1、2014年 湖 北 省 潜 江 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 30 分 )在 下 列 各 小 题 中 ， 均 给 出 四 个 答案 ， 其 中 有 且 只 有 一 个 正 确 答 案 )1.(3分 )- 的 倒 数 等 于 ( )A.B.-C.-2D.2解 析 ： - 的 倒 数 是 -2. 答 案 ： C.2.(3分 )美 丽 富 饶 的 江 汉 平 原 ， 文 化 底 蕴 深 厚 ， 人 才 辈 出 .据 统 计 ， 该 地 区 的 天 门 、 仙 桃 、潜 江 和 江 汉 油 田 2014年 共 有 约 2
2、5000 名 初 中 毕 业 生 参 加 了 毕 业 生 参 加 统 一 的 学 业 考 试 ， 将25000用 科 学 记 数 法 可 表 示 为 ( )A.25 103B.2.5 104C.2.5 10 5D.0.25 106解 析 ： 25 000=2.5 104.答 案 ： B.3.(3分 )如 图 ， 已 知 a b， 小 华 把 三 角 板 的 直 角 顶 点 放 在 直 线 b 上 .若 1=40 ， 则 2 的度 数 为 ( ) A.100B.110C.120D.130解 析 ： 1+ 3=90 ， 3=90 -40 =50 ， a b， 2+ 3=180 . 2=180 -5
3、0 =130 .答 案 ： D.4.(3分 )下 列 事 件 中 属 于 不 可 能 事 件 的 是 ( )A.某 投 篮 高 手 投 篮 一 次 就 进 球B.打 开 电 视 机 ， 正 在 播 放 世 界 杯 足 球 比 赛C.掷 一 次 骰 子 ， 向 上 的 一 面 出 现 的 点 数 不 大 于 6D.在 1 个 标 准 大 气 压 下 ， 90 的 水 会 沸 腾解 析 ： A、 是 随 机 事 件 ， 故 A 选 项 错 误 ；B、 是 随 机 事 件 ， 故 B 选 项 错 误 ；C、 是 必 然 事 件 ， 故 C 选 项 错 误 ；D、 是 不 可 能 事 件 ， 故 D
4、选 项 正 确 .答 案 ： D. 5.(3分 )如 图 所 示 的 几 何 体 的 主 视 图 是 ( )A.B. C.D.解 析 ： 几 何 体 的 主 视 图 是 两 个 长 方 形 ， 其 中 一 个 在 另 一 的 上 面 的 左 侧 ，答 案 ： A.6.(3分 )将 (a-1) 2-1分 解 因 式 ， 结 果 正 确 的 是 ( )A.a(a-1)B.a(a-2)C.(a-2)(a-1) D.(a-2)(a+1)解 析 ： 原 式 =(a-1+1)(a-1-1)=a(a-2).答 案 ： B.7.(3分 )把 不 等 式 组 的 解 集 在 数 轴 上 表 示 ， 正 确 的
5、是 ( )A.B.C. D.解 析 ： 解 得 ，答 案 ： B.8.(3分 )已 知 m， n 是 方 程 x2-x-1=0的 两 实 数 根 ， 则 + 的 值 为 ( )A.-1B.-C.D.1 解 析 ： 根 据 题 意 得 m+n=1， mn=-1， 所 以 + = = =-1.答 案 ： A.9.(3分 )如 图 ， 正 比 例 函 数 y1=k1x和 反 比 例 函 数 y2= 的 图 象 交 于 A(1， 2)， B 两 点 ， 给 出下 列 结 论 ： k 1 k2； 当 x -1时 ， y1 y2； 当 y1 y2时 ， x 1； 当 x 0 时 ， y2随 x的 增 大
