1、2014年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 山 东 卷 ） 数 学 理一 、 选 择 题 (共 10小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 满 分 50 分 )1.已 知 a， b R， i 是 虚 数 单 位 ， 若 a-i与 2+bi互 为 共 轭 复 数 ， 则 (a+bi)2=( )A.5-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i解 析 ： a-i与 2+bi互 为 共 轭 复 数 ， 则 a=2、 b=1， (a+bi) 2=(2+i)2=3+4i，答 案 ： D.2.设 集 合 A=x 丨 丨 x-1 丨 2， B=y丨 y=2x， x 0， 2， 则 A
2、B=( )A.0， 2B.(1， 3)C.1， 3)D.(1， 4)解 析 ： A=x丨 丨 x-1丨 2=x 丨 -1 x 3， B=y丨 y=2 x， x 0， 2=y丨 1 y 4，则 A B=x丨 1 y 3，答 案 ： C3.函 数 f(x)= 的 定 义 域 为 ( )A.(0， )B.(2， + )C.(0， ) (2， + ) D.(0， 2， + )解 析 ： 要 使 函 数 有 意 义 ， 则 ，即 log2x 1或 log2x -1， 解 得 x 2 或 0 x ， 即 函 数 的 定 义 域 为 (0， ) (2， + )，答 案 ： C4.用 反 证 法 证 明 命
3、题 “ 设 a， b 为 实 数 ， 则 方 程 x 3+ax+b=0至 少 有 一 个 实 根 ” 时 ， 要 做 的 假设 是 ( )A.方 程 x3+ax+b=0没 有 实 根B.方 程 x3+ax+b=0至 多 有 一 个 实 根C.方 程 x3+ax+b=0至 多 有 两 个 实 根D.方 程 x3+ax+b=0恰 好 有 两 个 实 根 解 析 ： 反 证 法 证 明 问 题 时 ， 反 设 实 际 是 命 题 的 否 定 ， 用 反 证 法 证 明 命 题 “ 设 a， b 为 实 数 ， 则 方 程 x3+ax+b=0至 少 有 一 个 实 根 ” 时 ， 要 做 的 假设 是
4、 ： 方 程 x3+ax+b=0没 有 实 根 .答 案 ： A.5.已 知 实 数 x， y 满 足 ax ay(0 a 1)， 下 列 关 系 式 恒 成 立 的 是 ( )A. B.ln(x 2+1) ln(y2+1)C.sinx sinyD.x3 y3解 析 ： 实 数 x， y 满 足 ax ay(0 a 1)， x y，A.若 ， 则 等 价 为 x2+1 y2+1， 即 x2 y2， 当 x=1， y=-1 时 ， 满 足 x y， 但 x2 y 2不 成 立 .B.若 ln(x2+1) ln(y2+1)， 则 等 价 为 x2 y2成 立 ， 当 x=1， y=-1时 ， 满
5、足 x y， 但 x2 y2不 成 立 .C.当 x= ， y= 时 ， 满 足 x y， 但 sinx siny不 成 立 .D.当 x y 时 ， x3 y3， 恒 成 立 ，答 案 ： D.6.直 线 y=4x与 曲 线 y=x 3在 第 一 象 限 内 围 成 的 封 闭 图 形 的 面 积 为 ( )A.2B.4C.2D.4解 析 ： 先 根 据 题 意 画 出 图 形 ， 得 到 积 分 上 限 为 2， 积 分 下 限 为 0， 曲 线 y=x3与 直 线 y=4x在 第 一 象 限 所 围 成 的 图 形 的 面 积 是 02(4x-x3)dx，而 02(4x-x3)dx=(2
