1、2014年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 大 纲 版 ） 数 学 理一 、 选 择 题 （ 本 大 题 共 12小 题 ， 每 小 题 5 分 ）1.设 z= ， 则 z 的 共 轭 复 数 为 ( )A. -1+3iB. -1-3iC. 1+3iD. 1-3i解 析 ： z= = ， . 答 案 ： D.2.设 集 合 M=x|x2-3x-4 0， N=x|0 x 5， 则 M N=( )A. (0， 4B. 0， 4)C. -1， 0)D. (-1， 0解 析 ： 由 x 2-3x-4 0， 得 -1 x 4， M=x|x2-3x-4 0=x|-1 x 4，又
2、 N=x|0 x 5， M N=x|-1 x 4 x|0 x 5=0， 4).答 案 ： B.3.设 a=sin33 ， b=cos55 ， c=tan35 ， 则 ( )A. a b cB. b c aC. c b aD. c a b解 析 ： 由 诱 导 公 式 可 得 b=cos55 =cos(90 -35 )=sin35 ， 由 正 弦 函 数 的 单 调 性 可 知 b a， 而 c=tan35 = sin35 =b， c b a答 案 ： C4.若 向 量 、 满 足 ： | |=1， ( + ) ， (2 + ) ， 则 | |=( )A. 2B.C. 1D.解 析 ： 由 题
3、意 可 得 ， ( + ) = + =1+ =0， =-1； (2 + ) =2 + =-2+ =0， b2=2， 则 | |= ，答 案 ： B.5.有 6名 男 医 生 、 5名 女 医 生 ， 从 中 选 出 2名 男 医 生 、 1 名 女 医 生 组 成 一 个 医 疗 小 组 ， 则 不同 的 选 法 共 有 ( )A. 60种B. 70种C. 75种D. 150种解 析 ： 根 据 题 意 ， 先 从 6名 男 医 生 中 选 2 人 ， 有 C 62=15种 选 法 ，再 从 5名 女 医 生 中 选 出 1人 ， 有 C51=5 种 选 法 ， 则 不 同 的 选 法 共 有
4、 15 5=75种 ；答 案 ： C.6.已 知 椭 圆 C： + =1(a b 0)的 左 、 右 焦 点 为 F1、 F2， 离 心 率 为 ， 过 F2的 直 线 l交 C 于 A、 B 两 点 ， 若 AF 1B 的 周 长 为 4 ， 则 C的 方 程 为 ( )A. + =1B. +y2=1C. + =1D. + =1解 析 ： AF 1B的 周 长 为 4 ， 4a=4 ， a= ， 离 心 率 为 ， c=1， b= = ， 椭 圆 C的 方 程 为 + =1.答 案 ： A.7.曲 线 y=xex-1在 点 (1， 1)处 切 线 的 斜 率 等 于 ( )A. 2eB. e
5、C. 2D. 1解 析 ： 函 数 的 导 数 为 f (x)=e x-1+xex-1=(1+x)ex-1，当 x=1时 ， f (1)=2，即 曲 线 y=xex-1在 点 (1， 1)处 切 线 的 斜 率 k=f (1)=2，答 案 ： C. 8.正 四 棱 锥 的 顶 点 都 在 同 一 球 面 上 ， 若 该 棱 锥 的 高 为 4， 底 面 边 长 为 2， 则 该 球 的 表 面 积 为( )A.B. 16C. 9D.解 析 ： 设 球 的 半 径 为 R， 则 棱 锥 的 高 为 4， 底 面 边 长 为 2， R 2=(4-R)2+( )2， R= ， 球 的 表 面 积 为
6、 4 ( )2= .答 案 ： A. 9.已 知 双 曲 线 C的 离 心 率 为 2， 焦 点 为 F1、 F2， 点 A 在 C 上 ， 若 |F1A|=2|F2A|， 则cos AF2F1=( )A.B.C.D.解 析 ： 双 曲 线 C 的 离 心 率 为 2， e= ， 即 c=2a，点 A 在 双 曲 线 上 ， 则 |F 1A|-|F2A|=2a，又 |F1A|=2|F2A|， 解 得 |F1A|=4a， |F2A|=2a， |F1F2|=2c，则 由 余 弦 定 理 得cos AF2F1= = =，答 案 ： A. 10.等 比 数 列 an中 ， a4=2， a5=5， 则
