1、2014年 浙 江 省 宁 波 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (每 小 题 4 分 ， 共 48分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 符 合 题 目 要 求 )1.(4分 )下 列 各 数 中 ， 既 不 是 正 数 也 不 是 负 数 的 是 ( )A.0B.-1C.D.2解 析 ： 0 既 不 是 正 数 也 不 是 负 数 ，答 案 ： A.2.(4分 )宁 波 轨 道 交 通 1号 线 、 2 号 线 建 设 总 投 资 253.7 亿 元 ， 其 中 253.7 亿 用 科 学 记 数 法表 示 为 ( ) A.253.7 108
2、B.25.37 109C.2.537 1010D.2.537 1011解 析 ： 253.7 亿 =253 7000 0000=2.537 1010，答 案 ： C.3.(4分 )用 矩 形 纸 片 折 出 直 角 的 平 分 线 ， 下 列 折 法 正 确 的 是 ( )A. B.C.D.解 析 ： A.当 长 方 形 如 A 所 示 对 折 时 ， 其 重 叠 部 分 两 角 的 和 一 个 顶 点 处 小 于 90 ， 另 一 顶 点处 大 于 90 ， 故 本 选 项 错 误 ；B.当 如 B 所 示 折 叠 时 ， 其 重 叠 部 分 两 角 的 和 小 于 90 ， 故 本 选 项
3、 错 误 ；C.当 如 C 所 示 折 叠 时 ， 折 痕 不 经 过 长 方 形 任 何 一 角 的 顶 点 ， 所 以 不 可 能 是 角 的 平 分 线 ， 故 本 选 项 错 误 ；D.当 如 D 所 示 折 叠 时 ， 两 角 的 和 是 90 ， 由 折 叠 的 性 质 可 知 其 折 痕 必 是 其 角 的 平 分 线 ， 正确 .答 案 ： D. 4.(4分 )杨 梅 开 始 采 摘 啦 ！ 每 筐 杨 梅 以 5千 克 为 基 准 ， 超 过 的 千 克 数 记 为 正 数 ， 不 足 的 千 克数 记 为 负 数 ， 记 录 如 图 ， 则 这 4 筐 杨 梅 的 总 质
4、量 是 ( )A.19.7千 克B.19.9千 克C.20.1千 克D.20.3千 克解 析 ： (-0.1-0.3+0.2+0.3)+5 4=20.1(千 克 )，答 案 ： C. 5.(4分 )圆 锥 的 母 线 长 为 4， 底 面 半 径 为 2， 则 此 圆 锥 的 侧 面 积 是 ( )A.6B.8C.12D.16解 析 ： 此 圆 锥 的 侧 面 积 = 4 2 2=8 .答 案 ： B.6.(4分 )菱 形 的 两 条 对 角 线 长 分 别 是 6和 8， 则 此 菱 形 的 边 长 是 ( )A.10B.8C.6 D.5解 析 ： 四 边 形 ABCD是 菱 形 ， AC=
5、8， BD=6， OB=OD=3， OA=OC=4， AC BD，在 Rt AOB中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： AB= = =5，即 菱 形 ABCD的 边 长 AB=BC=CD=AD=5，答 案 ： D. 7.(4分 )如 图 ， 在 2 2 的 正 方 形 网 格 中 有 9 个 格 点 ， 已 经 取 定 点 A 和 B， 在 余 下 的 7 个 点 中任 取 一 点 C， 使 ABC为 直 角 三 角 形 的 概 率 是 ( )A.B.C. D.解 析 ： 如 图 ， C1， C2， C3， C4均 可 与 点 A 和 B 组 成 直 角 三 角 形 .P= ，答 案 ： D.8
