1、2014年 湖 北 省 鄂 州 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (每 小 题 3 分 ， 共 30分 )1.(3分 ) 的 绝 对 值 的 相 反 数 是 ( )A.B.C.2D.-2解 析 ： - 的 绝 对 值 为 ： |- |= ， 的 相 反 数 为 ： - ， 所 以 - 的 绝 对 值 的 相 反 数 是 为 ： - . 答 案 ： B.2.(3分 )下 列 运 算 正 确 的 是 ( )A. (-2x2)3=-6x6B. (3a-b)2=9a2-b2C. x2 x3=x5D. x2+x3=x5解 析 ： A、 原 式 =-8x 6， 故 A 错 误 ；B、 原 式
2、=9a2-6ab+b2， 故 B 错 误 ；C、 原 式 =x5， 故 C 正 确 ；D、 原 式 不 能 合 并 ， 故 D 错 误 ，答 案 ： C3.(3分 )如 图 ， 几 何 体 是 由 一 些 正 方 体 组 合 而 成 的 立 体 图 形 ， 则 这 个 几 何 体 的 左 视 图 是( ) A.B.C. D.解 析 ： 从 左 边 看 第 一 层 是 两 个 正 方 形 ， 第 二 层 是 左 边 一 个 正 方 形 ，答 案 ： D.4.(3分 )如 图 ， 直 线 a b， 直 角 三 角 形 如 图 放 置 ， DCB=90 .若 1+ B=70 ， 则 2 的度 数 为
3、 ( ) A. 20B. 40C. 30D. 25解 析 ： 由 三 角 形 的 外 角 性 质 ， 3= 1+ B=70 ， a b， DCB=90 ， 2=180 - 3-90 =180 -70 -90 =20 . 答 案 ： A.5.(3分 )点 A 为 双 曲 线 y= (k 0)上 一 点 ， B 为 x 轴 上 一 点 ， 且 AOB为 等 边 三 角 形 ， AOB的 边 长 为 2， 则 k 的 值 为 ( )A. 2B. 2C.D. 解 析 ： 当 点 A 在 第 一 象 限 时 ， 过 A作 AC OB于 C， 如 图 1， OB=2， B 点 的 坐 标 是 (2， 0)
4、； AOC=60 ， AO=BO=2， OC=1， AC=AOsin60 =2sin60 = ， A 点 的 坐 标 是 (1， )， 点 A为 双 曲 线 y= (k 0)上 一 点 ， k= ；当 点 A在 第 二 象 限 时 ， 过 A 作 AC OB 于 C， 如 图 2， OB=2， B 点 的 坐 标 是 (-2， 0)； AOC=60 ， AO=BO=2， OC=1， AC=2sin60 = ， A点 的 坐 标 是 (-1， )， 点 A为 双 曲 线 y= (k 0)上 一 点 ， k=- ；答 案 ： D.6.(3分 )圆 锥 体 的 底 面 半 径 为 2， 侧 面 积
5、为 8 ， 则 其 侧 面 展 开 图 的 圆 心 角 为 ( )A. 90B. 120C. 150D. 180解 析 ： 设 圆 锥 的 侧 面 展 开 图 的 圆 心 角 为 n ， 母 线 长 为 R，根 据 题 意 得 2 2 R=8 ， 解 得 R=4， 所 以 =22 ， 解 得 n=180，即 圆 锥 的 侧 面 展 开 图 的 圆 心 角 为 180 . 答 案 ： D.7.(3分 )在 矩 形 ABCD中 ， AD=3AB， 点 G、 H分 别 在 AD、 BC上 ， 连 BG、 DH， 且 BG DH， 当 =( )时 ， 四 边 形 BHDG为 菱 形 .A. B.C.D
6、. 解 析 ： 四 边 形 BGDH是 菱 形 ， BG=GD，设 AB=x， 则 AD=3x，设 AG=y， 则 GD=3x-y， BG=3x-y， 在 Rt AGB中 ， AG2+AB2=GB2， y2+x2=(3x-y)2， 整 理 得 ： = ， y= x， = = = ，答 案 ： C.8.(3分 )近 几 年 ， 我 国 经 济 高 速 发 展 ， 但 退 休 人 员 待 遇 持 续 偏 低 .为 了 促 进 社 会 公 平 ， 国 家决 定 大 幅 增 加 退 休 人 员 退 休 金 .企 业 退 休 职 工 李 师 傅 2011年 月 退 休 金 为 1500元 ， 2013
