1、2014年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 天 津 卷 ） 数 学 文一 、 选 择 题 ： 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1. i是 虚 数 单 位 ， 复 数 =( )A.1-iB.-1+iC. + iD.- + i 解 析 ： 复 数 = = ，答 案 ： A.2.设 变 量 x， y 满 足 约 束 条 件 ， 则 目 标 函 数 z=x+2y的 最 小 值 为 ( )A.2B.3C.4D.5解 析 ： 作 出 不 等 式 对 应 的 平 面 区 域 ， 由 z=x+2y， 得 y=-
2、，平 移 直 线 y=- ， 由 图 象 可 知 当 直 线 y=- 经 过 点 B(1， 1)时 ， 直 线 y=- 的 截距 最 小 ， 此 时 z最 小 .此 时 z 的 最 小 值 为 z=1+2 1=3，答 案 ： B.3.已 知 命 题 p： x 0， 总 有 (x+1)e x 1， 则 p为 ( )A.x0 0， 使 得 (x0+1)e 0 x 1 B.x0 0， 使 得 (x0+1)e 0 x 1C.x 0， 总 有 (x+1)ex 1D.x 0， 总 有 (x+1)ex 1解 析 ： 根 据 全 称 命 题 的 否 定 为 特 称 命 题 可 知 ， p为 x0 0， 使 得
3、 (x0+1)e 0 x 1，答 案 ： B.4.设 a=log 2 ， 12logb ， c= -2， 则 ( )A.a b cB.b a cC.a c bD.c b a解 析 ： log2 1， 12log 0， 0 -2 1， 即 a 1， b 0， 0 c 1， a c b，答 案 ： C5.设 a n的 首 项 为 a1， 公 差 为 -1 的 等 差 数 列 ， Sn为 其 前 n项 和 ， 若 S1， S2， S4成 等 比 数 列 ，则 a1=( )A.2B.-2C.D.-解 析 ： a n是 首 项 为 a1， 公 差 为 -1 的 等 差 数 列 ， Sn为 其 前 n项
4、和 ， S1=a1， S2=2a1-1， S4=4a1-6，由 S1， S2， S4成 等 比 数 列 ， 得 ： ，即 ， 解 得 ： .答 案 ： D.6.已 知 双 曲 线 - =1(a 0， b 0)的 一 条 渐 近 线 平 行 于 直 线 l： y=2x+10， 双 曲 线 的 一 个焦 点 在 直 线 l 上 ， 则 双 曲 线 的 方 程 为 ( ) A.B. - =1 C. - =1D. - =1解 析 ： 令 y=0， 可 得 x=-5， 即 焦 点 坐 标 为 (-5， 0)， c=5， 双 曲 线 - =1(a 0， b 0)的 一 条 渐 近 线 平 行 于 直 线
5、l： y=2x+10， =2， c 2=a2+b2， a2=5， b2=20， 双 曲 线 的 方 程 为 - =1.答 案 ： A.7.如 图 ， ABC是 圆 的 内 接 三 角 形 ， BAC 的 平 分 线 交 圆 于 点 D， 交 BC于 E， 过 点 B 的 圆 的切 线 与 AD 的 延 长 线 交 于 点 F， 在 上 述 条 件 下 ， 给 出 下 列 四 个 结 论 ： BD 平 分 CBF； FB 2=FD FA； AE CE=BE DE； AF BD=AB BF.所 有 正 确 结 论 的 序 号 是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 圆 周 角 DBC对 应
6、 劣 弧 CD， 圆 周 角 DAC对 应 劣 弧 CD， DBC= DAC. 弦 切 角 FBD对 应 劣 弧 BD， 圆 周 角 BAD对 应 劣 弧 BD， FBD= BAF. BD 是 BAC的 平 分 线 ， BAF= DAC. DBC= FBD.即 BD平 分 CBF.即 结 论 正 确 .又 由 FBD= FAB， BFD= AFB， 得 FBD FAB.由 ， FB 2=FD FA.即 结 论 成 立 . 由 ， 得 AF BD=AB BF.即 结 论 成 立 .正 确 结 论 有 .答 案 ： D8.已 知 函 数 f(x)= sin x+cos x( 0)， x R， 在