6、而 减 小 .其 中 正 确 的 有 ( ) A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个解 析 ： 正 比 例 函 数 y1=k1x 和 反 比 例 函 数 y2= 的 图 象 交 于 A(1， 2)， k1=2， k2=2， k1=k2， 故 错 误 ； 由 反 比 例 函 数 的 对 称 性 可 知 ， B点 坐 标 为 (-1， -2)，x -1时 ， 一 次 函 数 图 象 在 反 比 例 图 象 下 方 ， 故 正 确 ； y 1 y2时 ， -1 x 0 或 x 1， 故 错 误 ； k2=2 0， 当 x 0时 ， y2随 x 的 增 大 而 减 小 ， 故 正 确 ；答 案 ：
7、C.10.(3分 )如 图 ， B， C， D是 半 径 为 6 的 O上 的 三 点 ， 已 知 的 长 为 2 ， 且 OD BC， 则BD的 长 为 ( ) A.3B.6C.6D.12解 析 ： 连 结 OC 交 BD于 E， 如 图 ， 设 BOC=n ， 根 据 题 意 得 2 = ， 得 n=60， 即 BOC=60 ，而 OB=OC， OBC 为 等 边 三 角 形 ， C=60 ， OBC=60 ， BC=OB=6， BC OD， 2= C=60 ， 1= 2(圆 周 角 定 理 )， 1=30 ， BD平 分 OBC， BD OC， BE=DE，在 Rt CBE中 ， CE=
8、 BC=3， BE= CE=3 ， BD=2BE=6 .答 案 ： C.二 、 填 空 题 (本 大 题 共 5 个 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 15分 )将 结 果 直 接 填 写 在 对 应 的 横 线 上 。11.(3分 )化 简 = . 解 析 ： = =3 .答 案 ： 3 .12.(3分 )如 图 ， 在 直 角 坐 标 系 中 ， 点 A的 坐 标 为 (-1， 2)， 点 C 的 坐 标 为 (-3， 0)， 将 点 C绕 点 A逆 时 针 旋 转 90 ， 再 向 下 平 移 3个 单 位 ， 此 时 点 C的 对 应 点 的 坐 标 为 . 解 析 ： 如
9、图 ， 将 点 C绕 点 A 逆 时 针 旋 转 90 后 ， 对 应 点 的 坐 标 为 (1， 0)， 再 将 (1， 0)向 下平 移 3个 单 位 ， 此 时 点 C的 对 应 点 的 坐 标 为 (1， -3).答 案 ： (1， -3).13.(3分 )纸 箱 里 有 两 双 拖 鞋 ， 除 颜 色 不 同 外 ， 其 它 都 相 同 ， 从 中 随 机 取 一 只 (不 放 回 )， 再 取 一 只 ， 则 两 次 取 出 的 鞋 颜 色 恰 好 相 同 的 概 率 为 .解 析 ： 列 表 如 下 ： 所 有 等 可 能 的 情 况 有 12 种 ， 其 中 两 次 取 出 的
10、 鞋 颜 色 恰 好 相 同 的 情 况 有 4 种 ， 则 P= = .答 案 ：14.(3分 )如 图 是 一 个 横 断 面 为 抛 物 线 形 状 的 拱 桥 ， 当 水 面 宽 4 米 时 ， 拱 顶 (拱 桥 洞 的 最 高 点 )离 水 面 2 米 ， 水 面 下 降 1米 时 ， 水 面 的 宽 度 为 米 .解 析 ： 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 设 横 轴 x 通 过 AB， 纵 轴 y 通 过 AB 中 点 O且 通 过 C点 ， 则 通 过 画 图 可 得 知 O 为 原 点 ，抛 物 线 以 y轴 为 对 称 轴 ， 且 经 过 A， B 两 点 ， OA
11、和 OB可 求 出 为 AB的 一 半 2米 ， 抛 物 线 顶 点C坐 标 为 (0， 2)，通 过 以 上 条 件 可 设 顶 点 式 y=ax 2+2， 其 中 a 可 通 过 代 入 A 点 坐 标 (-2， 0)，到 抛 物 线 解 析 式 得 出 ： a=-0.5， 所 以 抛 物 线 解 析 式 为 y=-0.5x2+2，当 水 面 下 降 1 米 ， 通 过 抛 物 线 在 图 上 的 观 察 可 转 化 为 ：当 y=-1时 ， 对 应 的 抛 物 线 上 两 点 之 间 的 距 离 ， 也 就 是 直 线 y=-1 与 抛 物 线 相 交 的 两 点 之 间 的距 离 ，可