7、数 列 lgan的 前 8 项 和 等 于 ( )A. 6B. 5C. 4D. 3解 析 ： 等 比 数 列 an中 a4=2， a5=5， a4 a5=2 5=10， 数 列 lgan的 前 8项 和 S=lga1+lga2+ +lga8=lg(a 1 a2 a8)=lg(a4 a5)4=4lg(a4 a5)=4lg10=4答 案 ： C11.已 知 二 面 角 -l- 为 60 ， AB ， AB l， A为 垂 足 ， CD ， C l， ACD=135 ，则 异 面 直 线 AB 与 CD所 成 角 的 余 弦 值 为 ( )A.B.C. D.解 析 ： 如 图 ， 过 A 点 做 A
8、E l， 使 BE ， 垂 足 为 E， 过 点 A 做 AF CD， 过 点 E做 EF AE，连 接 BF， AB l， BAE=60 ，又 ACD=135 ， EAF=45 ， 在 Rt BEA中 ， 设 AE=a， 则 AB=2a， BE= a，在 Rt AEF中 ， 则 EF=a， AF= a，在 Rt BEF中 ， 则 BF=2a， 异 面 直 线 AB 与 CD所 成 的 角 即 是 BAF， cos BAF= = = .答 案 ： B.12.函 数 y=f(x)的 图 象 与 函 数 y=g(x)的 图 象 关 于 直 线 x+y=0 对 称 ， 则 y=f(x)的 反 函 数
9、 是( )A. y=g(x) B. y=g(-x)C. y=-g(x)D. y=-g(-x)解 析 ： 设 P(x， y)为 y=f(x)的 反 函 数 图 象 上 的 任 意 一 点 ，则 P 关 于 y=x的 对 称 点 P (y， x)一 点 在 y=f(x)的 图 象 上 ，又 函 数 y=f(x)的 图 象 与 函 数 y=g(x)的 图 象 关 于 直 线 x+y=0 对 称 ， P (y， x)关 于 直 线 x+y=0 的 对 称 点 P (-x， -y)在 y=g(x)图 象 上 ， 必 有 -y=g(-x)， 即 y=-g(-x) y=f(x)的 反 函 数 为 ： y=-
10、g(-x)答 案 ： D二 、 填 空 题 (本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ) 13. 的 展 开 式 中 x2y2的 系 数 为 .(用 数 字 作 答 )解 析 ： 的 展 开 式 的 通 项 公 式 为Tr+1= (-1)r = (-1)r ，令 8- = -4=2， 求 得 r=4， 故 展 开 式 中 x 2y2的 系 数 为 =70，答 案 ： 70.14.设 x、 y满 足 约 束 条 件 ， 则 z=x+4y的 最 大 值 为 .解 析 ： 由 约 束 条 件 作 出 可 行 域 如 图 ， 联 立 ， 解 得 C(1， 1).化 目 标 函 数 z=x+
11、4y为 直 线 方 程 的 斜 截 式 ， 得 . 由 图 可 知 ， 当 直 线 过 C点 时 ， 直 线 在 y 轴 上 的 截 距 最 大 ， z最 大 .此 时 zmax=1+4 1=5.答 案 ： 5.15.直 线 l1和 l2是 圆 x2+y2=2 的 两 条 切 线 ， 若 l1与 l2的 交 点 为 (1， 3)， 则 l1与 l2的 夹 角 的 正切 值 等 于 .解 析 ： 设 l 1与 l2的 夹 角 为 2 ， 由 于 l1与 l2的 交 点 A(1， 3)在 圆 的 外 部 ，且 点 A与 圆 心 O之 间 的 距 离 为 OA= = ，圆 的 半 径 为 r= ，