7、曲 线 y=f(x)与 直 线 y=1的 交 点 中 ，若 相 邻 交 点 距 离 的 最 小 值 为 ， 则 f(x)的 最 小 正 周 期 为 ( )A.B.C. D.2解 析 ： 已 知 函 数 f(x)= sin x+cos x=2sin( x+ )( 0)， x R，在 曲 线 y=f(x)与 直 线 y=1的 交 点 中 ， 若 相 邻 交 点 距 离 的 最 小 值 为 ， 正 好 等 于 f(x)的 周 期的 倍 ， 设 函 数 f(x)的 最 小 正 周 期 为 T， 则 = ， T= ，答 案 ： C.二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 每 小 题 5
8、分 ， 共 30分 .9.某 大 学 为 了 解 在 校 本 科 生 对 参 加 某 项 社 会 实 践 活 动 的 意 向 ， 拟 采 用 分 层 抽 样 的 方 向 ， 从 该校 四 个 年 级 的 本 科 生 中 抽 取 一 个 容 量 为 300的 样 本 进 行 调 查 ， 已 知 该 校 一 年 级 、 二 年 级 、 三 年 级 、 四 年 级 的 本 科 生 人 数 之 比 为 4： 5： 5： 6， 则 应 从 一 年 级 本 科 生 中 抽 取 60 名 学 生 .解 析 ： 根 据 分 层 抽 样 的 定 义 和 方 法 ， 一 年 级 本 科 生 人 数 所 占 的 比
9、 例 为 = ，故 应 从 一 年 级 本 科 生 中 抽 取 名 学 生 数 为 300 =60，答 案 ： 60.10.一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 (单 位 ： m)， 则 该 几 何 体 的 体 积 为 m 3. 解 析 ： 由 三 视 图 知 ： 几 何 体 是 圆 锥 与 圆 柱 的 组 合 体 ，其 中 圆 柱 的 高 为 4， 底 面 直 径 为 2， 圆 锥 的 高 为 2， 底 面 直 径 为 4， 几 何 体 的 体 积 V= 12 4+ 22 2=4 + = .答 案 ： .11.阅 读 如 图 的 框 图 ， 运 行 相 应 的 程 序 ， 输
10、出 S 的 值 为 . 解 析 ： 由 框 图 知 ， 第 一 次 循 环 得 到 ： S=-8， n=2；第 二 次 循 环 得 到 ： S=-4， n=1； 退 出 循 环 ， 输 出 -4.故 答 案 为 ： -4. 12.函 数 f(x)=lgx2的 单 调 递 减 区 间 是 .解 析 ： 方 法 一 ： y=lgx2=2lg|x|， 当 x 0 时 ， f(x)=2lgx在 (0， + )上 是 增 函 数 ；当 x 0 时 ， f(x)=2lg(-x)在 (- ， 0)上 是 减 函 数 . 函 数 f(x)=lgx2的 单 调 递 减 区 间 是 (- ， 0).方 法 二 ：
11、 原 函 数 是 由 复 合 而 成 ， t=x 2在 (- ， 0)上 是 减 函 数 ， 在 (0， + )为 增 函 数 ；又 y=lgt 在 其 定 义 域 上 为 增 函 数 ， f(x)=lgx2在 (- ， 0)上 是 减 函 数 ， 在 (0， + )为 增 函 数 ， 函 数 f(x)=lgx2的 单 调 递 减 区 间 是 (- ， 0).答 案 ： (- ， 0).13.已 知 菱 形 ABCD的 边 长 为 2， BAD=120 ， 点 E， F 分 别 在 边 BC， DC上 ， BC=3BE， DC= DF，若 =1， 则 的 值 为 .解 析 ： BC=3BE，
12、DC= DF， = ， = ，= + = + = + ， = + = + = + ， 菱 形 ABCD的 边 长 为 2， BAD=120 ， | |=| |=2， =2 2 cos120 =-2， =1， ( + )( + )= + +(1+ ) =1，即 4+ 4-2(1+ )=1， 整 理 得 ， 解 得 =2，答 案 ： 2.14.已 知 函 数 f(x)= ， 若 函 数 y=f(x)-a|x|恰 有 4个 零 点 ， 则 实 数 a的 取 值 范 围 为 . 解 析 ： 由 y=f(x)-a|x|=0得 f(x)=a|x|， 作 出 函 数 y=f(x)， y=a|x|的 图 象
13、， 当 a 0， 不 满 足 条 件 ， a 0，当 a=2时 ， 此 时 y=a|x|与 f(x)有 三 个 交 点 ，当 a=1时 ， 此 时 y=a|x|与 f(x)有 五 个 交 点 ， 要 使 函 数 y=f(x)-a|x|恰 有 4 个 零 点 ，则 1 a 2，答 案 ： (1， 2)三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 80分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .15.(13分 )某 校 夏 令 营 有 3 名 男 同 学 ， A、 B、 C 和 3 名 女 同 学 X， Y， Z， 其 年 级 情 况 如 表