6、.(4分 )如 图 ， 梯 形 ABCD中 ， AD BC， B= ACD=90 ， AB=2， DC=3， 则 ABC与 DCA的 面 积 比 为 ( )A.2： 3B.2： 5C.4： 9D. ：解 析 ： AD BC， ACB= DAC 又 B= ACD=90 ， CBA ACD = = ， AB=2， DC=3， = = = ， = ， COS ACB= = ， COS DAC= = = = ， = ， ABC与 DCA的 面 积 比 = ， ABC与 DCA 的 面 积 比 = ，答 案 ： C.9.(4分 )已 知 命 题 “ 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2+bx+1
7、=0， 当 b 0时 必 有 实 数 解 ” ， 能 说 明 这个 命 题 是 假 命 题 的 一 个 反 例 可 以 是 ( )A.b=-1B.b=2C.b=-2D.b=0解 析 ： =b 2-4， 由 于 当 b=-1时 ， 满 足 b 0， 而 0， 方 程 没 有 实 数 解 ， 所 以 当 b=-1时 ，可 说 明 这 个 命 题 是 假 命 题 .答 案 ： A.10.(4分 )如 果 一 个 多 面 体 的 一 个 面 是 多 边 形 ， 其 余 各 面 是 有 一 个 公 共 顶 点 的 三 角 形 ， 那 么这 个 多 面 体 叫 做 棱 锥 .如 图 是 一 个 四 棱 柱
8、 和 一 个 六 棱 锥 ， 它 们 各 有 12 条 棱 .下 列 棱 柱 中 和 九棱 锥 的 棱 数 相 等 的 是 ( ) A.五 棱 柱B.六 棱 柱C.七 棱 柱D.八 棱 柱解 析 ： 九 棱 锥 侧 面 有 9 条 棱 ， 底 面 是 九 边 形 ， 也 有 9条 棱 ， 共 9+9=18 条 棱 ，A、 五 棱 柱 共 15条 棱 ， 故 此 选 项 错 误 ；B、 六 棱 柱 共 18条 棱 ， 故 此 选 项 正 确 ；C、 七 棱 柱 共 21条 棱 ， 故 此 选 项 错 误 ；D、 九 棱 柱 共 27条 棱 ， 故 此 选 项 错 误 ；答 案 ： B.11.(4
9、分 )如 图 ， 正 方 形 ABCD和 正 方 形 CEFG中 ， 点 D 在 CG 上 ， BC=1， CE=3， H 是 AF 的 中 点 ，那 么 CH的 长 是 ( ) A.2.5B.C.D.2解 析 ： 如 图 ， 连 接 AC、 CF， 正 方 形 ABCD 和 正 方 形 CEFG中 ， BC=1， CE=3， AC= ， CF=3 ， ACD= GCF=45 ， ACF=90 ，由 勾 股 定 理 得 ， AF= = =2 ， H 是 AF 的 中 点 ， CH= AF= 2 = .答 案 ： B. 12.(4分 )已 知 点 A(a-2b， 2-4ab)在 抛 物 线 y=
10、x2+4x+10上 ， 则 点 A 关 于 抛 物 线 对 称 轴 的 对 称点 坐 标 为 ( )A.(-3， 7)B.(-1， 7)C.(-4， 10)D.(0， 10)解 析 ： 点 A(a-2b， 2-4ab)在 抛 物 线 y=x2+4x+10上 ， (a-2b)2+4 (a-2b)+10=2-4ab，a 2-4ab+4b2+4a-8b+10=2-4ab， (a+2)2+4(b-1)2=0， a+2=0， b-1=0， 解 得 a=-2， b=1， a-2b=-2-2 1=-4， 2-4ab=2-4 (-2) 1=10， 点 A 的 坐 标 为 (-4， 10)， 对 称 轴 为 直
