1、2015年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 湖 北 卷 ） 数 学 文一 、 选 择 题 ： 本 大 题 10小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 50分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 。1. i 为 虚 数 单 位 ， i607=( )A.-iB.iC.1D.-1解 析 ： i 607=i606 i=(i2)303 i=(-1)303 i=-i.故 选 ： B.2.我 国 古 代 数 学 名 著 九 章 算 术 有 “ 米 谷 粒 分 ” 题 ： 粮 仓 开 仓 收 粮 ， 有 人 送 来
2、米 1534 石 ，验 得 米 内 夹 谷 ， 抽 样 取 米 一 把 ， 数 得 254粒 内 夹 谷 28粒 ， 则 这 批 米 内 夹 谷 约 为 ( )A.134石B.169石C.338石D.1365石解 析 ： 由 题 意 ， 这 批 米 内 夹 谷 约 为 石 ，故 选 ： B. 3.命 题 “ x0 (0， + )， lnx0=x0-1” 的 否 定 是 ( )A.x0 (0， + )， lnx0 x0-1B.x0(0， + )， lnx0=x0-1C.x (0， + )， lnx x-1D.x(0， + )， lnx=x-1解 析 ： 命 题 的 否 定 是 ： x (0， +
3、 )， lnx x-1，故 选 ： C4.已 知 变 量 x 和 y 满 足 关 系 y=-0.1x+1， 变 量 y与 z正 相 关 ， 下 列 结 论 中 正 确 的 是 ( )A.x与 y负 相 关 ， x 与 z 负 相 关B.x与 y正 相 关 ， x 与 z 正 相 关C.x与 y正 相 关 ， x 与 z 负 相 关D.x与 y负 相 关 ， x 与 z 正 相 关 解 析 ： 因 为 变 量 x 和 y 满 足 关 系 y=-0.1x+1， 一 次 项 系 数 为 -0.1 0， 所 以 x与 y负 相 关 ；变 量 y与 z正 相 关 ， 设 ， y=kz， (k 0)， 所
4、 以 kz=-0.1x+1， 得 到 ， 一 次 项 系数 小 于 0， 所 以 z 与 x 负 相 关 ；故 选 ： A.5. l1， l2表 示 空 间 中 的 两 条 直 线 ， 若 p： l1， l2是 异 面 直 线 ， q： l1， l2不 相 交 ， 则 ( )A.p是 q的 充 分 条 件 ， 但 不 是 q的 必 要 条 件B.p是 q的 必 要 条 件 ， 但 不 是 q的 充 分 条 件 C.p是 q的 充 分 必 要 条 件D.p既 不 是 q的 充 分 条 件 ， 也 不 是 q的 必 要 条 件解 析 ： 若 l1， l2是 异 面 直 线 ， 则 l1， l2不
5、相 交 ， 即 充 分 性 成 立 ，若 l1， l2不 相 交 ， 则 l1， l2可 能 是 平 行 或 异 面 直 线 ， 即 必 要 性 不 成 立 ，故 p 是 q 的 充 分 条 件 ， 但 不 是 q 的 必 要 条 件 ，故 选 ： A.6.函 数 的 定 义 域 为 ( )A.(2， 3)B.(2， 4C.(2， 3) (3， 4 D.(-1， 3) (3， 6解 析 ： 要 使 函 数 有 意 义 ， 则 ，即 ， 解 得 2 x 4 且 x 3，即 函 数 的 定 义 域 为 (2， 3) (3， 4，故 选 ： C7.设 x R， 定 义 符 号 函 数 sgnx= ，