12、 以 通 过 把 y=-1代 入 抛 物 线 解 析 式 得 出 ： -1=-0.5x2+2， 解 得 ： x= ， 所 以 水 面 宽 度 增加 到 米 ，答 案 ： 米 .15.(3分 )将 相 同 的 矩 形 卡 片 ， 按 如 图 方 式 摆 放 在 一 个 直 角 上 ， 每 个 矩 形 卡 片 长 为 2， 宽 为 1，依 此 类 推 ， 摆 放 2014个 时 ， 实 线 部 分 长 为 . 解 析 ： 由 图 形 可 得 出 ： 摆 放 一 个 矩 形 实 线 长 为 3，摆 放 2个 矩 形 实 线 长 为 5， 摆 放 3个 矩 形 实 线 长 为 8，摆 放 4个 矩 形
13、 实 线 长 为 10， 摆 放 5个 矩 形 实 线 长 为 13，即 第 偶 数 个 矩 形 实 线 部 分 在 前 一 个 的 基 础 上 加 2，第 奇 数 个 矩 形 实 线 部 分 在 前 一 个 的 基 础 上 加 3， 摆 放 2014个 时 ， 相 等 于 在 第 1 个 的 基 础 上 加 1007个 2， 1006个 3， 摆 放 2014个 时 ， 实 线 部 分 长 为 ： 3+1007 2+1006 3=5035.故 答 案 为 ： 5035.补 充 其 他 方 法 ：第 个 图 实 线 部 分 长 3第 个 图 实 线 部 分 长 3+2第 个 图 实 线 部 分
14、 长 3+2+3第 个 图 实 线 部 分 长 3+2+3+2 第 个 图 实 线 部 分 长 3+2+3+2+3第 个 图 实 线 部 分 长 3+2+3+2+3+2从 上 述 规 律 可 以 看 到 ， 对 于 第 n 个 图 形 ，当 n 为 奇 数 时 ， 第 n个 图 形 实 线 部 分 长 度 为 (3+2)(n-1)+3；当 n 为 偶 数 时 ， 第 n个 图 形 实 线 部 分 长 度 为 (3+2)n，所 以 当 摆 放 2014 个 时 ， 即 第 2014个 图 形 ， 实 线 部 分 长 度 等 于 (3+2) 2014=5035.三 、 解 答 题 (本 大 题 共
15、 10小 题 ， 满 分 75分 ) 16.(5分 )计 算 ： ( -1)0-|-5|+( )-1.解 析 ： 原 式 第 一 项 利 用 零 指 数 幂 法 则 计 算 ， 第 二 项 利 用 绝 对 值 的 代 数 意 义 化 简 ， 最 后 一 项 利用 负 整 数 指 数 幂 法 则 计 算 即 可 得 到 结 果 .答 案 ： 原 式 =1-5+3=-1.17.(6分 )解 方 程 ： .解 析 ： 本 题 的 最 简 公 分 母 是 3(x+1)， 方 程 两 边 都 乘 最 简 公 分 母 ， 可 把 分 式 方 程 转 换 为 整 式方 程 求 解 . 答 案 ： 方 程 两
16、 边 都 乘 3(x+1)， 得 ： 3x-2x=3(x+1)， 解 得 ： x=- ，经 检 验 x=- 是 方 程 的 解 ， 原 方 程 的 解 为 x=- .18.(6分 )为 弘 扬 中 华 传 统 文 化 ， 某 校 组 织 八 年 级 1000名 学 生 参 加 汉 字 听 写 大 赛 ， 为 了 解 学生 整 体 听 写 能 力 ， 从 中 抽 取 部 分 学 生 的 成 绩 (得 分 取 正 整 数 ， 满 分 为 100分 )进 行 统 计 分 析 ，请 根 据 尚 未 完 成 的 下 列 图 表 ， 解 答 问 题 ： (1)本 次 抽 样 调 查 的 样 本 容 量 为