11、 线 x=- =-2， 点 A 关 于 对 称 轴 的 对 称 点 的 坐 标 为 (0， 10).答 案 ： D.二 、 填 空 题 (每 小 题 4 分 ， 共 24分 )13.(4分 )-4的 绝 对 值 是 .解 析 ： |-4|=4. 14.(4分 )方 程 = 的 根 x= .解 析 ： 去 分 母 得 ： x=-1，经 检 验 x=-1是 分 式 方 程 的 解 . 答 案 ： -1.15.(4分 )某 冷 饮 店 一 天 售 出 各 种 口 味 雪 糕 数 量 的 扇 形 统 计 图 如 图 ， 其 中 售 出 红 豆 口 味 的 雪糕 200支 ， 那 么 售 出 水 果 口
12、 味 雪 糕 的 数 量 是 支 .解 析 ： 观 察 扇 形 统 计 图 知 ： 售 出 红 豆 口 味 的 雪 糕 200支 ， 占 40%， 售 出 雪 糕 总 量 为200 40%=500支 ， 水 果 口 味 的 占 30%， 水 果 口 味 的 有 500 30%=150支 ，答 案 ： 150.16.(4分 )一 个 大 正 方 形 和 四 个 全 等 的 小 正 方 形 按 图 、 两 种 方 式 摆 放 ， 则 图 的 大 正 方形 中 未 被 小 正 方 形 覆 盖 部 分 的 面 积 是 (用 a、 b 的 代 数 式 表 示 ).解 析 ： 设 大 正 方 形 的 边
13、长 为 x 1， 小 正 方 形 的 边 长 为 x2， 由 图 和 列 出 方 程 组 得 ，解 得 ，大 正 方 形 中 未 被 小 正 方 形 覆 盖 部 分 的 面 积 =( )2-4 ( )2=ab.答 案 ： ab.17.(4分 )为 解 决 停 车 难 的 问 题 ， 在 如 图 一 段 长 56米 的 路 段 开 辟 停 车 位 ， 每 个 车 位 是 长 5 米宽 2.2米 的 矩 形 ， 矩 形 的 边 与 路 的 边 缘 成 45 角 ， 那 么 这 个 路 段 最 多 可 以 划 出 个 这 样 的停 车 位 .( 1.4) 解 析 ： 如 图 ， BC=2.2 sin
14、45 =2.2 1.54米 ， CE=5 sin45 =5 3.5米 ， BE=BC+CE 5.04， EF=2.2 sin45 =2.2 3.14 米 ，(56-5.04) 3.14+1=50.96 3.14+1 16+1=17(个 ).故 这 个 路 段 最 多 可 以 划 出 17 个 这 样 的 停 车 位 .答 案 ： 17.18.(4分 )如 图 ， 半 径 为 6cm的 O 中 ， C、 D 为 直 径 AB的 三 等 分 点 ， 点 E、 F 分 别 在 AB 两 侧的 半 圆 上 ， BCE= BDF=60 ， 连 接 AE、 BF， 则 图 中 两 个 阴 影 部 分 的
15、面 积 为 cm 2.解 析 ： 如 图 作 DBF的 轴 对 称 图 形 HAG， 作 AM CG， ON CE， DBF的 轴 对 称 图 形 HAG， ACG BDF， ACG= BDF=60 ， ECB=60 ， G、 C、 E 三 点 共 线 ， AM CG， ON CE， AM ON， = = ，在 RT ONC中 ， OCN=60 ， ON=sin OCN OC= OC， OC= OA=2， ON= ， AM=2 ， ON GE， NE=GN= GE，连 接 OE， 在 RT ONE中 ， NE= = = ， GE=2NE=2 ， S AGE= GE AM= 2 2 =6 ， 图
16、 中 两 个 阴 影 部 分 的 面 积 为 6 ，答 案 ： 6 . 三 、 解 答 题 (本 大 题 有 8 小 题 ， 共 78分 )19.(6分 )(1)化 简 ： (a+b)2+(a-b)(a+b)-2ab；(2)解 不 等 式 ： 5(x-2)-2(x+1) 3.解 析 ： (1)先 运 用 完 全 平 方 公 式 和 平 方 差 公 式 展 开 ， 再 合 并 同 类 项 即 可 ；(2)先 去 括 号 ， 再 移 项 、 合 并 同 类 项 .答 案 ： (1)原 式 =a2+2ab+b2+a2-b2-2ab=2a2；(2)去 括 号 ， 得 5x-10-2x-2 3，移 项