12、sin = = ， cos = ， tan = = ， tan2 = = = ，答 案 ： .16.若 函 数 f(x)=cos2x+asinx在 区 间 ( ， )是 减 函 数 ， 则 a的 取 值 范 围 是 .解 析 ： 由 f(x)=cos2x+asinx=-2sin 2x+asinx+1，令 t=sinx， 则 原 函 数 化 为 y=-2t2+at+1. x ( ， )时 f(x)为 减 函 数 ， 则 y=-2t2+at+1 在 t ( ， 1)上 为 减 函 数 ， y=-2t2+at+1 的 图 象 开 口 向 下 ， 且 对 称 轴 方 程 为 t= . ，解 得 ： a
13、 2. a的 取 值 范 围 是 (- ， 2.答 案 ： (- ， 2.三 、 解 答 题17.(10分 ) ABC的 内 角 A、 B、 C 的 对 边 分 别 为 a、 b、 c， 已 知 3acosC=2ccosA， tanA= ， 求 B.解 析 ： 由 3acosC=2ccosA， 利 用 正 弦 定 理 可 得 3sinAcosC=2sinCcosA， 再 利 用 同 角 的 三 角 函数 基 本 关 系 式 可 得 tanC， 利 用 tanB=tan -(A+B)=-tan(A+B)即 可 得 出 .答 案 ： 3acosC=2ccosA，由 正 弦 定 理 可 得 3sin
14、AcosC=2sinCcosA， 3tanA=2tanC， tanA= ， 2tanC=3 =1， 解 得 tanC= . tanB=tan -(A+B)=-tan(A+B)=- =- =-1， B (0， )， B=点 评 ： 本 题 考 查 了 正 弦 定 理 、 同 角 的 三 角 函 数 基 本 关 系 式 、 两 角 和 差 的 正 切 公 式 、 诱 导 公18.(12分 )等 差 数 列 an的 前 n 项 和 为 Sn.已 知 a1=10， a2为 整 数 ， 且 Sn S4.( )求 an的 通 项 公 式 ；( )设 bn= ， 求 数 列 bn的 前 n项 和 Tn.解
15、析 ： ( )由 题 意 得 a 4 0， a5 0， 即 10+3d 0， 10+4d 0， 解 得 d=-3， 即 可 写 出 通 项 公式 ；( )利 用 裂 项 相 消 法 求 数 列 和 即 可 .答 案 ： ( )由 a1=10， a2为 整 数 ， 且 Sn S4得a4 0， a5 0， 即 10+3d 0， 10+4d 0， 解 得 - d - ， d=-3， an的 通 项 公 式 为 an=13-3n.( ) b n= = ( - )， Tn=b1+b2+ +bn= ( - + - + + - )= ( - )=.19.(12分 )如 图 ， 三 棱 柱 ABC-A 1B1
16、C1中 ， 点 A1在 平 面 ABC 内 的 射 影 D 在 AC 上 ， ACB=90 ，BC=1， AC=CC1=2.( )证 明 ： AC 1 A1B；( )设 直 线 AA1与 平 面 BCC1B1的 距 离 为 ， 求 二 面 角 A1-AB-C 的 大 小 .解 析 ： ( )由 已 知 数 据 结 合 三 垂 线 定 理 可 得 ；( )作 辅 助 线 可 证 A1FD 为 二 面 角 A1-AB-C的 平 面 角 ， 解 三 角 形 由 反 三 角 函 数 可 得 .答 案 ： ( ) A1D 平 面 ABC， A1D平 面 AA1C1C， 平 面 AA1C1C 平 面 AB
17、C， 又 BC AC BC 平 面 AA1C1C， 连 结 A1C，由 侧 面 AA 1C1C 为 菱 形 可 得 AC1 A1C，由 三 垂 线 定 理 可 得 AC1 A1B；( ) BC 平 面 AA1C1C， BC平 面 BCC1B1， 平 面 AA1C1C 平 面 BCC1B1，作 A1E CC1， E 为 垂 足 ， 可 得 A1E 平 面 BCC1B1，又 直 线 AA1 平 面 BCC1B1， A1E 为 直 线 AA1与 平 面 BCC1B1的 距 离 ， 即 A1E= ， A1C 为 ACC1的 平 分 线 ， A1D=A1E= ，作 DF AB， F 为 垂 足 ， 连
