1、2014年 浙 江 省 绍 兴 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 40 分 )1.(4分 )比 较 -3， 1， -2 的 大 小 ， 下 列 判 断 正 确 的 是 ( )A.-3 -2 1B.-2 -3 1C.1 -2 -3D.1 -3 -2解 析 ： 有 理 数 -3， 1， -2的 中 ， 根 据 有 理 数 的 性 质 ， -3 -2 0 1.答 案 ： A.2.(4分 )计 算 (ab) 2的 结 果 是 ( )A.2abB.a2bC.a2b2D.ab2解 析 ： 原 式 =a2b2.答 案 ： C.3.(4
2、分 )太 阳 的 温 度 很 高 ， 其 表 面 温 度 大 概 有 6 000 ， 而 太 阳 中 心 的 温 度 达 到 了 19 200000 ， 用 科 学 记 数 法 可 将 19 200 000表 示 为 ( )A.1.92 10 6B.1.92 107C.1.92 108D.1.92 109解 析 ： 将 19200000 用 科 学 记 数 法 表 示 为 ： 1.92 107.答 案 ： B.4.(4分 )由 5 个 相 同 的 立 方 体 搭 成 的 几 何 体 如 图 所 示 ， 则 它 的 主 视 图 是 ( ) A.B. C.D.解 析 ： 从 正 面 看 第 一 层
3、 是 三 个 正 方 形 ， 第 二 层 是 左 边 一 个 正 方 形 ，答 案 ： B.5.(4分 )一 个 不 透 明 的 袋 子 中 有 2个 白 球 ， 3 个 黄 球 和 1 个 红 球 ， 这 些 球 除 颜 色 不 同 外 其 他完 全 相 同 ， 则 从 袋 子 中 随 机 摸 出 一 个 球 是 白 球 的 概 率 为 ( )A.B. C.D.解 析 ： 一 个 不 透 明 的 袋 子 中 有 2 个 白 球 ， 3个 黄 球 和 1 个 红 球 ， 这 些 球 除 颜 色 不 同 外 其 他完 全 相 同 ， 从 袋 子 中 随 机 摸 出 一 个 球 是 白 球 的 概
4、 率 为 ： = .答 案 ： C.6.(4分 )不 等 式 3x+2 -1的 解 集 是 ( )A.x -B.x - C.x -1D.x -1解 析 ： 移 项 得 ， 3x -1-2， 合 并 同 类 项 得 ， 3x -3， 把 x的 系 数 化 为 1得 ， x -1.答 案 ： C.7.(4分 )如 图 ， 圆 锥 的 侧 面 展 开 图 是 半 径 为 3， 圆 心 角 为 90 的 扇 形 ， 则 该 圆 锥 的 底 面 周 长为 ( ) A. B. C.D.解 析 ： 设 底 面 圆 的 半 径 为 r， 则 ： 2 r= = . r= ， 圆 锥 的 底 面 周 长 为 ，答
5、 案 ： B.8.(4分 )如 图 1， 天 平 呈 平 衡 状 态 ， 其 中 左 侧 秤 盘 中 有 一 袋 玻 璃 球 ， 右 侧 秤 盘 中 也 有 一 袋 玻璃 球 ， 还 有 2个 各 20 克 的 砝 码 .现 将 左 侧 袋 中 一 颗 玻 璃 球 移 至 右 侧 秤 盘 ， 并 拿 走 右 侧 秤 盘 的1个 砝 码 后 ， 天 平 仍 呈 平 衡 状 态 ， 如 图 2， 则 被 移 动 的 玻 璃 球 的 质 量 为 ( ) A.10克B.15克C.20克D.25克解 析 ： 设 左 、 右 侧 秤 盘 中 一 袋 玻 璃 球 的 质 量 分 别 为 m克 、 n 克 ，
