1、2015年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 ( 湖 北 卷 ) 数 学 文一 、 选 择 题 : 本 大 题 10小 题 , 每 小 题 3 分 , 共 50分 , 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 , 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 。1. i 为 虚 数 单 位 , i607=( )A.-iB.iC.1D.-1解 析 : i 607=i606 i=(i2)303 i=(-1)303 i=-i.故 选 : B.2.我 国 古 代 数 学 名 著 九 章 算 术 有 “ 米 谷 粒 分 ” 题 : 粮 仓 开 仓 收 粮 , 有 人 送 来
2、米 1534 石 ,验 得 米 内 夹 谷 , 抽 样 取 米 一 把 , 数 得 254粒 内 夹 谷 28粒 , 则 这 批 米 内 夹 谷 约 为 ( )A.134石B.169石C.338石D.1365石解 析 : 由 题 意 , 这 批 米 内 夹 谷 约 为 石 ,故 选 : B. 3.命 题 “ x0 (0, + ), lnx0=x0-1” 的 否 定 是 ( )A.x0 (0, + ), lnx0 x0-1B.x0(0, + ), lnx0=x0-1C.x (0, + ), lnx x-1D.x(0, + ), lnx=x-1解 析 : 命 题 的 否 定 是 : x (0, +
3、 ), lnx x-1,故 选 : C4.已 知 变 量 x 和 y 满 足 关 系 y=-0.1x+1, 变 量 y与 z正 相 关 , 下 列 结 论 中 正 确 的 是 ( )A.x与 y负 相 关 , x 与 z 负 相 关B.x与 y正 相 关 , x 与 z 正 相 关C.x与 y正 相 关 , x 与 z 负 相 关D.x与 y负 相 关 , x 与 z 正 相 关 解 析 : 因 为 变 量 x 和 y 满 足 关 系 y=-0.1x+1, 一 次 项 系 数 为 -0.1 0, 所 以 x与 y负 相 关 ;变 量 y与 z正 相 关 , 设 , y=kz, (k 0), 所
4、 以 kz=-0.1x+1, 得 到 , 一 次 项 系数 小 于 0, 所 以 z 与 x 负 相 关 ;故 选 : A.5. l1, l2表 示 空 间 中 的 两 条 直 线 , 若 p: l1, l2是 异 面 直 线 , q: l1, l2不 相 交 , 则 ( )A.p是 q的 充 分 条 件 , 但 不 是 q的 必 要 条 件B.p是 q的 必 要 条 件 , 但 不 是 q的 充 分 条 件 C.p是 q的 充 分 必 要 条 件D.p既 不 是 q的 充 分 条 件 , 也 不 是 q的 必 要 条 件解 析 : 若 l1, l2是 异 面 直 线 , 则 l1, l2不
5、相 交 , 即 充 分 性 成 立 ,若 l1, l2不 相 交 , 则 l1, l2可 能 是 平 行 或 异 面 直 线 , 即 必 要 性 不 成 立 ,故 p 是 q 的 充 分 条 件 , 但 不 是 q 的 必 要 条 件 ,故 选 : A.6.函 数 的 定 义 域 为 ( )A.(2, 3)B.(2, 4C.(2, 3) (3, 4 D.(-1, 3) (3, 6解 析 : 要 使 函 数 有 意 义 , 则 ,即 , 解 得 2 x 4 且 x 3,即 函 数 的 定 义 域 为 (2, 3) (3, 4,故 选 : C7.设 x R, 定 义 符 号 函 数 sgnx= ,