6、 则 ( )A.|x|=x|sgnx|B.|x|=xsgn|x|C.|x|=|x|sgnxD.|x|=xsgnx 解 析 ： 对 于 选 项 A， 右 边 =x|sgnx|= ， 而 左 边 =|x|= ， 显 然 不 正 确 ； 对 于 选 项 B， 右 边 =xsgn|x|= ， 而 左 边 =|x|= ， 显 然 不 正 确 ；对 于 选 项 C， 右 边 =|x|sgnx= ， 而 左 边 =|x|= ， 显 然 不 正 确 ；对 于 选 项 D， 右 边 =xsgnx= ， 而 左 边 =|x|= ， 显 然 正 确 ；故 选 ： D.8.在 区 间 0， 1上 随 机 取 两 个
7、数 x， y， 记 p 1为 事 件 “ x+y ” 的 概 率 ， P2为 事 件 “ xy ”的 概 率 ， 则 ( )A.p1 p2B.C.p 2D.解 析 ： 由 题 意 ， 事 件 “ x+y ” 表 示 的 区 域 如 图 阴 影 三 角 形 ， ；满 足 事 件 “ xy ” 的 区 域 如 图 阴 影 部 分 所 以 p2= ；所 以 ；故 选 ： B.9.将 离 心 率 为 e1的 双 曲 线 C1的 实 半 轴 长 a和 虚 半 轴 长 b(a b)同 时 增 加 m(m 0)个 单 位 长 度 ，得 到 离 心 率 为 e 2的 双 曲 线 C2， 则 ( )A.对 任
8、意 的 a， b， e1 e2B.当 a b 时 ， e1 e2； 当 a b 时 ， e1 e2C.对 任 意 的 a， b， e1 e2D.当 a b 时 ， e1 e2； 当 a b 时 ， e1 e2解 析 ： 由 题 意 ， 双 曲 线 C1： c2=a2+b2， e1= ；双 曲 线 C 2： c 2=(a+m)2+(b+m)2， e2= ， ， 当 a b 时 ， e1 e2； 当 a b 时 ， e1 e2，故 选 ： D.10.已 知 集 合 A=(x， y)|x 2+y2 1， x， y Z， B=(x， y)|x| 2， |y| 2， x， y Z， 定义 集 合 A B
9、=(x1+x2， y1+y2)|(x1， y1) A， (x2， y2) B， 则 A B中 元 素 的 个 数 为 ( )A.77B.49C.45D.30解 析 ： A=(x， y)|x2+y2 1， x， y Z=(0， 0)， (0， 1)， (0， -1)， (1， 0)， (-1， 0)， B=(x， y)|x| 2， |y| 2， x， y Z=(0， 0)， (0， 1)， (0， 2)， (0， -1)， (0， -2)， (1，0)， (1， 1)， (1， 2)(1， -1)， (1， -2)(2， 0)， (2， 1)， (2， 2)(2， -1)， (2， -2)， (
10、-1，-2)， (-1， -1)， (-1， 0)， (-1， 1)， (-1， 2)， (-2， -2)， (-2， -1)， (-2， 0)， (-2， 1)，(-2， 2) A B=(x1+x2， y1+y2)|(x1， y1) A， (x2， y2) B， A B=(0， 0)， (0， 1)， (0， 2)， (0， -1)， (0， -2)， (1， 0)， (1， 1)， (1， 2)(1， -1)，(1， -2)(2， 0)， (2， 1)， (2， 2)(2， -1)， (2， -2)， (-1， -2)， (-1， -1)， (-1， 0)， (-1，1)， (-1， 2)
11、， (-2， -2)， (-2， -1)， (-2， 0)， (-2， 1)， (-2， 2)， (-2， 4)， (-2， -3)，(-2， -4)， (-1， -5)， (0， -4)， (0， -3)， (1， -4)， (1， -3)， (2， -4)， (2， -3)， (-2，3)， (-1， 3)， (-1， -4)， (-1， -3)， (1， 3)， (2， 3)(1， 4)， (0， 3)， (0， 4)(2， 4)共45个 元 素故 选 ： C. 二 、 填 空 题11.已 知 向 量 ， ， 则 =_.解 析 ： 因 为 向 量 ， 所 以 =0；又 ，所 以 ， 即故