6、x2- x4)|02=8-4=4 曲 边 梯 形 的 面 积 是 4， 答 案 ： D.7.为 了 研 究 某 药 品 的 疗 效 ， 选 取 若 干 名 志 愿 者 进 行 临 床 试 验 .所 有 志 愿 者 的 舒 张 压 数 据 (单 位 ：kPa)的 分 组 区 间 为 12， 13)， 13， 14)， 14， 15)， 15， 16)， 16， 17， 将 其 按 从 左 到 右的 顺 序 分 别 编 号 为 第 一 组 ， 第 二 组 ， ， 第 五 组 .如 图 是 根 据 试 验 数 据 制 成 的 频 率 分 布 直 方图 .已 知 第 一 组 与 第 二 组 共 有 2
7、0 人 ， 第 三 组 中 没 有 疗 效 的 有 6 人 ， 则 第 三 组 中 有 疗 效 的 人 数为 ( ) A.6B.8C.12D.18解 析 ： 由 直 方 图 可 得 分 布 在 区 间 第 一 组 与 第 二 组 共 有 20 人 ， 分 布 在 区 间 第 一 组 与 第 二 组 的频 率 分 别 为 0.24， 0.16， 所 以 第 一 组 有 12 人 ， 第 二 组 8 人 ， 第 三 组 的 频 率 为 0.36， 所 以 第三 组 的 人 数 ： 18人 ，第 三 组 中 没 有 疗 效 的 有 6人 ，第 三 组 中 有 疗 效 的 有 12 人 .答 案 ：
8、C.8.已 知 函 数 f(x)=丨 x-2丨 +1， g(x)=kx.若 方 程 f(x)=g(x)有 两 个 不 相 等 的 实 根 ， 则 实 数 k的 取 值 范 围 是 ( ) A.(0， )B.( ， 1)C.(1， 2)D.(2， + )解 析 ： 由 题 意 可 得 函 数 f(x)的 图 象 (蓝 线 )和 函 数 g(x)的 图 象 (红 线 )有 两 个 交 点 ， 如 图 所 示 ： K OA= ， 数 形 结 合 可 得 k 1， 答 案 ： B.9.已 知 x， y 满 足 约 束 条 件 ， 当 目 标 函 数 z=ax+by(a 0， b 0)在 该 约 束 条
9、件 下 取 到 最 小 值 2 时 ， a2+b2的 最 小 值 为 ( )A.5B.4C.D.2解 析 ： 由 约 束 条 件 作 可 行 域 如 图 ， 联 立 ， 解 得 ： A(2， 1).化 目 标 函 数 为 直 线 方 程 得 ： (b 0).由 图 可 知 ， 当 直 线 过 A 点 时 ， 直 线 在 y 轴 上 的 截 距 最 小 ， z 最 小 . 2a+b=2 . 即 2a+b-2 =0.则 a2+b2的 最 小 值 为 .答 案 ： B.10.已 知 a b 0， 椭 圆 C1的 方 程 为 + =1， 双 曲 线 C2的 方 程 为 - =1， C1与 C2的 离心
10、 率 之 积 为 ， 则 C 2的 渐 近 线 方 程 为 ( )A.x y=0B. x y=0C.x 2y=0D.2x y=0解 析 ： a b 0， 椭 圆 C 1的 方 程 为 + =1， C1的 离 心 率 为 ： ，双 曲 线 C2的 方 程 为 - =1， C2的 离 心 率 为 ： ， C1与 C2的 离 心 率 之 积 为 ， ， = ， ，C 2的 渐 近 线 方 程 为 ： y= ， 即 x y=0.答 案 ： A.二 、 填 空 题 (共 5 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 满 分 25分 )11.执 行 如 图 程 序 框 图 ， 若 输 入 的 x 的 值 为 1
11、， 则 输 出 的 n的 值 为 . 解 析 ： 循 环 前 输 入 的 x 的 值 为 1，第 1 次 循 环 ， x2-4x+3=0 0，满 足 判 断 框 条 件 ， x=2， n=1， x2-4x+3=-1 0，满 足 判 断 框 条 件 ， x=3， n=2， x2-4x+3=0 0满 足 判 断 框 条 件 ， x=4， n=3， x2-4x+3=3 0， 不 满 足 判 断 框 条 件 ，输 出 n： 3.答 案 ： 3.12.若 ABC中 ， 已 知 =tanA， 当 A= 时 ， ABC的 面 积 为 .解 析 ： ABC中 ， =AB AC cosA=tanA， 当 A=