6、 根 据 题 意 得 ： m=n+40；设 被 移 动 的 玻 璃 球 的 质 量 为 x克 ，根 据 题 意 得 ： m-x=n+x+20， x= (m-n-20)= (n+40-n-20)=10.答 案 ： A.9.(4分 )将 一 张 正 方 形 纸 片 ， 按 如 图 步 骤 ， ， 沿 虚 线 对 折 两 次 ， 然 后 沿 中 的 虚 线 剪 去一 个 角 ， 展 开 铺 平 后 的 图 形 是 ( ) A.B.C.D. 解 析 ： 由 题 意 要 求 知 ， 展 开 铺 平 后 的 图 形 是 B.答 案 ： B.10.(4分 )如 图 ， 汽 车 在 东 西 向 的 公 路 l
7、 上 行 驶 ， 途 中 A， B， C， D 四 个 十 字 路 口 都 有 红 绿 灯 .AB之 间 的 距 离 为 800米 ， BC为 1000米 ， CD 为 1400米 ， 且 l 上 各 路 口 的 红 绿 灯 设 置 为 ： 同 时亮 红 灯 或 同 时 亮 绿 灯 ， 每 次 红 (绿 )灯 亮 的 时 间 相 同 ， 红 灯 亮 的 时 间 与 绿 灯 亮 的 时 间 也 相 同 .若 绿 灯 刚 亮 时 ， 甲 汽 车 从 A 路 口 以 每 小 时 30千 米 的 速 度 沿 l 向 东 行 驶 ， 同 时 乙 汽 车 从 D 路口 以 相 同 的 速 度 沿 l向 西
8、 行 驶 ， 这 两 辆 汽 车 通 过 四 个 路 口 时 都 没 有 遇 到 红 灯 ， 则 每 次 绿 灯 亮的 时 间 可 能 设 置 为 ( ) A.50秒B.45秒C.40秒D.35秒解 析 ： 甲 汽 车 从 A路 口 以 每 小 时 30 千 米 的 速 度 沿 l 向 东 行 驶 ， 同 时 乙 汽 车 从 D 路 口 以 相同 的 速 度 沿 l 向 西 行 驶 ， 两 车 的 速 度 为 ： = (m/s)， AB 之 间 的 距 离 为 800米 ， BC为 1000米 ， CD 为 1400米 ， 分 别 通 过 AB， BC， CD 所 用 的 时 间 为 ： =9
9、6(s)， =120(s)， =168(s)， 这 两 辆 汽 车 通 过 四 个 路 口 时 都 没 有 遇 到 红 灯 ， 当 每 次 绿 灯 亮 的 时 间 为 50s时 ， =1 ， 甲 车 到 达 B 路 口 时 遇 到 红 灯 ， 故 A 选 项 错误 ； 当 每 次 绿 灯 亮 的 时 间 为 45s时 ， =3 ， 乙 车 到 达 C 路 口 时 遇 到 红 灯 ， 故 B 选 项错 误 ； 当 每 次 绿 灯 亮 的 时 间 为 40s时 ， =5 ， 甲 车 到 达 C 路 口 时 遇 到 红 灯 ， 故 C 选项 错 误 ； 当 每 次 绿 灯 亮 的 时 间 为 35s
10、时 ， =2 ， =6 ， =10 ， =4 ，=8 ， 这 两 辆 汽 车 通 过 四 个 路 口 时 都 没 有 遇 到 红 灯 ， 故 D 选 项 正 确 ； 则 每 次 绿 灯 亮 的 时 间 可 能 设置 为 ： 35 秒 .答 案 ： D.二 、 填 空 题 (本 大 题 共 6 个 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 30分 )11.(5分 )分 解 因 式 ： a2-a= . 解 析 ： a2-a=a(a-1).12.(5分 )把 球 放 在 长 方 体 纸 盒 内 ， 球 的 一 部 分 露 出 盒 外 ， 其 主 视 图 如 图 . O 与 矩 形 ABCD的 边 BC