12、 答 案 为 ： 9. 12.设 变 量 x， y满 足 约 束 条 件 ， 则 3x+y 的 最 大 值 为 _.解 析 ： 作 出 不 等 式 对 应 的 平 面 区 域 如 图 ， 由 z=3x+y， 得 y=-3x+z，平 移 直 线 y=-3x+z， 由 图 象 可 知 当 直 线 y=-3x+z， 经 过 点 C 时 ， 直 线 y=-3x+z的 截 距 最 大 ， 此 时 z最 大 .由 得 .即 C(3， 1)，此 时 z的 最 大 值 为 z=3 3+1=10，故 答 案 为 ： 10.13.函 数 的 零 点 个 数 为 _.解 析 ： f(x)=2sinxcosx-x 2
13、=sin2x-x2，由 f(x)=0 得 sin2x=x2，作 出 函 数 y=sin2x和 y=x2的 图 象 如 图 ： 由 图 象 可 知 ， 两 个 函 数 的 图 象 有 2个 不 同 的 交 点 ，即 函 数 f(x)的 零 点 个 数 为 2 个 ，故 答 案 为 ： 214.某 电 子 商 务 公 司 对 10000名 网 络 购 物 者 2014年 度 的 消 费 情 况 进 行 统 计 ， 发 现 消 费 金 额 (单位 ： 万 元 )都 在 区 间 0.3， 0.9内 ， 其 频 率 分 布 直 方 图 如 图 所 示 . (1)直 方 图 中 的 a=_.(2)在 这
14、些 购 物 者 中 ， 消 费 金 额 在 区 间 0.5， 0.9内 的 购 物 者 的 人 数 为 _.解 析 ： (1)由 题 意 ， 根 据 直 方 图 的 性 质 得 (1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2) 0.1=1， 解 得 a=3(2)由 直 方 图 得 (3+2.0+0.8+0.2) 0.1 10000=6000故 答 案 为 ： (1)3 (2)6000 15.如 图 ， 一 辆 汽 车 在 一 条 水 平 的 公 路 上 向 正 西 行 驶 ， 到 A 处 时 测 得 公 路 北 侧 一 山 顶 D 在 西偏 北 30 的 方 向 上 ， 行 驶 600m后 到
15、达 B 处 ， 测 得 此 山 顶 在 西 偏 北 75 的 方 向 上 ， 仰 角 为30 ， 则 此 山 的 高 度 CD=_m.解 析 ： 设 此 山 高 h(m)， 在 BCD中 ， 利 用 仰 角 的 正 切 表 示 出 BC， 进 而 在 ABC 中 利 用 正 弦 定理 求 得 h. 答 案 ： 设 此 山 高 h(m)， 则 BC= h，在 ABC中 ， BAC=30 ， CBA=105 ， BCA=45 ， AB=600.根 据 正 弦 定 理 得 ，解 得 h=100 (m)16.如 图 ， 已 知 圆 C与 x轴 相 切 于 点 T(1， 0)， 与 y 轴 正 半 轴
16、交 于 两 点 A， B(B 在 A 的 上 方 )，且 |AB|=2. (1)圆 C 的 标 准 方 程 为 _.(2)圆 C 在 点 B 处 切 线 在 x 轴 上 的 截 距 为 _.解 析 ： (1)确 定 圆 心 与 半 径 ， 即 可 求 出 圆 C 的 标 准 方 程 ；(2)求 出 圆 C 在 点 B 处 切 线 方 程 ， 令 y=0 可 得 圆 C 在 点 B 处 切 线 在 x 轴 上 的 截 距 .答 案 ： (1)由 题 意 ， 圆 的 半 径 为 = ， 圆 心 坐 标 为 (1， )， 圆 C的 标 准 方 程 为 (x-1)2+(y- )2=2；(2)由 (1)
17、知 ， B(0， 1+ )， 圆 C在 点 B 处 切 线 方 程 为 (0-1)(x-1)+(1+ - )(y- )=2，令 y=0可 得 x=-1- .17. a为 实 数 ， 函 数 f(x)=|x 2-ax|在 区 间 0， 1上 的 最 大 值 记 为 g(a).当 a=_时 ， g(a)的 值 最 小 .解 析 ： 通 过 分 a 0、 0 a 2 -2、 a 2 -2三 种 情 况 去 函 数 f(x)表 达 式 中 绝 对 值 符 号 ，利 用 函 数 的 单 调 性 即 得 结 论 . 答 案 ： 对 函 数 f(x)=|x2-ax|=|x(x-a)|分 下 面 几 种 情
