1、2014年 湖 南 省 岳 阳 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 8 道 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 24分 )1.(3分 )实 数 2的 倒 数 是 ( )A.-B.C.2D.解 析 ： 2 =1， 实 数 2 的 倒 数 是 . 答 案 ： D.2.(3分 )下 列 计 算 正 确 的 是 ( )A.2a+5a=7aB.2x-x=1C.3+a=3aD.x2 x3=x6解 析 ： A、 符 合 合 并 同 类 项 法 则 ， 故 本 选 项 正 确 ；B、 2x-x=x 1， 故 本 选 项 错 误 ；C、 3 和 a 不 是 同 类 项 ， 故 本
2、 选 项 错 误 ；D、 x 2 x3 x6=x5， 故 本 选 项 错 误 .答 案 ： A.3.(3分 )下 列 几 何 体 中 ， 主 视 图 是 三 角 形 的 是 ( )A.B. C.D.解 析 ： A、 主 视 图 为 圆 ， 答 案 ： 项 错 误 ； B、 主 视 图 为 正 方 形 ， 答 案 ： 项 错 误 ；C、 主 视 图 为 三 角 形 ， 答 案 ： 项 正 确 ；D、 主 视 图 为 长 方 形 ， 答 案 ： 项 错 误 .答 案 ： C.4.(3分 )2014 年 “ 五 一 ” 小 长 假 ， 岳 阳 楼 、 君 山 岛 景 区 接 待 游 客 约 1200
3、00 人 次 ， 将 120000用 科 学 记 数 法 表 示 为 ( )A.12 10 4B.1.2 105C.1.2 106D.12万解 析 ： 120 000=1.2 105.答 案 ： B.5.(3分 )不 等 式 组 的 解 集 是 ( )A.x 2B.x 1C.1 x 2 D.无 解解 析 ： 根 据 同 大 取 较 大 的 原 则 ， 不 等 式 组 的 解 集 为 x 2，答 案 ： A.6.(3分 )已 知 扇 形 的 圆 心 角 为 60 ， 半 径 为 1， 则 扇 形 的 弧 长 为 ( )A.B.C.D. 解 析 ： 弧 长 是 ： = .答 案 ： D.7.(3分
4、 )下 列 因 式 分 解 正 确 的 是 ( )A.x2-y2=(x-y)2B.a2+a+1=(a+1)2C.xy-x=x(y-1)D.2x+y=2(x+y)解 析 ： A、 x 2-y2=(x+y)(x-y)， 故 此 选 项 错 误 ；B、 a2+a+1 无 法 因 式 分 解 ， 故 此 选 项 错 误 ；C、 xy-x=x(y-1)， 正 确 ；D、 2x+y无 法 因 式 分 解 ， 故 此 选 项 错 误 ； 答 案 ： C.8.(3分 )如 图 ， 已 知 点 A 是 直 线 y=x与 反 比 例 函 数 y= (k 0， x 0)的 交 点 ， B 是 y= 图 象上 的 另
5、 一 点 ， BC x轴 ， 交 y轴 于 点 C.动 点 P 从 坐 标 原 点 O 出 发 ， 沿 O A B C(图 中 “ ”所 示 路 线 )匀 速 运 动 ， 终 点 为 C， 过 点 P作 PM x轴 ， PN y 轴 ， 垂 足 分 别 为 M， N.设 四 边 形OMPN的 面 积 为 S， P点 运 动 时 间 为 t， 则 S 关 于 t 的 函 数 图 象 大 致 为 ( ) A.B.C. D.解 析 ： 设 点 P 的 运 动 速 度 为 v， 由 于 点 A在 直 线 y=x上 ， 故 点 P在 OA上 时 ， 四 边 形 OMPN为 正 方 形 ，四 边 形 OM
6、PN的 面 积 S= (vt)2， 点 P在 反 比 例 函 数 图 象 AB 时 ， 由 反 比 例 函 数 系 数 几 何 意 义 ， 四 边 形 OMPN的 面 积 S=k； 点 P在 BC段 时 ， 设 点 P 运 动 到 点 C 的 总 路 程 为 a， 则 四 边 形 OMPN的 面 积= OC (a-vt)=- t+ ，纵 观 各 选 项 ， 只 有 B选 项 图 形 符 合 .答 案 ： B. 二 、 填 空 题 (本 大 题 8 道 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 满 分 32分 )9.(4分 )计 算 ： - = .解 析 ： - =-3.答 案 ： -3.10.(4分