12、时 ， 有 AB AC = ， 解 得 AB AC= ， ABC的 面 积 为 AB AC sinA= = ，答 案 ： .13.三 棱 锥 P-ABC 中 ， D， E分 别 为 PB， PC的 中 点 ， 记 三 棱 锥 D-ABE 的 体 积 为 V 1， P-ABC 的 体积 为 V2， 则 = .解 析 ： 如 图 ， 三 棱 锥 P-ABC 中 ， D， E 分 别 为 PB， PC的 中 点 ， 三 棱 锥 D-ABE 的 体 积 为 V1， P-ABC的 体 积 为 V2， A 到 底 面 PBC的 距 离 不 变 ， 底 面 BDE底 面 积 是 PBC面 积 的 = ， =
13、 = .答 案 ： . 14.若 (ax2+ )6的 展 开 式 中 x3项 的 系 数 为 20， 则 a2+b2的 最 小 值 为 .解 析 ： (ax2+ )6的 展 开 式 中 x3项 的 系 数 为 20，所 以 Tr+1= = ，令 12-3r=3， r=3， ， ab=1，a 2+b2 2ab=2， 当 且 仅 当 a=b=1 时 取 等 号 .a2+b2的 最 小 值 为 ： 2.答 案 ： 2.15.已 知 函 数 y=f(x)(x R)， 对 函 数 y=g(x)(x I)， 定 义 g(x)关 于 f(x)的 “ 对 称 函 数 ” 为函 数 y=h(x)(x I)， y
14、=h(x)满 足 ： 对 任 意 x I， 两 个 点 (x， h(x)， (x， g(x)关 于 点 (x，f(x)对 称 .若 h(x)是 g(x)= 关 于 f(x)=3x+b 的 “ 对 称 函 数 ” ， 且 h(x) g(x)恒 成立 ， 则 实 数 b 的 取 值 范 围 是 .解 析 ： 根 据 “ 对 称 函 数 ” 的 定 义 可 知 ， ， 即 h(x)=6x+2b- ，若 h(x) g(x)恒 成 立 ， 则 等 价 为 6x+2b- ， 即 3x+b 恒 成 立 ， 设 y=3x+b， y= ，作 出 两 个 函 数 对 应 的 图 象 如 图 ， 当 直 线 和 上
15、 半 圆 相 切 时 ， 圆 心 到 直 线 的 距 离 d= ，即 |b|=2 ， b=2 或 -2 ， (舍 去 )，即 要 使 h(x) g(x)恒 成 立 ， 则 b 2 ， 即 实 数 b 的 取 值 范 围 是 (2 ， + )，答 案 ： (2 ， + )三 、 解 答 题 (共 6 小 题 ， 满 分 75分 ) 16.(12分 )已 知 向 量 =(m， cos2x)， =(sin2x， n)， 函 数 f(x)= ， 且 y=f(x)的 图 象 过点 ( ， )和 点 ( ， -2).( )求 m， n 的 值 ；( )将 y=f(x)的 图 象 向 左 平 移 (0 )个
16、 单 位 后 得 到 函 数 y=g(x)的 图 象 ， 若 y=g(x)图 象 上 的 最 高 点 到 点 (0， 3)的 距 离 的 最 小 值 为 1， 求 y=g(x)的 单 调 递 增 区 间 .解 析 ： ( )由 题 意 可 得 函 数 f(x)=msin2x+ncos2x， 再 由 y=f(x)的 图 象 过 点 ( ， )和 点( ， -2)， 解 方 程 组 求 得 m、 n 的 值 .( )由 ( )可 得 f(x)=2sin(2x+ )， 根 据 函 数 y=Asin( x+ )的 图 象 变 换 规 律 求 得 g(x)=2sin(2x+2 + )的 图 象 ， 再
17、由 函 数 g(x)的 一 个 最 高 点 在 y轴 上 ， 求 得 = ， 可 得g(x)=2cos2x.令 2k - 2x 2k ， k Z， 求 得 x的 范 围 ， 可 得 g(x)的 增 区 间 .答 案 ： ( )由 题 意 可 得 函 数 f(x)= =msin2x+ncos2x，再 由 y=f(x)的 图 象 过 点 ( ， )和 点 ( ， -2)， 可 得 .解 得 m= ， n=1.( )由 ( )可 得 f(x)= sin2x+cos2x=2( sin2x+ cos2x)=2sin(2x+ ).将 y=f(x)的 图 象 向 左 平 移 (0 )个 单 位 后 ， 得
