1、2014年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 大 纲 版 ） 数 学 文一 、 选 择 题 (本 大 题 共 12小 题 ， 每 小 题 5 分 )1.设 集 合 M=1， 2， 4， 6， 8， N=1， 2， 3， 5， 6， 7， 则 M N 中 元 素 的 个 数 为 ( )A. 2B. 3C. 5D. 7解 析 ： M=1， 2， 4， 6， 8， N=1， 2， 3， 5， 6， 7， M N=1， 2， 6， 即 M N 中 元 素 的 个 数 为 3.答 案 ： B. 2.已 知 角 的 终 边 经 过 点 (-4， 3)， 则 cos =( )A.B
2、.C. -D. -解 析 ： 角 的 终 边 经 过 点 (-4， 3)， x=-4， y=3， r= =5. cos = = =- ， 答 案 ： D.3.不 等 式 组 的 解 集 为 ( )A. x|-2 x -1B. x|-1 x 0C. x|0 x 1D. x|x 1解 析 ： 由 不 等 式 组 可 得 ， 解 得 0 x 1，答 案 ： C. 4.已 知 正 四 面 体 ABCD中 ， E 是 AB的 中 点 ， 则 异 面 直 线 CE与 BD所 成 角 的 余 弦 值 为 ( )A. B.C.D.解 析 ： 如 图 ， 取 AD 中 点 F， 连 接 EF， CF， E 为
3、AB 的 中 点 ， EF DB，则 CEF为 异 面 直 线 BD 与 CE所 成 的 角 ， ABCD为 正 四 面 体 ， E， F 分 别 为 AB， AD 的 中 点 ， CE=CF.设 正 四 面 体 的 棱 长 为 2a， 则 EF=a， CE=CF= .在 CEF中 ， 由 余 弦 定 理 得 ： = .答 案 ： B.5.函 数 y=ln( +1)(x -1)的 反 函 数 是 ( )A. y=(1-e x)3(x -1)B. y=(ex-1)3(x -1)C. y=(1-ex)3(x R)D. y=(ex-1)3(x R)解 析 ： y=ln( +1)， +1=ey， 即
4、=ey-1， x=(ey-1)3， 所 求 反 函 数 为 y=(ex-1)3，答 案 ： D6.已 知 ， 为 单 位 向 量 ， 其 夹 角 为 60 ， 则 (2 - ) =( )A. -1B. 0 C. 1D. 2解 析 ： 由 题 意 可 得 ， =1 1 cos60 = ， =1， (2 - ) =2 - =0，答 案 ： B. 7.有 6名 男 医 生 、 5名 女 医 生 ， 从 中 选 出 2名 男 医 生 、 1 名 女 医 生 组 成 一 个 医 疗 小 组 ， 则 不同 的 选 法 共 有 ( )A. 60种B. 70种C. 75种D. 150种解 析 ： 根 据 题
5、意 ， 先 从 6名 男 医 生 中 选 2 人 ， 有 C62=15种 选 法 ，再 从 5名 女 医 生 中 选 出 1人 ， 有 C 51=5 种 选 法 ， 则 不 同 的 选 法 共 有 15 5=75种 ；答 案 ： C.8.设 等 比 数 列 an的 前 n项 和 为 Sn.若 S2=3， S4=15， 则 S6=( )A. 31B. 32C. 63D. 64解 析 ： 由 等 比 数 列 的 性 质 可 得 S 2， S4-S2， S6-S4成 等 比 数 列 ，即 3， 12， S6-15成 等 比 数 列 ， 可 得 122=3(S6-15)， 解 得 S6=63答 案 ：