7、年 达到 2160元 .设 李 师 傅 的 月 退 休 金 从 2011年 到 2013年 年 平 均 增 长 率 为 x， 可 列 方 程 为 ( )A. 2016(1-x) 2=1500B. 1500(1+x)2=2160C. 1500(1-x)2=2160D. 1500+1500(1+x)+1500(1+x)2=2160解 析 ： 如 果 设 李 师 傅 的 月 退 休 金 从 2011年 到 2013年 年 平 均 增 长 率 为 x，那 么 根 据 题 意 得 今 年 缴 税 1500(1+x)2， 列 出 方 程 为 ： 1500(1+x)2=2160.答 案 ： B.9.(3分
8、)如 图 ， 四 边 形 ABCD中 ， AC=a， BD=b， 且 AC BD， 顺 次 连 接 四 边 形 ABCD各 边 中 点 ，得 到 四 边 形 A 1B1C1D1， 再 顺 次 连 接 四 边 形 A1B1C1D1各 边 中 点 ， 得 到 四 边 形 A2B2C2D2， 如 此 进 行 下去 ， 得 到 四 边 形 AnBnCnDn.下 列 结 论 正 确 的 是 ( ) 四 边 形 A4B4C4D4是 菱 形 ； 四 边 形 A3B3C3D3是 矩 形 ； 四 边 形 A7B7C7D7周 长 为 ； 四 边 形 A nBnCnDn面 积 为 .A. B. C. D. 解 析
9、： 连 接 A1C1， B1D1. 在 四 边 形 ABCD中 ， 顺 次 连 接 四 边 形 ABCD各 边 中 点 ， 得 到 四 边 形 A1B1C1D1， A1D1 BD， B1C1 BD， C1D1 AC， A1B1 AC； A1D1 B1C1， A1B1 C1D1， 四 边 形 A1B1C1D1是 平 行 四 边 形 ； AC 丄 BD， A1B1丄 A1D1， 四 边 形 A1B1C1D1是 矩 形 ， B1D1=A1C1(矩 形 的 两 条 对 角 线 相 等 )； A2D2=C2D2=C2B2=B2A2(中 位 线 定 理 )， 四 边 形 A2B2C2D2是 菱 形 ； 四
10、 边 形 A3B3C3D3是 矩 形 ； 根 据 中 位 线 定 理 知 ， 四 边 形 A4B4C4D4是 菱 形 ； 故 正 确 ； 根 据 中 位 线 的 性 质 易 知 ， A 7B7 A5B5= A3B3= A1B1= AC， B7C7= B5C5= B3C3= B1C1= BD， 四 边 形 A7B7C7D7的 周 长 是 2 (a+b)= ， 故 正 确 ； 四 边 形 ABCD中 ， AC=a， BD=b， 且 AC 丄 BD， S 四 边 形 ABCD=ab 2；由 三 角 形 的 中 位 线 的 性 质 可 以 推 知 ， 每 得 到 一 次 四 边 形 ， 它 的 面 积
11、 变 为 原 来 的 一 半 ，四 边 形 AnBnCnDn的 面 积 是 ， 故 错 误 ；综 上 所 述 ， 正 确 .答 案 ： A.10.(3分 )已 知 抛 物 线 的 顶 点 为 y=ax 2+bx+c(0 2a b)的 顶 点 为 P(x0， y0)， 点 A(1， yA)， B(0，yB)， C(-1， yC)在 该 抛 物 线 上 ， 当 y0 0恒 成 立 时 ， 的 最 小 值 为 ( )A. 1B. 2C. 4D. 3解 析 ： 由 0 2a b， 得 x 0=- -1，由 题 意 ， 如 图 ， 过 点 A 作 AA1 x 轴 于 点 A1， 则 AA1=yA， OA
12、1=1， 连 接 BC， 过 点 C作 CD y轴 于 点 D， 则 BD=yB-yC， CD=1，过 点 A作 AF BC， 交 抛 物 线 于 点 E(x1， yE)， 交 x 轴 于 点 F(x2， 0)，则 FAA1= CBD.于 是 Rt AFA1 Rt BCD， 所 以 = ， 即 = ，过 点 E作 EG AA1于 点 G， 易 得 AEG BCD.有 = ， 即 = ， 点 A(1， y A)、 B(0， yB)、 C(-1， yC)、 E(x1， yE)在 抛 物 线 y=ax2+bx+c 上 ，得 yA=a+b+c， yB=c， yC=a-b+c， yE=ax12+bx1+