18、到 函 数 g(x)=2sin2(x+ )+ =2sin(2x+2 + )的 图 象 ， 显 然 函 数 g(x)最 高 点 的 纵 坐标 为 1.y=g(x)图 象 上 各 最 高 点 到 点 (0， 3)的 距 离 的 最 小 值 为 1，故 函 数 g(x)的 一 个 最 高 点 在 y轴 上 ， 2 + =2k + ， k Z， 结 合 0 ， 可 得 = ，故 g(x)=2sin(2x+ )=2cos2x.令 2k - 2x 2k ， k Z， 求 得 k - x k ，故 y=g(x)的 单 调 递 增 区 间 是 k - ， k ， k Z. 17.(12分 )如 图 ， 在 四
19、 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1中 ， 底 面 ABCD是 等 腰 梯 形 ， DAB=60 ， AB=2CD=2，M是 线 段 AB的 中 点 . ( )求 证 ： C1M 平 面 A1ADD1；( )若 CD1垂 直 于 平 面 ABCD且 CD1= ， 求 平 面 C1D1M和 平 面 ABCD所 成 的 角 (锐 角 )的 余 弦 值 .解 析 ： ( )连 接 AD1， 易 证 AMC1D1为 平 行 四 边 形 ， 利 用 线 面 平 行 的 判 定 定 理 即 可 证 得 C1M 平面 A1ADD1；( )作 CP AB于 P， 以 C 为 原 点 ， CD为 x 轴 ， C
20、P为 y轴 ， CD1为 z 轴 建 立 空 间 坐 标 系 ， 易求 C1(-1， 0， )， D1， (0， 0， )， M( ， ， 0)， =(1， 1， 0)， =( ， ，- )， 设 平 面 C 1D1M 的 法 向 量 =(x1， y1， z1)， 可 求 得 =(0， 2， 1)， 而 平 面 ABCD的 法 向量 =(1， 0， 0)， 从 而 可 求 得 平 面 C1D1M 和 平 面 ABCD所 成 的 角 (锐 角 )的 余 弦 值 .答 案 ： ( )连 接 AD1， ABCD-A1B1C1D1为 四 棱 柱 ， CD C1D1，又 M 为 AB 的 中 点 ， A
21、M=1. CD AM， CD=AM， AM C 1D1， AMC1D1为 平 行 四 边 形 ， AD1 MC1， 又 MC1平 面 A1ADD1， AD1平 面 A1ADD1， C1M 平 面 A1ADD1；( )作 CP AB 于 P， 以 C为 原 点 ， CD 为 x 轴 ， CP为 y 轴 ， CD1为 z 轴 建 立 空 间 坐 标 系 ， 则 C1(-1， 0， )， D1， (0， 0， )， M( ， ， 0)， =(1， 1， 0)， =( ， ， - )，设 平 面 C1D1M 的 法 向 量 =(x1， y1， z1)， 则 ， =(0， 2， 1).显 然 平 面 A
22、BCD 的 法 向 量 =(1， 0， 0)， cos ， |= = = ，显 然 二 面 角 为 锐 角 ， 平 面 C1D1M 和 平 面 ABCD所 成 的 角 (锐 角 )的 余 弦 值 为 .18.(12分 )乒 乓 球 台 面 被 网 分 成 甲 、 乙 两 部 分 ， 如 图 ， 甲 上 有 两 个 不 相 交 的 区 域 A， B， 乙 被划 分 为 两 个 不 相 交 的 区 域 C， D， 某 次 测 试 要 求 队 员 接 到 落 点 在 甲 上 的 来 球 后 向 乙 回 球 ， 规定 ： 回 球 一 次 ， 落 点 在 C 上 记 3分 ， 在 D上 记 1 分 ，