7、 )方 程 x2-3x+2=0的 根 是 .解 析 ： 因 式 分 解 得 ， (x-1)(x-2)=0， 解 得 x1=1， x2=2.答 案 ： 1或 211.(4分 )体 育 测 试 中 ， 某 班 某 一 小 组 1分 钟 跳 绳 成 绩 如 下 ： 176， 176， 168， 150， 190， 185，180(单 位 ： 个 )， 则 这 组 数 据 的 中 位 数 是 .解 析 ： 先 对 这 组 数 据 按 从 小 到 大 的 顺 序 重 新 排 序 ： 150， 168， 176， 176， 180， 185， 190.位 于 最 中 间 的 数 是 176， 所 以 这
8、组 数 据 的 中 位 数 是 176. 答 案 ： 176.12.(4分 )从 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9这 九 个 自 然 数 中 ， 任 取 一 个 数 是 奇 数 的 概 率 是 .解 析 ： 从 1 到 9 这 九 个 自 然 数 中 一 共 有 5个 奇 数 ， 任 取 一 个 ， 是 奇 数 的 概 率 是 ： ，答 案 ： .13.(4分 )如 图 ， 在 ABC中 ， 点 E， F 分 别 是 AB， AC的 中 点 且 EF=1， 则 BC= . 解 析 ： ABC中 ， E、 F分 别 是 AB、 AC的 中 点 ， EF=1， EF是 ABC的
9、中 位 线 ， BC=2EF=2 1=2，答 案 ： 2.14.(4分 )如 图 ， 若 AB CD EF， B=40 ， F=30 ， 则 BCF= .解 析 ： 如 图 ， AB CD EF， B= 1， F= 2.又 B=40 ， F=30 ， BCF= 1+ 2=70 . 答 案 ： 70 .15.(4分 )观 察 下 列 一 组 数 ： 、 1、 、 、 ， 它 们 是 按 一 定 规 律 排 列 的 那 么 这 组 数的 第 n个 数 是 .(n为 正 整 数 )解 析 ： 第 一 个 数 = ；第 一 个 数 1= ；第 三 个 数 = ；第 四 个 数 = ； 第 五 个 数
10、= ； ， 第 n个 数 为 ： .答 案 ： .16.(4分 )如 图 ， AB 是 O的 直 径 ， P 为 AB 延 长 线 上 的 一 个 动 点 ， 过 点 P 作 O 的 切 线 ， 切点 为 C， 连 接 AC， BC， 作 APC的 平 分 线 交 AC 于 点 D.下 列 结 论 正 确 的 是 (写 出 所 有 正 确 结 论 的 序 号 ) CPD DPA； 若 A=30 ， 则 PC= BC； 若 CPA=30 ， 则 PB=OB； 无 论 点 P在 AB延 长 线 上 的 位 置 如 何 变 化 ， CDP为 定 值 .解 析 ： 只 有 一 组 对 应 边 相 等
11、， 所 以 错 误 ； 根 据 切 线 的 性 质 可 得 PCB= A=30 ， 在 直 角 三 角 形 ABC中 ABC=60 得 出 OB=BC， BPC=30 ， 解 直 角 三 角 形 可 得 PB= OC= BC； 根 据 切 线 的 性 质 和 三 角 形 的 外 角 的 性 质 即 可 求 得 A= PCB=30 ， ABC=60 ， 进 而 求 得PB=BC=OB； 连 接 OC， 根 据 题 意 ， 可 知 OC PC， CPD+ DPA+ A+ ACO=90 ， 可 推 出 DPA+ A=45 ，即 CDP=45 .答 案 ： CPD= DPA， CDP= DAP+ DP
