1、2014年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 山 东 卷 ） 数 学 文一 .选 择 题 ： 每 小 题 5 分 ， 共 50分1.已 知 a， b R， i 是 虚 数 单 位 ， 若 a+i=2-bi， 则 (a+bi)2=( )A.3-4iB.3+4iC.4-3iD.4+3i解 析 ： a+i=2-bi， a=2、 b=-1， 则 (a+bi) 2=(2-i)2=3-4i，答 案 ： A.2.设 集 合 A=x|x2-2x 0， B=x|1 x 4， 则 A B=( )A.(0， 2B.(1， 2)C.1， 2)D.(1， 4)解 析 ： A=x|0 x 2，
2、B=x|1 x 4， A B=x|1 x 2.答 案 ： C. 3.函 数 f(x)= 的 定 义 域 为 ( )A.(0， 2)B.(0， 2C.(2， + )D.2， + )解 析 ： 由 题 意 可 得 ， ， 解 得 ， 即 x 2. 所 求 定 义 域 为 (2， + ).答 案 ： C.4.用 反 证 法 证 明 命 题 “ 设 a， b 为 实 数 ， 则 方 程 x 3+ax+b=0至 少 有 一 个 实 根 ” 时 ， 要 做 的 假设 是 ( )A.方 程 x3+ax+b=0没 有 实 根B.方 程 x3+ax+b=0至 多 有 一 个 实 根C.方 程 x3+ax+b=0
3、至 多 有 两 个 实 根D.方 程 x3+ax+b=0恰 好 有 两 个 实 根解 析 ： 反 证 法 证 明 问 题 时 ， 反 设 实 际 是 命 题 的 否 定 ， 用 反 证 法 证 明 命 题 “ 设 a， b 为 实 数 ， 则 方 程 x 3+ax+b=0至 少 有 一 个 实 根 ” 时 ， 要 做 的 假设 是 ： 方 程 x3+ax+b=0没 有 实 根 .答 案 ： A. 5.已 知 实 数 x， y 满 足 ax ay(0 a 1)， 则 下 列 关 系 式 恒 成 立 的 是 ( )A.x3 y3B.sinx sinyC.ln(x2+1) ln(y2+1)D. 解
4、析 ： 实 数 x， y 满 足 a x ay(0 a 1)， x y，A.当 x y 时 ， x3 y3， 恒 成 立 ，B.当 x= ， y= 时 ， 满 足 x y， 但 sinx siny不 成 立 .C.若 ln(x2+1) ln(y2+1)， 则 等 价 为 x2 y2成 立 ， 当 x=1， y=-1时 ， 满 足 x y， 但 x2 y2不 成 立 .D.若 ， 则 等 价 为 x 2+1 y2+1， 即 x2 y2， 当 x=1， y=-1 时 ， 满 足 x y， 但 x2 y2不 成 立 .答 案 ： A.6.已 知 函 数 y=loga(x+c)(a， c 为 常 数
5、， 其 中 a 0， a 1)的 图 象 如 图 所 示 ， 则 下 列 结 论 成 立的 是 ( ) A.a 1， c 1B.a 1， 0 c 1C.0 a 1， c 1D.0 a 1， 0 c 1解 析 ： 函 数 单 调 递 减 ， 0 a 1，当 x=1时 loga(x+c)=loga(1+c) 0， 即 1+c 1， 即 c 0，当 x=0时 loga(x+c)=logac 0， 即 c 1， 即 0 c 1，答 案 ： D.7.已 知 向 量 =(1， )， =(3， m)， 若 向 量 ， 的 夹 角 为 ， 则 实 数 m=( )A.2B. C.0D.- 解 析 ： 由 题 意
6、 可 得 cos = = = ， 解 得 m= ，答 案 ： B.8.为 了 研 究 某 药 品 的 疗 效 ， 选 取 若 干 名 志 愿 者 进 行 临 床 试 验 .所 有 志 愿 者 的 舒 张 压 数 据 (单 位 ：kPa)的 分 组 区 间 为 12， 13)， 13， 14)， 14， 15)， 15， 16)， 16， 17， 将 其 按 从 左 到 右的 顺 序 分 别 编 号 为 第 一 组 ， 第 二 组 ， ， 第 五 组 .如 图 是 根 据 试 验 数 据 制 成 的 频 率 分 布 直 方图 .已 知 第 一 组 与 第 二 组 共 有 20 人 ， 第 三 组