17、 ， 此 样 本 中 成 绩 的 中 位 数 落 在 第 组 内 ， 表 中m= ， n= ；(2)补 全 频 数 分 布 直 方 图 ；(3)若 成 绩 超 过 80 分 为 优 秀 ， 则 该 校 八 年 级 学 生 中 汉 字 听 写 能 力 优 秀 的 约 有 多 少 人 ？解 析 ： (1)根 据 第 一 组 的 频 数 是 16， 频 率 是 0.08， 即 可 求 得 总 数 ， 即 样 本 容 量 ；(2)根 据 (1)的 计 算 结 果 即 可 作 出 直 方 图 ；(3)利 用 总 数 1000 乘 以 优 秀 的 所 占 的 频 率 即 可 .答 案 ： (1)样 本 容
18、 量 是 ： 16 0.08=200；样 本 中 成 绩 的 中 位 数 落 在 第 四 组 ；m=200 0.40=80，n= =0.12；(2)补 全 频 数 分 布 直 方 图 ， 如 下 ： (3)1000(0.4+0.12)=520(人 ).答 ： 该 校 八 年 级 学 生 中 汉 字 听 写 能 力 优 秀 的 约 有 520人 .19.(6分 )如 图 ， 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， E， F 为 对 角 线 AC上 两 点 ， 连 接 ED， EB， FD，FB.给 出 以 下 结 论 ： BE DF； BE=DF； AE=CF.请 你 从 中 选 取 一
19、 个 条 件 ， 使 1= 2 成 立 ，并 给 出 证 明 .解 析 ： 欲 证 明 1= 2， 只 需 证 得 四 边 形 EDFB 是 平 行 四 边 形 或 ABF CDE即 可 .答 案 ： 方 法 一 ： 补 充 条 件 BE DF.证 明 ： 如 图 ， BE DF， BEC= DFA， BEA= DFC， 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， AB=CD， AB CD， BAE= DCF，在 ABE与 CDF中 ， ， ABE CDF(ASA)， BE=DF， 四 边 形 BFDE 是 平 行 四 边 形 ， ED BF， 1= 2；方 法 二 ： 补 充 条 件
20、AE=CF.证 明 ： AE=CF， AF=CE. 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， AB=CD， AB CD， BAF= DCE，在 ABF与 CDE中 ， ABF CDE(SAS)， 1= 2. 20.(6分 )如 图 ， 在 坡 角 为 30 的 山 坡 上 有 一 铁 塔 AB， 其 正 前 方 矗 立 着 一 大 型 广 告 牌 ， 当 阳光 与 水 平 线 成 45 角 时 ， 测 得 铁 塔 AB落 在 斜 坡 上 的 影 子 BD 的 长 为 6 米 ， 落 在 广 告 牌 上 的影 子 CD的 长 为 4 米 ， 求 铁 塔 AB 的 高 (AB， CD均 与
21、 水 平 面 垂 直 ， 结 果 保 留 根 号 ). 解 析 ： 过 点 C作 CE AB于 E， 过 点 B 作 BF CD 于 F， 过 点 B作 BF CD于 F， 在 Rt BFD 中 ，分 别 求 出 DF、 BF 的 长 度 ， 在 Rt ACE中 ， 求 出 AE、 CE 的 长 度 ， 继 而 可 求 得 AB的 长 度 .答 案 ： 过 点 C 作 CE AB 于 E， 过 点 B 作 BF CD于 F， 过 点 B 作 BF CD于 F， 在 Rt BFD中 ， DBF=30 ， sin DBF= = ， cos DBF= = ， BD=6， DF=3， BF=3 ， A