6、 则 ( )A.|x|=x|sgnx|B.|x|=xsgn|x|C.|x|=|x|sgnxD.|x|=xsgnx 解 析 : 对 于 选 项 A, 右 边 =x|sgnx|= , 而 左 边 =|x|= , 显 然 不 正 确 ; 对 于 选 项 B, 右 边 =xsgn|x|= , 而 左 边 =|x|= , 显 然 不 正 确 ;对 于 选 项 C, 右 边 =|x|sgnx= , 而 左 边 =|x|= , 显 然 不 正 确 ;对 于 选 项 D, 右 边 =xsgnx= , 而 左 边 =|x|= , 显 然 正 确 ;故 选 : D.8.在 区 间 0, 1上 随 机 取 两 个
7、数 x, y, 记 p 1为 事 件 “ x+y ” 的 概 率 , P2为 事 件 “ xy ”的 概 率 , 则 ( )A.p1 p2B.C.p 2D.解 析 : 由 题 意 , 事 件 “ x+y ” 表 示 的 区 域 如 图 阴 影 三 角 形 , ;满 足 事 件 “ xy ” 的 区 域 如 图 阴 影 部 分 所 以 p2= ;所 以 ;故 选 : B.9.将 离 心 率 为 e1的 双 曲 线 C1的 实 半 轴 长 a和 虚 半 轴 长 b(a b)同 时 增 加 m(m 0)个 单 位 长 度 ,得 到 离 心 率 为 e 2的 双 曲 线 C2, 则 ( )A.对 任
8、意 的 a, b, e1 e2B.当 a b 时 , e1 e2; 当 a b 时 , e1 e2C.对 任 意 的 a, b, e1 e2D.当 a b 时 , e1 e2; 当 a b 时 , e1 e2解 析 : 由 题 意 , 双 曲 线 C1: c2=a2+b2, e1= ;双 曲 线 C 2: c 2=(a+m)2+(b+m)2, e2= , , 当 a b 时 , e1 e2; 当 a b 时 , e1 e2,故 选 : D.10.已 知 集 合 A=(x, y)|x 2+y2 1, x, y Z, B=(x, y)|x| 2, |y| 2, x, y Z, 定义 集 合 A B
9、=(x1+x2, y1+y2)|(x1, y1) A, (x2, y2) B, 则 A B中 元 素 的 个 数 为 ( )A.77B.49C.45D.30解 析 : A=(x, y)|x2+y2 1, x, y Z=(0, 0), (0, 1), (0, -1), (1, 0), (-1, 0), B=(x, y)|x| 2, |y| 2, x, y Z=(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, -1), (0, -2), (1,0), (1, 1), (1, 2)(1, -1), (1, -2)(2, 0), (2, 1), (2, 2)(2, -1), (2, -2), (
10、-1,-2), (-1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (-1, 2), (-2, -2), (-2, -1), (-2, 0), (-2, 1),(-2, 2) A B=(x1+x2, y1+y2)|(x1, y1) A, (x2, y2) B, A B=(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, -1), (0, -2), (1, 0), (1, 1), (1, 2)(1, -1),(1, -2)(2, 0), (2, 1), (2, 2)(2, -1), (2, -2), (-1, -2), (-1, -1), (-1, 0), (-1,1), (-1, 2)
11、, (-2, -2), (-2, -1), (-2, 0), (-2, 1), (-2, 2), (-2, 4), (-2, -3),(-2, -4), (-1, -5), (0, -4), (0, -3), (1, -4), (1, -3), (2, -4), (2, -3), (-2,3), (-1, 3), (-1, -4), (-1, -3), (1, 3), (2, 3)(1, 4), (0, 3), (0, 4)(2, 4)共45个 元 素故 选 : C. 二 、 填 空 题11.已 知 向 量 , , 则 =_.解 析 : 因 为 向 量 , 所 以 =0;又 ,所 以 , 即故