7、 中 没 有 疗 效 的 有 6 人 ， 则 第 三 组 中 有 疗 效 的 人 数为 ( ) A.6B.8C.12D.18解 析 ： 由 直 方 图 可 得 分 布 在 区 间 第 一 组 与 第 二 组 共 有 20 人 ， 分 布 在 区 间 第 一 组 与 第 二 组 的频 率 分 别 为 0.24， 0.16， 所 以 第 一 组 有 12 人 ， 第 二 组 8 人 ， 第 三 组 的 频 率 为 0.36， 所 以 第三 组 的 人 数 ： 18人 ，第 三 组 中 没 有 疗 效 的 有 6人 ，第 三 组 中 有 疗 效 的 有 12 人 .答 案 ： C.9.对 于 函 数
8、 f(x)， 若 存 在 常 数 a 0， 使 得 x 取 定 义 域 内 的 每 一 个 值 ， 都 有 f(x)=f(2a-x)，则 称 f(x)为 准 偶 函 数 ， 下 列 函 数 中 是 准 偶 函 数 的 是 ( ) A.f(x)=B.f(x)=x2C.f(x)=tanxD.f(x)=cos(x+1)解 析 ： 对 于 函 数 f(x)， 若 存 在 常 数 a 0， 使 得 x 取 定 义 域 内 的 每 一 个 值 ， 都 有 f(x)=f(2a-x)，则 称 f(x)为 准 偶 函 数 ， 函 数 的 对 称 轴 是 x=a， a 0，选 项 A函 数 没 有 对 称 轴 ；
9、 选 项 B、 函 数 的 对 称 轴 是 x=0， 选 项 C， 函 数 没 有 对 称 轴 .函 数 f(x)=cos(x+1)， 有 对 称 轴 ， 且 x=0不 是 对 称 轴 ， 选 项 D正 确 .答 案 ： D. 10.已 知 x， y 满 足 约 束 条 件 ， 当 目 标 函 数 z=ax+by(a 0， b 0)在 该 约 束 条件 下 取 到 最 小 值 2 时 ， a2+b2的 最 小 值 为 ( )A.5B.4C.D.2解 析 ： 由 约 束 条 件 作 可 行 域 如 图 ， 联 立 ， 解 得 ： A(2， 1).化 目 标 函 数 为 直 线 方 程 得 ： (
10、b 0).由 图 可 知 ， 当 直 线 过 A点 时 ， 直 线 在 y 轴 上 的 截 距 最 小 ， z最 小 . 2a+b=2 .即 2a+b-2 =0.则 a 2+b2的 最 小 值 为 .答 案 ： B.二 .填 空 题 每 小 题 5 分 ， 共 25分11.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 若 输 入 的 x 的 值 为 1， 则 输 出 的 n 的 值 为 . 解 析 ： 循 环 前 输 入 的 x 的 值 为 1，第 1 次 循 环 ， x2-4x+3=0 0，满 足 判 断 框 条 件 ， x=2， n=1， x2-4x+3=-1 0，满 足 判 断 框 条
11、 件 ， x=3， n=2， x2-4x+3=0 0满 足 判 断 框 条 件 ， x=4， n=3， x2-4x+3=3 0， 不 满 足 判 断 框 条 件 ，输 出 n： 3.答 案 ： 3.12.函 数 y= sin2x+cos 2x的 最 小 正 周 期 为 .解 析 ： 函 数 y= sin2x+cos2x= sin2x+ =sin(2x+ )+ ，故 函 数 的 最 小 正 周 期 的 最 小 正 周 期 为 = ，故 答 案 为 ： .13.一 个 六 棱 锥 的 体 积 为 2 ， 其 底 面 是 边 长 为 2的 正 六 边 形 ， 侧 棱 长 都 相 等 ， 则 该 六
12、棱 锥的 侧 面 积 为 .解 析 ： 一 个 六 棱 锥 的 体 积 为 2 ， 其 底 面 是 边 长 为 2 的 正 六 边 形 ， 侧 棱 长 都 相 等 ， 棱 锥 是 正 六 棱 锥 ， 设 棱 锥 的 高 为 h， 则 ， h=1，棱 锥 的 斜 高 为 ： = =2， 该 六 棱 锥 的 侧 面 积 为 ： =12.答 案 ： 12.14.圆 心 在 直 线 x-2y=0 上 的 圆 C 与 y 轴 的 正 半 轴 相 切 ， 圆 C 截 x 轴 所 得 弦 的 长 为 2 ， 则圆 C 的 标 准 方 程 为 .解 析 ： 设 圆 心 为 (2t， t)， 半 径 为 r=|