18、结 A1F，由 三 垂 线 定 理 可 得 A1F AB， A 1FD 为 二 面 角 A1-AB-C 的 平 面 角 ，由 AD= =1 可 知 D为 AC中 点 ， DF= = ， tan A1FD= = ， 二 面 角 A1-AB-C的 大 小 为 arctan20.(12分 )设 每 个 工 作 日 甲 、 乙 、 丙 、 丁 4 人 需 使 用 某 种 设 备 的 概 率 分 别 为 0.6、 0.5、 0.5、0.4， 各 人 是 否 需 使 用 设 备 相 互 独 立 .( )求 同 一 工 作 日 至 少 3人 需 使 用 设 备 的 概 率 ；( )X表 示 同 一 工 作
19、日 需 使 用 设 备 的 人 数 ， 求 X的 数 学 期 望 .解 析 ： 记 A i表 示 事 件 ： 同 一 工 作 日 乙 丙 需 要 使 用 设 备 ， i=0， 1， 2， B表 示 事 件 ： 甲 需 要 设备 ， C表 示 事 件 ， 丁 需 要 设 备 ， D 表 示 事 件 ： 同 一 工 作 日 至 少 3 人 需 使 用 设 备( )P(D)=P( )， 代 入 计 算 即 可 ，( )X的 可 能 取 值 为 0， 1， 2， 3， 4， 分 别 求 出 PXi， 再 利 用 数 学 期 望 公 式 计 算 即 可 .答 案 ： 记 Ai表 示 事 件 ： 同 一
20、工 作 日 乙 丙 需 要 使 用 设 备 ， i=0， 1， 2，B表 示 事 件 ： 甲 需 要 设 备 ， C 表 示 事 件 ， 丁 需 要 设 备 ， D 表 示 事 件 ： 同 一 工 作 日 至 少 3人 需使 用 设 备( )D= ，P(B)=0.6， P(C)=0.4， P(A i)=所 以 P(D)=P( )=P(A1 B C)+P(A2B)+P( )=0.31( )X的 可 能 取 值 为 0， 1， 2， 3， 4=(1-0.6) 0.52 (1-0.4)=0.06)=0.6 0.5 2 (1-0.4)+(1-0.6) 0.52 0.4+(1-0.6) 2 0.52 (
21、1-0.4)=0.25P(X=4)=P(A2BC)=0.52 0.6 0.4=0.06，P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25，P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38.故 数 学 期 望 EX=0 0.06+1 0.25+2 0.38+3 0.25+4 0.06=2. 21.(12分 )已 知 抛 物 线 C： y2=2px(p 0)的 焦 点 为 F， 直 线 y=4 与 y 轴 的 交 点 为 P， 与 C 的 交点 为 Q， 且 |QF|= |PQ|.( )求 C 的 方 程 ；( )过 F
22、的 直 线 l 与 C 相 交 于 A、 B 两 点 ， 若 AB的 垂 直 平 分 线 l 与 C相 交 于 M、 N 两 点 ，且 A、 M、 B、 N 四 点 在 同 一 圆 上 ， 求 l 的 方 程 .解 析 ： ( )设 点 Q 的 坐 标 为 (x 0， 4)， 把 点 Q的 坐 标 代 入 抛 物 线 C 的 方 程 ， 求 得 x0= ， 根 据|QF|= |PQ|求 得 p 的 值 ， 可 得 C 的 方 程 .( )设 l 的 方 程 为 x=my+1(m 0)， 代 入 抛 物 线 方 程 化 简 ， 利 用 韦 达 定 理 、 中 点 公 式 、 弦 长公 式 求 得
23、 弦 长 |AB|.把 直 线 l 的 方 程 线 l 的 方 程 代 入 抛 物 线 方 程 化 简 ， 利 用 韦 达 定 理 、 弦长 公 式 求 得 |MN|.由 于 MN 垂 直 平 分 线 段 AB， 故 AMBN四 点 共 圆 等 价 于 |AE|=|BE|= |MN|， 求得 m 的 值 ， 可 得 直 线 l 的 方 程 .答 案 ： ( )设 点 Q 的 坐 标 为 (x 0， 4)， 把 点 Q的 坐 标 代 入 抛 物 线 C： y2=2px(p 0)，可 得 x0= ， 点 P(0， 4)， |PQ|= .又 |QF|=x0+ = + ， |QF|= |PQ|， +