22、B CD， CE AB， BF CD， 四 边 形 BFCE为 矩 形 ， BF=CE=3 ， CF=BE=CD-DF=1，在 Rt ACE中 ， ACE=45 ， AE=CE=3 ， AB=3 +1.答 ： 铁 塔 AB的 高 为 (3 +1)m.21.(8分 )反 比 例 函 数 y= 在 第 一 象 限 的 图 象 如 图 所 示 ， 过 点 A(1， 0)作 x轴 的 垂 线 ， 交 反比 例 函 数 y= 的 图 象 于 点 M， AOM的 面 积 为 3. (1)求 反 比 例 函 数 的 解 析 式 ；(2)设 点 B的 坐 标 为 (t， 0)， 其 中 t 1.若 以 AB为
23、 一 边 的 正 方 形 有 一 个 顶 点 在 反 比 例 函 数 y=的 图 象 上 ， 求 t的 值 .解 析 ： (1)根 据 反 比 例 函 数 k 的 几 何 意 义 得 到 |k|=3， 可 得 到 满 足 条 件 的 k=6， 于 是 得 到 反比 例 函 数 解 析 式 为 y= ；(2)分 类 讨 论 ： 当 以 AB为 一 边 的 正 方 形 ABCD 的 顶 点 D 在 反 比 例 函 数 y= 的 图 象 上 ， 则 D 点与 M 点 重 合 ， 即 AB=AM， 再 利 用 反 比 例 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征 确 定 M 点 坐 标 为 (1，
24、6)， 则AB=AM=6， 所 以 t=1+6=7； 当 以 AB为 一 边 的 正 方 形 ABCD的 顶 点 C 在 反 比 例 函 数 y= 的 图 象 上 ， 根 据 正 方 形 的 性 质 得 AB=BC=t-1，则 C 点 坐 标 为 (t， t-1)， 然 后 利 用 反 比 例 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征 得 到 t(t-1)=6， 再 解 方程 得 到 满 足 条 件 的 t 的 值 .答 案 ： (1) AOM的 面 积 为 3， |k|=3，而 k 0， k=6， 反 比 例 函 数 解 析 式 为 y= ；(2)当 以 AB为 一 边 的 正 方 形 A
25、BCD的 顶 点 D在 反 比 例 函 数 y= 的 图 象 上 ， 则 D 点 与 M点 重 合 ，即 AB=AM，把 x=1代 入 y= 得 y=6， M 点 坐 标 为 (1， 6)， AB=AM=6， t=1+6=7； 当 以 AB为 一 边 的 正 方 形 ABCD的 顶 点 C在 反 比 例 函 数 y= 的 图 象 上 ，则 AB=BC=t-1， C 点 坐 标 为 (t， t-1)， t(t-1)=6，整 理 为 t2-t-6=0， 解 得 t1=3， t2=-2(舍 去 )， t=3， 以 AB 为 一 边 的 正 方 形 有 一 个 顶 点 在 反 比 例 函 数 y= 的
26、 图 象 上 时 ， t 的 值 为 7 或 3.22.(8分 )如 图 ， 已 知 BC 是 以 AB 为 直 径 的 的 切 线 ， 且 BC=AB， 连 接 OC 交 O于 点 D， 延 长AD交 BC于 点 E， F 为 BE上 一 点 ， 且 DF=FB. (1)求 证 ： DF是 O 的 切 线 ；(2)若 BE=2， 求 O 的 半 径 . 解 析 ： (1)连 接 BD， 根 据 等 边 对 等 角 可 得 FDB= FBD， ODB= OBD， 然 后 根 据 切 线 的 性 质即 可 证 得 ；(2)根 据 直 角 OBC和 直 角 CDF 中 ， tanC的 定 义 即