14、 ： 现 从 这 6 名 同 学 中 随 机 选 出 2人 参 加 知 识 竞 赛 （ 每 人 被 选 到 的 可 能 性 相 同 ）( )用 表 中 字 母 列 举 出 所 有 可 能 的 结 果 ；( )设 M 为 事 件 “ 选 出 的 2 人 来 自 不 同 年 级 且 恰 有 1名 男 同 学 和 1名 女 同 学 ” ， 求 事 件 M发 生 的 概 率 .解 析 ： ( )用 表 中 字 母 一 一 列 举 出 所 有 可 能 的 结 果 ， 共 15个 .( )用 列 举 法 求 出 事 件 M 包 含 的 结 果 有 6 个 ， 而 所 有 的 结 果 共 15个 ， 由 此
15、 求 得 事 件 M 发 生的 概 率 .答 案 ： ( )用 表 中 字 母 列 举 出 所 有 可 能 的 结 果 有 ： (A， B)、 (A， C)、 (A， X)、 (A， Y)、 (A，Z)、 (B， C)、 (B， X)、 (B， Y)、 (B， Z)、 (C， X)、 (C， Y)、 (C， Z)、 (X， Y)、(X， Z )、 (Y， Z)， 共 计 15 个 结 果 .( )设 M 为 事 件 “ 选 出 的 2 人 来 自 不 同 年 级 且 恰 有 1名 男 同 学 和 1名 女 同 学 ” ，则 事 件 M 包 含 的 结 果 有 ： (A， Y)、 (A， Z)、
16、 (B， X)、 (B， Z)、 (C， X)、 (C， Y)， 共 计 6个 结果 ， 故 事 件 M 发 生 的 概 率 为 = .16.(13分 )在 ABC 中 ， 内 角 A， B， C所 对 的 边 分 别 为 a， b， c， 已 知 a-c= b， sinB= sinC， ( )求 cosA的 值 ；( )求 cos(2A- )的 值 .解 析 ： ( )已 知 第 二 个 等 式 利 用 正 弦 定 理 化 简 ， 代 入 第 一 个 等 式 表 示 出 a， 利 用 余 弦 定 理 表示 出 cosA， 将 表 示 出 的 a， b代 入 计 算 ， 即 可 求 出 cos
17、A的 值 ；( )由 cosA 的 值 ， 利 用 同 角 三 角 函 数 间 的 基 本 关 系 求 出 sinA 的 值 ， 进 而 利 用 二 倍 角 的 正 弦 、余 弦 函 数 公 式 求 出 sin2A 与 cos2A 的 值 ， 原 式 利 用 两 角 和 与 差 的 余 弦 函 数 公 式 及 特 殊 角 的 三角 函 数 值 化 简 ， 将 各 自 的 值 代 入 计 算 即 可 求 出 值 .答 案 ： ( )将 sinB= sinC， 利 用 正 弦 定 理 化 简 得 ： b= c，代 入 a-c= b， 得 ： a-c=c， 即 a=2c， cosA= = = ； (
18、 ) cosA= ， A 为 三 角 形 内 角 ， sinA= = ， cos2A=2cos2A-1=- ， sin2A=2sinAcosA= ，则 cos(2A- )=cos2Acos +sin2Asin =- + = .点 评 ： 此 题 考 查 了 正 弦 、 余 弦 定 理 ， 同 角 三 角 函 数 间 的 基 本 关 系 ， 二 倍 角 的 正 弦 、 余 弦 函数 公 式 ， 以 及 两 角 和 与 差 的 余 弦 函 数 公 式 ， 熟 练 掌 握 定 理 及 公 式 是 解 本 题 的 关 键 .17.(13分 )如 图 ， 四 棱 锥 P-ABCD的 底 面 ABCD 是
19、 平 行 四 边 形 ， BA=BD= ， AD=2， PA=PD= ，E， F 分 别 是 棱 AD， PC的 中 点 . ( )证 明 EF 平 面 PAB；( )若 二 面 角 P-AD-B为 60 ，(i)证 明 平 面 PBC 平 面 ABCD；(ii)求 直 线 EF 与 平 面 PBC所 成 角 的 正 弦 值 .解 析 ： ( )要 证 明 EF 平 面 PAB， 可 以 先 证 明 平 面 EFH 平 面 PAB， 而 要 证 明 面 面 平 行 则 可用 面 面 平 行 的 判 定 定 理 来 证 ；( )(i)要 证 明 平 面 PBC 平 面 ABCD， 可 用 面 面