11、， AD分 别 相 切 和 相 交 (E， F是 交 点 )， 已 知 EF=CD=8， 则 O的 半 径 为 .解 析 ： 由 题 意 ， O与 BC相 切 ， 记 切 点 为 G， 作 直 线 OG， 分 别 交 AD、 劣 弧 于 点 H、 I，再 连 接 OF， 在 矩 形 ABCD中 ， AD BC， 而 IG BC， IG AD， 在 O 中 ， FH= EF=4，设 求 半 径 为 r， 则 OH=8-r， 在 Rt OFH中 ， r2-(8-r)2=42， 解 得 r=5，答 案 ： 5.13.(5分 )如 图 的 一 座 拱 桥 ， 当 水 面 宽 AB 为 12m时 ， 桥
12、 洞 顶 部 离 水 面 4m， 已 知 桥 洞 的 拱 形 是 抛 物 线 ， 以 水 平 方 向 为 x轴 ， 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 若 选 取 点 A 为 坐 标 原 点 时 的 抛 物 线 解 析式 是 y=- (x-6)2+4， 则 选 取 点 B 为 坐 标 原 点 时 的 抛 物 线 解 析 式 是 .解 析 ： 由 题 意 可 得 出 ： y=a(x+6) 2+4，将 (-12， 0)代 入 得 出 ， 0=a(-12+6)2+4， 解 得 ： a=- ， 选 取 点 B为 坐 标 原 点 时 的 抛 物 线 解 析 式 是 ： y=- (x+6)2+4.答
13、案 ： y=- (x+6)2+4. 14.(5分 )用 直 尺 和 圆 规 作 ABC， 使 BC=a， AC=b， B=35 ， 若 这 样 的 三 角 形 只 能 作 一 个 ，则 a， b 间 满 足 的 关 系 式 是 .解 析 ： 如 图 所 示 ： 若 这 样 的 三 角 形 只 能 作 一 个 ， 则 a， b间 满 足 的 关 系 式 是 ： 当 AC BC时 ， 即 sin35 = 当 b a 时 .答 案 ： sin35 = 或 b a.15.(5分 )如 图 ， 边 长 为 n 的 正 方 形 OABC的 边 OA， OC 在 坐 标 轴 上 ， 点 A1， A2， ，
14、An-1为 OA的 n 等 分 点 ， 点 B 1， B2， ， Bn-1为 CB 的 n 等 分 点 ， 连 结 A1B1， A2B2， ， An-1Bn-1， 分 别 交 曲线 y= (x 0)于 点 C1， C2， ， Cn-1.若 C15B15=16C15A15， 则 n 的 值 为 .(n为 正 整 数 )解 析 ： 正 方 形 OABC的 边 长 为 n， 点 A 1， A2 An-1为 OA的 n 等 分 点 ， 点 B1， B2 Bn-1为 CB 的n等 分 点 OA15=15， A15B15=15， C15B15=16C15A15， C15(15， )， 点 C15在 曲 线
15、 y= (x 0)上 ， 15 =n-2， 解 得 n=17.答 案 ： 17.16.(5分 )把 标 准 纸 一 次 又 一 次 对 开 ， 可 以 得 到 均 相 似 的 “ 开 纸 ” .现 在 我 们 在 长 为 2 、宽 为 1的 矩 形 纸 片 中 ， 画 两 个 小 矩 形 ， 使 这 两 个 小 矩 形 的 每 条 边 都 与 原 矩 形 纸 的 边 平 行 ， 或小 矩 形 的 边 在 原 矩 形 的 边 上 ， 且 每 个 小 矩 形 均 与 原 矩 形 纸 相 似 ， 然 后 将 它 们 剪 下 ， 则 所 剪 得的 两 个 小 矩 形 纸 片 周 长 之 和 的 最 大
16、 值 是 .解 析 ： 在 长 为 2 、 宽 为 1的 矩 形 纸 片 中 ， 画 两 个 小 矩 形 ， 使 这 两 个 小 矩 形 的 每 条 边 都与 原 矩 形 纸 的 边 平 行 ， 或 小 矩 形 的 边 在 原 矩 形 的 边 上 ， 且 每 个 小 矩 形 均 与 原 矩 形 纸 相 似 ， 要 使 所 剪 得 的 两 个 小 矩 形 纸 片 周 长 之 和 最 大 ， 则 这 两 个 小 矩 形 纸 片 长 与 宽 的 和 最 大 . 矩 形 的 长 与 宽 之 比 为 2 ： 1， 剪 得 的 两 个 小 矩 形 中 ， 一 个 矩 形 的 长 为 1， 宽 为 = ，
