1、2014年 湖 北 省 荆 州 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 只 有 唯 一 正 确 答 案 .每 小 题 3 分 ， 共 30分 )1.(3分 )若 (-2)=1， 则 内 填 一 个 实 数 应 该 是 ( )A.B.2C.-2D.-解 析 ： - (-2)=1， 内 填 一 个 实 数 应 该 是 - .答 案 ： D. 2.(3分 )下 列 运 算 正 确 的 是 ( )A.3-1=-3B. = 3C.(ab2)3=a3b6D.a6 a2=a3解 析 ： A、 3-1= -3， 故 A选 项 错 误 ；B、 =3 3， 故
2、B选 项 错 误 ；C、 (ab 2)3=a3b6， 故 C选 项 正 确 ；D、 a6 a2=a4 a3， 故 D 选 项 错 误 .答 案 ： C.3.(3分 )如 图 ， AB ED， AG 平 分 BAC， ECF=70 ， 则 FAG的 度 数 是 ( )A.155 B.145C.110D.35解 析 ： 如 图 ， AB ED， ECF=70 ， BAC= ECF=70 ， FAB=180 - BAC=110 .又 AG平 分 BAC， BAG= BAC=35 ， FAG= FAB+ BAG=145 .答 案 ： B.4.(3分 )将 抛 物 线 y=x 2-6x+5 向 上 平
3、移 2 个 单 位 长 度 ， 再 向 右 平 移 1 个 单 位 长 度 后 ， 得 到 的抛 物 线 解 析 式 是 ( ) A.y=(x-4)2-6B.y=(x-4)2-2C.y=(x-2)2-2D.y=(x-1)2-3解 析 ： y=x2-6x+5=(x-3)2-4， 即 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 为 (3， -4)，把 点 (3， -4)向 上 平 移 2 个 单 位 长 度 ， 再 向 右 平 移 1 个 单 位 长 度 得 到 点 的 坐 标 为 (4， -2)，所 以 平 移 后 得 到 的 抛 物 线 解 析 式 为 y=(x-4)2-2.答 案 ： B.5.(3分 )
4、已 知 是 一 元 二 次 方 程 x 2-x-1=0 较 大 的 根 ， 则 下 面 对 的 估 计 正 确 的 是 ( )A.0 1B.1 1.5C.1.5 2D.2 3解 析 ： 解 方 程 x2-x-1=0 得 ： x= ， a 是 方 程 x 2-x-1=0较 大 的 根 ， a= ， 2 3， 3 1+ 4， 2，答 案 ： C.6.(3分 )如 图 ， AB 是 半 圆 O 的 直 径 ， D， E 是 半 圆 上 任 意 两 点 ， 连 结 AD， DE， AE与 BD相 交于 点 C， 要 使 ADC与 ABD相 似 ， 可 以 添 加 一 个 条 件 .下 列 添 加 的
5、条 件 其 中 错 误 的 是 ( ) A. ACD= DABB.AD=DEC.AD2=BD CDD.AD AB=AC BD解 析 ： 如 图 ， ADC= ADB，A、 ACD= DAB， ADC BDA， 故 A选 项 正 确 ；B、 AD=DE， = ， DAE= B， ADC BDA， 故 B选 项 正 确 ；C、 AD 2=BD CD， AD： BD=CD： AD， ADC BDA， 故 C选 项 正 确 ；D、 AD AB=AC BD， AD： BD=AC： AB， 但 ADC= ADB不 是 夹 角 ， 故 D 选 项 错 误 .答 案 ： D.7.(3分 )如 图 ， 直 线
6、y1=x+b与 y2=kx-1相 交 于 点 P， 点 P 的 横 坐 标 为 -1， 则 关 于 x 的 不 等 式x+b kx-1的 解 集 在 数 轴 上 表 示 正 确 的 是 ( ) A.B.C.D.解 析 ： 当 x -1时 ， x+b kx-1， 即 不 等 式 x+b kx-1的 解 集 为 x -1.答 案 ： A.8.(3分 )已 知 点 P(1-2a， a-2)关 于 原 点 的 对 称 点 在 第 一 象 限 内 ， 且 a 为 整 数 ， 则 关 于 x 的 分 式 方 程 =2 的 解 是 ( )A.5B.1C.3D.不 能 确 定解 析 ： 点 P(1-2a， a