13、c， = =1-x1，化 简 ， 得 x12+x1-2=0， 解 得 x1=-2(x1=1 舍 去 )， y0 0 恒 成 立 ， 根 据 题 意 ， 有 x2 x1 -1，则 1-x 2 1-x1， 即 1-x2 3. 3， 的 最 小 值 为 3.答 案 ： D.二 、 填 空 题 ： (每 小 题 3 分 ， 共 18 分 )11.(3分 ) 的 算 术 平 方 根 为 .解 析 ： =2， 的 算 术 平 方 根 为 .答 案 ： .12.(3分 )小 林 同 学 为 了 在 体 育 中 考 获 得 好 成 绩 ， 每 天 早 晨 坚 持 练 习 跳 绳 ， 临 考 前 ， 体 育 老
14、师 记 载 了 他 5 次 练 习 成 绩 ， 分 别 为 143、 145、 144、 146、 a， 这 五 次 成 绩 的 平 均 数 为 144.小 林 自 己 又 记 载 了 两 次 练 习 成 绩 为 141、 147， 则 他 七 次 练 习 成 绩 的 平 均 数 为 . 解 析 ： 小 林 五 次 成 绩 (143、 145、 144、 146、 a)的 平 均 数 为 144， 这 五 次 成 绩 的 总 数 为 144 5=720， 小 林 自 己 又 记 载 了 两 次 练 习 成 绩 为 141、 147， 他 七 次 练 习 成 绩 的 平 均 数 为 (720+1
15、41+147) 7=1008 7=144.答 案 ： 144. 13.(3分 )如 图 ， 直 线 y=kx+b过 A(-1， 2)、 B(-2， 0)两 点 ， 则 0 kx+b -2x 的 解 集 为 .解 析 ： 直 线 OA 的 解 析 式 为 y=-2x，当 -2 x -1时 ， 0 kx+b -2x.答 案 ： -2 x -1. 14.(3分 )在 平 面 直 角 坐 标 中 ， 已 知 点 A(2， 3)、 B(4， 7)， 直 线 y=kx-k(k 0)与 线 段 AB 有交 点 ， 则 k的 取 值 范 围 为 .解 析 ： y=k(x-1)， x=1时 ， y=0， 即 直
16、 线 y=kx-k过 定 点 (1， 0)， 直 线 y=kx-k(k 0)与 线 段 AB有 交 点 ， 当 直 线 y=kx-k过 B(4， 7)时 ， k值 最 小 ， 则 4k-k=7， 解 得 k= ； 当 直 线 y=kx-k过 A(2，3)时 ， k 值 最 大 ， 则 2k-k=3， 解 得 k=3， k 的 取 值 范 围 为 k 3.答 案 ： k 3.15.(3分 )如 图 ， 正 方 形 ABCD的 边 长 为 2， 四 条 弧 分 别 以 相 应 顶 点 为 圆 心 ， 正 方 形 ABCD 的 边长 为 半 径 .求 阴 影 部 分 的 面 积 . 解 析 ： 设
17、点 O 为 弧 的 一 个 交 点 .连 接 OA、 OB， 则 OAB为 等 边 三 角 形 ， OBC=30 . 过 点 O作 EF CD， 分 别 交 AB、 CD于 点 E、 F， 则 OE 为 等 边 OAB的 高 ， OE= AB= ， OF=2- .过 点 O作 PQ BC， 分 别 交 AD、 BC于 点 P、 Q， 则 OQ=1.S 弓 形 OmC=S 扇 形 OBC-S OBC= - 2 1= -1. S 阴 影 =4(S OCD-2S 弓 形 OmC)=4 2 (2- )-2( -1)=16-4 - .答 案 ： 16-4 - .16.(3分 )如 图 ， 正 方 形 A
18、BCD的 边 长 是 1， 点 M， N分 别 在 BC， CD上 ， 使 得 CMN的 周 长 为 2，则 MAN的 面 积 最 小 值 为 . 解 析 ： 延 长 CB 至 L， 使 BL=DN， 则 Rt ABL Rt ADN， 故 AL=AN， CM+CN+MN=2， CN+DN+CM+BM=1+1=2， MN=DN+BM=BL+BM=ML， AMN AML(SSS)， MAN= MAL=45 ，设 CM=x， CN=y， MN=z， x 2+y2=z2， x+y+z=2， 则 x=2-y-z， (2-y-z)2+y2=z2，整 理 得 2y2+(2z-4)y+(4-4z)=0， =4