12、A DAP PDA， CPD DPA错 误 ； 连 接 OC， AB 是 直 径 ， A=30 ABC=60 ， OB=OC=BC， PC 是 切 线 ， PCB= A=30 ， OGP=90 ， APC=30 ， 在 RT POC中 ， cot APC=cot30 = = ， PC= BC， 正 确 ； ABC= APC+ PCB， PCB= A， ABC= APC+ A， ABC+ A=90 ， APC+2 A=90 ， APC=30 ， A= PCB=30 ， PB=BC， ABC=60 ， OB=BC=OC， PB=OB； 正 确 ； 如 图 ， 连 接 OC， OC=OA， PD平
13、分 APC， CPD= DPA， A= ACO， PC 为 O的 切 线 ， OC PC， CPO+ COP=90 ， ( CPD+ DPA)+( A+ ACO)=90 ， DPA+ A=45 ， 即 CDP=45 ； 正 确 ；答 案 ： ；三 、 解 答 题 (本 大 题 共 8 道 小 题 ， 满 分 64分 )17.(6分 )计 算 ： |- |+ +3 -1-22.解 析 ： 原 式 第 一 项 利 用 绝 对 值 的 代 数 意 义 化 简 ， 第 二 项 利 用 二 次 根 式 的 乘 法 法 则 计 算 ， 第 三项 利 用 负 指 数 幂 法 则 计 算 ， 最 后 一 项
14、利 用 乘 方 的 意 义 化 简 ， 计 算 即 可 得 到 结 果 .答 案 ： 原 式 = +4+ -4=1.18.(6分 )解 分 式 方 程 ： = .解 析 ： 分 式 方 程 去 分 母 转 化 为 整 式 方 程 ， 求 出 整 式 方 程 的 解 得 到 x 的 值 ， 经 检 验 即 可 得 到 分式 方 程 的 解 .答 案 ： 去 分 母 得 ： 5x=3x-6， 解 得 ： x=-3， 经 检 验 x=-3是 分 式 方 程 的 解 . 19.(8分 )在 一 次 蜡 烛 燃 烧 实 验 中 ， 蜡 烛 燃 烧 时 剩 余 部 分 的 高 度 y(cm)与 燃 烧 时
15、 间 x(h)之 间为 一 次 函 数 关 系 .根 据 图 象 提 供 的 信 息 ， 解 答 下 列 问 题 ： (1)求 出 蜡 烛 燃 烧 时 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 ；(2)求 蜡 烛 从 点 燃 到 燃 尽 所 用 的 时 间 .解 析 ： (1)根 据 图 象 知 ， 该 函 数 是 一 次 函 数 ， 且 该 函 数 图 象 经 过 点 (0， 24)， (2， 12).所 以 利用 待 定 系 数 法 进 行 解 答 即 可 ；(2)由 (1)中 的 函 数 解 析 式 ， 令 y=0， 求 得 x的 值 即 可 .答 案 ： (1)由 于 蜡 烛 燃 烧
16、 时 剩 余 部 分 的 高 度 y(cm)与 燃 烧 时 间 x(h)之 间 为 一 次 函 数 关 系 .故 设 y与 x之 间 的 函 数 关 系 式 为 y=kx+b(k 0).由 图 示 知 ， 该 函 数 图 象 经 过 点 (0， 24)， (2， 12)， 则 ， 解 得 .故 函 数 表 达 式 是 y=-6x+24.(2)当 y=0 时 ， -6x+24=0解 得 x=4， 即 蜡 烛 从 点 燃 到 燃 尽 所 用 的 时 间 是 4 小 时 .20.(8分 )某 项 球 类 比 赛 ， 每 场 比 赛 必 须 分 出 胜 负 ， 其 中 胜 1场 得 2分 ， 负 1
17、场 得 1 分 .某 队 在 全 部 16 场 比 赛 中 得 到 25 分 ， 求 这 个 队 胜 、 负 场 数 分 别 是 多 少 ？解 析 ： 设 该 队 胜 x 场 ， 负 y 场 ， 就 有 x+y=16， 2x+y=25两 个 方 程 ， 由 两 个 方 程 建 立 方 程 组 求出 其 解 就 可 以 了 .答 案 ： 设 该 队 胜 x 场 ， 负 y 场 ， 则 解 得 .答 ： 这 个 队 胜 9 场 ， 负 7 场 .21.(8分 )为 了 响 应 岳 阳 市 政 府 “ 低 碳 出 行 、 绿 色 出 行 ” 的 号 召 ， 某 中 学 数 学 兴 趣 小 组 在 全