27、可 列 方 程 气 的 CD的 长 ， 在 直 角 CDF中利 用 勾 股 定 理 即 可 求 解 .答 案 ： (1)证 明 ： 连 接 BD， BC 是 O的 切 线 ， AB 是 直 径 ， AB BC， FBD+ OBD=90 ， DF=FB， FDB= FBD， OD=OB， ODB= OBD， FDB+ ODB= FBD+ OBD=90 ， OD DF， DF是 圆 的 切 线 ；(2) AB是 圆 的 直 径 ， ADB=90 ， FDB+ FDE= FBD+ FED=90 ， FDB= FBD， FDE= FED， FD=FE=FB，在 直 角 OBC中 ， tanC= = =
28、 ，在 直 角 CDF中 ， tanC= ， = ， DF=1， CD=2，在 直 角 CDF中 ， 由 勾 股 定 理 可 得 ： CF= ， OB= BC= ， O的 半 径 是 . 23.(8分 )为 改 善 生 态 环 境 ， 防 止 水 土 流 失 ， 某 村 计 划 在 江 汉 堤 坡 种 植 白 杨 树 ， 现 甲 、 乙 两家 林 场 有 相 同 的 白 杨 树 苗 可 供 选 择 ， 其 具 体 销 售 方 案 如 下 ：设 购 买 白 杨 树 苗 x 棵 ， 到 两 家 林 场 购 买 所 需 费 用 分 别 为 y 甲 (元 )、 y 乙 (元 ).(1)该 村 需 要
29、购 买 1500棵 白 杨 树 苗 ， 若 都 在 甲 林 场 购 买 所 需 费 用 为 元 ， 若 都 在 乙 林场 购 买 所 需 费 用 为 元 ；(2)分 别 求 出 y 甲 、 y 乙 与 x之 间 的 函 数 关 系 式 ；(3)如 果 你 是 该 村 的 负 责 人 ， 应 该 选 择 到 哪 家 林 场 购 买 树 苗 合 算 ， 为 什 么 ？解 析 ： (1)由 单 价 数 量 就 可 以 得 出 购 买 树 苗 需 要 的 费 用 ；(2)根 据 分 段 函 数 的 表 示 法 ， 分 别 当 0 x 1000， 或 x 1000.0 x 2000， 或 x 2000，
30、 由由 单 价 数 量 就 可 以 得 出 购 买 树 苗 需 要 的 费 用 表 示 出 y 甲 、 y 乙 与 x之 间 的 函 数 关 系 式 ； (3)分 类 讨 论 ， 当 0 x 1000， 1000 x 2000时 ， x 2000时 ， 表 示 出 y 甲 、 y 乙 的 关 系 式 ，就 可 以 求 出 结 论 .答 案 ： (1)由 题 意 ， 得 y 甲 =4 1000+3.8(1500-1000)=5900元 ，y 乙 =4 1500=6000 元 ；故 答 案 为 ： 5900， 6000；(2)当 0 x 1000时 ， y 甲 =4x，x 1000时 .y 甲 =
31、4000+3.8(x-1000)=3.8x+200， y 甲 = ；当 0 x 2000 时 ， y 乙 =4x，当 x 2000时 ， y 乙 =8000+3.6(x-2000)=3.6x+800， y 乙= ；(3)由 题 意 ， 得 当 0 x 1000时 ， 两 家 林 场 单 价 一 样 ， 到 两 家 林 场 购 买 所 需 要 的 费 用 一 样 .当 1000 x 2000时 ， 甲 林 场 有 优 惠 而 乙 林 场 无 优 惠 ， 当 1000 x 2000时 ， 到 甲 林 场 优惠 ；当 x 2000时 ， y 甲 =3.8x+200， y 乙 =3.6x+800，当
32、y 甲 =y 乙 时 ， 3.8x+200=3.6x+800， 解 得 ： x=3000. 当 x=3000 时 ， 到 两 家 林 场 购 买 的 费 用一 样 ；当 y 甲 y 乙 时 ， 3.8x+200=3.6x+800， x 3000. 2000 x 3000时 ， 到 甲 林 场 购 买 合 算 ；当 y 甲 y 乙 时 ， 3.8x+200 3.6x+800， 解 得 ： x 3000. 当 x 3000时 ， 到 乙 林 场 购 买 合 算 .综 上 所 述 ， 当 0 x 1000或 x=3000 时 ， 两 家 林 场 购 买 一 样 ，当 1000 x 3000时 ， 到