17、、 合 并 同 类 项 得 3x 15，系 数 化 为 1， 得 x 5.20.(8分 )作 为 宁 波 市 政 府 民 生 实 事 之 一 的 公 共 自 行 车 建 设 工 作 已 基 本 完 成 ， 某 部 门 对 今 年 4月 份 中 的 7天 进 行 了 公 共 自 行 车 日 租 车 量 的 统 计 ， 结 果 如 图 ： (1)求 这 7 天 日 租 车 量 的 众 数 、 中 位 数 和 平 均 数 ；(2)用 (1)中 的 平 均 数 估 计 4 月 份 (30天 )共 租 车 多 少 万 车 次 ；(3)市 政 府 在 公 共 自 行 车 建 设 项 目 中 共 投 入 9
18、600万 元 ， 估 计 2014年 共 租 车 3200万 车 次 ， 每车 次 平 均 收 入 租 车 费 0.1元 ， 求 2014 年 租 车 费 收 入 占 总 投 入 的 百 分 率 (精 确 到 0.1%).解 析 ： (1)找 出 租 车 量 中 车 次 最 多 的 即 为 众 数 ， 将 数 据 按 照 从 小 到 大 顺 序 排 列 ， 找 出 中 间 的数 即 为 中 位 数 ， 求 出 数 据 的 平 均 数 即 可 ；(2)由 (1)求 出 的 平 均 数 乘 以 30即 可 得 到 结 果 ；(3)求 出 2014 年 的 租 车 费 ， 除 以 总 投 入 即 可
19、 得 到 结 果 .答 案 ： (1)根 据 条 形 统 计 图 得 ： 出 现 次 数 最 多 的 为 8， 即 众 数 为 8；将 数 据 按 照 从 小 到 大 顺 序 排 列 为 ： 7.5， 8， 8， 8， 9， 9， 10， 中 位 数 为 8；平 均 数 为 (7.5+8+8+8+9+9+10) 7=8.5；(2)根 据 题 意 得 ： 30 8.5=255(万 车 次 )， 则 估 计 4 月 份 (30天 )共 租 车 255万 车 次 ； (3)根 据 题 意 得 ： = 3.3%， 则 2014年 租 车 费 收 入 占 总 投 入 的 百 分 率 为 3.3%.21.
20、(8分 )如 图 ， 从 A地 到 B地 的 公 路 需 经 过 C地 ， 图 中 AC=10千 米 ， CAB=25 ， CBA=37 ，因 城 市 规 划 的 需 要 ， 将 在 A、 B 两 地 之 间 修 建 一 条 笔 直 的 公 路 .(1)求 改 直 的 公 路 AB的 长 ；(2)问 公 路 改 直 后 比 原 来 缩 短 了 多 少 千 米 ？ (sin25 0.42， cos25 0.91， sin37 0.60，tan37 0.75) 解 析 ： (1)作 CH AB于 H.在 Rt ACH中 ， 根 据 三 角 函 数 求 得 CH， AH， 在 Rt BCH中 ， 根
21、 据三 角 函 数 求 得 BH， 再 根 据 AB=AH+BH即 可 求 解 ；(2)在 Rt BCH中 ， 根 据 三 角 函 数 求 得 BC， 再 根 据 AC+BC-AB列 式 计 算 即 可 求 解 .答 案 ： (1)作 CH AB于 H.在 Rt ACH中 ， CH=AC sin CAB=AC sin25 10 0.42=4.2千 米 ，AH=AC cos CAB=AC cos25 10 0.91=9.1千 米 ，在 Rt BCH中 ， BH=CH tan CBA=4.2 tan37 4.2 0.75=5.6千 米 ， AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7 千 米 .故