6、 C9.已 知 椭 圆 C： + =1(a b 0)的 左 、 右 焦 点 为 F1、 F2， 离 心 率 为 ， 过 F2的 直 线 l交 C 于 A、 B 两 点 ， 若 AF 1B 的 周 长 为 4 ， 则 C的 方 程 为 ( )A. + =1B. +y2=1C. + =1D. + =1解 析 ： AF 1B的 周 长 为 4 ， 4a=4 ， a= ， 离 心 率 为 ， c=1， b= = ， 椭 圆 C的 方 程 为 + =1.答 案 ： A.10.正 四 棱 锥 的 顶 点 都 在 同 一 球 面 上 ， 若 该 棱 锥 的 高 为 4， 底 面 边 长 为 2， 则 该 球
7、 的 表 面 积 为( )A. B. 16C. 9D.解 析 ： 设 球 的 半 径 为 R， 则 棱 锥 的 高 为 4， 底 面 边 长 为 2， R2=(4-R)2+( )2， R= ， 球 的 表 面 积 为 4 ( )2= .答 案 ： A.11.双 曲 线 C： - =1(a 0， b 0)的 离 心 率 为 2， 焦 点 到 渐 近 线 的 距 离 为 ， 则 C 的焦 距 等 于 ( )A. 2B. 2C. 4D. 4 解 析 ： ： - =1(a 0， b 0)的 离 心 率 为 2， e= ， 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 y= ， 不 妨 取 y= ， 即 bx
8、-ay=0，则 c=2a， b= ， 焦 点 F(c， 0)到 渐 近 线 bx-ay=0的 距 离 为 ， d= ，即 ， 解 得 c=2， 则 焦 距 为 2c=4， 答 案 ： C12.奇 函 数 f(x)的 定 义 域 为 R， 若 f(x+2)为 偶 函 数 ， 且 f(1)=1， 则 f(8)+f(9)=( )A. -2B. -1C. 0D. 1 解 析 ： f(x+2)为 偶 函 数 ， f(x)是 奇 函 数 ， f(-x+2)=f(x+2)=-f(x-2)，即 f(x+4)=-f(x)， f(x+8)=f(x)， 则 f(8)=f(0)=0， f(9)=f(1)=1， f(8
9、)+f(9)=0+1=1，答 案 ： D.二 、 填 空 题 (本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 )13.(x-2)6的 展 开 式 中 x3的 系 数 是 .（ 用 数 字 作 答 ）解 析 ： 根 据 题 意 ， (x-2) 6的 展 开 式 的 通 项 为 Tr+1=C6rx6-r(-2)r=(-1)r2rC6rx6-r，令 6-r=3 可 得 r=3， 此 时 T4=(-1)323C63x3=-160 x3， 即 x3的 系 数 是 -160；答 案 ： -160.14.函 数 y=cos2x+2sinx 的 最 大 值 为 .解 析 ： 函 数 y=cos2x+2s
10、inx=-2sin2x+2sinx+1=-2 + ， 当 sinx= 时 ， 函 数 y 取 得 最 大 值 为 ，答 案 ： . 15.设 x， y满 足 约 束 条 件 ， 则 z=x+4y的 最 大 值 为 .解 析 ： 由 约 束 条 件 作 出 可 行 域 如 图 ， 联 立 ， 解 得 C(1， 1).化 目 标 函 数 z=x+4y 为 直 线 方 程 的 斜 截 式 ， 得 .由 图 可 知 ， 当 直 线 过 C点 时 ， 直 线 在 y 轴 上 的 截 距 最 大 ， z最 大 .此 时 z max=1+4 1=5.答 案 ： 5. 16.直 线 l1和 l2是 圆 x2+
11、y2=2 的 两 条 切 线 ， 若 l1与 l2的 交 点 为 (1， 3)， 则 l1与 l2的 夹 角 的 正切 值 等 于 .解 析 ： 设 l1与 l2的 夹 角 为 2 ， 由 于 l1与 l2的 交 点 A(1， 3)在 圆 的 外 部 ，且 点 A与 圆 心 O之 间 的 距 离 为 OA= = ，圆 的 半 径 为 r= ， sin = = ， cos = ， tan = = ， tan2 = = = ，答 案 ： .三 、 解 答 题 17.(10分 )数 列 an满 足 a1=1， a2=2， an+2=2an+1-an+2.( )设 bn=an+1-an， 证 明 bn