18、况 讨 论 ： 当 a 0 时 ， f(x)=x2-ax在 区 间 0， 1上 单 调 递 增 ， f(x)max=g(a)=1-1； 当 0 a 2 -2时 ， ， f(1)=1-a， ， f(x) max=g(1)=1-a； 当 2 -2 a 1时 ， f(x)max=g(a)= ；综 上 所 述 ， g(a)= ， g(a)在 (- ， 上 单 调 递 减 ， 在 ， + )上 单 调 递 增 ， g(a) min=g( )； 当 1 a 2 时 ， g(a)=f( )= ； 当 a 2 时 ， g(a)=f(1)=a-1；综 上 ， 当 a= 时 ， g(a)min=3-2 .三 、
19、解 答 题18.某 同 学 将 “ 五 点 法 ” 画 函 数 f(x)=Asin(wx+ )(w 0， | | )在 某 一 个 时 期 内 的 图 象时 ， 列 表 并 填 入 部 分 数 据 ， 如 下 表 ： (1)请 将 上 述 数 据 补 充 完 整 ， 填 写 在 答 题 卡 上 相 应 位 置 ， 并 直 接 写 出 函 数 f(x)的 解 析 式 ；(2)将 y=f(x)图 象 上 所 有 点 向 左 平 移 个 单 位 长 度 ， 得 到 y=g(x)图 象 ， 求 y=g(x)的 图 象 离原 点 O最 近 的 对 称 中 心 .解 析 ： (1)由 五 点 作 图 法
20、即 可 将 数 据 补 充 完 整 ， 写 出 函 数 的 解 析 式 ；(2)由 函 数 y=Asin( x+ )的 图 象 变 换 可 得 g(x)， 解 得 其 对 称 中 心 即 可 得 解 .答 案 ： (1)数 据 补 充 完 整 如 下 表 ： 函 数 f(x)的 解 析 式 为 ： f(x)=5sin(2x- ).(2)将 y=f(x)图 象 上 所 有 点 向 左 平 移 (3)个 单 位 长 度 ， 得 到y=g(x)=5sin2(x+ )- =5sin(2x+ ).由 2x+ =k ， k Z， 可 解 得 ： x= - ， k Z，当 k=0时 ， 可 得 ： x=-
21、.从 而 可 得 离 原 点 O最 近 的 对 称 中 心 为 ： (- ， 0). 19.设 等 差 数 列 an的 公 差 为 d， 前 n项 和 为 Sn， 等 比 数 列 bn的 公 比 为 q， 已 知 b1=a1， b2=2，q=d， S10=100.(1)求 数 列 an， bn的 通 项 公 式(2)当 d 1时 ， 记 cn= ， 求 数 列 cn的 前 n 项 和 Tn.解 析 ： (1)利 用 前 10项 和 与 首 项 、 公 差 的 关 系 ， 联 立 方 程 组 计 算 即 可 ；(2)当 d 1 时 ， 由 (1)知 c n= ， 写 出 Tn、 Tn的 表 达
22、式 ， 利 用 错 位 相 减 法 及 等 比 数 列 的求 和 公 式 ， 计 算 即 可 .答 案 ： (1)设 a1=a， 由 题 意 可 得 ，解 得 ， 或 ，当 时 ， a n=2n-1， bn=2n-1；当 时 ， an= (2n+79)， bn=9 ；(2)当 d 1时 ， 由 (1)知 an=2n-1， bn=2n-1， c n= ， Tn=1+3 +5 +7 +9 + +(2n-1) ， Tn=1 +3 +5 +7 + +(2n-3) +(2n-1) ， Tn=2+ + + + + + -(2n-1) =3- ， Tn=6- .20. 九 章 算 术 中 ， 将 底 面 为