17、另 外 一 个 矩 形 的 长 为 2 - = ， 宽 为 = ， 所 剪 得 的 两 个 小 矩 形 纸 片 周 长 之 和 的 最 大 值 是 2(1+ + + )=4 + .答 案 ： 4 + .三 、 解 答 题 (本 大 题 共 8 小 题 ， 第 17-20小 题 每 小 题 8 分 ， 第 21小 题 10分 ， 第 22,23 小 题每 小 题 8 分 ， 24 小 题 14 分 ， 共 80分 ) 17.(8分 )(1)计 算 ： -4sin45 - + .(2)先 化 简 ， 再 求 值 ： a(a-3b)+(a+b)2-a(a-b)， 其 中 a=1， b=- .解 析
18、： (1)本 题 涉 及 零 指 数 幂 、 乘 方 、 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 、 二 次 根 式 化 简 四 个 考 点 .针 对 每个 考 点 分 别 进 行 计 算 ， 然 后 根 据 实 数 的 运 算 法 则 求 得 计 算 结 果 ；(2)根 据 去 括 号 的 法 则 ， 可 去 掉 括 号 ， 根 据 合 并 同 类 项 ， 可 化 简 代 数 式 ， 根 据 代 数 式 求 值 ，可 得 答 案 .答 案 ： (1)原 式 =2-2 -1+2 =1；(2)原 式 =a 2-3ab+a2+2ab+b2-a2+ab=a2+b2=1+ = .18.(8分 )已 知 甲
19、 、 乙 两 地 相 距 90km， A， B 两 人 沿 同 一 公 路 从 甲 地 出 发 到 乙 地 ， A 骑 摩 托 车 ，B骑 电 动 车 ， 图 中 DE， OC分 别 表 示 A， B 离 开 甲 地 的 路 程 s(km)与 时 间 t(h)的 函 数 关 系 的 图象 ， 根 据 图 象 解 答 下 列 问 题 .(1)A比 B 后 出 发 几 个 小 时 ？ B的 速 度 是 多 少 ？(2)在 B 出 发 后 几 小 时 ， 两 人 相 遇 ？ 解 析 ： (1)根 据 横 轴 CO与 DE 可 得 出 A 比 B 后 出 发 1 小 时 ； 由 点 C 的 坐 标 为
20、 (3， 60)可 求 出 B的 速 度 ；(2)利 用 待 定 系 数 法 求 出 OC、 DE 的 解 析 式 ， 联 立 两 函 数 解 析 式 建 立 方 程 求 解 即 可 .答 案 ： (1)由 图 可 知 ， A比 B后 出 发 1小 时 ； B的 速 度 ： 60 3=20(km/h)；(2)由 图 可 知 点 D(1， 0)， C(3， 60)， E(3， 90)，设 OC 的 解 析 式 为 y=kx， 则 3k=60， 解 得 k=20， 所 以 ， y=20 x，设 DE 的 解 析 式 为 y=mx+n， 则 ， 解 得 ， 所 以 ， y=45x-45，由 题 意
21、得 ， 解 得 ， 所 以 B出 发 小 时 后 两 人 相 遇 .19.(8分 )为 了 解 某 校 七 ， 八 年 级 学 生 的 睡 眠 情 况 ， 随 机 抽 取 了 该 校 七 ， 八 年 级 部 分 学 生 进 行 调 查 ， 已 知 抽 取 七 年 级 与 八 年 级 的 学 生 人 数 相 同 ， 利 用 抽 样 所 得 的 数 据 绘 制 如 下 统 计 图 表 . 根 据 图 表 提 供 的 信 息 ， 回 答 下 列 问 题 ：(1)求 统 计 图 中 的 a；(2)抽 取 的 样 本 中 ， 八 年 级 学 生 睡 眠 时 间 在 C 组 的 有 多 少 人 ？ (3)
