1、2014年 山 东 省 潍 坊 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题1.(3分 ) 的 立 方 根 是 ( )A.-1B.0C.1D. 1解 析 ： 的 立 方 根 是 1，答 案 ： C. 2.(3分 )下 列 标 志 中 不 是 中 心 对 称 图 形 的 是 ( )A.B. C.D.解 析 ： A、 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 不 合 题 意 ；B、 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 不 合 题 意 ；C、 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 是 轴 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 符 合 题 意 ；D、 是 中 心 对 称 图 形 ， 故
2、此 选 项 不 合 题 意 ；答 案 ： C. 3.(3分 )下 列 实 数 中 是 无 理 数 的 是 ( )A.B.2-2 C.5.D.sin45解 析 ： A、 B、 C、 是 有 理 数 ； D、 是 无 限 不 循 环 小 数 ， 是 无 理 数 ；答 案 ： D.4.(3分 )一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 ， 则 该 几 何 体 是 ( ) A.B.C.D.解 析 ： 由 三 视 图 可 知 ， 该 组 合 体 的 上 部 分 为 圆 台 ， 下 部 分 为 圆 柱 ，答 案 ： D. 5.(3分 )若 代 数 式 有 意 义 ， 则 实 数 x 的 取 值 范 围
3、是 ( )A.x -1B.x -1 且 x 3C.x -1D.x -1 且 x 3解 析 ： 由 题 意 得 ， x+1 0且 x-3 0， 解 得 x -1且 x 3.答 案 ： B.6.(3分 )如 图 ， ABCD的 顶 点 A、 B、 D在 O上 ， 顶 点 C在 O的 直 径 BE上 ， 连 接 AE， E=36 ，则 ADC的 度 数 是 ( ) A.44B.54C.72D.53解 析 ： BE是 直 径 ， BAE=90 ， 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， E=36 ， BEA= DAE=36 ， BAD=126 ， ADC=54 .答 案 ： B.7.(3分
4、)若 不 等 式 组 无 解 ， 则 实 数 a的 取 值 范 围 是 ( )A.a -1B.a -1 C.a 1D.a -1解 析 ： ， 由 得 ， x -a， 由 得 ， x 1， 不 等 式 组 无 解 ， -a 1， 解 得 a -1.答 案 ： D.8.(3分 )如 图 ， 已 知 矩 形 ABCD的 长 AB为 5， 宽 BC 为 4， E 是 BC 边 上 的 一 个 动 点 ， AE EF，EF交 CD于 点 F.设 BE=x， FC=y， 则 点 E从 点 B 运 动 到 点 C时 ， 能 表 示 y关 于 x 的 函 数 关 系的 大 致 图 象 是 ( ) A.B.C.
5、 D.解 析 ： BC=4， BE=x， CE=4-x. AE EF， AEB+ CEF=90 ， CEF+ CFE=90 ， AEB= CFE.又 B= C=90 ， Rt AEB Rt EFC， ， 即 ，整 理 得 ： y= (4x-x 2)=- (x-2)2+ ， y与 x的 函 数 关 系 式 为 ： y=- (x-2)2+ (0 x 4).由 关 系 式 可 知 ， 函 数 图 象 为 一 段 抛 物 线 ， 开 口 向 下 ， 顶 点 坐 标 为 (2， )， 对 称 轴 为 直 线 x=2.答 案 ： A.9.(3分 )等 腰 三 角 形 一 条 边 的 边 长 为 3， 它