7、-2)关 于 原 点 的 对 称 点 在 第 一 象 限 内 ， 且 a 为 整 数 ， ， 解 得 ： a 2， 即 a=1，当 a=1时 ， 所 求 方 程 化 为 =2， 去 分 母 得 ： x+1=2x-2， 解 得 ： x=3，经 检 验 x=3是 分 式 方 程 的 解 ， 则 方 程 的 解 为 3. 答 案 ： C9.(3分 )如 图 ， 在 第 1 个 A1BC 中 ， B=30 ， A1B=CB； 在 边 A1B 上 任 取 一 点 D， 延 长 CA1到A2， 使 A1A2=A1D， 得 到 第 2个 A1A2D； 在 边 A2D 上 任 取 一 点 E， 延 长 A1A
8、2到 A3， 使 A2A3=A2E，得 到 第 3个 A2A3E， 按 此 做 法 继 续 下 去 ， 则 第 n个 三 角 形 中 以 An为 顶 点 的 内 角 度 数 是 ( ) A.( )n 75B.( )n-1 65C.( )n-1 75D.( )n 85解 析 ： 在 CBA 1中 ， B=30 ， A1B=CB， BA1C= =75 ， A1A2=A1D， BA1C 是 A1A2D 的 外 角 ， DA2A1= BA1C= 75 ；同 理 可 得 ， EA3A2=( )2 75 ， FA4A3=( )3 75 ， 第 n个 三 角 形 中 以 An为 顶 点 的 内 角 度 数
9、是 ( )n-1 75 .答 案 ： C.10.(3分 )如 图 ， 已 知 圆 柱 底 面 的 周 长 为 4dm， 圆 柱 高 为 2dm， 在 圆 柱 的 侧 面 上 ， 过 点 A 和 点C嵌 有 一 圈 金 属 丝 ， 则 这 圈 金 属 丝 的 周 长 最 小 为 ( ) A.4 dmB.2 dmC.2 dmD.4 dm解 析 ： 如 图 ， 把 圆 柱 的 侧 面 展 开 ， 得 到 矩 形 ， 则 这 圈 金 属 丝 的 周 长 最 小 为 2AC的 长 度 . 圆 柱 底 面 的 周 长 为 4dm， 圆 柱 高 为 2dm， AB=2dm， BC=BC =2dm， AC2=
10、22+22=4+4=8， AC=2 dm， 这 圈 金 属 丝 的 周 长 最 小 为 2AC=4 dm.答 案 ： A.二 、 填 空 题 (本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 24分 )11.(3分 )化 简 -4 (1- )0的 结 果 是 .解 析 ： 原 式 =2 -4 1=2 - = .答 案 ： .12.(3分 )若 -2x m-ny2与 3x4y2m+n是 同 类 项 ， 则 m-3n的 立 方 根 是 .解 析 ： 若 -2xm-ny2与 3x4y2m+n是 同 类 项 ， ， 解 方 程 得 ： . m-3n=2-3 (-2)=8.8的 立 方 根
11、是 2.答 案 ： 2.13.(3分 )如 图 ， 正 方 形 OABC与 正 方 形 ODEF是 位 似 图 形 ， 点 O 为 位 似 中 心 ， 相 似 比 为 1： ，点 A 的 坐 标 为 (0， 1)， 则 点 E的 坐 标 是 . 解 析 ： 正 方 形 OABC与 正 方 形 ODEF是 位 似 图 形 ， O为 位 似 中 心 ， 相 似 比 为 1： ， OA： OD=1： ， 点 A的 坐 标 为 (0， 1)， 即 OA=1， OD= ， 四 边 形 ODEF 是 正 方 形 ， DE=OD= . E点 的 坐 标 为 ： ( ， ).答 案 ： ( ， ).14.(3
12、分 )我 们 知 道 ， 无 限 循 环 小 数 都 可 以 转 化 为 分 数 .例 如 ： 将 转 化 为 分 数 时 ， 可 设=x， 则 x=0.3+ x， 解 得 x= ， 即 = .仿 此 方 法 ， 将 化 成 分 数 是 .解 析 ： 设 x= ， 则 x=0.4545 ，根 据 等 式 性 质 得 ： 100 x=45.4545 ， 由 - 得 ： 100 x-x=45.4545 -0.4545 ，即 ： 100 x-x=45， 99x=45， 解 方 程 得 ： x= .答 案 ： . 15.(3分 )如 图 ， 电 路 图 上 有 四 个 开 关 A、 B、 C、 D 和