13、2t|， 圆 C截 x轴 所 得 弦 的 长 为 2 ， t 2+3=4t2， t= 1， 其 中 t=-1不 符 合 题 意 ， 舍 去 ，故 t=1， 2t=2， (x-2)2+(y-1)2=4.答 案 ： (x-2)2+(y-1)2=4.15.已 知 双 曲 线 - =1(a 0， b 0)的 焦 距 为 2c， 右 顶 点 为 A， 抛 物 线 x2=2py(p 0)的焦 点 为 F， 若 双 曲 线 截 抛 物 线 的 准 线 所 得 线 段 长 为 2c， 且 |FA|=c， 则 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程为 .解 析 ： 右 顶 点 为 A， A(a， 0)， F 为 抛
14、 物 线 x 2=2py(p 0)的 焦 点 ， F ， |FA|=c， 抛 物 线 的 准 线 方 程 为由 得 ， ， c2=2a2， c 2=a2+b2， a=b， 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 ： y= x，答 案 ： y= x.三 .解 答 题 共 6 小 题 ， 共 75分16.(12分 )海 关 对 同 时 从 A， B， C 三 个 不 同 地 区 进 口 的 某 种 商 品 进 行 抽 样 检 测 ， 从 各 地 区 进口 此 商 品 的 数 量 (单 位 ： 件 )如 表 所 示 .工 作 人 员 用 分 层 抽 样 的 方 法 从 这 些 商 品 中 共 抽 取
15、 6 件样 品 进 行 检 测 . ( )求 这 6件 样 品 来 自 A， B， C 各 地 区 商 品 的 数 量 ；( )若 在 这 6 件 样 品 中 随 机 抽 取 2件 送 往 甲 机 构 进 行 进 一 步 检 测 ， 求 这 2 件 商 品 来 自 相 同 地区 的 概 率 .解 析 ： ( )先 计 算 出 抽 样 比 ， 进 而 可 求 出 这 6 件 样 品 来 自 A， B， C各 地 区 商 品 的 数 量 ； ( )先 计 算 在 这 6 件 样 品 中 随 机 抽 取 2 件 的 基 本 事 件 总 数 ， 及 这 2 件 商 品 来 自 相 同 地 区 的 事件
16、 个 数 ， 代 入 古 典 概 型 概 率 计 算 公 式 ， 可 得 答 案 .答 案 ： ( )A， B， C三 个 地 区 商 品 的 总 数 量 为 50+150+100=300， 故 抽 样 比 k= = ，故 A 地 区 抽 取 的 商 品 的 数 量 为 ： 50=1；B地 区 抽 取 的 商 品 的 数 量 为 ： 150=3；C地 区 抽 取 的 商 品 的 数 量 为 ： 100=2；( )在 这 6件 样 品 中 随 机 抽 取 2 件 共 有 ： =15个 不 同 的 基 本 事 件 ；且 这 些 事 件 是 等 可 能 发 生 的 ， 记 “ 这 2 件 商 品 来
17、 自 相 同 地 区 ” 为 事 件 A，则 A 中 包 含 =4种 不 同 的 基 本 事 件 ， 故 P(A)= ，即 这 2 件 商 品 来 自 相 同 地 区 的 概 率 为 .17.(12分 ) ABC中 ， 角 A， B， C 所 对 的 边 分 别 为 a， b， c.已 知 a=3， cosA= ， B=A+ .( )求 b 的 值 ；( )求 ABC的 面 积 .解 析 ： ( )利 用 cosA求 得 sinA， 进 而 利 用 A 和 B 的 关 系 求 得 sinB， 最 后 利 用 正 弦 定 理 求 得b的 值 .( )利 用 sinB， 求 得 cosB的 值 ，
18、 进 而 根 两 角 和 公 式 求 得 sinC的 值 ， 最 后 利 用 三 角 形 面 积 公 式 求 得 答 案 .答 案 ： ( ) cosA= ， sinA= = ， B=A+ . sinB=sin(A+ )=cosA= ，由 正 弦 定 理 知 = ， b= sinB= =3 .( ) sinB= ， B=A+ ， cosB=- =- ，sinC=sin( -A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= (- )+ = ， S= a b sinC= 3 3 = .18.(12分 )如 图 ， 四 棱 锥 P-ABCD 中 ， AP 平 面 PCD， AD BC