22、已 知 该 校 七 年 级 学 生 有 755人 ， 八 年 级 学 生 有 785人 ， 如 果 睡 眠 时 间 x(时 )满 足 ：7.5 x 9.5， 称 睡 眠 时 间 合 格 ， 试 估 计 该 校 七 、 八 年 级 学 生 中 睡 眠 时 间 合 格 的 共 有 多 少 人 ？解 析 ： (1)根 据 扇 形 统 计 图 ， 确 定 出 a 的 值 即 可 ；(2)根 据 图 1 求 出 抽 取 的 人 数 ， 乘 以 C 占 的 百 分 比 即 可 得 到 结 果 ；(3)分 别 找 出 七 八 年 级 睡 眠 合 格 的 人 数 ， 求 出 之 和 即 可 .答 案 ： (1
23、)根 据 题 意 得 ： a=1-(35%+25%+25%+10%)=5%；(2)根 据 题 意 得 ： (6+19+17+10+8) 35%=21(人 )，则 抽 取 的 样 本 中 ， 八 年 级 学 生 睡 眠 时 间 在 C组 的 有 21人 ；(3)根 据 题 意 得 ： 755 +785 (25%+35%)=453+471=924(人 )，则 该 校 七 、 八 年 级 学 生 中 睡 眠 时 间 合 格 的 共 有 924 人 .20.(8分 )课 本 中 有 一 道 作 业 题 ： 有 一 块 三 角 形 余 料 ABC， 它 的 边 BC=120mm， 高 AD=80mm.要
24、 把 它 加 工 成 正 方 形 零 件 ， 使 正 方形 的 一 边 在 BC上 ， 其 余 两 个 顶 点 分 别 在 AB， AC上 .问 加 工 成 的 正 方 形 零 件 的 边 长 是 多 少 mm？小 颖 解 得 此 题 的 答 案 为 48mm， 小 颖 善 于 反 思 ， 她 又 提 出 了 如 下 的 问 题 .(1)如 果 原 题 中 要 加 工 的 零 件 是 一 个 矩 形 ， 且 此 矩 形 是 由 两 个 并 排 放 置 的 正 方 形 所 组 成 ， 如图 1， 此 时 ， 这 个 矩 形 零 件 的 两 条 边 长 又 分 别 为 多 少 mm？ 请 你 计
25、算 .(2)如 果 原 题 中 所 要 加 工 的 零 件 只 是 一 个 矩 形 ， 如 图 2， 这 样 ， 此 矩 形 零 件 的 两 条 边 长 就 不能 确 定 ， 但 这 个 矩 形 面 积 有 最 大 值 ， 求 达 到 这 个 最 大 值 时 矩 形 零 件 的 两 条 边 长 . 解 析 ： (1)设 PN=2ymm， 则 PQ=ymm， 然 后 根 据 相 似 三 角 形 对 应 高 的 比 等 于 相 似 比 列 出 比 例 式求 出 即 可 ；(2)设 PN=x， 用 PQ 表 示 出 AE 的 长 度 ， 然 后 根 据 相 似 三 角 形 对 应 高 的 比 等 于
26、 相 似 比 列 出 比 例式 并 用 x 表 示 出 PN， 然 后 根 据 矩 形 的 面 积 公 式 列 式 计 算 ， 再 根 据 二 次 函 数 的 最 值 问 题 解 答 .答 案 ： (1)设 矩 形 的 边 长 PN=2ymm， 则 PQ=ymm， 由 条 件 可 得 APN ABC， = ， 即 = ， 解 得 y= ， PN= 2= (mm)，答 ： 这 个 矩 形 零 件 的 两 条 边 长 分 别 为 mm， mm；(2)设 PN=xmm， 由 条 件 可 得 APN ABC， = ， 即 = ， 解 得 PQ=80- x. S=PN PQ=x(80- x)=- x2+