12、 答 案 为 : 9. 12.设 变 量 x, y满 足 约 束 条 件 , 则 3x+y 的 最 大 值 为 _.解 析 : 作 出 不 等 式 对 应 的 平 面 区 域 如 图 , 由 z=3x+y, 得 y=-3x+z,平 移 直 线 y=-3x+z, 由 图 象 可 知 当 直 线 y=-3x+z, 经 过 点 C 时 , 直 线 y=-3x+z的 截 距 最 大 , 此 时 z最 大 .由 得 .即 C(3, 1),此 时 z的 最 大 值 为 z=3 3+1=10,故 答 案 为 : 10.13.函 数 的 零 点 个 数 为 _.解 析 : f(x)=2sinxcosx-x 2
13、=sin2x-x2,由 f(x)=0 得 sin2x=x2,作 出 函 数 y=sin2x和 y=x2的 图 象 如 图 : 由 图 象 可 知 , 两 个 函 数 的 图 象 有 2个 不 同 的 交 点 ,即 函 数 f(x)的 零 点 个 数 为 2 个 ,故 答 案 为 : 214.某 电 子 商 务 公 司 对 10000名 网 络 购 物 者 2014年 度 的 消 费 情 况 进 行 统 计 , 发 现 消 费 金 额 (单位 : 万 元 )都 在 区 间 0.3, 0.9内 , 其 频 率 分 布 直 方 图 如 图 所 示 . (1)直 方 图 中 的 a=_.(2)在 这
14、些 购 物 者 中 , 消 费 金 额 在 区 间 0.5, 0.9内 的 购 物 者 的 人 数 为 _.解 析 : (1)由 题 意 , 根 据 直 方 图 的 性 质 得 (1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2) 0.1=1, 解 得 a=3(2)由 直 方 图 得 (3+2.0+0.8+0.2) 0.1 10000=6000故 答 案 为 : (1)3 (2)6000 15.如 图 , 一 辆 汽 车 在 一 条 水 平 的 公 路 上 向 正 西 行 驶 , 到 A 处 时 测 得 公 路 北 侧 一 山 顶 D 在 西偏 北 30 的 方 向 上 , 行 驶 600m后 到
15、达 B 处 , 测 得 此 山 顶 在 西 偏 北 75 的 方 向 上 , 仰 角 为30 , 则 此 山 的 高 度 CD=_m.解 析 : 设 此 山 高 h(m), 在 BCD中 , 利 用 仰 角 的 正 切 表 示 出 BC, 进 而 在 ABC 中 利 用 正 弦 定理 求 得 h. 答 案 : 设 此 山 高 h(m), 则 BC= h,在 ABC中 , BAC=30 , CBA=105 , BCA=45 , AB=600.根 据 正 弦 定 理 得 ,解 得 h=100 (m)16.如 图 , 已 知 圆 C与 x轴 相 切 于 点 T(1, 0), 与 y 轴 正 半 轴
16、交 于 两 点 A, B(B 在 A 的 上 方 ),且 |AB|=2. (1)圆 C 的 标 准 方 程 为 _.(2)圆 C 在 点 B 处 切 线 在 x 轴 上 的 截 距 为 _.解 析 : (1)确 定 圆 心 与 半 径 , 即 可 求 出 圆 C 的 标 准 方 程 ;(2)求 出 圆 C 在 点 B 处 切 线 方 程 , 令 y=0 可 得 圆 C 在 点 B 处 切 线 在 x 轴 上 的 截 距 .答 案 : (1)由 题 意 , 圆 的 半 径 为 = , 圆 心 坐 标 为 (1, ), 圆 C的 标 准 方 程 为 (x-1)2+(y- )2=2;(2)由 (1)
17、知 , B(0, 1+ ), 圆 C在 点 B 处 切 线 方 程 为 (0-1)(x-1)+(1+ - )(y- )=2,令 y=0可 得 x=-1- .17. a为 实 数 , 函 数 f(x)=|x 2-ax|在 区 间 0, 1上 的 最 大 值 记 为 g(a).当 a=_时 , g(a)的 值 最 小 .解 析 : 通 过 分 a 0、 0 a 2 -2、 a 2 -2三 种 情 况 去 函 数 f(x)表 达 式 中 绝 对 值 符 号 ,利 用 函 数 的 单 调 性 即 得 结 论 . 答 案 : 对 函 数 f(x)=|x2-ax|=|x(x-a)|分 下 面 几 种 情