20、 垂 直 的 判 定 定 理 ， 即 只 需 证 PB 平 面 ABCD即 可 ；(ii)由 (i)知 ， BD， BA， BP两 两 垂 直 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 B-DAP， 得 到 直 线 EF的 方 向 向 量与 平 面 PBC法 向 量 ， 其 夹 角 的 余 弦 值 的 绝 对 值 即 为 所 成 角 的 正 弦 值 .答 案 ： ( )连 结 AC， AC BD=H， 底 面 ABCD是 平 行 四 边 形 ， H 为 BD中 点 ， E 是 棱 AD的 中 点 . 在 ABD中 ， EH AB，又 AB平 面 PAB， EH平 面 PAD， EH 平 面 PA
21、B.同 理 可 证 ， FH 平 面 PAB.又 EH FH=H， 平 面 EFH 平 面 PAB， EF平 面 EFH， EF 平 面 PAB；( )(i)如 图 ， 连 结 PE， BE. BA=BD= ， AD=2， PA=PD= ， BE=1， PE=2.又 E为 AD的 中 点 ， BE AD， PE AD， PEB即 为 二 面 角 P-AD-B 的 平 面 角 ， 即 PEB=60 ， PB= . PBD中 ， BD 2+PB2=PD2， PB BD， 同 理 PB BA， PB 平 面 ABD， PB平 面 PBC， 平 面 PAB 平 面 ABCD；(ii)由 (i)知 ，
22、PB BD， PB BA， BA=BD= ， AD=2， BD BA， BD， BA， BP 两 两 垂 直 ，以 B 为 坐 标 原 点 ， 分 别 以 BD， BA， BP为 X， Y， Z 轴 ， 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 B-DAP， 则 有 A(0， ， 0)， B(0， 0， 0)， C( ， - ， 0)， D( ， 0， 0)， P(0， 0， )， =( ， - ， 0)， =(0， 0， )，设 平 面 PBC的 法 向 量 为 ， ， ， 令 x=1， 则 y=1， z=0， 故 =(1， 1， 0)， E， F分 别 是 棱 AD， PC的
23、 中 点 ， E( ， ， 0)， F( ， - ， )， =(0， ， )， = = =- ，即 直 线 EF 与 平 面 PBC所 成 角 的 正 弦 值 为 .18.(13分 )设 椭 圆 + =1(a b 0)的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F 1、 F2， 右 顶 点 为 A， 上 顶 点 为B， 已 知 |AB|= |F1F2|.( )求 椭 圆 的 离 心 率 ；( )设 P 为 椭 圆 上 异 于 其 顶 点 的 一 点 ， 以 线 段 PB为 直 径 的 圆 经 过 点 F1， 经 过 点 F2的 直 线 l与 该 圆 相 切 于 点 M， |MF2|=2 ， 求 椭 圆
24、 的 方 程 .解 析 ： ( )分 别 用 a， b， c 表 示 出 |AB|和 |F 1F2|， 根 据 已 知 建 立 等 式 求 得 a 和 c 的 关 系 ， 进而 求 得 离 心 率 e.( )根 据 (1)中 a 和 c 的 关 系 ， 用 c 表 示 出 椭 圆 的 方 程 ， 设 出 P 点 的 坐 标 ， 根 据 PB 为 直 径 ，推 断 出 BF1 PF1， 进 而 知 两 直 线 斜 率 相 乘 得 -1， 进 而 求 得 sin 和 cos ， 表 示 出 P 点 坐 标 ，利 用 P， B 求 得 圆 心 坐 标 ， 则 可 利 用 两 点 间 的 距 离 公
25、式 分 别 表 示 出 |OB|， |OF2|， 利 用 勾 股 定理 建 立 等 式 求 得 c， 则 椭 圆 的 方 程 可 得 .答 案 ： ( )依 题 意 可 知 = 2c， b 2=a2-c2， a2+b2=2a2-c2=3c2， a2=2c2， e= = .( )由 ( )知 a2=2c2， b2=a2-c2=c2， 椭 圆 方 程 为 + =1， B(0， c)， F1(-c， 0)设 P 点 坐 标 ( csin ， ccos )， 圆 心 为 O， PB 为 直 径 ， BF 1 PF1， k BF1kPF1= =-1，求 得 sin =- 或 0(舍 去 )，由 椭 圆