33、 甲 林 场 购 买 合 算 ；当 x 3000时 ， 到 乙 林 场 购 买 合 算 .24.(10分 ) 如 图 ， ABC与 DEF是 将 ACF沿 过 A点 的 某 条 直 线 剪 开 得 到 的 (AB， DE是 同 一 条 剪 切 线 ).平 移 DEF使 顶 点 E与 AC的 中 点 重 合 ， 再 绕 点 E 旋 转 DEF， 使 ED， EF分 别 与 AB， BC 交 于M， N 两 点 .(1)如 图 ， ABC中 ， 若 AB=BC， 且 ABC=90 ， 则 线 段 EM 与 EN有 何 数 量 关 系 ？ 请 直 接 写出 结 论 ；(2)如 图 ， ABC中 ，
34、若 AB=BC， 那 么 (1)中 的 结 论 是 否 还 成 立 ？ 若 成 立 ， 请 给 出 证 明 ： 若不 成 立 ， 请 说 明 理 由 ；(3)如 图 ， ABC中 ， 若 AB： BC=m： n， 探 索 线 段 EM与 EN 的 数 量 关 系 ， 并 证 明 你 的 结 论 .解 析 ： (1)由 四 边 形 的 内 角 和 为 360 可 以 推 出 HEM= GEN， 由 等 腰 三 角 形 的 三 线 合 一 及 角平 分 线 的 性 质 可 以 推 出 EH=EG， 从 而 可 以 证 到 HEM GEN， 进 而 有 EM=EG.(2)借 鉴 (1)的 证 明 方
35、 法 同 样 可 以 证 到 EM=EG.(3)借 鉴 (2)中 解 题 经 验 可 以 证 到 HEM GEN， 从 而 有 EM： EN=EH： EG.由 点 E 为 AC的 中 点可 得 S AEB=S CEB， 可 证 到 EH： EG=BC： AB， 从 而 得 到 EM： EN=BC： AB=n： m.答 案 ： (1)EM=EN.证 明 ： 过 点 E 作 EG BC， G 为 垂 足 ， 作 EH AB， H 为 垂 足 ， 连 接 BE， 如 答图 所 示 . 则 EHB= EGB=90 . 在 四 边 形 BHEG中 ， HBG+ HEG=180 . HBG+ DEF=18
36、0 ， HEG= DEF. HEM= GEN. BA=BC， 点 E 为 AC中 点 ， BE 平 分 ABC.又 EH AB， EG BC， EH=EG.在 HEM和 GEN中 ， HEM= GEN， EH=EG， EHM= EGN， HEM GEN. EM=EN.(2)EM=EN仍 然 成 立 .证 明 ： 过 点 E 作 EG BC， G 为 垂 足 ， 作 EH AB， H 为 垂 足 ， 连 接 BE， 如 答 图 所 示 . 则 EHB= EGB=90 . 在 四 边 形 BHEG中 ， HBG+ HEG=180 . HBG+ DEF=180 ， HEG= DEF. HEM= GE
37、N. BA=BC， 点 E 为 AC中 点 ， BE 平 分 ABC.又 EH AB， EG BC， EH=EG.在 HEM和 GEN中 ， HEM= GEN， EH=EG， EHM= EGN， HEM GEN. EM=EN.(3)线 段 EM与 EN满 足 关 系 ： EM： EN=n： m.证 明 ： 过 点 E 作 EG BC， G 为 垂 足 ， 作 EH AB， H 为 垂 足 ， 连 接 BE， 如 答 图 所 示 . 则 EHB= EGB=90 . 在 四 边 形 BHEG中 ， HBG+ HEG=180 . HBG+ DEF=180 ， HEG= DEF. HEM= GEN.