18、况 讨 论 : 当 a 0 时 , f(x)=x2-ax在 区 间 0, 1上 单 调 递 增 , f(x)max=g(a)=1-1; 当 0 a 2 -2时 , , f(1)=1-a, , f(x) max=g(1)=1-a; 当 2 -2 a 1时 , f(x)max=g(a)= ;综 上 所 述 , g(a)= , g(a)在 (- , 上 单 调 递 减 , 在 , + )上 单 调 递 增 , g(a) min=g( ); 当 1 a 2 时 , g(a)=f( )= ; 当 a 2 时 , g(a)=f(1)=a-1;综 上 , 当 a= 时 , g(a)min=3-2 .三 、
19、解 答 题18.某 同 学 将 “ 五 点 法 ” 画 函 数 f(x)=Asin(wx+ )(w 0, | | )在 某 一 个 时 期 内 的 图 象时 , 列 表 并 填 入 部 分 数 据 , 如 下 表 : (1)请 将 上 述 数 据 补 充 完 整 , 填 写 在 答 题 卡 上 相 应 位 置 , 并 直 接 写 出 函 数 f(x)的 解 析 式 ;(2)将 y=f(x)图 象 上 所 有 点 向 左 平 移 个 单 位 长 度 , 得 到 y=g(x)图 象 , 求 y=g(x)的 图 象 离原 点 O最 近 的 对 称 中 心 .解 析 : (1)由 五 点 作 图 法
20、即 可 将 数 据 补 充 完 整 , 写 出 函 数 的 解 析 式 ;(2)由 函 数 y=Asin( x+ )的 图 象 变 换 可 得 g(x), 解 得 其 对 称 中 心 即 可 得 解 .答 案 : (1)数 据 补 充 完 整 如 下 表 : 函 数 f(x)的 解 析 式 为 : f(x)=5sin(2x- ).(2)将 y=f(x)图 象 上 所 有 点 向 左 平 移 (3)个 单 位 长 度 , 得 到y=g(x)=5sin2(x+ )- =5sin(2x+ ).由 2x+ =k , k Z, 可 解 得 : x= - , k Z,当 k=0时 , 可 得 : x=-
21、.从 而 可 得 离 原 点 O最 近 的 对 称 中 心 为 : (- , 0). 19.设 等 差 数 列 an的 公 差 为 d, 前 n项 和 为 Sn, 等 比 数 列 bn的 公 比 为 q, 已 知 b1=a1, b2=2,q=d, S10=100.(1)求 数 列 an, bn的 通 项 公 式(2)当 d 1时 , 记 cn= , 求 数 列 cn的 前 n 项 和 Tn.解 析 : (1)利 用 前 10项 和 与 首 项 、 公 差 的 关 系 , 联 立 方 程 组 计 算 即 可 ;(2)当 d 1 时 , 由 (1)知 c n= , 写 出 Tn、 Tn的 表 达
22、式 , 利 用 错 位 相 减 法 及 等 比 数 列 的求 和 公 式 , 计 算 即 可 .答 案 : (1)设 a1=a, 由 题 意 可 得 ,解 得 , 或 ,当 时 , a n=2n-1, bn=2n-1;当 时 , an= (2n+79), bn=9 ;(2)当 d 1时 , 由 (1)知 an=2n-1, bn=2n-1, c n= , Tn=1+3 +5 +7 +9 + +(2n-1) , Tn=1 +3 +5 +7 + +(2n-3) +(2n-1) , Tn=2+ + + + + + -(2n-1) =3- , Tn=6- .20. 九 章 算 术 中 , 将 底 面 为