19、， AB=BC= AD， E， F 分 别 为 线段 AD， PC 的 中 点 . ( )求 证 ： AP 平 面 BEF；( )求 证 ： BE 平 面 PAC.解 析 ： ( )证 明 四 边 形 ABCE是 平 行 四 边 形 ， 可 得 O是 AC的 中 点 ， 利 用 F 为 线 段 PC 的 中 点 ，可 得 PA OF， 从 而 可 证 AP 平 面 BEF；( )证 明 BE AP、 BE AC， 即 可 证 明 BE 平 面 PAC.答 案 ： ( )连 接 CE， 则 AD BC， BC= AD， E为 线 段 AD的 中 点 ， 四 边 形 ABCE 是 平 行 四 边
20、形 ， BCDE是 平 行 四 边 形 ，设 AC BE=O， 连 接 OF， 则 O 是 AC的 中 点 ， F 为 线 段 PC 的 中 点 ， PA OF， PA平 面 BEF， OF平 面 BEF， AP 平 面 BEF；( ) BCDE是 平 行 四 边 形 ， BE CD， AP 平 面 PCD， CD平 面 PCD， AP CD， BE AP， AB=BC， 四 边 形 ABCE是 平 行 四 边 形 ， 四 边 形 ABCE 是 菱 形 ， BE AC， AP AC=A， BE 平 面 PAC.19.(12分 )在 等 差 数 列 a n中 ， 已 知 公 差 d=2， a2是
21、 a1与 a4的 等 比 中 项 .( )求 数 列 an的 通 项 公 式 ；( )设 bn=a ， 记 Tn=-b1+b2-b3+b4- +(-1)nbn， 求 Tn.解 析 ： ( )由 于 a2是 a1与 a4的 等 比 中 项 ， 可 得 ， 再 利 用 等 差 数 列 的 通 项 公 式 即可 得 出 .( )利 用 ( )可 得 b n=a =n(n+1)， 因 此Tn=-b1+b2-b3+b4- +(-1)nbn=-1 (1+1)+2 (2+1)- +(-1)nn(n+1).对 n 分 奇 偶 讨 论 即 可 得出 .答 案 ： ( ) a2是 a1与 a4的 等 比 中 项
22、， ， 在 等 差 数 列 an中 ， 公 差 d=2， ， 即 ，化 为 ， 解 得 a1=2. an=a1+(n-1)d=2+(n-1) 2=2n.( ) bn=a =n(n+1)， T n=-b1+b2-b3+b4- +(-1)nbn=-1 (1+1)+2 (2+1)- +(-1)nn(n+1).当 n=2k(k N*)时 ， b2k-b2k-1=2k(2k+1)-(2k-1)(2k-1+1)=4kTn=(b2-b1)+(b4-b3)+ +(b2k-b2k-1)=4(1+2+ +k)=4 =2k(k+1)= .当 n=2k-1(k N*)时 ，T n=(b2-b1)+(b4-b3)+ +
23、(b2k-2-b2k-3)-b2k-1= n(n+1)=- .故 Tn= .20.(13分 )设 函 数 f(x)=alnx+ ， 其 中 a为 常 数 .( )若 a=0， 求 曲 线 y=f(x)在 点 (1， f(1)处 的 切 线 方 程 ；( )讨 论 函 数 f(x)的 单 调 性 .解 析 ： ( )根 据 导 数 的 几 何 意 义 ， 曲 线 y=f(x)在 x=1处 的 切 线 方 程 为 y-f(1)=f (1)(x-1)， 代 入 计 算 即 可 .( )先 对 其 进 行 求 导 ， 即 ， 考 虑 函 数 g(x)=ax2+(2a+2)x+a， 分 成a 0， -
24、a 0， a - 三 种 情 况 分 别 讨 论 即 可 .答 案 ： ，( )当 a=0时 ， ， f (1)= ， f(1)=0 曲 线 y=f(x)在 点 (1， f(1)处 的 切 线 方 程 为 y= (x-1).( )(1)当 a 0时 ， 由 x 0 知 f (x) 0， 即 f(x)在 (0， + )上 单 调 递 增 ； (2)当 a 0时 ， 令 f (x) 0， 则 0， 整 理 得 ， ax2+(2a+2)x+a 0，令 f (x) 0， 则 0， 整 理 得 ， ax2+(2a+2)x+a 0.以 下 考 虑 函 数 g(x)=ax2+(2a+2)x+a， g(0)=