19、(z-2)2-32(1-z) 0，即 (z+2-2 )(z+2+2 ) 0，又 z 0， z 2 -2 此 时 S AMN=S AML= ML AB= z，因 此 当 z=2 -2， S AMN取 到 最 小 值 为 -1. 答 案 ： -1.三 .解 答 题 (17-20 每 题 8 分 ， 21-22每 题 9 分 ， 23题 10分 ， 24题 12分 ， 共 72分 )17.(8分 )先 化 简 ， 再 求 值 ： ( + ) ， 其 中 a=2- .解 析 ： 将 括 号 内 的 部 分 通 分 ， 相 加 后 再 将 除 法 转 化 为 乘 法 ， 然 后 约 分 .答 案 ： 原
20、 式 =( + ) = = = ，当 a=2- 时 ， 原 式 = =- . 18.(8分 )在 平 面 内 正 方 形 ABCD与 正 方 形 CEFH如 图 放 置 ， 连 DE， BH， 两 线 交 于 M.求 证 ：(1)BH=DE.(2)BH DE.解 析 ： (1)根 据 正 方 形 的 性 质 可 得 BC=CD， CE=CH， BCD= ECH=90 ， 然 后 求 出 BCH= DCE，再 利 用 “ 边 角 边 ” 证 明 BCH和 DCE 全 等 ， 根 据 全 等 三 角 形 对 应 边 相 等 证 明 即 可 ；(2)根 据 全 等 三 角 形 对 应 角 相 等 可
21、 得 CBH= CDE， 然 后 根 据 三 角 形 的 内 角 和 定 理 求 出 DMB= BCD=90 ， 再 根 据 垂 直 的 定 义 证 明 即 可 .答 案 ： (1)在 正 方 形 ABCD与 正 方 形 CEFH中 ， BC=CD， CE=CH， BCD= ECH=90 ， BCD+ DCH= ECH+ DCH， 即 BCH= DCE，在 BCH和 DCE中 ， ， BCH DCE(SAS)， BH=DE； (2) BCH DCE， CBH= CDE，又 CGB= MGD， DMB= BCD=90 ， BH DE. 19.(8分 )学 校 举 行 “ 文 明 环 保 ， 从
22、我 做 起 ” 征 文 比 赛 .现 有 甲 、 乙 两 班 各 上 交 30篇 作 文 ，现 将 两 班 的 各 30篇 作 文 的 成 绩 (单 位 ： 分 )统 计 如 下 ：甲 班 ： 根 据 上 面 提 供 的 信 息 回 答 下 列 问 题(1)表 中 x= ， 甲 班 学 生 成 绩 的 中 位 数 落 在 等 级 中 ， 扇 形 统 计 图 中 等 级 D 部 分 的扇 形 圆 心 角 n= .(2)现 学 校 决 定 从 两 班 所 有 A等 级 成 绩 的 学 生 中 随 机 抽 取 2名 同 学 参 加 市 级 征 文 比 赛 .求 抽 取到 两 名 学 生 恰 好 来
23、自 同 一 班 级 的 概 率 (请 列 树 状 图 或 列 表 求 解 ).解 析 ： (1)利 用 总 人 数 30 减 去 其 它 各 组 的 人 数 就 是 x 的 值 ， 根 据 中 位 数 的 定 义 求 得 中 位 数 的值 ， 利 用 360 乘 以 对 应 的 比 例 就 可 求 得 圆 心 角 的 度 数 ；(2)甲 班 的 人 用 甲 表 示 ， 乙 班 的 人 用 乙 表 示 ， 利 用 列 举 法 即 可 求 得 概 率 .答 案 ： (1)x=30-15-10-3=2； 中 位 数 落 在 B 组 ； 等 级 D部 分 的 扇 形 圆 心 角 n=360 =36 ；
24、故 答 案 是 ： 2， B， 36 ；(2)乙 班 A 等 级 的 人 数 是 ： 30 10%=3，则 甲 班 的 二 个 人 用 甲 表 示 ， 乙 班 的 三 个 人 用 乙 表 示 . ，共 有 20 种 情 况 ， 则 抽 取 到 两 名 学 生 恰 好 来 自 同 一 班 级 的 概 率 是 ： = .20.(8分 )一 元 二 次 方 程 mx2-2mx+m-2=0.(1)若 方 程 有 两 实 数 根 ， 求 m 的 范 围 .(2)设 方 程 两 实 根 为 x 1， x2， 且 |x1-x2|=1， 求 m.解 析 ： (1)根 据 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程