22、改 直 的 公 路 AB的 长 14.7千 米 ；(2)在 Rt BCH 中 ， BC=CH sin CBA=4.2 sin37 4.2 0.6=7千 米 ，则 AC+BC-AB=10+7-14.7=2.3 千 米 .答 ： 公 路 改 直 后 比 原 来 缩 短 了 2.3千 米 . 22.(10分 )如 图 ， 点 A、 B 分 别 在 x， y 轴 上 ， 点 D在 第 一 象 限 内 ， DC x轴 于 点 C， AO=CD=2，AB=DA= ， 反 比 例 函 数 y= (k 0)的 图 象 过 CD的 中 点 E.(1)求 证 ： AOB DCA；(2)求 k 的 值 ；(3) B
23、FG和 DCA关 于 某 点 成 中 心 对 称 ， 其 中 点 F在 y轴 上 ， 是 判 断 点 G 是 否 在 反 比 例 函 数的 图 象 上 ， 并 说 明 理 由 . 解 析 ： (1)利 用 “ HL” 证 明 AOB DCA；(2)先 利 用 勾 股 定 理 计 算 出 AC=1， 再 确 定 C点 坐 标 ， 然 后 根 据 点 E为 CD的 中 点 可 得 到 点 E的 坐 标 为 (3， 1)， 则 可 根 据 反 比 例 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征 求 得 k=3；(3)根 据 中 心 对 称 的 性 质 得 BFG DCA， 所 以 FG=CA=1，
24、BF=DC=2， BFG= DCA=90 ， 则可 得 到 G 点 坐 标 为 (1， 3)， 然 后 根 据 反 比 例 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征 判 断 G 点 是 否 在 函 数y= 的 图 象 上 .答 案 ： (1)证 明 ： 点 A、 B 分 别 在 x， y 轴 上 ， 点 D 在 第 一 象 限 内 ， DC x 轴 ， AOB= DCA=90 ，在 Rt AOB和 Rt DCA中 ， Rt AOB Rt DCA；(2)在 Rt ACD 中 ， CD=2， AD= ， AC= =1， OC=OA+AC=2+1=3， D 点 坐 标为 (3， 2)， 点 E为
25、CD的 中 点 ， 点 E 的 坐 标 为 (3， 1)， k=3 1=3；(3)点 G 是 否 在 反 比 例 函 数 的 图 象 上 .理 由 如 下 ： BFG和 DCA关 于 某 点 成 中 心 对 称 ， BFG DCA， FG=CA=1， BF=DC=2， BFG= DCA=90 ， 而 OB=AC=1， OF=OB+BF=1+2=3， G 点 坐 标 为 (1，3)， 1 3=3， G(1， 3)在 反 比 例 函 数 y= 的 图 象 上 . 23.(10分 )如 图 ， 已 知 二 次 函 数 y=ax2+bx+c的 图 象 过 A(2， 0)， B(0， -1)和 C(4，
26、 5)三 点 .(1)求 二 次 函 数 的 解 析 式 ；(2)设 二 次 函 数 的 图 象 与 x 轴 的 另 一 个 交 点 为 D， 求 点 D 的 坐 标 ；(3)在 同 一 坐 标 系 中 画 出 直 线 y=x+1， 并 写 出 当 x在 什 么 范 围 内 时 ， 一 次 函 数 的 值 大 于 二 次函 数 的 值 . 解 析 ： (1)根 据 二 次 函 数 y=ax2+bx+c 的 图 象 过 A(2， 0)， B(0， -1)和 C(4， 5)三 点 ， 代 入 得出 关 于 a， b， c的 三 元 一 次 方 程 组 ， 求 得 a， b， c， 从 而 得 出
