 过 点 P 的 直 线 斜 率 不 存 在 时 ， P 的 坐 标 为 ( 3， 2)时 符
22、合 题 意 ，设 过 点 P(x0， y0)的 切 线 为 y=k(x-x0)+y0，+ = + =1， 整 理 得 (9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9(y0-kx0)2-4=0， =18k(y0-kx0)2-4(9k2+4) 9(y0-kx0)2-4， (x02-9)k2-2x0 y0 k+(y02-4)=0， -1=k 1k2= =-1， x02+y02=13.把 点 ( 3， 2)亦 成 立 ， 点 P 的 轨 迹 方 程 为 ： x2+y2=13.21.(14分 )已 知 函 数 f(x)= x3+x2+ax+1(a R).(1)求 函 数 f(x)的 单 调 区 间 ；
23、(2)当 a 0时 ， 试 讨 论 是 否 存 在 x 0 (0， ) ( ， 1)， 使 得 f(x0)=f( ).解 析 ： 对 第 (1)问 ， 先 求 导 ， 再 通 过 一 元 二 次 方 程 的 实 根 讨 论 单 调 性 ；对 第 (2)问 ， 可 将 f(x0)=f( )转 化 为 f(x0)-f( )=0， 即 将 “ 函 数 问 题 ” 化 为 “ 方 程 是 否 有实 根 问 题 ” 处 理 .答 案 ： (1)由 f(x)得 f(x)=x2+2x+a，令 f(x)=0， 即 x 2+2x+a=0， 判 别 式 =4-4a， 当 0即 a 1 时 ， f(x) 0， 则
24、f(x)在 (- ， + )上 为 增 函 数 . 当 0即 a 1 时 ， 方 程 f(x)=0的 两 根 为 ， 即 ，当 x (- ， -1- )时 ， f(x) 0， 则 f(x)为 增 函 数 ；当 时 ， f(x) 0， 则 f(x)为 减 函 数 ；当 ， + )时 ， f(x) 0， 则 f(x)为 增 函 数 . 综 合 、 知 ， a 1时 ， f(x)的 单 调 递 增 区 间 为 (- ， + )，a 1 时 ， f(x)的 单 调 递 增 区 间 为 (- ， 和 ， + )，f(x)的 单 调 递 减 区 间 为 .(2) = = . 若 存 在 ， 使 得 ， 即，则 关 于 x 的 方 程 4x2+14x+7+12a=0在 内 必 有 实 数 解 . a 0， =14 2-16(7+12a)=4(21-48a) 0，方 程 4x2+14x+7+12a=0的 两 根 为 ， 即 ， x0 0， ，依 题 意 有 ， 且 ，即 ， 且 ， 49 21-48a 121， 且 21-48a 81，得 ， 且 . 当 时 ， 存 在 唯 一 的 ， 使 得 成 立 ；当 时 ， 不 存 在 ， 使 得 成 立 .