27、80 x=- (x-60)2+2400， S的 最 大 值 为 2400mm2， 此 时 PN=60mm， PQ=80- 60=40(mm).21.(10分 )九 (1)班 同 学 在 上 学 期 的 社 会 实 践 活 动 中 ， 对 学 校 旁 边 的 山 坡 护 墙 和 旗 杆 进 行 了测 量 .(1)如 图 1， 第 一 小 组 用 一 根 木 条 CD斜 靠 在 护 墙 上 ， 使 得 DB与 CB的 长 度 相 等 ， 如 果 测 量 得到 CDB=38 ， 求 护 墙 与 地 面 的 倾 斜 角 的 度 数 .(2)如 图 2， 第 二 小 组 用 皮 尺 量 的 EF为 16
28、米 (E 为 护 墙 上 的 端 点 )， EF 的 中 点 离 地 面 FB 的 高度 为 1.9米 ， 请 你 求 出 E点 离 地 面 FB 的 高 度 .(3)如 图 3， 第 三 小 组 利 用 第 一 、 第 二 小 组 的 结 果 ， 来 测 量 护 墙 上 旗 杆 的 高 度 ， 在 点 P测 得旗 杆 顶 端 A的 仰 角 为 45 ， 向 前 走 4 米 到 达 Q 点 ， 测 得 A 的 仰 角 为 60 ， 求 旗 杆 AE的 高 度 (精 确 到 0.1米 ).备 用 数 据 ： tan60 =1.732， tan30 =0.577， =1.732， =1.414.解
29、 析 ： (1)根 据 =2 CDB即 可 得 出 答 案 ；(2)设 EF 的 中 点 为 M， 过 M作 MN BF， 垂 足 为 点 N， 过 点 E 作 EH BF， 垂 足 为 点 H， 根 据 EH=2MN即 可 求 出 E点 离 地 面 FB 的 高 度 ； (3)延 长 AE， 交 PB于 点 C， 设 AE=x， 则 AC=x+3.8， CQ=x-0.2， 根 据 = ， 得 出 x+3.8x-0.2=3，求 出 x 即 可 .答 案 ： (1) BD=BC， CDB= DCB， =2 CDB=2 38 =76 .(2)设 EF 的 中 点 为 M， 过 M 作 MN BF，
30、 垂 足 为 点 N， 过 点 E 作 EH BF， 垂 足 为 点 H， MN AH， MN=1.9， EH=2MN=3.8(米 )， E 点 离 地 面 FB的 高 度 是 3.8米 . (3)延 长 AE， 交 PB 于 点 C， 设 AE=x， 则 AC=x+3.8， APB=45 ， PC=AC=x+3.8， PQ=4， CQ=x+3.8-4=x-0.2， tan AQC= =tan60 = ， = ， x= 5.7， AE 5.7(米 ).答 ； 旗 杆 AE的 高 度 是 5.7米 .22.(12分 )如 果 二 次 函 数 的 二 次 项 系 数 为 l， 则 此 二 次 函
31、数 可 表 示 为 y=x 2+px+q， 我 们 称 p，q为 此 函 数 的 特 征 数 ， 如 函 数 y=x2+2x+3 的 特 征 数 是 2， 3.(1)若 一 个 函 数 的 特 征 数 为 -2， 1， 求 此 函 数 图 象 的 顶 点 坐 标 .(2)探 究 下 列 问 题 ： 若 一 个 函 数 的 特 征 数 为 4， -1， 将 此 函 数 的 图 象 先 向 右 平 移 1 个 单 位 ， 再 向 上 平 移 1 个单 位 ， 求 得 到 的 图 象 对 应 的 函 数 的 特 征 数 . 若 一 个 函 数 的 特 征 数 为 2， 3， 问 此 函 数 的 图