24、= ， 求 得 p=2， 或 p=-2(舍 去 ).故 C 的 方 程 为 y 2=4x.( )由 题 意 可 得 ， 直 线 l和 坐 标 轴 不 垂 直 ， 设 l的 方 程 为 x=my+1 (m 0)，代 入 抛 物 线 方 程 可 得 y2-4my-4=0， y1+y2=4m， y1y2=-4. AB 的 中 点 坐 标 为 D(2m2+1， 2m)， 弦 长 |AB|= |y1-y2|=4(m2+1).又 直 线 l 的 斜 率 为 -m， 直 线 l 的 方 程 为 x=- y+2m2+3.过 F 的 直 线 l 与 C 相 交 于 A、 B 两 点 ， 若 AB的 垂 直 平
25、分 线 l 与 C相 交 于 M、 N 两 点 ，把 线 l 的 方 程 代 入 抛 物 线 方 程 可 得 y 2+ y-4(2m2+3)=0， y3+y4= ， y3y4=-4(2m2+3).故 线 段 MN 的 中 点 E 的 坐 标 为 ( +2m2+3， )， |MN|= |y3-y4|= ， MN 垂 直 平 分 线 段 AB， 故 AMBN四 点 共 圆 等 价 于 |AE|=|BE|= |MN|， +DE 2= MN2， 4(m2+1)2+ + = ， 化 简 可 得 m2-1=0， m= 1 直 线 l 的 方 程 为 x-y-1=0， 或 x-+y-1=0. 22.(12分
26、 )函 数 f(x)=ln(x+1)- (a 1).( )讨 论 f(x)的 单 调 性 ；( )设 a1=1， an+1=ln(an+1)， 证 明 ： an .解 析 ： ( )求 函 数 的 导 数 ， 通 过 讨 论 a的 取 值 服 务 ， 即 可 得 到 f(x)的 单 调 性 ；( )利 用 数 学 归 纳 法 即 可 证 明 不 等 式 .答 案 ： ( )函 数 f(x)的 定 义 域 为 (-1， + )， f (x)= ， 当 1 a 2 时 ， 若 x (-1， a 2-2a)， 则 f (x) 0， 此 时 函 数 f(x)在 (-1， a2-2a)上 是 增函 数
27、，若 x (a2-2a， 0)， 则 f (x) 0， 此 时 函 数 f(x)在 (a2-2a， 0)上 是 减 函 数 ， 当 a=2时 ， f (x) 0， 此 时 函 数 f(x)在 (-1， + )上 是 增 函 数 ， 当 a 2 时 ， 若 x (-1， 0)， 则 f (x) 0， 此 时 函 数 f(x)在 (-1， 0)上 是 增 函 数 ，若 x (0， a2-2a)， 则 f (x) 0， 此 时 函 数 f(x)在 (0， a2-2a)上 是 减 函 数 ，若 x (a2-2a， + )， 则 f (x) 0， 此 时 函 数 f(x)在 (a2-2a， + )上 是
28、 增 函 数 .( )由 ( )知 ， 当 a=2时 ， 此 时 函 数 f(x)在 (-1， + )上 是 增 函 数 ，当 x (0， + )时 ， f(x) f(0)=0， 即 f(x+1) ， (x 0)，又 由 ( )知 ， 当 a=3时 ， f(x)在 (0， 3)上 是 减 函 数 ，当 x (0， 3)时 ， f(x) f(0)=0， f(x+1) ， 下 面 用 数 学 归 纳 法 进 行 证 明 an 成 立 ， 当 n=1时 ， 由 已 知 ， 故 结 论 成 立 . 假 设 当 n=k时 结 论 成 立 ， 即 ，则 当 n=k+1时 ， a n+1=ln(an+1) ln( ) ，an+1=ln(an+1) ln( ) ，即 当 n=k+1时 ， 成 立 ，综 上 由 可 知 ， 对 任 何 n N 结 论 都 成 立 .