27、二 次 函 数 的 解 析 式 ；(2)令 y=0， 解 一 元 二 次 方 程 ， 求 得 x 的 值 ， 从 而 得 出 与 x轴 的 另 一 个 交 点 坐 标 ；(3)画 出 图 象 ， 再 根 据 图 象 直 接 得 出 答 案 .答 案 ： (1) 二 次 函 数 y=ax2+bx+c 的 图 象 过 A(2， 0)， B(0， -1)和 C(4， 5)三 点 ， ， a= ， b=- ， c=-1， 二 次 函 数 的 解 析 式 为 y= x 2- x-1； (2)当 y=0 时 ， 得 x2- x-1=0； 解 得 x1=2， x2=-1， 点 D 坐 标 为 (-1， 0)
28、；(3)图 象 如 图 ，当 一 次 函 数 的 值 大 于 二 次 函 数 的 值 时 ， x 的 取 值 范 围 是 -1 x 4. 24.(10分 )用 正 方 形 硬 纸 板 做 三 棱 柱 盒 子 ， 每 个 盒 子 由 3 个 矩 形 侧 面 和 2 个 正 三 角 形 底 面 组成 ， 硬 纸 板 以 如 图 两 种 方 法 裁 剪 (裁 剪 后 边 角 料 不 再 利 用 )A方 法 ： 剪 6 个 侧 面 ； B 方 法 ： 剪 4 个 侧 面 和 5 个 底 面 .现 有 19张 硬 纸 板 ， 裁 剪 时 x 张 用 A 方 法 ， 其 余 用 B 方 法 .(1)用 x
29、 的 代 数 式 分 别 表 示 裁 剪 出 的 侧 面 和 底 面 的 个 数 ；(2)若 裁 剪 出 的 侧 面 和 底 面 恰 好 全 部 用 完 ， 问 能 做 多 少 个 盒 子 ？ 解 析 ： (1)由 x 张 用 A 方 法 ， 就 有 (19-x)张 用 B 方 法 ， 就 可 以 分 别 表 示 出 侧 面 个 数 和 底 面 个数 ；(2)由 侧 面 个 数 和 底 面 个 数 比 为 3： 2 建 立 方 程 求 出 x 的 值 ， 求 出 侧 面 的 总 数 就 可 以 求 出 结 论 .答 案 ： (1) 裁 剪 时 x 张 用 A 方 法 ， 裁 剪 时 (19-x
30、)张 用 B 方 法 . 侧 面 的 个 数 为 ： 6x+4(19-x)=(2x+76)个 ，底 面 的 个 数 为 ： 5(19-x)=(95-5x)个 ；(2)由 题 意 ， 得 ， 解 得 ： x=7， 盒 子 的 个 数 为 ： =30.答 ： 裁 剪 出 的 侧 面 和 底 面 恰 好 全 部 用 完 ， 能 做 30 个 盒 子 .25.(12分 )课 本 的 作 业 题 中 有 这 样 一 道 题 ： 把 一 张 顶 角 为 36 的 等 腰 三 角 形 纸 片 剪 两 刀 ， 分成 3 张 小 纸 片 ， 使 每 张 小 纸 片 都 是 等 腰 三 角 形 ， 你 能 办 到
31、 吗 ？ 请 画 示 意 图 说 明 剪 法 .我 们 有 多 少 种 剪 法 ， 图 1是 其 中 的 一 种 方 法 ： 定 义 ： 如 果 两 条 线 段 将 一 个 三 角 形 分 成 3个 等 腰 三 角 形 ， 我 们 把 这 两 条 线 段 叫 做 这 个 三 角 形的 三 分 线 .(1)请 你 在 图 2 中 用 两 种 不 同 的 方 法 画 出 顶 角 为 45 的 等 腰 三 角 形 的 三 分 线 ， 并 标 注 每 个 等腰 三 角 形 顶 角 的 度 数 ； (若 两 种 方 法 分 得 的 三 角 形 成 3 对 全 等 三 角 形 ， 则 视 为 同 一 种