23、 长 方 形 且 有 一 条 侧 棱 与 底 面 垂 直 的 四 棱 锥 称 之 为 阳 马 ， 将 四个 面 都 为 直 角 三 角 形 的 四 面 体 称 之 为 鳖 臑 .在 如 图 所 示 的 阳 马 P-ABCD中 ， 侧 棱 PD 底 面 ABCD，且 PD=CD， 点 E是 PC的 中 点 ， 连 接 DE、 BD、 BE. (1)证 明 ： DE 平 面 PBC.试 判 断 四 面 体 EBCD是 否 为 鳖 臑 .若 是 ， 写 出 其 每 个 面 的 直 角 (只 需写 出 结 论 )； 若 不 是 ， 请 说 明 理 由 ；(2)记 阳 马 P-ABCD 的 体 积 为
24、V1， 四 面 体 EBCD的 体 积 为 V2， 求 的 值 .解 析 ： (1)证 明 BC 平 面 PCD， DE 平 面 PBC， 可 知 四 面 体 EBCD的 四 个 面 都 是 直 角 三 角 形 ，即 可 得 出 结 论 ；(2)由 已 知 ， PD是 阳 马 P-ABCD 的 高 ， 所 以 V 1= .由 (1)知 ， DE 是 鳖臑 D-BCE的 高 ， BC CE， 所 以 V2= .即 可 求 的 值 .答 案 ： (1)证 明 ： 因 为 PD 底 面 ABCD， 所 以 PD BC，因 为 ABCD 为 正 方 形 ， 所 以 BC CD，因 为 PD CD=D，
25、所 以 BC 平 面 PCD，因 为 DE平 面 PCD，所 以 BC DE，因 为 PD=CD， 点 E 是 PC 的 中 点 ，所 以 DE PC，因 为 PC BC=C， 所 以 DE 平 面 PBC，由 BC 平 面 PCD， DE 平 面 PBC， 可 知 四 面 体 EBCD的 四 个 面 都 是 直 角 三 角 形 ，即 四 面 体 EBCD 是 一 个 鳖 臑 ， 其 四 个 面 的 直 角 分 别 是 BCD， BCE， DEC， DEB； (2)由 已 知 ， PD是 阳 马 P-ABCD的 高 ， 所 以 V1= .由 (1)知 ， DE是 鳖 臑 D-BCE 的 高 ，
26、 BC CE，所 以 V2= .因 为 PD=CD， 点 E 是 PC 的 中 点 ，所 以 DE=CE= CD，所 以21.设 函 数 f(x)， g(x)的 定 义 域 均 为 R， 且 f(x)是 奇 函 数 ， g(x)是 偶 函 数 ， f(x)+g(x)=e x，其 中 e为 自 然 对 数 的 底 数 .(1)求 f(x)， g(x)的 解 析 式 ， 并 证 明 ： 当 x 0 时 ， f(x) 0， g(x) 1；(2)设 a 0， b 1， 证 明 ： 当 x 0时 ， ag(x)+(1-a) bg(x)+(1-b).解 析 ： (1)运 用 奇 、 偶 函 数 的 定 义
27、 ， 由 函 数 方 程 的 思 想 可 得 f(x)、 g(x)的 解 析 式 ， 再 由 指 数函 数 的 单 调 性 和 基 本 不 等 式 ， 即 可 证 得 f(x) 0， g(x) 1；(2)当 x 0时 ， ag(x)+1-af(x) axg(x)+(1-a)x， bg(x)+1-bf(x) bxg(x)+(1-b)x， 设 函 数 h(x)=f(x)-cxg(x)-(1-c)x， 通 过 导 数 判 断 单 调 性 ， 即 可 得 证 .答 案 ： (1)f(x)是 奇 函 数 ， g(x)是 偶 函 数 ， 即 有 f(-x)=-f(x)， g(-x)=g(x)，f(x)+g
28、(x)=ex， f(-x)+g(-x)=e-x，即 为 -f(x)+g(x)=e-x，解 得 f(x)= (ex-e-x)， g(x)= (ex+e-x)，则 当 x 0 时 ， ex 1， 0 e-x 1， f(x) 0；g(x)= (e x+e-x) =1，则 有 当 x 0 时 ， f(x) 0， g(x) 1；(2)证 明 ： f (x)= (ex+e-x)=g(x)，g (x)= (ex-e-x)=f(x)，当 x 0 时 ， ag(x)+1-af(x) axg(x)+(1-a)x， bg(x)+1-bf(x) bxg(x)+(1-b)x，设 函 数 h(x)=f(x)-cxg(x)