13、 一 个 小 灯 泡 ， 闭 合 开 关 D 或 同 时 闭 合 开关 A、 B、 C都 可 使 小 灯 泡 发 光 ， 则 任 意 闭 合 其 中 两 个 开 关 ， 小 灯 泡 发 光 的 概 率 是 .解 析 ： 画 树 状 图 得 ： 共 有 12 种 等 可 能 的 结 果 ， 现 任 意 闭 合 其 中 两 个 开 关 ， 则 小 灯 泡 发 光 的 有 6 种 情 况 ， 小 灯 泡 发 光 的 概 率 为 ： = .答 案 ： .16.(3分 )如 图 ， 在 4 4 的 正 方 形 网 格 中 ， 每 个 小 正 方 形 的 顶 点 称 为 格 点 ， 左 上 角 阴 影 部
14、 分是 一 个 以 格 点 为 顶 点 的 正 方 形 (简 称 格 点 正 方 形 ).若 再 作 一 个 格 点 正 方 形 ， 并 涂 上 阴 影 ， 使这 两 个 格 点 正 方 形 无 重 叠 面 积 ， 且 组 成 的 图 形 是 轴 对 称 图 形 ， 又 是 中 心 对 称 图 形 ， 则 这 个 格点 正 方 形 的 作 法 共 有 种 . 解 析 ： 如 图 所 示 ： 这 个 格 点 正 方 形 的 作 法 共 有 4种 .答 案 ： 4.17.(3分 )如 图 ， 在 ABCD中 ， 以 点 A 为 圆 心 ， AB 的 长 为 半 径 的 圆 恰 好 与 CD 相 切
15、 于 点 C， 交AD于 点 E， 延 长 BA 与 A相 交 于 点 F.若 的 长 为 ， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 . 解 析 ： 连 接 AC， DC 是 A的 切 线 ， AC CD，又 AB=AC=CD， ACD是 等 腰 直 角 三 角 形 ， CAD=45 ，又 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， AD BC， CAD= ACB=45 ，又 AB=AC， ACB= B=45 ， FAD= B=45 ， 的 长 为 ， ， 解 得 ： r=2， S 阴 影 =S ACD-S 扇 形 ACE= .答 案 ： .18.(3分 )如 图 ， 已 知 点 A
16、 是 双 曲 线 y= 在 第 一 象 限 的 分 支 上 的 一 个 动 点 ， 连 结 AO 并 延 长 交另 一 分 支 于 点 B， 以 AB 为 边 作 等 边 ABC， 点 C在 第 四 象 限 .随 着 点 A 的 运 动 ， 点 C 的 位 置也 不 断 变 化 ， 但 点 C始 终 在 双 曲 线 y= (k 0)上 运 动 ， 则 k的 值 是 . 解 析 ： 双 曲 线 y= 关 于 原 点 对 称 ， 点 A 与 点 B关 于 原 点 对 称 . OA=OB.连 接 OC， 如 图 所 示 . ABC是 等 边 三 角 形 ， OA=OB， OC AB. BAC=60
17、. tan OAC= = . OC= OA.过 点 A作 AE y轴 ， 垂 足 为 E，过 点 C作 CF y轴 ， 垂 足 为 F， AE OE， CF OF， OC OA， AEO= OFC， AOE=90 - FOC= OCF. AEO OFC. = = . OC= OA， OF= AE， FC= EO.设 点 A坐 标 为 (a， b)， 点 A在 第 一 象 限 ， AE=a， OE=b. OF= AE= a， FC= EO= b. 点 A在 双 曲 线 y= 上 ， ab=2. FC OF= b a=3ab=6设 点 C坐 标 为 (x， y)， 点 C在 第 四 象 限 ， F
18、C=x， OF=-y. FC OF=x (-y)=-xy=6. xy=-6. 点 C在 双 曲 线 y= 上 ， k=xy=-6.答 案 ： -6.三 、 解 答 题 (本 大 题 共 7 题 ， 共 66 分 )19.(7分 )先 化 简 ， 再 求 值 ： ( ) ， 其 中 a， b满 足+|b- |=0.解 析 ： 原 式 括 号 中 两 项 通 分 并 利 用 同 分 母 分 式 的 减 法 法 则 计 算 ， 同 时 利 用 除 法 法 则 变 形 ， 约分 得 到 最 简 结 果 ， 利 用 非 负 数 的 性 质 求 出 a 与 b 的 值 ， 代 入 计 算 即 可 求 出