32、)(2) ABC中 ， B=30 ， AD 和 DE是 ABC的 三 分 线 ， 点 D在 BC边 上 ， 点 E在 AC边 上 ， 且AD=BD， DE=CE， 设 C=x ， 试 画 出 示 意 图 ， 并 求 出 x 所 有 可 能 的 值 ；(3)如 图 3， ABC中 ， AC=2， BC=3， C=2 B， 请 画 出 ABC 的 三 分 线 ， 并 求 出 三 分 线 的 长 .解 析 ： (1)45 自 然 想 到 等 腰 直 角 三 角 形 ， 过 底 角 一 顶 点 作 对 边 的 高 ， 发 现 形 成 一 个 等 腰 直角 三 角 形 和 直 角 三 角 形 .直 角
33、三 角 形 斜 边 的 中 线 可 形 成 两 个 等 腰 三 角 形 ， 则 易 得 一 种 情 况 .第 二 种 情 形 可 以 考 虑 题 例 中 给 出 的 方 法 ， 试 着 同 样 以 一 底 角 作 为 新 等 腰 三 角 形 的 底 角 ， 则 另一 底 脚 被 分 为 45 和 22.5 ， 再 以 22.5 分 别 作 为 等 腰 三 角 形 的 底 角 或 顶 角 ， 易 得 其 中 作为 底 角 时 所 得 的 三 个 三 角 形 恰 都 为 等 腰 三 角 形 .即 又 一 三 分 线 作 法 .(2)用 量 角 器 ， 直 尺 标 准 作 30 角 ， 而 后 确
34、定 一 边 为 BA， 一 边 为 BC， 根 据 题 意 可 以 先 固 定 BA的 长 ， 而 后 可 确 定 D 点 ， 再 标 准 作 图 实 验 -分 别 考 虑 AD为 等 腰 三 角 形 的 腰 或 者 底 边 ， 兼顾 AEC在 同 一 直 线 上 ， 易 得 2种 三 角 形 ABC.根 据 图 形 易 得 x 的 值 .(3)因 为 C=2 B， 作 C 的 角 平 分 线 ， 则 可 得 第 一 个 等 腰 三 角 形 .而 后 借 用 圆 规 ， 以 边 长 画弧 ， 根 据 交 点 ， 寻 找 是 否 存 在 三 分 线 ， 易 得 如 图 4 图 形 为 三 分 线
35、 .则 可 根 据 外 角 等 于 内 角 之和 及 腰 相 等 等 情 况 列 出 等 量 关 系 ， 求 解 方 程 可 知 各 线 的 长 .答 案 ： (1)如 图 2 作 图 ， (2)如 图 3 、 作 ABC. 当 AD=AE时 ， 2x+x=30+30， x=20. 当 AD=DE时 ， 30+30+2x+x=180， x=40.(3)如 图 4， CD、 AE 就 是 所 求 的 三 分 线 .设 B=a， 则 DCB= DCA= EAC=a， ADE= AED=2a， 此 时 AEC BDC， ACD ABC，设 AE=AD=x， BD=CD=y， AEC BDC， x：
36、y=2： 3， ACD ABC， 2： x=(x+y)： 2，所 以 联 立 得 方 程 组 ， 解 得 ，即 三 分 线 长 分 别 是 和 .26.(14分 )木 匠 黄 师 傅 用 长 AB=3， 宽 BC=2 的 矩 形 木 板 做 一 个 尽 可 能 大 的 圆 形 桌 面 ， 他 设 计了 四 种 方 案 ： 方 案 一 ： 直 接 锯 一 个 半 径 最 大 的 圆 ；方 案 二 ： 圆 心 O1、 O2分 别 在 CD、 AB上 ， 半 径 分 别 是 O1C、 O2A， 锯 两 个 外 切 的 半 圆 拼 成 一 个圆 ；方 案 三 ： 沿 对 角 线 AC将 矩 形 锯 成
37、 两 个 三 角 形 ， 适 当 平 移 三 角 形 并 锯 一 个 最 大 的 圆 ；方 案 四 ： 锯 一 块 小 矩 形 BCEF 拼 到 矩 形 AFED下 面 ， 利 用 拼 成 的 木 板 锯 一 个 尽 可 能 大 的 圆 .(1)写 出 方 案 一 中 圆 的 半 径 ；(2)通 过 计 算 说 明 方 案 二 和 方 案 三 中 ， 哪 个 圆 的 半 径 较 大 ？(3)在 方 案 四 中 ， 设 CE=x(0 x 1)， 圆 的 半 径 为 y. 求 y关 于 x 的 函 数 解 析 式 ； 当 x取 何 值 时 圆 的 半 径 最 大 ， 最 大 半 径 为 多 少 ？