23、 长 方 形 且 有 一 条 侧 棱 与 底 面 垂 直 的 四 棱 锥 称 之 为 阳 马 , 将 四个 面 都 为 直 角 三 角 形 的 四 面 体 称 之 为 鳖 臑 .在 如 图 所 示 的 阳 马 P-ABCD中 , 侧 棱 PD 底 面 ABCD,且 PD=CD, 点 E是 PC的 中 点 , 连 接 DE、 BD、 BE. (1)证 明 : DE 平 面 PBC.试 判 断 四 面 体 EBCD是 否 为 鳖 臑 .若 是 , 写 出 其 每 个 面 的 直 角 (只 需写 出 结 论 ); 若 不 是 , 请 说 明 理 由 ;(2)记 阳 马 P-ABCD 的 体 积 为
24、V1, 四 面 体 EBCD的 体 积 为 V2, 求 的 值 .解 析 : (1)证 明 BC 平 面 PCD, DE 平 面 PBC, 可 知 四 面 体 EBCD的 四 个 面 都 是 直 角 三 角 形 ,即 可 得 出 结 论 ;(2)由 已 知 , PD是 阳 马 P-ABCD 的 高 , 所 以 V 1= .由 (1)知 , DE 是 鳖臑 D-BCE的 高 , BC CE, 所 以 V2= .即 可 求 的 值 .答 案 : (1)证 明 : 因 为 PD 底 面 ABCD, 所 以 PD BC,因 为 ABCD 为 正 方 形 , 所 以 BC CD,因 为 PD CD=D,
25、所 以 BC 平 面 PCD,因 为 DE平 面 PCD,所 以 BC DE,因 为 PD=CD, 点 E 是 PC 的 中 点 ,所 以 DE PC,因 为 PC BC=C, 所 以 DE 平 面 PBC,由 BC 平 面 PCD, DE 平 面 PBC, 可 知 四 面 体 EBCD的 四 个 面 都 是 直 角 三 角 形 ,即 四 面 体 EBCD 是 一 个 鳖 臑 , 其 四 个 面 的 直 角 分 别 是 BCD, BCE, DEC, DEB; (2)由 已 知 , PD是 阳 马 P-ABCD的 高 , 所 以 V1= .由 (1)知 , DE是 鳖 臑 D-BCE 的 高 ,
26、 BC CE,所 以 V2= .因 为 PD=CD, 点 E 是 PC 的 中 点 ,所 以 DE=CE= CD,所 以21.设 函 数 f(x), g(x)的 定 义 域 均 为 R, 且 f(x)是 奇 函 数 , g(x)是 偶 函 数 , f(x)+g(x)=e x,其 中 e为 自 然 对 数 的 底 数 .(1)求 f(x), g(x)的 解 析 式 , 并 证 明 : 当 x 0 时 , f(x) 0, g(x) 1;(2)设 a 0, b 1, 证 明 : 当 x 0时 , ag(x)+(1-a) bg(x)+(1-b).解 析 : (1)运 用 奇 、 偶 函 数 的 定 义
27、 , 由 函 数 方 程 的 思 想 可 得 f(x)、 g(x)的 解 析 式 , 再 由 指 数函 数 的 单 调 性 和 基 本 不 等 式 , 即 可 证 得 f(x) 0, g(x) 1;(2)当 x 0时 , ag(x)+1-af(x) axg(x)+(1-a)x, bg(x)+1-bf(x) bxg(x)+(1-b)x, 设 函 数 h(x)=f(x)-cxg(x)-(1-c)x, 通 过 导 数 判 断 单 调 性 , 即 可 得 证 .答 案 : (1)f(x)是 奇 函 数 , g(x)是 偶 函 数 , 即 有 f(-x)=-f(x), g(-x)=g(x),f(x)+g
28、(x)=ex, f(-x)+g(-x)=e-x,即 为 -f(x)+g(x)=e-x,解 得 f(x)= (ex-e-x), g(x)= (ex+e-x),则 当 x 0 时 , ex 1, 0 e-x 1, f(x) 0;g(x)= (e x+e-x) =1,则 有 当 x 0 时 , f(x) 0, g(x) 1;(2)证 明 : f (x)= (ex+e-x)=g(x),g (x)= (ex-e-x)=f(x),当 x 0 时 , ag(x)+1-af(x) axg(x)+(1-a)x, bg(x)+1-bf(x) bxg(x)+(1-b)x,设 函 数 h(x)=f(x)-cxg(x)