19、值 . 答 案 ： 原 式 = - = = ， +|b- |=0， ， 解 得 ： a=-1， b= ， 则 原 式 =- .20.(8分 )如 图 ， 正 方 形 ABCD的 边 AB， AD分 别 在 等 腰 直 角 AEF的 腰 AE， AF 上 ， 点 C 在 AEF内 ， 则 有 DF=BE(不 必 证 明 ).将 正 方 形 ABCD绕 点 A 逆 时 针 旋 转 一 定 角 度 (0 90 )后 ， 连 结 BE， DF.请 在 图 中 用 实 线 补 全 图 形 ， 这 时 DF=BE 还 成 立 吗 ？ 请 说 明 理 由 . 解 析 ： 根 据 旋 转 角 求 出 FAD=
20、 EAB， 然 后 利 用 “ 边 角 边 ” 证 明 ABE和 ADF 全 等 ， 根 据 全等 三 角 形 对 应 边 相 等 可 得 BE=DF.答 案 ： DF=BE 还 成 立 ；理 由 ： 正 方 形 ABCD绕 点 A 逆 时 针 旋 转 一 定 角 度 ， FAD= EAB，在 ADF与 ABE中 ， ADF ABE(SAS)， DF=BE. 21.(8分 )钓 鱼 岛 自 古 以 来 就 是 中 国 的 领 土 .如 图 ， 我 国 甲 、 乙 两 艘 海 监 执 法 船 某 天 在 钓 鱼 岛附 近 海 域 巡 航 ， 某 一 时 刻 这 两 艘 船 分 别 位 于 钓 鱼
21、 岛 正 西 方 向 的 A处 和 正 东 方 向 的 B处 ， 这 时两 船 同 时 接 到 立 即 赶 往 C处 海 域 巡 查 的 任 务 ， 并 测 得 C处 位 于 A处 北 偏 东 59 方 向 、 位 于 B处 北 偏 西 44 方 向 .若 甲 、 乙 两 船 分 别 沿 AC， BC方 向 航 行 ， 其 平 均 速 度 分 别 是 20海 里 /小时 ， 18海 里 /小 时 ， 试 估 算 哪 艘 船 先 赶 到 C处 .(参 考 数 据 ： cos59 0.52， sin46 0.72)解 析 ： 作 CD AB 于 点 D， 由 题 意 得 ： ACD=59 ， DC
22、B=44 ， 设 CD的 长 为 a 海 里 ， 分 别在 Rt ACD中 ， 和 在 Rt BCD中 ， 用 a表 示 出 AC和 BC， 然 后 除 以 速 度 即 可 求 得 时 间 ， 比 较 即 可 确 定 答 案答 案 ： 如 图 ， 作 CD AB 于 点 D，由 题 意 得 ： ACD=59 ， DCB=44 ，设 CD 的 长 为 a 海 里 ， 在 Rt ACD中 ， =cos ACD， AC= = 1.92a； 在 Rt BCD中 ， =cos BCD， BC= = 1.39a； 其 平 均 速 度 分 别 是 20海 里 /小 时 ， 18海 里 /小 时 ， 1.92
23、a 20=0.096a.1.39a 18=0.077a， a 0， 0.096a 0.077a， 乙 先 到 达 .22.(9分 )我 市 某 中 学 七 、 八 年 级 各 选 派 10名 选 手 参 加 学 校 举 办 的 “ 爱 我 荆 门 ” 知 识 竞 赛 ，计 分 采 用 10分 制 ， 选 手 得 分 均 为 整 数 ， 成 绩 达 到 6 分 或 6 分 以 上 为 合 格 ， 达 到 9 分 或 10分 为 优 秀 .这 次 竞 赛 后 ， 七 、 八 年 级 两 支 代 表 队 选 手 成 绩 分 布 的 条 形 统 计 图 和 成 绩 统 计 分 析表 如 下 ， 其 中
24、 七 年 级 代 表 队 得 6 分 、 10分 的 选 手 人 数 分 别 为 a， b. (1)请 依 据 图 表 中 的 数 据 ， 求 a， b的 值 ；(2)直 接 写 出 表 中 的 m， n的 值 ；(3)有 人 说 七 年 级 的 合 格 率 、 优 秀 率 均 高 于 八 年 级 ， 所 以 七 年 级 队 成 绩 比 八 年 级 队 好 ， 但 也有 人 说 八 年 级 队 成 绩 比 七 年 级 队 好 .请 你 给 出 两 条 支 持 八 年 级 队 成 绩 好 的 理 由 .解 析 ： (1)根 据 题 中 数 据 求 出 a 与 b 的 值 即 可 ；(2)根 据