38、 并 说 明 四 种 方 案 中 哪 一 个 圆 形 桌 面 的 半 径最 大 . 解 析 ： (1)观 察 图 易 知 ， 截 圆 的 直 径 需 不 超 过 长 方 形 长 、 宽 中 最 短 的 边 ， 由 已 知 长 宽 分 别 为3， 2， 那 么 直 接 取 圆 直 径 最 大 为 2， 则 半 径 最 大 为 1.(2)方 案 二 、 方 案 三 中 求 圆 的 半 径 是 常 规 的 利 用 勾 股 定 理 或 三 角 形 相 似 中 对 应 边 长 成 比 例 等性 质 解 直 角 三 角 形 求 边 长 的 题 目 .一 般 都 先 设 出 所 求 边 长 ， 而 后 利
39、用 关 系 代 入 表 示 其 他 相 关边 长 ， 方 案 二 中 可 利 用 O1O2E为 直 角 三 角 形 ， 则 满 足 勾 股 定 理 整 理 方 程 ， 方 案 三 可 利 用 AOM OFN后 对 应 边 成 比 例 整 理 方 程 ， 进 而 可 求 r的 值 .(3) 类 似 (1)截 圆 的 直 径 需 不 超 过 长 方 形 长 、 宽 中 最 短 的 边 ， 虽 然 方 案 四 中 新 拼 的 图 象 不 一定 为 矩 形 ， 但 直 径 也 不 得 超 过 横 纵 向 方 向 跨 度 .则 选 择 最 小 跨 度 ， 取 其 ， 即 为 半 径 .由 EC为 x，
40、则 新 拼 图 形 水 平 方 向 跨 度 为 3-x， 竖 直 方 向 跨 度 为 2+x， 则 需 要 先 判 断 大 小 ， 而 后 分别 讨 论 结 论 . 已 有 关 系 表 达 式 ， 则 直 接 根 据 不 等 式 性 质 易 得 方 案 四 中 的 最 大 半 径 .另 与 前 三 方 案 比 较 ，即 得 最 终 结 论 . 答 案 ： (1)方 案 一 中 的 最 大 半 径 为 1.分 析 如 下 ： 因 为 长 方 形 的 长 宽 分 别 为 3， 2， 那 么 直 接 取 圆 直 径 最 大 为 2， 则 半 径 最 大 为 1.(2)如 图 1， 方 案 二 中 连
41、 接 O1， O2， 过 O1作 O1E AB于 E，方 案 三 中 ， 过 点 O分 别 作 AB， BF的 垂 线 ， 交 于 M， N， 此 时 M， N 恰 为 O 与 AB， BF的 切 点 . 方 案 二 ：设 半 径 为 r， 在 Rt O1O2E中 ， O1O2=2r， O1E=BC=2， O2E=AB-AO1-CO2=3-2r， (2r)2=22+(3-2r)2， 解 得 r= .方 案 三 ： 设 半 径 为 r， 在 AOM和 OFN中 ， ， AOM OFN， ， ， 解 得 r= .比 较 知 ， 方 案 三 半 径 较 大 .(3)方 案 四 ： EC=x， 新 拼
42、 图 形 水 平 方 向 跨 度 为 3-x， 竖 直 方 向 跨 度 为 2+x.类 似 (1)， 所 截 出 圆 的 直 径 最 大 为 3-x 或 2+x较 小 的 .1.当 3-x 2+x 时 ， 即 当 x 时 ， y= (3-x)；2.当 3-x=2+x时 ， 即 当 x= 时 ， y= (3- )= ；3.当 3-x 2+x 时 ， 即 当 x 时 ， y= (2+x). 当 x 时 ， y= (3-x) (3- )= ；当 x= 时 ， y= (3- )= ；当 x 时 ， y= (2+x) (2+ )= ， 方 案 四 ， 当 x= 时 ， y最 大 为 . 1 ， 方 案 四 时 可 取 的 圆 桌 面 积 最 大 .