23、其 它 情 况 记 0 分 .对 落 点 在 A 上 的 来 球 ，小 明 回 球 的 落 点 在 C上 的 概 率 为 ， 在 D上 的 概 率 为 ； 对 落 点 在 B上 的 来 球 ， 小 明 回 球 的 落 点 在 C 上 的 概 率 为 ， 在 D上 的 概 率 为 .假 设 共 有 两 次 来 球 且 落 在 A， B 上 各 一 次 ， 小 明的 两 次 回 球 互 不 影 响 ， 求 ：( )小 明 两 次 回 球 的 落 点 中 恰 有 一 次 的 落 点 在 乙 上 的 概 率 ；( )两 次 回 球 结 束 后 ， 小 明 得 分 之 和 的 分 布 列 与 数 学 期
24、 望 .解 析 ： ( )分 别 求 出 回 球 前 落 点 在 A 上 和 B上 时 ， 回 球 落 点 在 乙 上 的 概 率 ， 进 而 根 据 分 类 分布 原 理 ， 可 得 小 明 两 次 回 球 的 落 点 中 恰 有 一 次 的 落 点 在 乙 上 的 概 率 ；( )两 次 回 球 结 束 后 ， 小 明 得 分 之 和 的 取 值 有 0， 1， 2， 3， 4， 6 六 种 情 况 ， 求 出 随 机 变量 的 分 布 列 ， 代 入 数 学 期 望 公 式 可 得 其 数 学 期 望 E .答 案 ： ( )小 明 回 球 前 落 点 在 A 上 ， 回 球 落 点 在
25、 乙 上 的 概 率 为 + = ， 回 球 前 落 点 在 B上 ， 回 球 落 点 在 乙 上 的 概 率 为 + = ，故 小 明 两 次 回 球 的 落 点 中 恰 有 一 次 的 落 点 在 乙 上 的 概 率P= (1- )+(1- ) = + = .( ) 的 可 能 取 值 为 0， 1， 2， 3， 4， 6其 中 P( =0)=(1- ) (1- )= ；P( =1)= (1- )+(1- ) = ；P( =2)= = ；P( =3)= (1- )+(1- ) = ； P( =4)= + = ；P( =6)= = ；故 的 分 布 列 为 ：故 的 数 学 期 望 为 E(
26、 )=0 +1 +2 +3 +4 +6 = ； 19.(12分 )已 知 等 差 数 列 an的 公 差 为 2， 前 n 项 和 为 Sn， 且 S1， S2， S4成 等 比 数 列 .( )求 数 列 an的 通 项 公 式 ；( )令 bn=(-1)n-1 ， 求 数 列 bn的 前 n 项 和 Tn.解 析 ： ( )利 用 等 差 数 列 与 等 比 数 列 的 通 项 公 式 及 其 前 n项 和 公 式 即 可 得 出 ；( )由 ( )可 得 bn= .对 n 分 类 讨 论 “ 裂 项 求 和 ” 即 可 得出 .答 案 ： ( ) 等 差 数 列 a n的 公 差 为 2
27、， 前 n 项 和 为 Sn， Sn= =n2-n+na1， S1， S2， S4成 等 比 数 列 ， ， ， 化 为 ， 解 得a 1=1. an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.( )由 ( )可 得bn=(-1)n-1 = =. T n= - + + + .当 n 为 偶 数 时 ，Tn= - + + + - =1-= . 当 n 为 奇 数 时 ，Tn= - + + - + =1+= .20.(13分 )设 函 数 f(x)= -k( +lnx)(k为 常 数 ， e=2.71828 是 自 然 对 数 的 底 数 ).( )当 k 0 时 ， 求 函 数 f(x)的
28、 单 调 区 间 ；( )若 函 数 f(x)在 (0， 2)内 存 在 两 个 极 值 点 ， 求 k 的 取 值 范 围 .解 析 ： ( )求 出 导 函 数 ， 根 据 导 函 数 的 正 负 性 ， 求 出 函 数 的 单 调 区 间 ；( )函 数 f(x)在 (0， 2)内 存 在 两 个 极 值 点 ， 等 价 于 它 的 导 函 数 f (x)在 (0， 2)内 有 两 个 不 同 的 零 点 .答 案 ： ( )f(x)的 定 义 域 为 (0， + )， f (x)= (x 0)，当 k 0 时 ， kx 0， ex-kx 0，令 f (x)=0， 则 x=2， 当 0