32、象 经 过 怎 样 的 平 移 ， 才 能 使 得 到 的 图 象 对 应的 函 数 的 特 征 数 为 3， 4？解 析 ： (1)根 据 题 意 得 出 函 数 解 析 式 ， 进 而 得 出 顶 点 坐 标 即 可 ；(2) 首 先 得 出 函 数 解 析 式 ， 进 而 利 用 函 数 平 移 规 律 得 出 答 案 ； 分 别 求 出 两 函 数 解 析 式 ， 进 而 得 出 平 移 规 律 .答 案 ： (1)由 题 意 可 得 出 ： y=x 2-2x+1=(x-1)2， 此 函 数 图 象 的 顶 点 坐 标 为 ： (1， 0)；(2) 由 题 意 可 得 出 ： y=x2
33、+4x-1=(x+2)2-5， 将 此 函 数 的 图 象 先 向 右 平 移 1 个 单 位 ， 再 向 上 平 移 1个 单 位 后 得 到 ： y=(x+1)2-4=x2+2x-3， 图 象 对 应 的 函 数 的 特 征 数 为 ： 2， -3； 一 个 函 数 的 特 征 数 为 2， 3， 函 数 解 析 式 为 ： y=x2+2x+3=(x+1)2+2， 一 个 函 数 的 特 征 数 为 3， 4， 函 数 解 析 式 为 ： y=x2+3x+4=(x+ )2+ ， 原 函 数 的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 ， 再 向 下 平 移 个 单 位 得 到 .23.(6分
34、)(1)如 图 1， 正 方 形 ABCD中 ， 点 E， F 分 别 在 边 BC， CD 上 ， EAF=45 ， 延 长 CD到 点 G， 使 DG=BE， 连 结 EF， AG.求 证 ： EF=FG. (2)如 图 ， 等 腰 直 角 三 角 形 ABC中 ， BAC=90 ， AB=AC， 点 M， N 在 边 BC 上 ， 且 MAN=45 ，若 BM=1， CN=3， 求 MN的 长 . 解 析 ： (1)证 ADG ABE， FAE GAF， 根 据 全 等 三 角 形 的 性 质 求 出 即 可 ；(2)过 点 C作 CE BC， 垂 足 为 点 C， 截 取 CE， 使
35、CE=BM.连 接 AE、 EN.通 过 证 明 ABM ACE(SAS)推 知 全 等 三 角 形 的 对 应 边 AM=AE、 对 应 角 BAM= CAE； 然 后 由 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 和 MAN=45 得 到 MAN= EAN=45 ， 所 以 MAN EAN(SAS)， 故 全 等 三 角 形 的 对 应 边 MN=EN；最 后 由 勾 股 定 理 得 到 EN2=EC2+NC2即 MN2=BM2+NC2.答 案 ： (1)证 明 ： 在 正 方 形 ABCD中 ， ABE= ADG， AD=AB，在 ABE和 ADG中 ， ABE ADG(SAS)， BAE
36、= DAG， AE=AG， EAG=90 ，在 FAE和 GAF中 ， ， FAE GAF(SAS)， EF=FG (2)如 图 2， 过 点 C 作 CE BC， 垂 足 为 点 C， 截 取 CE， 使 CE=BM.连 接 AE、 EN. AB=AC， BAC=90 ， B= C=45 . CE BC， ACE= B=45 .在 ABM和 ACE中 ， ABM ACE(SAS). AM=AE， BAM= CAE. BAC=90 ， MAN=45 ， BAM+ CAN=45 .于 是 ， 由 BAM= CAE， 得 MAN= EAN=45 .在 MAN和 EAN中 ， MAN EAN(SAS