12、是 等 差 数 列 ；( )求 an的 通 项 公 式 .解 析 ： ( )将 an+2=2an+1-an+2 变 形 为 ： an+2-an+1=an+1-an+2， 再 由 条 件 得 bn+1=bn+2， 根 据 条 件 求 出b1， 由 等 差 数 列 的 定 义 证 明 bn是 等 差 数 列 ；( )由 ( )和 等 差 数 列 的 通 项 公 式 求 出 bn， 代 入 bn=an+1-an并 令 n从 1开 始 取 值 ， 依 次 得 (n-1)个 式 子 ， 然 后 相 加 ， 利 用 等 差 数 列 的 前 n 项 和 公 式 求 出 an的 通 项 公 式 an.答 案
13、： ( )由 a n+2=2an+1-an+2 得 ， an+2-an+1=an+1-an+2，由 bn=an+1-an得 ， bn+1=bn+2， 即 bn+1-bn=2， 又 b1=a2-a1=1，所 以 bn是 首 项 为 1， 公 差 为 2 的 等 差 数 列 .( )由 ( )得 ， bn=1+2(n-1)=2n-1，由 bn=an+1-an得 ， an+1-an=2n-1， 则 a2-a1=1， a3-a2=3， a4-a3=5， ， an-an-1=2(n-1)-1，所 以 ， an-a1=1+3+5+ +2(n-1)-1= =(n-1)2，又 a 1=1， 所 以 an的 通
14、 项 公 式 an=(n-1)2+1=n2-2n+2.18.(12分 ) ABC的 内 角 A、 B、 C 的 对 边 分 别 为 a、 b、 c， 已 知 3acosC=2ccosA， tanA= ，求 B.解 析 ： 由 3acosC=2ccosA， 利 用 正 弦 定 理 可 得 3sinAcosC=2sinCcosA， 再 利 用 同 角 的 三 角 函数 基 本 关 系 式 可 得 tanC， 利 用 tanB=tan -(A+B)=-tan(A+B)即 可 得 出 .答 案 ： 3acosC=2ccosA，由 正 弦 定 理 可 得 3sinAcosC=2sinCcosA， 3ta
15、nA=2tanC， tanA= ， 2tanC=3 =1， 解 得 tanC= . tanB=tan -(A+B)=-tan(A+B)=- =- =-1， B (0， )， B= .19.(12分 )如 图 ， 三 棱 柱 ABC-A1B1C1中 ， 点 A1在 平 面 ABC 内 的 射 影 D 在 AC 上 ， ACB=90 ，BC=1， AC=CC1=2. ( )证 明 ： AC1 A1B；( )设 直 线 AA1与 平 面 BCC1B1的 距 离 为 ， 求 二 面 角 A1-AB-C 的 大 小 .解 析 ： ( )由 已 知 数 据 结 合 三 垂 线 定 理 可 得 ；( )作
16、辅 助 线 可 证 A1FD 为 二 面 角 A1-AB-C的 平 面 角 ， 解 三 角 形 由 反 三 角 函 数 可 得 .答 案 ： ( ) A1D 平 面 ABC， A1D平 面 AA1C1C， 平 面 AA1C1C 平 面 ABC， 又 BC AC， BC 平 面 AA1C1C， 连 结 A1C，由 侧 面 AA1C1C 为 菱 形 可 得 AC1 A1C，由 三 垂 线 定 理 可 得 AC 1 A1B；( ) BC 平 面 AA1C1C， BC平 面 BCC1B1， 平 面 AA1C1C 平 面 BCC1B1，作 A1E CC1， E 为 垂 足 ， 可 得 A1E 平 面 B