25、a 0. ， 对 称 轴 方 程. 当 a - 时 ， 0， g(x) 0 恒 成 立 .(x 0) 当 - a 0 时 ， 此 时 ， 对 称 轴 方 程 0， g(x)=0 的 两 根 均 大 于 零 ， 计 算 得当 x 时 ， g(x) 0；当 0 x 或 x 时 ， g(x) 0.综 合 (1)(2)可 知 ，当 a - 时 ， f(x)在 (0， + )上 单 调 递 减 ；当 - a 0时 ， f(x)在 ( ， )上 单 调 递 增 ， 在 (0，)， ( ， + )上 单 调 递 减 ；当 a 0 时 ， f(x)在 (0， + )上 单 调 递 增 . 21.(14分 )在
26、 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 椭 圆 C： + =1(a b 0)的 离 心 率 为 ， 直 线y=x被 椭 圆 C 截 得 的 线 段 长 为 .( )求 椭 圆 C 的 方 程 ；( )过 原 点 的 直 线 与 椭 圆 C 交 于 A， B 两 点 (A， B不 是 椭 圆 C 的 顶 点 ).点 D 在 椭 圆 C 上 ， 且AD AB， 直 线 BD与 x 轴 、 y 轴 分 别 交 于 M， N 两 点 .(i)设 直 线 BD， AM 的 斜 率 分 别 为 k 1， k2， 证 明 存 在 常 数 使 得 k1= k2， 并 求 出 的 值 ；(ii)求 OMN面
27、 积 的 最 大 值 .解 析 ： ( )由 椭 圆 离 心 率 得 到 a， b 的 关 系 ， 化 简 椭 圆 方 程 ， 和 直 线 方 程 联 立 后 求 出 交 点 的横 坐 标 ， 把 弦 长 用 交 点 横 坐 标 表 示 ， 则 a 的 值 可 求 ， 进 一 步 得 到 b的 值 ， 则 椭 圆 方 程 可 求 ；( )(i)设 出 A， D 的 坐 标 分 别 为 (x1， y1)(x1y1 0)， (x2， y2)， 用 A 的 坐 标 表 示 B 的 坐 标 ， 把AB和 AD的 斜 率 都 用 a 的 坐 标 表 示 ， 写 出 直 线 AD的 方 程 ， 和 椭 圆
28、 方 程 联 立 后 利 用 根 与 系 数关 系 得 到 AD横 纵 坐 标 的 和 ， 求 出 AD 中 点 坐 标 ， 则 BD斜 率 可 求 ， 再 写 出 BD所 在 直 线 方 程 ，取 y=0得 到 M 点 坐 标 ， 由 两 点 求 斜 率 得 到 AM的 斜 率 ， 由 两 直 线 斜 率 的 关 系 得 到 的 值 ； (ii)由 BD方 程 求 出 N 点 坐 标 ， 结 合 (i)中 求 得 的 M 的 坐 标 得 到 OMN的 面 积 ， 然 后 结 合 椭 圆方 程 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 .答 案 ： ( )由 题 意 知 ， ， 则 a2=4b2
29、. 椭 圆 C 的 方 程 可 化 为 x2+4y2=a2.将 y=x代 入 可 得 ，因 此 ， 解 得 a=2.则 b=1. 椭 圆 C 的 方 程 为 ；( )(i)设 A(x 1， y1)(x1y1 0)， D(x2， y2)， 则 B(-x1， -y1). 直 线 AB 的 斜 率 ，又 AB AD， 直 线 AD的 斜 率 .设 AD 方 程 为 y=kx+m， 由 题 意 知 k 0， m 0.联 立 ， 得 (1+4k 2)x2+8kmx+4m2-4=0. .因 此 .由 题 意 可 得 . 直 线 BD 的 方 程 为 .令 y=0， 得 x=3x 1， 即 M(3x1， 0).可 得 . ， 即 .因 此 存 在 常 数 使 得 结 论 成 立 .(ii)直 线 BD方 程 为 ，令 x=0， 得 ， 即 N( ).由 (i)知 M(3x 1， 0)，可 得 OMN的 面 积 为 S= .当 且 仅 当 时 等 号 成 立 . OMN面 积 的 最 大 值 为 .