29、-(1-c)x, h (x)=f (x)-c(g(x)+xg (x)-(1-c)=g(x)-cg(x)-cxf(x)-(1-c)=(1-c)(g(x)-1)-cxf(x), 若 c 0 则 h (x) 0, 故 h(x)在 (0, + )递 增 , h(x) h(0)=0, (x 0),即 有 f(x) cxg(x)+(1-c)x, 故 ag(x)+1-a 成 立 ; 若 c 1 则 h (x) 0, 故 h(x)在 (0, + )递 减 , h(x) h(0)=0, (x 0),即 有 f(x) cxg(x)+(1-c)x, 故 bg(x)+1-b 成 立 .综 上 可 得 , 当 x 0
30、时 , a g(x)+(1-a) b g(x)+(1-b).22.一 种 画 椭 圆 的 工 具 如 图 1 所 示 .O是 滑 槽 AB 的 中 点 , 短 杆 ON可 绕 O 转 动 , 长 杆 MN通 过 N处 铰 链 与 ON连 接 , MN上 的 栓 子 D可 沿 滑 槽 AB 滑 动 , 且 DN=ON=1, MN=3, 当 栓 子 D 在 滑 槽 AB内 作 往 复 运 动 时 , 带 动 N 绕 O 转 动 , M处 的 笔 尖 画 出 的 椭 圆 记 为 C, 以 O 为 原 点 , AB 所 在的 直 线 为 x轴 建 立 如 图 2所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系
31、.(1)求 椭 圆 C 的 方 程 ;(2)设 动 直 线 l 与 两 定 直 线 l 1: x-2y=0和 l2: x+2y=0分 别 交 于 P, Q 两 点 .若 直 线 l 总 与 椭 圆C有 且 只 有 一 个 公 共 点 , 试 探 究 : OPQ的 面 积 是 否 存 在 最 小 值 ? 若 存 在 , 求 出 该 最 小 值 ;若 不 存 在 , 说 明 理 由 .解 析 : (1)根 据 条 件 求 出 a, b即 可 求 椭 圆 C的 方 程 ;(2)联 立 直 线 方 程 和 椭 圆 方 程 , 求 出 原 点 到 直 线 的 距 离 , 结 合 三 角 形 的 面 积
32、公 式 进 行 求 解 即可 .答 案 : (1) |OM| |MN|+|NO|=3+1=4, 当 M, N 在 x 轴 上 时 , 等 号 成 立 ,同 理 |OM| |MN|-|NO|=3-1=2, 当 D, O重 合 , 即 MN x 轴 时 , 等 号 成 立 . 椭 圆 C 的 中 心 为 原 点 O, 长 半 轴 长 为 4, 短 半 轴 长 为 2,其 方 程 为 . (2) 当 直 线 l 的 斜 率 k 不 存 在 时 , 直 线 l 为 : x=4或 x=-4, 都 有 S OPQ= , 直 线 l 的 斜 率 k 存 在 时 , 直 线 l为 : y=kx+m, (k )
33、,由 消 去 y, 可 得 (1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0, 直 线 l 总 与 椭 圆 C有 且 只 有 一 个 公 共 点 , =64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0, 即 m2=16k2+4, ,由 , 可 得 , 同 理 得 ,原 点 O到 直 线 PQ的 距 离 和 |PQ|= |x P-xQ| ,可 得 S OPQ= |PQ|d= |m|xP-xQ|= ,将 代 入 得 S OPQ= ,当 k2 时 , S OPQ= ,当 0 k2 时 , S OPQ= , 0 k 2 时 , 0 1-4k2 1, , S OPQ= , 当 且 仅 当 k=0时 取 等 号 , 当 k=0时 , S OPQ的 最 小 值 为 8,综 上 可 知 当 直 线 l与 椭 圆 C在 四 个 顶 点 处 相 切 时 , 三 角 形 OPQ的 面 积 存 在 最 小 值 为 8.