25、 mx2-2mx+m-2=0有 两 个 实 数 根 ， 得 出 m 0且(-2m)2-4 m (m-2) 0， 求 出 m 的 取 值 范 围 即 可 ； (2)根 据 方 程 两 实 根 为 x1， x2， 求 出 x1+x2和 x1x2的 值 ， 再 根 据 |x1-x2|=1， 得 出 (x1+x2)2-4x1x2=1，再 把 x1+x2和 x1 x2的 值 代 入 计 算 即 可 .答 案 ： (1) 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 mx2-2mx+m-2=0 有 两 个 实 数 根 ， m 0且 0， 即 (-2m)2-4 m (m-2) 0， 解 得 m 0， m的 取 值
26、 范 围 为 m 0.(2) 方 程 两 实 根 为 x1， x2， x1+x2=2， x1 x2= ， |x 1-x2|=1， (x1-x2)2=1， (x1+x2)2-4x1x2=1， 22-4 =1， 解 得 ： m=8；经 检 验 m=8是 原 方 程 的 解 .21.(9分 )小 方 与 同 学 一 起 去 郊 游 ， 看 到 一 棵 大 树 斜 靠 在 一 小 土 坡 上 ， 他 想 知 道 树 有 多 长 ，于 是 他 借 来 测 角 仪 和 卷 尺 .如 图 ， 他 在 点 C 处 测 得 树 AB顶 端 A 的 仰 角 为 30 ， 沿 着 CB 方 向向 大 树 行 进 1
27、0 米 到 达 点 D， 测 得 树 AB顶 端 A的 仰 角 为 45 ， 又 测 得 树 AB 倾 斜 角 1=75 . (1)求 AD 的 长 .(2)求 树 长 AB.解 析 ： (1)过 点 A 作 AE CB 于 点 E， 设 AE=x， 分 别 表 示 出 CE、 DE， 再 由 CD=10， 可 得 方 程 ，解 出 x的 值 ， 在 Rt ADE中 可 求 出 AD；(2)过 点 B 作 BF AC 于 点 F， 设 BF=y， 分 别 表 示 出 CF、 AF， 解 出 y 的 值 后 ， 在 Rt ABF中可 求 出 AB的 长 度 .答 案 ： (1)过 点 A 作 A
28、E CB 于 点 E， 设 AE=x， 在 Rt ACE中 ， C=30 ， CE= x，在 Rt ADE中 ， ADE=45 ， DE=AE=x， CE-DE=10， 即 x-x=10， 解 得 ： x=5( +1)， AD= x=5 +5答 ： AD的 长 为 (5 +5 )米 .(2)由 (1)可 得 AC=2AE=(10 +10)米 ， 过 点 B作 BF AC于 点 F， 1=75 ， C=30 ， CAB=45 ，设 BF=y，在 Rt CBF中 ， CF= BF= y，在 Rt BFA中 ， AF=BF=y， y+y=(10 +10)， 解 得 ： y=10，在 Rt ABF中
29、， AB= =10 米 .答 ： 树 高 AB的 长 度 为 10 米 . 22.(9分 )如 图 ， 以 AB为 直 径 的 O交 BAD的 角 平 分 线 于 C， 过 C 作 CD AD 于 D， 交 AB的延 长 线 于 E.(1)求 证 ： CD为 O 的 切 线 .(2)若 = ， 求 cos DAB.解 析 ： (1)连 接 OC， 推 出 DAC= CAB， OAC= OCA， 求 出 DAC= OCA， 得 出 OC AD， 推 出 OC DC， 根 据 切 线 的 判 定 判 断 即 可 ；(2)连 接 BC， 可 证 明 ACD ABC， 得 出 比 例 式 ， 求 出
30、BC， 求 出 圆 的 直 径 AB， 再 根 据 勾 股定 理 得 出 CE， 即 可 求 出 答 案 .答 案 ： (1)证 明 ： 连 接 OC， AC 平 分 DAB， DAC= CAB， OC=OA， OAC= OCA， DAC= OCA， OC AD， AD CD， OC CD， OC 为 O半 径 ， CD 是 O的 切 线 ；(2)连 接 BC， AB 为 直 径 ， ACB=90 ， AC 平 分 BAD， CAD= CAB， = ， 令 CD=3， AD=4， 得 AC=5， = ， BC= ，由 勾 股 定 理 得 AB= ， OC= ， OC AD， = ， = ， 解