17、CC1B1，又 直 线 AA1 平 面 BCC1B1， A1E 为 直 线 AA1与 平 面 BCC1B1的 距 离 ， 即 A1E= ， A1C 为 ACC1的 平 分 线 ， A1D=A1E= ，作 DF AB， F 为 垂 足 ， 连 结 A1F，由 三 垂 线 定 理 可 得 A 1F AB， A1FD 为 二 面 角 A1-AB-C 的 平 面 角 ，由 AD= =1 可 知 D为 AC中 点 ， DF= = ， tan A1FD= = ， 二 面 角 A1-AB-C 的 大 小 为 arctan20.(12分 )设 每 个 工 作 日 甲 ， 乙 ， 丙 ， 丁 4 人 需 使 用
18、 某 种 设 备 的 概 率 分 别 为 0.6， 0.5， 0.5，0.4， 各 人 是 否 需 使 用 设 备 相 互 独 立 .( )求 同 一 工 作 日 至 少 3人 需 使 用 设 备 的 概 率 ；( )实 验 室 计 划 购 买 k 台 设 备 供 甲 ， 乙 ， 丙 ， 丁 使 用 ， 若 要 求 “ 同 一 工 作 日 需 使 用 设 备 的 人数 大 于 k” 的 概 率 小 于 0.1， 求 k 的 最 小 值 .解 析 ： ( )把 4 个 人 都 需 使 用 设 备 的 概 率 、 4个 人 中 有 3 个 人 使 用 设 备 的 概 率 相 加 ， 即 得 所 求
19、 . ( )由 ( )可 得 若 k=2， 不 满 足 条 件 .若 k=3， 求 得 “ 同 一 工 作 日 需 使 用 设 备 的 人 数 大 于 3”的 概 率 为 0.06 0.1， 满 足 条 件 ， 从 而 得 出 结 论 .答 案 ： ( )由 题 意 可 得 “ 同 一 工 作 日 至 少 3人 需 使 用 设 备 ” 的 概 率 为0.6 0.5 0.5 0.4+(1-0.6) 0.5 0.5 0.4+0.6 (1-0.5) 0.5 0.4+0.6 0.5 (1-0.5) 0.4+0.6 0.5 0.5 (1-0.4)=0.31.( )由 ( )可 得 若 k=2， 则 “
20、同 一 工 作 日 需 使 用 设 备 的 人 数 大 于 2” 的 概 率 为 0.31 0.1，不 满 足 条 件 .若 k=3， 则 “ 同 一 工 作 日 需 使 用 设 备 的 人 数 大 于 3” 的 概 率 为 0.6 0.5 0.5 0.4=0.060.1， 满 足 条 件 .故 k的 最 小 值 为 3.21.(12分 )函 数 f(x)=ax 3+3x2+3x(a 0).( )讨 论 f(x)的 单 调 性 ；( )若 f(x)在 区 间 (1， 2)是 增 函 数 ， 求 a 的 取 值 范 围 .解 析 ： ( )求 出 函 数 的 导 数 ， 通 过 导 数 为 0，
21、 利 用 二 次 函 数 的 根 ， 通 过 a 的 范 围 讨 论 f(x)的 单 调 性 ；( )当 a 0， x 0 时 ， f(x)在 区 间 (1， 2)是 增 函 数 ， 当 a 0 时 ， f(x)在 区 间 (1， 2)是 增 函数 ， 推 出 f (1) 0 且 f (2) 0， 即 可 求 a的 取 值 范 围 .答 案 ： ( )函 数 f(x)=ax 3+3x2+3x， f (x)=3ax2+6x+3，令 f (x)=0， 即 3ax2+6x+3=0， 则 =36(1-a). 若 a 1 时 ， 则 0， f (x) 0， f(x)在 R 上 是 增 函 数 ； 因 为