26、对 称 性 可 知 ， P 在 x 轴 下 方 和 上 方 结 果 相 同 ， 只 看 在 x轴 上 方 时 ， cos = = ， P 坐 标 为 (- c， c)， 圆 心 坐 标 为 (- c， c)， r=|OB|= = c， |OF 2|= = c， r2+|MF2|2=|OF2|2， +8= c2， c2=3， a2=6， b2=3， 椭 圆 的 方 程 为 + =1.19.(14分 )已 知 函 数 f(x)=x2- ax3(a 0)， x R.( )求 f(x)的 单 调 区 间 和 极 值 ；( )若 对 于 任 意 的 x1 (2， + )， 都 存 在 x2 (1， +
27、)， 使 得 f(x1) f(x2)=1， 求 a 的 取 值范 围 .解 析 ： ( )求 导 数 ， 利 用 导 数 的 正 负 ， 可 得 f(x)的 单 调 区 间 ， 从 而 求 出 函 数 的 极 值 ；( )由 f(0)=f( )=0及 ( )知 ， 当 x (0， )时 ， f(x) 0； 当 x ( ， + )时 ， f(x) 0.设 集 合 A=f(x)|x (2， + )， 集 合 B= |x (1， + )， f(x) 0， 则 对 于 任 意 的 x1 (2， + )， 都 存 在 x2 (1， + )， 使 得 f(x1) f(x2)=1， 等 价 于 AB， 分
28、类 讨 论 ，即 可 求 a 的 取 值 范 围 .答 案 ： ( )f (x)=2x-2ax2=2x(1-ax)， a 0， 当 x 0 或 x 时 ， f (x) 0， 当 时 ， f (x) 0，f(x)单 调 递 减 区 间 为 ： (- ， 0)和 ， 单 调 递 增 区 间 为 ，当 x=0时 ， 有 极 小 值 f(0)=0， 当 x= 时 ， 有 极 大 值 f( )= ；( )由 f(0)=f( )=0 及 ( )知 ， 当 x (0， )时 ， f(x) 0； 当 x ( ， + )时 ， f(x) 0. 设 集 合 A=f(x)|x (2， + )， 集 合 B= |x
29、(1， + )， f(x) 0， 则 对 于 任 意 的x1 (2， + )， 都 存 在 x2 (1， + )， 使 得 f(x1) f(x2)=1， 等 价 于 AB， 显 然 A 下 面 分 三 种 情 况 讨 论 ：(1)当 2， 即 0 a 时 ， 由 f( )=0可 知 ， 0 A， 而 0 B， A不 是 B 的 子 集 ；(2)当 1 2， 即 时 ， f(2) 0， 且 f(x)在 (2， + )上 单 调 递 减 ， 故 A=(- ，f(2)， A(- ， 0)； 由 f(1) 0， 有 f(x)在 (1， + )上 的 取 值 范 围 包 含 (- ， 0)， 即 (-
30、，0)B， AB；(3)当 1， 即 a 时 ， 有 f(1) 0， 且 f(x)在 (1， + )上 单 调 递 减 ，故 B=( ， 0)， A=(- ， f(2)， A不 是 B 的 子 集 . 综 上 ， a的 取 值 范 围 是 . 20.(14分 )已 知 q 和 n 均 为 给 定 的 大 于 1 的 自 然 数 ， 设 集 合 M=0， 1， 2， ， q-1， 集 合A=x|x=x1+x2q+ +xnqn-1， xi M， i=1， 2， n.( )当 q=2， n=3时 ， 用 列 举 法 表 示 集 合 A；( )设 s， t A， s=a1+a2q+ +anqn-1，
31、t=b1+b2q+ +bnqn-1， 其 中 ai， bi M， i=1， 2， ， n.证 明 ： 若 an bn， 则 s t.解 析 ： ( )当 q=2， n=3时 ， M=0， 1， A=x| ， xi M， i=1， 2， 3.即 可 得 到 集 合 A.( )由 题 意 可 得s-t=(a 1-b1)+(a2-b2)q+ + + (q-1)+(q-1)q+ +(q-1)qn-2+(q-1)qn-1再 利 用 等 比 数 列 的 前 n 项 和 公 式 即 可 得 出 .答 案 ： ( )当 q=2， n=3时 ， M=0， 1， A=x| ， xi M， i=1， 2， 3.可 得 A=0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7.( )由 设 s， t A， s=a1+a2q+ +anqn-1， t=b1+b2q+ +bnqn-1， 其 中 ai， bi M， i=1， 2， ， n.an b n，可 得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+ + + (q-1)+(q-1)q+ +(q-1)qn-2+(q-1)qn-1= =-1 0. s t.