29、-(1-c)x， h (x)=f (x)-c(g(x)+xg (x)-(1-c)=g(x)-cg(x)-cxf(x)-(1-c)=(1-c)(g(x)-1)-cxf(x)， 若 c 0 则 h (x) 0， 故 h(x)在 (0， + )递 增 ， h(x) h(0)=0， (x 0)，即 有 f(x) cxg(x)+(1-c)x， 故 ag(x)+1-a 成 立 ； 若 c 1 则 h (x) 0， 故 h(x)在 (0， + )递 减 ， h(x) h(0)=0， (x 0)，即 有 f(x) cxg(x)+(1-c)x， 故 bg(x)+1-b 成 立 .综 上 可 得 ， 当 x 0
30、时 ， a g(x)+(1-a) b g(x)+(1-b).22.一 种 画 椭 圆 的 工 具 如 图 1 所 示 .O是 滑 槽 AB 的 中 点 ， 短 杆 ON可 绕 O 转 动 ， 长 杆 MN通 过 N处 铰 链 与 ON连 接 ， MN上 的 栓 子 D可 沿 滑 槽 AB 滑 动 ， 且 DN=ON=1， MN=3， 当 栓 子 D 在 滑 槽 AB内 作 往 复 运 动 时 ， 带 动 N 绕 O 转 动 ， M处 的 笔 尖 画 出 的 椭 圆 记 为 C， 以 O 为 原 点 ， AB 所 在的 直 线 为 x轴 建 立 如 图 2所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系
31、.(1)求 椭 圆 C 的 方 程 ；(2)设 动 直 线 l 与 两 定 直 线 l 1： x-2y=0和 l2： x+2y=0分 别 交 于 P， Q 两 点 .若 直 线 l 总 与 椭 圆C有 且 只 有 一 个 公 共 点 ， 试 探 究 ： OPQ的 面 积 是 否 存 在 最 小 值 ？ 若 存 在 ， 求 出 该 最 小 值 ；若 不 存 在 ， 说 明 理 由 .解 析 ： (1)根 据 条 件 求 出 a， b即 可 求 椭 圆 C的 方 程 ；(2)联 立 直 线 方 程 和 椭 圆 方 程 ， 求 出 原 点 到 直 线 的 距 离 ， 结 合 三 角 形 的 面 积
32、公 式 进 行 求 解 即可 .答 案 ： (1) |OM| |MN|+|NO|=3+1=4， 当 M， N 在 x 轴 上 时 ， 等 号 成 立 ，同 理 |OM| |MN|-|NO|=3-1=2， 当 D， O重 合 ， 即 MN x 轴 时 ， 等 号 成 立 . 椭 圆 C 的 中 心 为 原 点 O， 长 半 轴 长 为 4， 短 半 轴 长 为 2，其 方 程 为 . (2) 当 直 线 l 的 斜 率 k 不 存 在 时 ， 直 线 l 为 ： x=4或 x=-4， 都 有 S OPQ= ， 直 线 l 的 斜 率 k 存 在 时 ， 直 线 l为 ： y=kx+m， (k )
33、，由 消 去 y， 可 得 (1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0， 直 线 l 总 与 椭 圆 C有 且 只 有 一 个 公 共 点 ， =64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0， 即 m2=16k2+4， ，由 ， 可 得 ， 同 理 得 ，原 点 O到 直 线 PQ的 距 离 和 |PQ|= |x P-xQ| ，可 得 S OPQ= |PQ|d= |m|xP-xQ|= ，将 代 入 得 S OPQ= ，当 k2 时 ， S OPQ= ，当 0 k2 时 ， S OPQ= ， 0 k 2 时 ， 0 1-4k2 1， ， S OPQ= ， 当 且 仅 当 k=0时 取 等 号 ， 当 k=0时 ， S OPQ的 最 小 值 为 8，综 上 可 知 当 直 线 l与 椭 圆 C在 四 个 顶 点 处 相 切 时 ， 三 角 形 OPQ的 面 积 存 在 最 小 值 为 8.