25、(1)a与 b 的 值 ， 确 定 出 m与 n的 值 即 可 ；(3)从 方 差 ， 平 均 分 角 度 考 虑 ， 给 出 两 条 支 持 八 年 级 队 成 绩 好 的 理 由 即 可 .答 案 ： (1)根 据 题 意 得 ： ， 解 得 a=5， b=1；(2)七 年 级 成 绩 为 3， 6， 6， 6， 6， 6， 7， 8， 9， 10， 中 位 数 为 6， 即 m=6；优 秀 率 为 = =20%， 即 n=20%；(3)八 年 级 平 均 分 高 于 七 年 级 ， 方 差 小 于 七 年 级 ， 成 绩 比 较 稳 定 ， 故 八 年 级 队 比 七 年 级 队 成 绩
26、 好 .23.(10分 )我 国 中 东 部 地 区 雾 霾 天 气 趋 于 严 重 ， 环 境 治 理 已 刻 不 容 缓 .我 市 某 电 器 商 场 根 据民 众 健 康 需 要 ， 代 理 销 售 某 种 家 用 空 气 净 化 器 ， 其 进 价 是 200元 /台 .经 过 市 场 销 售 后 发 现 ：在 一 个 月 内 ， 当 售 价 是 400元 /台 时 ， 可 售 出 200台 ， 且 售 价 每 降 低 10元 ， 就 可 多 售 出 50台 .若 供 货 商 规 定 这 种 空 气 净 化 器 售 价 不 能 低 于 300 元 /台 ， 代 理 销 售 商 每 月
27、要 完 成 不 低 于450台 的 销 售 任 务 .(1)试 确 定 月 销 售 量 y(台 )与 售 价 x(元 /台 )之 间 的 函 数 关 系 式 ； 并 求 出 自 变 量 x 的 取 值 范 围 ；(2)当 售 价 x(元 /台 )定 为 多 少 时 ， 商 场 每 月 销 售 这 种 空 气 净 化 器 所 获 得 的 利 润 w(元 )最 大 ？最 大 利 润 是 多 少 ？ 解 析 ： (1)根 据 题 中 条 件 销 售 价 每 降 低 10 元 ， 月 销 售 量 就 可 多 售 出 50 台 ， 即 可 列 出 函 数 关系 式 ；根 据 供 货 商 规 定 这 种
28、空 气 净 化 器 售 价 不 能 低 于 300元 /台 ， 代 理 销 售 商 每 月 要 完 成 不 低 于 450台 的 销 售 即 可 求 出 x的 取 值 .(2)用 x 表 示 y， 然 后 再 用 x来 表 示 出 w， 根 据 函 数 关 系 式 ， 即 可 求 出 最 大 w；答 案 ： (1)根 据 题 中 条 件 销 售 价 每 降 低 10 元 ， 月 销 售 量 就 可 多 售 出 50 台 ，则 月 销 售 量 y(台 )与 售 价 x(元 /台 )之 间 的 函 数 关 系 式 ： y=200+50 ，化 简 得 ： y=-5x+2200；供 货 商 规 定 这
29、 种 空 气 净 化 器 售 价 不 能 低 于 300元 /台 ， 代 理 销 售 商 每 月 要 完 成 不 低 于 450 台 ，则 ， 解 得 ： 300 x 350. y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 为 ： y=-5x+2200(300 x 350)； (2)W=(x-200)(-5x+2200)， 整 理 得 ： W=-5(x-320)2+72000. x=320 在 300 x 350内 ， 当 x=320 时 ， 最 大 值 为 72000，即 售 价 定 为 320元 /台 时 ， 商 场 每 月 销 售 这 种 空 气 净 化 器 所 获 得 的 利 润 w 最
30、 大 ， 最 大 利 润 是72000元 .24.(12分 )已 知 ： 函 数 y=ax2-(3a+1)x+2a+1(a为 常 数 ).(1)若 该 函 数 图 象 与 坐 标 轴 只 有 两 个 交 点 ， 求 a 的 值 ；(2)若 该 函 数 图 象 是 开 口 向 上 的 抛 物 线 ， 与 x 轴 相 交 于 点 A(x 1， 0)， B(x2， 0)两 点 ， 与 y 轴相 交 于 点 C， 且 x2-x1=2. 求 抛 物 线 的 解 析 式 ； 作 点 A 关 于 y轴 的 对 称 点 D， 连 结 BC， DC， 求 sin DCB的 值 .解 析 ： (1)根 据 a 取