18、校 2000名 学 生 中 就 上 学 方 式 随 机 抽 取 了 400名 学 生 进 行 抽 样 调 查 ， 经 统 计 整 理 绘 制 出 图 a、图 b 两 幅 不 完 整 的 统 计 图 ： A： 步 行 ； B： 骑 自 行 车 ； C： 乘 公 共 交 通 工 具 ； D： 乘 私 家 车 ； E： 其 他 .请 根 据 统 计 图 提 供 的 信 息 解 答 下 列 问 题 ：(1)图 a 中 “ B” 所 在 扇 形 的 圆 心 角 为 ；(2)请 在 图 b 中 把 条 形 统 计 图 补 充 完 整 ；(3)请 根 据 样 本 数 据 估 计 全 校 骑 自 行 车 上
19、学 的 学 生 人 数 . 解 析 ： (1)先 求 出 “ B” 所 在 扇 形 的 百 分 比 ， 再 乘 360 就 是 “ B” 所 在 扇 形 的 圆 心 角 .(2)先 求 出 C 的 学 生 数 ， 再 绘 图 .(3)用 全 校 人 数 乘 骑 自 行 车 上 学 的 学 生 人 数 的 百 分 比 即 可 .答 案 ： (1)图 a 中 “ B” 所 在 扇 形 的 百 分 比 为 ： 1-45%-10%-5%-15%=25%，图 a 中 “ B” 所 在 扇 形 的 圆 心 角 为 ： 25% 360 =90 .故 答 案 为 ： 90 .(2)C的 学 生 数 为 ： 4
20、00 45%=180(人 ) (3)根 据 样 本 数 据 估 计 全 校 骑 自 行 车 上 学 的 学 生 人 数 为 ： 2000 25%=500(人 ).22.(8分 )如 图 ， 矩 形 ABCD为 台 球 桌 面 ， AD=260cm， AB=130cm， 球 目 前 在 E 点 位 置 ， AE=60cm.如 果 小 丁 瞄 准 BC边 上 的 点 F 将 球 打 过 去 ， 经 过 反 弹 后 ， 球 刚 好 弹 到 D 点 位 置 .(1)求 证 ： BEF CDF；(2)求 CF 的 长 .解 析 ： (1)利 用 “ 两 角 法 ” 证 得 这 两 个 三 角 形 相 似
21、 ； (2)由 (1)中 相 似 三 角 形 的 对 应 边 成 比 例 来 求 线 段 CF的 长 度 .答 案 ： (1)如 图 ， 在 矩 形 ABCD中 ，由 对 称 性 可 得 出 ： DFC= EFB， EBF= FCD=90 ， BEF CDF；(2) 由 (1)知 ， BEF CDF. = ， 即 = ， 解 得 ： CF=169.即 ： CF的 长 度 是 169cm.点 评 ： 本 题 考 查 了 相 似 三 角 形 的 应 用 .此 题 利 用 了 “ 相 似 三 角 形 的 对 应 边 成 比 例 ” 推 知 所 23.(10分 )数 学 活 动 -求 重 叠 部 分
22、的 面 积 (1)问 题 情 境 ： 如 图 ， 将 顶 角 为 120 的 等 腰 三 角 形 纸 片 (纸 片 足 够 大 )的 顶 点 P与 等 边 ABC的 内 心 O 重 合 ， 已 知 OA=2， 则 图 中 重 叠 部 分 PAB的 面 积 为 .(2)探 究 1： 在 (1)的 条 件 下 ， 将 纸 片 绕 P点 旋 转 至 如 图 所 示 位 置 ， 纸 片 两 边 分 别 与 AC， AB交 于 点 E， F， 图 中 重 叠 部 分 的 面 积 与 图 重 叠 部 分 的 面 积 是 否 相 等 ？ 如 果 相 等 ， 请 给 予证 明 ； 如 果 不 相 等 ， 请
23、说 明 理 由 .(3)探 究 2： 如 图 ， 若 CAB= (0 90 )， AD为 CAB 的 角 平 分 线 ， 点 P 在 射 线 AD上 ， 且 AP=2， 以 P 为 顶 点 的 等 腰 三 角 形 纸 片 (纸 片 足 够 大 )与 CAB的 两 边 AC， AB分 别 交 于点 E、 F， EPF=180 - ， 求 重 叠 部 分 的 面 积 .(用 或 的 三 角 函 数 值 表 示 )解 析 ： (1)由 点 O 是 等 边 三 角 形 ABC 的 内 心 可 以 得 到 OAB= OBA=30 ， 结 合 条 件 OA=2 即 可求 出 重 叠 部 分 的 面 积 .