31、 得 AE= ， cos DAB= = = .23.(10分 )大 学 生 小 张 利 用 暑 假 50天 在 一 超 市 勤 工 俭 学 ， 被 安 排 销 售 一 款 成 本 为 40元 /件的 新 型 商 品 ， 此 类 新 型 商 品 在 第 x天 的 销 售 量 p件 与 销 售 的 天 数 x的 关 系 如 下 表 ：销 售 单 价 q(元 /件 )与 x 满 足 ： 当 1 x 25时 q=x+60； 当 25 x 50 时 q=40+ .(1)请 分 析 表 格 中 销 售 量 p 与 x 的 关 系 ， 求 出 销 售 量 p 与 x 的 函 数 关 系 .(2)求 该 超
32、市 销 售 该 新 商 品 第 x 天 获 得 的 利 润 y 元 关 于 x 的 函 数 关 系 式 . (3)这 50 天 中 ， 该 超 市 第 几 天 获 得 利 润 最 大 ？ 最 大 利 润 为 多 少 ？解 析 ： (1)由 表 格 可 以 看 出 销 售 量 p 件 与 销 售 的 天 数 x 成 一 次 函 数 ， 设 出 函 数 解 析 式 ， 进 一步 代 入 求 得 答 案 即 可 ；(2)利 用 利 润 =售 价 -成 本 ， 分 别 求 出 在 1 x 25和 25 x 50时 ， 求 得 y 与 x 的 函 数 关 系 式 ；(3)利 用 (2)中 的 函 数 解
33、 析 式 分 别 求 得 最 大 值 ， 然 后 比 较 两 者 的 大 小 得 出 答 案 即 可 .答 案 ： (1)设 销 售 量 p 件 与 销 售 的 天 数 x 的 函 数 解 析 式 为 p=kx+b，代 入 (1， 118)， (2， 116)得 解 得因 此 销 售 量 p 件 与 销 售 的 天 数 x 的 函 数 解 析 式 为 p=-2x+120；(2)当 1 x 25时 ，y=(60+x-40)(-2x+120)=-2x 2+80 x+2400，当 25 x 50 时 ，y=(40+ -40)(-2x+120)= -2250；(3)当 1 x 25时 ，y=-2x2+
34、80 x+2400， =-2(x-20)2+3200， -2 0， 当 x=20时 ， y 有 最 大 值 y 1， 且 y1=3200；当 25 x 50 时 ， y= -2250； 135000 0， 随 x 的 增 大 而 减 小 ，当 x=25时 ， 最 大 ，于 是 ， x=25时 ， y= -2250有 最 大 值 y 2， 且 y2=5400-2250=3150. y1 y2 这 50天 中 第 20天 时 该 超 市 获 得 利 润 最 大 ， 最 大 利 润 为 3200元 . 24.(12分 )如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 一 次 函 数 y=
35、 x+m的 图 象 与 x 轴 交 于 A(-1， 0)，与 y 轴 交 于 点 C.以 直 线 x=2为 对 称 轴 的 抛 物 线 C1： y=ax2+bx+c(a 0)经 过 A、 C 两 点 ， 并 与x轴 正 半 轴 交 于 点 B. (1)求 m 的 值 及 抛 物 线 C1： y=ax2+bx+c(a 0)的 函 数 表 达 式 .(2)设 点 D(0， )， 若 F是 抛 物 线 C1： y=ax2+bx+c(a 0)对 称 轴 上 使 得 ADF 的 周 长 取 得 最小 值 的 点 ， 过 F任 意 作 一 条 与 y 轴 不 平 行 的 直 线 交 抛 物 线 C1于 M
36、1(x1， y1)， M2(x2， y2)两 点 ，试 探 究 + 是 否 为 定 值 ？ 请 说 明 理 由 .(3)将 抛 物 线 C 1作 适 当 平 移 ， 得 到 抛 物 线 C2： y2=- (x-h)2， h 1.若 当 1 x m 时 ， y2 -x恒 成 立 ， 求 m 的 最 大 值 .解 析 ： (1)只 需 将 A 点 坐 标 代 入 一 次 函 数 关 系 式 即 可 求 出 m 值 ， 利 用 待 定 系 数 法 和 二 次 函 数的 图 象 与 性 质 列 出 关 于 a、 b、 c 的 方 程 组 求 出 a、 b、 c 的 值 就 可 求 出 二 次 函 数