22、 a 0， 当 a 1， 0， f (x)=0方 程 有 两 个 根 ， x1= ， x2= ，当 0 a 1时 ， 则 当 x (- ， x2)或 (x1， + )时 ， f (x) 0， 故 函 数 在 (- ， x2)或 (x1，+ )是 增 函 数 ； 在 (x 2， x1)是 减 函 数 ；当 a 0 时 ， 则 当 x (- ， x1)或 (x2， + )， f (x) 0， 故 函 数 在 (- ， x1)或 (x2， + )是减 函 数 ； 在 (x1， x2)是 增 函 数 ；( )当 a 0， x 0 时 ， f (x)=3ax2+6x+3 0 故 a 0 时 ， f(x)
23、在 区 间 (1， 2)是 增 函 数 ，当 a 0 时 ， f(x)在 区 间 (1， 2)是 增 函 数 ，当 且 仅 当 ： f (1) 0 且 f (2) 0， 解 得 - ， a 的 取 值 范 围 ) (0， + ).22.(12分 )已 知 抛 物 线 C： y 2=2px(p 0)的 焦 点 为 F， 直 线 y=4 与 y 轴 的 交 点 为 P， 与 C 的 交点 为 Q， 且 |QF|= |PQ|.( )求 C 的 方 程 ；( )过 F 的 直 线 l 与 C 相 交 于 A、 B 两 点 ， 若 AB的 垂 直 平 分 线 l 与 C相 交 于 M、 N 两 点 ，且
24、 A、 M、 B、 N 四 点 在 同 一 圆 上 ， 求 l 的 方 程 .解 析 ： ( )设 点 Q 的 坐 标 为 (x 0， 4)， 把 点 Q的 坐 标 代 入 抛 物 线 C 的 方 程 ， 求 得 x0= ， 根 据|QF|= |PQ|求 得 p 的 值 ， 可 得 C 的 方 程 .( )设 l 的 方 程 为 x=my+1(m 0)， 代 入 抛 物 线 方 程 化 简 ， 利 用 韦 达 定 理 、 中 点 公 式 、 弦 长公 式 求 得 弦 长 |AB|.把 直 线 l 的 方 程 线 l 的 方 程 代 入 抛 物 线 方 程 化 简 ， 利 用 韦 达 定 理 、
25、 弦 长 公 式 求 得 |MN|.由 于 MN 垂 直 平 分 线 段 AB， 故 AMBN四 点 共 圆 等 价 于 |AE|=|BE|= |MN|， 求得 m 的 值 ， 可 得 直 线 l 的 方 程 .答 案 ： ( )设 点 Q 的 坐 标 为 (x0， 4)， 把 点 Q的 坐 标 代 入 抛 物 线 C： y2=2px(p 0)，可 得 x0= ， 点 P(0， 4)， |PQ|= .又 |QF|=x0+ = + ， |QF|= |PQ|， + = ， 求 得 p=2， 或 p=-2(舍 去 ).故 C 的 方 程 为 y 2=4x.( )由 题 意 可 得 ， 直 线 l和
26、坐 标 轴 不 垂 直 ， 设 l的 方 程 为 x=my+1 (m 0)，代 入 抛 物 线 方 程 可 得 y2-4my-4=0， y1+y2=4m， y1y2=-4. AB 的 中 点 坐 标 为 D(2m2+1， 2m)， 弦 长 |AB|= |y1-y2|=4(m2+1).又 直 线 l 的 斜 率 为 -m， 直 线 l 的 方 程 为 x=- y+2m2+3.过 F 的 直 线 l 与 C 相 交 于 A、 B 两 点 ， 若 AB的 垂 直 平 分 线 l 与 C相 交 于 M、 N 两 点 ，把 线 l 的 方 程 代 入 抛 物 线 方 程 可 得 y 2+ y-4(2m2+3)=0， y3+y4= ， y3y4=-4(2m2+3).故 线 段 MN 的 中 点 E 的 坐 标 为 ( +2m2+3， )， |MN|= |y3-y4|= ， MN 垂 直 平 分 线 段 AB， 故 AMBN四 点 共 圆 等 价 于 |AE|=|BE|= |MN|， +DE 2= MN2， 4(m2+1)2+ + = ， 化 简 可 得 m2-1=0， m= 1 直 线 l 的 方 程 为 x-y-1=0， 或 x-+y-1=0.