29、x 2 时 ， f (x) 0， f(x)单 调 递 减 ；当 x 2 时 ， f (x) 0， f(x)单 调 递 增 ， f(x)的 单 调 递 减 区 间 为 (0， 2)， 单 调 递 增 区 间 为 (2， + ).( )由 ( )知 ， k 0时 ， 函 数 f(x)在 (0， 2)内 单 调 递 减 ，故 f(x)在 (0， 2)内 不 存 在 极 值 点 ；当 k 0 时 ， 设 函 数 g(x)=e x-kx， x 0， + ). g (x)=ex-k=ex-elnk，当 0 k 1时 ，当 x (0， 2)时 ， g (x)=ex-k 0， y=g(x)单 调 递 增 ，故
30、 f(x)在 (0， 2)内 不 存 在 两 个 极 值 点 ；当 k 1 时 ，得 x (0， lnk)时 ， g (x) 0， 函 数 y=g(x)单 调 递 减 ，x (lnk， + )时 ， g (x) 0， 函 数 y=g(x)单 调 递 增 ， 函 数 y=g(x)的 最 小 值 为 g(lnk)=k(1-lnk)函 数 f(x)在 (0， 2)内 存 在 两 个 极 值 点 当 且 仅 当 解 得 ： e综 上 所 述 ， 函 数 f(x)在 (0， 2)内 存 在 两 个 极 值 点 时 ， k 的 取 值 范 围 为 (e， )21.(14分 )已 知 抛 物 线 C： y2
31、=2px(p 0)的 焦 点 为 F， A 为 C 上 异 于 原 点 的 任 意 一 点 ， 过 点 A的 直 线 l 交 C 于 另 一 点 B， 交 x 轴 的 正 半 轴 于 点 D， 且 有 丨 FA丨 =丨 FD丨 .当 点 A 的 横 坐 标为 3 时 ， ADF为 正 三 角 形 . ( )求 C 的 方 程 ；( )若 直 线 l1 l， 且 l1和 C 有 且 只 有 一 个 公 共 点 E，( )证 明 直 线 AE过 定 点 ， 并 求 出 定 点 坐 标 ；( ) ABE的 面 积 是 否 存 在 最 小 值 ？ 若 存 在 ， 请 求 出 最 小 值 ； 若 不 存
32、 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)根 据 抛 物 线 的 焦 半 径 公 式 ， 结 合 等 边 三 角 形 的 性 质 ， 求 出 的 p 值 ；(2)( )设 出 点 A 的 坐 标 ， 求 出 直 线 AB的 方 程 ， 利 用 直 线 l1 l， 且 l1和 C 有 且 只 有 一 个 公共 点 E， 求 出 点 E 的 坐 标 ， 写 出 直 线 AE的 方 程 ， 将 方 程 化 为 点 斜 式 ， 可 求 出 定 点 ；( ) 利 用 弦 长 公 式 求 出 弦 AB 的 长 度 ， 再 求 点 E 到 直 线 AB 的 距 离 ， 得 到 关 于 面 积 的 函
33、 数 关系 式 ， 再 利 用 基 本 不 等 式 求 最 小 值 .答 案 ： (1)当 点 A的 横 坐 标 为 3时 ， 过 点 A作 AG x轴 于 G， ， . ADF为 正 三 角 形 ， . 又 ， ， p=2. C的 方 程 为 y2=4x.(2)( )设 A(x1， y1)， |FD|=|AF|=x1+1， D(x1+2， 0)， .由 直 线 l 1 l 可 设 直 线 l1方 程 为 ，联 立 方 程 ， 消 去 x 得 由 l1和 C 有 且 只 有 一 个 公 共 点 得 =64+32y1m=0， y1m=-2，这 时 方 程 的 解 为 ， 代 入 得 x=m 2， E(m2， 2m).点 A 的 坐 标 可 化 为 ， 直 线 AE方 程 为 ，即 ， ， ， ， 直 线 AE 过 定 点 (1， 0). ( )直 线 AB的 方 程 为 ， 即 . 联 立 方 程 ， 消 去 x 得 ， ， = ，由 ( )点 E的 坐 标 为 ， 点 E 到 直 线 AB 的 距 离 为 = ， ABE的 面 积 = ，当 且 仅 当 y 1= 2时 等 号 成 立 ， ABE的 面 积 最 小 值 为 16.