24、(2)由 旋 转 可 得 FOE= BOA， 从 而 得 到 EOA= FOB， 进 而 可 以 证 到 EOA FOB， 因 而 重叠 部 分 面 积 不 变 . (3)在 射 线 AB 上 取 一 点 G， 使 得 PG=PA， 过 点 P作 PH AF， 垂 足 为 H， 方 法 同 (2)， 可 以 证 到重 叠 部 分 的 面 积 等 于 PAG的 面 积 ， 只 需 求 出 PAG的 面 积 就 可 解 决 问 题 .答 案 ： (1)过 点 O 作 ON AB， 垂 足 为 N， 如 图 ， ABC为 等 边 三 角 形 ， CAB= CBA=60 . 点 O为 ABC的 内 心
25、 ， OAB= CAB， OBA= CBA. OAB= OBA=30 . OB=OA=2. ON AB， AN=NB， PN=1. AN= AB=2AN=2 . S OAB= AB PN= .故 答 案 为 ： .(2)图 中 重 叠 部 分 的 面 积 与 图 重 叠 部 分 的 面 积 相 等 .证 明 ： 连 接 AO、 BO， 如 图 ， 由 旋 转 可 得 ： EOF= AOB， 则 EOA= FOB.在 EOA和 FOB中 ， EOA FOB. S 四 边 形 AEOF=S OAB. 图 中 重 叠 部 分 的 面 积 与 图 重 叠 部 分 的 面 积 相 等 .(3)在 射 线
26、 AB 上 取 一 点 G， 使 得 PG=PA， 过 点 P 作 PH AF， 垂 足 为 H， 如 图 ， 则 有 AH=GH= AG. CAB= ， AD为 CAB的 角 平 分 线 ， PAE= PAF= CAB= . PG=PA， PGA= PAG= . APG=180 - . EPF=180 - ， EPF= APG.同 理 可 得 ： S 四 边 形 AEPF=S PAG. AP=2， PH=2sin ， AH=2cos . AG=2AH=4cos . S PAG= AG PH=4sin cos . 重 叠 部 分 得 面 积 为 ： S 面 积 =4sin cos .24.(1
27、0分 )如 图 ， 抛 物 线 经 过 点 A(1， 0)， B(5， 0)， C(0， )三 点 ， 设 点 E(x， y)是 抛 物线 上 一 动 点 ， 且 在 x轴 下 方 ， 四 边 形 OEBF 是 以 OB 为 对 角 线 的 平 行 四 边 形 . (1)求 抛 物 线 的 解 析 式 ；(2)当 点 E(x， y)运 动 时 ， 试 求 平 行 四 边 形 OEBF的 面 积 S 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 ， 并 求 出 面积 S 的 最 大 值 ？(3)是 否 存 在 这 样 的 点 E， 使 平 行 四 边 形 OEBF为 正 方 形 ？ 若 存 在 ， 求
28、 E点 ， F 点 的 坐 标 ； 若不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)由 抛 物 线 经 过 点 A(1， 0)， B(5， 0)， C(0， )三 点 ， 利 用 待 定 系 数 法 求 二 次 函数 的 解 析 式 ；(2)由 点 E(x， y)是 抛 物 线 上 一 动 点 ， 且 位 于 第 四 象 限 ， 可 得 y 0， 即 -y 0， -y表 示 点 E到 OA 的 距 离 ， 又 由 S=2S OBE=2 OB |y|， 即 可 求 得 平 行 四 边 形 OEAF 的 面 积 S 与 x 之 间的 函 数 关 系 式 ， 结 合 图 象 ， 求 得 自
29、 变 量 x 的 取 值 范 围 ；(3)由 当 OB EF， 且 OB=EF时 ， 平 行 四 边 形 OEBF是 正 方 形 ， 可 得 此 时 点 E坐 标 只 能 (2.5，-2.5)， 而 坐 标 为 (2.5， -2.5)点 在 抛 物 线 上 ， 故 可 判 定 存 在 点 E， 使 平 行 四 边 形 OEBF为 正方 形 .答 案 ： (1)设 所 求 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=ax2+bx+c， 抛 物 线 经 过 点 A(1， 0)， B(5， 0)， C(0， )三 点 ，则 由 题 意 可 得 ： ， 解 得 . 所 求 抛 物 线 的 解 析 式 为 ：
30、y= x 2-4x+ .(2) 点 E(x， y)是 抛 物 线 上 一 动 点 ， 且 在 x轴 下 方 ， y 0，即 -y 0， -y表 示 点 E 到 OA 的 距 离 . OB 是 平 行 四 边 形 OEBF的 对 角 线 ， S=2S OBE=2 OB |y|=-5y=-5( x2-4x+ )=- x2+20 x- ， S=- (x-3)2+ ， S 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 为 ： S=- x2+20 x- (1 x 5)， S的 最 大 值 为 .(3) 当 OB EF， 且 OB=EF 时 ， 平 行 四 边 形 OEBF是 正 方 形 ， 此 时 点 E坐 标 只 能 ( ， - )， 而 坐 标 为 ( ， - )点 在 抛 物 线 上 ， 存 在 点 E( ， - )， 使 平 行 四 边 形 OEBF为 正 方 形 ， 此 时 点 F 坐 标 为 ( ， ).