38、HEM= GEN， EHM= EGN， HEM GEN. EM： EN=EH： EG. 点 E为 AC的 中 点 ， S AEB=S CEB. AB EH= BC EG. EH： EG=BC： AB. EM： EN=BC： AB. AB： BC=m： n， EM： EN=n： m. 25.(12分 )已 知 抛 物 线 经 过 A(-2， 0)， B(0， 2)， C( ， 0)三 点 ， 一 动 点 P 从 原 点 出 发 以 1个 单 位 /秒 的 速 度 沿 x 轴 正 方 向 运 动 ， 连 接 BP， 过 点 A 作 直 线 BP 的 垂 线 交 y轴 于 点 Q.设 点P的 运 动
39、 时 间 为 t 秒 . (1)求 抛 物 线 的 解 析 式 ；(2)当 BQ= AP时 ， 求 t 的 值 ；(3)随 着 点 P 的 运 动 ， 抛 物 线 上 是 否 存 在 一 点 M， 使 MPQ为 等 边 三 角 形 ？ 若 存 在 ， 请 直 接 写t的 值 及 相 应 点 M 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)已 知 3 点 求 抛 物 线 的 解 析 式 ， 设 解 析 式 为 y=ax2+bx+c， 待 定 系 数 即 得 a、 b、 c 的值 ， 即 得 解 析 式 .(2)BQ= AP， 要 考 虑 P在 OC上 及 P 在
40、OC的 延 长 线 上 两 种 情 况 ， 有 此 易 得 BQ， AP 关 于 t 的表 示 ， 代 入 BQ= AP 可 求 t值 .(3)考 虑 等 边 三 角 形 ， 我 们 通 常 只 需 明 确 一 边 的 情 况 ， 进 而 即 可 描 述 出 整 个 三 角 形 .考 虑 MPQ，发 现 PQ 为 一 有 规 律 的 线 段 ， 易 得 OPQ为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 但 仅 因 此 无 法 确 定 PQ运 动 至 何 种 情 形 时 MPQ为 等 边 三 角 形 .若 退 一 步 考 虑 等 腰 ， 发 现 MO 应 为 PQ 的 垂 直 平 分 线 ， 即 使 M
41、PQ为 等 边 三 角 形 的 M 点 必 属 于 PQ 的 垂 直 平 分 线 与 抛 物 线 的 交 点 ， 但 要 明 确 这 些 交 点 仅 仅 满 足 MPQ为 等 腰 三 角 形 ， 不 一 定 为 等 边 三 角 形 .确 定 是 否 为 等 边 ， 我 们 可 以 直 接 由 等 边 性 质 列出 关 于 t 的 方 程 ， 考 虑 t 的 存 在 性 .答 案 ： (1)设 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=ax2+bx+c， 抛 物 线 经 过 A(-2， 0)， B(0， 2)， C( ， 0)三 点 ， ， 解 得 ， y=- x 2- x+2.(2) AQ PB，
42、BO AP， AOQ= BOP=90 ， PAQ= PBO， AO=BO=2， AOQ BOP， OQ=OP=t. 如 图 1， 当 t 2 时 ， 点 Q 在 点 B下 方 ， 此 时 BQ=2-t， AP=2+t. BQ= AP， 2-t= (2+t)， t= . 如 图 2， 当 t 2 时 ， 点 Q 在 点 B上 方 ， 此 时 BQ=t-2， AP=2+t. BQ= AP， t-2= (2+t)， t=6.综 上 所 述 ， t= 或 6 时 ， BQ= AP.(3)当 t= -1 时 ， 抛 物 线 上 存 在 点 M(1， 1)； 当 t=3+3 时 ， 抛 物 线 上 存 在
43、 点 M(-3， -3).分 析 如 下 ： AQ BP， QAO+ BPO=90 ， QAO+ AQO=90 ， AQO= BPO.在 AOQ和 BOP中 ， ， AOQ BOP， OP=OQ， OPQ为 等 腰 直 角 三 角 形 ， MPQ为 等 边 三 角 形 ， 则 M点 必 在 PQ的 垂 直 平 分 线 上 ， 直 线 y=x垂 直 平 分 PQ， M 在 y=x上 ， 设 M(x， y)， ， 解 得 或 ， M 点 可 能 为 (1， 1)或 (-3， -3). 如 图 3， 当 M的 坐 标 为 (1， 1)时 ， 作 MD x 轴 于 D， 则 有 PD=|1-t|， M
44、P2=1+|1-t|2=t2-2t+2， PQ2=2t2， MPQ为 等 边 三 角 形 ， MP=PQ， t2+2t-2=0， t=-1+ ， t=-1- (负 值 舍 去 ). 如 图 4， 当 M的 坐 标 为 (-3， -3)时 ， 作 ME x轴 于 E， 则 有 PE=3+t， ME=3， MP2=32+(3+t)2=t2+6t+18， PQ2=2t2， MPQ为 等 边 三 角 形 ， MP=PQ， t2-6t-18=0， t=3+3 ， t=3-3 (负 值 舍 去 ).综 上 所 述 ， 当 t=-1+ 时 ， 抛 物 线 上 存 在 点 M(1， 1)， 或 当 t=3+3 时 ， 抛 物 线 上 存 在 点M(-3， -3)， 使 得 MPQ为 等 边 三 角 形 .