37、关 系 式 ；(2)先 运 用 轴 对 称 的 性 质 找 到 点 F 的 坐 标 ， 再 运 用 一 元 二 次 方 程 根 与 系 数 的 关 系 及 平 面 直 角坐 标 系 中 两 点 之 间 的 距 离 公 式 求 出 M1M2、 M1F、 M2F， 证 出 M1FM2F=M1M2， 最 后 可 求 + =1；(3)设 y 2=-x2的 两 根 分 别 为 x0， x0， 因 为 抛 物 线 C2： y2=- (x-h)2可 以 看 成 由 y=- x2左 右 平移 得 到 ， 观 察 图 象 可 知 ， 随 着 图 象 向 右 移 ， x0， x0的 值 不 断 增 大 ， 所 以
38、 当 1 x m， y2 -x恒 成 立 时 ， m最 大 值 在 x0处 取 得 ， 根 据 题 意 列 出 方 程 求 出 x0， 即 可 求 解 .答 案 ： (1) 一 次 函 数 y= x+m 的 图 象 与 x 轴 交 于 A(-1， 0) 0=- +m m= . 一 次 函 数 的 解 析 式 为 y= x+ . 点 C 的 坐 标 为 (0， ). y=ax 2+bx+c(a 0)经 过 A、 C两 点 且 对 称 轴 是 x=2， ， 解 得 y=- x2+x+ . m的 值 为 ， 抛 物 线 C1的 函 数 表 达 式 为 y=- x2+x+ .(2)要 使 ADF的 周
39、 长 取 得 最 小 ， 只 需 AF+DF最 小 连 接 BD交 x=2 于 点 F， 因 为 点 B 与 点 A关 于 x=2对 称 ，根 据 轴 对 称 性 质 以 及 两 点 之 间 线 段 最 短 ， 可 知 此 时 AF+DF最 小 .令 y=- x2+x+ 中 的 y=0， 则 x=-1或 5， B(5， 0)， D(0， )， 直 线 BD解 析 式 为 y=- x+ ， F(2， ).令 过 F(2， )的 直 线 M 1M2解 析 式 为 y=kx+b， 则 =2k+b， b= -2k，则 直 线 M1M2的 解 析 式 为 y=kx+ -2k.解 法 一 ： 由 ， 得
40、x2-(4-4k)x-8k=0， x1+x2=4-4k， x1x2=-8k， y 1=kx1+ -2k， y2=kx2+ -2k y1-y2=k(x1-x2) M1M2=4(1+k 2)M1F=同 理 M 2F= M1F M2F=(1+k2)=(1+k2)=(1+k2)=4(1+k 2)=M1M2 + = = =1； 解 法 二 ： y=- x2+x+ =- (x-2)2+ ， (x-2)2=9-4y设 M1(x1， y1)， 则 有 (x1-2)2=9-4y1. M1F= = = -y1；设 M 2(x2， y2)， 同 理 可 求 得 ： M2F= -y2. + = = = .直 线 M
41、1M2的 解 析 式 为 y=kx+ -2k， 即 ： y- =k(x-2).联 立 y- =k(x-2)与 抛 物 线 (x-2)2=9-4y， 得 ： y2+(4k2- )y+ -9k2=0， y1+y2= -4k2， y1y2= -9k2， 代 入 式 ， 得 ： + = =1.(3)设 y 2=-x2的 两 根 分 别 为 x0， x0 ， 抛 物 线 C2： y2=- (x-h)2可 以 看 成 由 y=- x2左 右 平 移 得 到 ， 观 察 图 象 可 知 ， 随 着 图 象 向 右移 ， x0， x0 的 值 不 断 增 大 ， 当 1 x m， y2 -x恒 成 立 时 ， m 最 大 值 在 x0 处 取 得 ， 当 x0=1 时 ， 对 应 的 x0 即 为 m 的 最 大 值 ，将 x 0=1代 入 y2=- (x-h)2-x， 得 (1-h)2=4， h=3 或 -1(舍 )，将 h=3代 入 y2=- (x-h)2=-x有 - (x-3)2=-x， x0=1， x0 =9. m的 最 大 值 为 9.