37、). MN=EN.在 Rt ENC中 ， 由 勾 股 定 理 ， 得 EN2=EC2+NC2. MN2=BM2+NC2. BM=1， CN=3， MN2=12+32， MN=25.(14分 )如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 直 线 l平 行 x 轴 ， 交 y 轴 于 点 A， 第 一 象 限 内 的 点B在 l上 ， 连 结 OB， 动 点 P 满 足 APQ=90 ， PQ交 x轴 于 点 C. (1)当 动 点 P 与 点 B 重 合 时 ， 若 点 B 的 坐 标 是 (2， 1)， 求 PA 的 长 .(2)当 动 点 P 在 线 段 OB 的 延 长 线 上 时
38、 ， 若 点 A 的 纵 坐 标 与 点 B的 横 坐 标 相 等 ， 求 PA： PC 的值 .(3)当 动 点 P 在 直 线 OB 上 时 ， 点 D是 直 线 OB与 直 线 CA 的 交 点 ， 点 E 是 直 线 CP 与 y 轴 的 交点 ， 若 ACE= AEC， PD=2OD， 求 PA： PC 的 值 . 解 析 ： (1)易 得 点 P 的 坐 标 是 (2， 1)， 即 可 得 到 PA 的 长 .(2)易 证 AOB=45 ， 由 角 平 分 线 的 性 质 可 得 PA=PC， 然 后 通 过 证 明 ANP CMP即 可 求 出PA： PC的 值 .(3)可 分
39、点 P 在 线 段 OB 的 延 长 线 上 及 其 反 向 延 长 线 上 两 种 情 况 进 行 讨 论 .易 证 PA： PC=PN：PM， 设 OA=x， 只 需 用 含 x 的 代 数 式 表 示 出 PN、 PM的 长 ， 即 可 求 出 PA： PC的 值 .答 案 ： (1) 点 P 与 点 B 重 合 ， 点 B 的 坐 标 是 (2， 1)， 点 P 的 坐 标 是 (2， 1). PA 的 长 为2.(2)过 点 P 作 PM x 轴 ， 垂 足 为 M， 过 点 P 作 PN y 轴 ， 垂 足 为 N， 如 图 1 所 示 . 点 A的 纵 坐 标 与 点 B 的 横
40、 坐 标 相 等 ， OA=AB. OAB=90 ， AOB= ABO=45 . AOC=90 ， POC=45 . PM x 轴 ， PN y 轴 ， PM=PN， ANP= CMP=90 . NPM=90 . APC=90 . APN=90 - APM= CPM.在 ANP和 CMP中 ， APN= CPM， PN=PM， ANP= CMP， ANP CMP. PA=PC. PA： PC的 值 为 1： 1.(3) 若 点 P 在 线 段 OB 的 延 长 线 上 ， 过 点 P 作 PM x 轴 ， 垂 足 为 M， 过 点 P作 PN y轴 ， 垂足 为 N， PM与 直 线 AC的
41、交 点 为 F， 如 图 2 所 示 . APN= CPM， ANP= CMP， ANP CMP. . ACE= AEC， AC=AE. AP PC， EP=CP. PM y 轴 ， AF=CF， OM=CM. FM= OA.设 OA=x， PF OA， PDF ODA. PD=2OD， PF=2OA=2x， FM= x. PM= x. APC=90 ， AF=CF， AC=2PF=4x. AOC=90 ， OC= x. PNO= NOM= OMP=90 ， 四 边 形 PMON是 矩 形 . PN=OM= x. PA： PC=PN： PM= x： x= . 若 点 P 在 线 段 OB 的 反 向 延 长 线 上 ， 过 点 P 作 PM x 轴 ， 垂 足 为 M， 过 点 P作 PN y轴 ，垂 足 为 N， PM 与 直 线 AC 的 交 点 为 F， 如 图 3所 示 . 同 理 可 得 ： PM= x， CA=2PF=4x， OC= x. PN=OM= OC= x. PA： PC=PN： PM= x： x= .综 上 所 述 ： PA： PC 的 值 为 或 .