31、 值 的 不 同 ， 有 三 种 情 形 ， 需 要 分 类 讨 论 ， 避 免 漏 解 .(2) 函 数 与 x 轴 相 交 于 点 A(x1， 0)， B(x2， 0)两 点 ， 则 x1， x2， 满 足 y=0时 ， 方 程 的 根 与 系数 关 系 .因 为 x2-x1=2， 则 可 平 方 ， 用 x1+x2， x1x2表 示 ， 则 得 关 于 a的 方 程 ， 可 求 ， 并 得 抛 物线 解 析 式 . 已 知 解 析 式 则 可 得 A， B， C， D 坐 标 ， 求 sin DCB， 须 作 垂 线 构 造 直 角 三 角 形 ， 结 论 易 得 .答 案 ： (1)函
32、 数 y=ax 2-(3a+1)x+2a+1(a为 常 数 )，若 a=0， 则 y=-x+1， 与 坐 标 轴 有 两 个 交 点 (0， 1)， (1， 0)；若 a 0 且 图 象 过 原 点 时 ， 2a+1=0， a=- ， 有 两 个 交 点 (0， 0)， (1， 0)；若 a 0 且 图 象 与 x 轴 只 有 一 个 交 点 时 ， 令 y=0 有 ： =(3a+1)2-4a(2a+1)=0， 解 得 a=-1， 有 两 个 交 点 (0， -1)， (1， 0).综 上 得 ： a=0或 - 或 -1时 ， 函 数 图 象 与 坐 标 轴 有 两 个 交 点 .(2) 函
33、数 与 x 轴 相 交 于 点 A(x 1， 0)， B(x2， 0)两 点 ， x1， x2为 ax2-(3a+1)x+2a+1=0的 两 个 根 ， x1+x2= ， x1x2= ， x2-x1=2， 4=(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=( )2-4 ，解 得 a=- (函 数 开 口 向 上 ， a 0， 舍 去 )， 或 a=1， y=x2-4x+3. 函 数 y=x2-4x+3与 x轴 相 交 于 点 A(x1， 0)， B(x2， 0)两 点 ， 与 y 轴 相 交 于 点 C， 且 x1x2， A(1， 0)， B(3， 0)， C(0， 3)， D 为 A 关
34、于 y轴 的 对 称 点 ， D(-1， 0).根 据 题 意 画 图 ， 如 图 1， 过 点 D 作 DE CB 于 E， OC=3， OB=3， OC OB， OCB为 等 腰 直 角 三 角 形 ， CBO=45 ， EDB为 等 腰 直 角 三 角 形 ，设 DE=x， 则 EB=x， DB=4， x2+x2=42， x=2 ， 即 DE=2 .在 Rt COD中 ， DO=1， CO=3， CD= = ， sin DCB= = .25.(12分 )如 图 ， 已 知 ： 在 矩 形 ABCD的 边 AD上 有 一 点 O， OA= ， 以 O 为 圆 心 ， OA 长 为半 径 作
35、 圆 ， 交 AD于 M， 恰 好 与 BD相 切 于 H， 过 H 作 弦 HP AB， 弦 HP=3.若 点 E 是 CD边 上 一动 点 (点 E 与 C， D 不 重 合 )， 过 E作 直 线 EF BD交 BC 于 F， 再 把 CEF沿 着 动 直 线 EF 对 折 ，点 C 的 对 应 点 为 G.设 CE=x， EFG与 矩 形 ABCD重 叠 部 分 的 面 积 为 S. (1)求 证 ： 四 边 形 ABHP是 菱 形 ；(2)问 EFG的 直 角 顶 点 G能 落 在 O 上 吗 ？ 若 能 ， 求 出 此 时 x的 值 ； 若 不 能 ， 请 说 明 理 由 ；(3)
36、求 S 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 ， 并 直 接 写 出 FG与 O 相 切 时 ， S 的 值 .解 析 ： (1)连 接 OH， 可 以 求 出 HOD=60 ， HDO=30 ， 从 而 可 以 求 出 AB=3， 由 HP AB，HP=3可 证 到 四 边 形 ABHP是 平 行 四 边 形 ， 再 根 据 切 线 长 定 理 可 得 BA=BH， 即 可 证 到 四 边 形 ABHP是 菱 形 .(2)当 点 G 落 到 AD 上 时 ， 可 以 证 到 点 G与 点 M 重 合 ， 可 求 出 x=2.(3)当 0 x 2 时 ， 如 图 ， S=S EGF， 只 需
37、 求 出 FG， 就 可 得 到 S 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 ； 当2 x 3时 ， 如 图 ， S=S GEF-S SGR， 只 需 求 出 SG、 RG， 就 可 得 到 S 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 . 当 FG与 O 相 切 时 ， 如 图 ， 易 得 FK=AB=3， KQ=AQ-AK=2-2 + x.再 由 FK= KQ 即 可求 出 x， 从 而 求 出 S.答 案 ： (1)连 接 OH， 如 图 所 示 . 四 边 形 ABCD 是 矩 形 ， ADC= BAD=90 ， BC=AD， AB=CD. HP AB， ANH+ BAD=180 . A
38、NH=90 . HN=PN= HP= . OH=OA= ， sin HON= = . HON=60 BD 与 O相 切 于 点 H， OH BD. HDO=30 . OD=2 . AD=3 . BC=3 . BAD=90 ， BDA=30 . tan BDA= = . AB=3. HP=3， AB=HP. AB HP， 四 边 形 ABHP是 平 行 四 边 形 . BAD=90 ， AM 是 O的 直 径 ， BA与 O 相 切 于 点 A. BD 与 O相 切 于 点 H， BA=BH. 平 行 四 边 形 ABHP是 菱 形 .(2) EFG的 直 角 顶 点 G 能 落 在 O上 .如
39、 图 所 示 ， 点 G 落 到 AD 上 . EF BD， FEC= BDC. BDC=90 -30 =60 ， CEF=60 .由 折 叠 可 得 ： GEF= CEF=60 . GED=60 . CE=x， GE=CE=x.ED=DC-CE=3-x. cos GED= = = . x=2. GE=2， ED=1. GD= . OG=AD-AO-GD=3 - - = . OG=OM. 点 G 与 点 M 重 合 .此 时 EFG的 直 角 顶 点 G落 在 O 上 ， 对 应 的 x 的 值 为 2. 当 EFG的 直 角 顶 点 G落 在 O 上 时 ， 对 应 的 x 的 值 为 2.
40、(3) 如 图 ， 在 Rt EGF中 ， tan FEG= = = . FG= x. S= GE FG= x x= x2. 如 图 ，ED=3-x， RE=2ED=6-2x， GR=GE-ER=x-(6-2x)=3x-6. tan SRG= = = ， SG= (x-2). S SGR= SG RG= (x-2) (3x-6)= (x-2)2. S GEF= x2， S=S GEF-S SGR= x2- (x-2)2=- x2+6 x-6 .综 上 所 述 ： 当 0 x 2 时 ， S= x2； 当 2 x 3时 ， S=- x2+6 x-6 .当 FG 与 O相 切 于 点 T 时 ，
41、延 长 FG交 AD于 点 Q， 过 点 F 作 FK AD， 垂 足 为 K， 如 图 所 示 . 四 边 形 ABCD 是 矩 形 ， BC AD， ABC= BAD=90 AQF= CFG=60 . OT= ， OQ=2. AQ= +2. FKA= ABC= BAD=90 ， 四 边 形 ABFK是 矩 形 . FK=AB=3， AK=BF=3 - x. KQ=AQ-AK=( +2)-(3 - x)=2-2 + x.在 Rt FKQ中 ， tan FQK= = . FK= QK. 3= (2-2 + x).解 得 ： x=3- . 0 3- 2， S= x2= (3- )2= -6. FG 与 O相 切 时 ， S 的 值 为 -6.