6、的 另 两 条 边 的 边 长 是 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程x 2-12x+k=0的 两 个 根 ， 则 k 的 值 是 ( )A.27B.36C.27或 36D.18解 析 ： 分 两 种 情 况 ： 当 其 他 两 条 边 中 有 一 个 为 3时 ， 将 x=3代 入 原 方 程 ， 得 32-12 3+k=0， k=27.将 k=27代 入 原 方 程 ， 得 x 2-12x+27=0， 解 得 x=3或 9.3， 3， 9 不 能 够 组 成 三 角 形 ， 不 符 合 题 意 舍 去 ； 当 3为 底 时 ， 则 其 他 两 条 边 相 等 ， 即 =0， 此 时 1
7、44-4k=0， k=36.将 k=36代 入 原 方 程 ， 得 x2-12x+36=0， 解 得 x=6.3， 6， 6 能 够 组 成 三 角 形 ， 符 合 题 意 .故 k 的 值 为 36.答 案 ： B.10.(3分 )如 图 是 某 市 7 月 1 日 至 10日 的 空 气 质 量 指 数 趋 势 图 ， 空 气 质 量 指 数 小 于 100 表 示空 气 质 量 优 良 ， 空 气 质 量 指 数 大 于 200 表 示 空 气 重 度 污 染 ， 某 人 随 机 选 择 7月 1日 至 7月 8日 中 的 某 一 天 到 达 该 市 ， 并 连 续 停 留 3 天 ，
8、则 此 人 在 该 市 停 留 期 间 有 且 仅 有 1 天 空 气 质 量 优良 的 概 率 是 ( ) A.B.C.D.解 析 ： 由 图 可 知 ， 当 1号 到 达 时 ， 停 留 的 日 子 为 1、 2、 3号 ， 此 时 为 (86， 25， 57)， 3 天空 气 质 量 均 为 优 ；当 2 号 到 达 时 ， 停 留 的 日 子 为 2、 3、 4号 ， 此 时 为 (25， 57， 143)， 2 天 空 气 质 量 为 优 ；当 3 号 到 达 时 ， 停 留 的 日 子 为 3、 4、 5号 ， 此 时 为 (57， 143， 220)， 1天 空 气 质 量 为
9、优 ；当 4 号 到 达 时 ， 停 留 的 日 子 为 4、 5、 6号 ， 此 时 为 (143， 220， 160)， 空 气 质 量 为 污 染 ； 当 5 号 到 达 时 ， 停 留 的 日 子 为 5、 6、 7号 ， 此 时 为 (220， 160， 40)， 1天 空 气 质 量 为 优 ；当 6 号 到 达 时 ， 停 留 的 日 子 为 6、 7、 8号 ， 此 时 为 (160， 40， 217)， 1天 空 气 质 量 为 优 ； 此 人 在 该 市 停 留 期 间 有 且 仅 有 1天 空 气 质 量 优 良 的 概 率 = = .答 案 ： C.11.(3分 )已
10、知 一 次 函 数 y 1=kx+b(k 0)与 反 比 例 函 数 y2= (m 0)的 图 象 相 交 于 A、 B 两 点 ，其 横 坐 标 分 别 是 -1 和 3， 当 y1 y2时 ， 实 数 x 的 取 值 范 围 是 ( )A.x -1 或 0 x 3B.-1 x 0 或 0 x 3C.-1 x 0 或 x 3D.x x 3解 析 ： 如 图 ： 直 线 在 双 曲 线 上 方 的 部 分 ， 故 答 案 为 ： x -1或 0 x 3，答 案 ： A. 12.(3分 )如 图 ， 已 知 正 方 形 ABCD， 顶 点 A(1， 3)、 B(1， 1)、 C(3， 1).规
11、定 “ 把 正 方 形 ABCD先 沿 x轴 翻 折 ， 再 向 左 平 移 1个 单 位 ” 为 一 次 变 换 ， 如 此 这 样 ， 连 续 经 过 2014 次 变 换 后 ，正 方 形 ABCD的 对 角 线 交 点 M 的 坐 标 变 为 ( ) A.(-2012， 2)B.(-2012， -2)C.(-2013， -2)D.(-2013， 2)解 析 ： 正 方 形 ABCD， 顶 点 A(1， 3)、 B(1， 1)、 C(3， 1). 对 角 线 交 点 M的 坐 标 为 (2， 2)，根 据 题 意 得 ： 第 1 次 变 换 后 的 点 M的 对 应 点 的 坐 标 为
12、(2-1， -2)， 即 (1， -2)，第 2 次 变 换 后 的 点 M的 对 应 点 的 坐 标 为 ： (2-2， 2)， 即 (0， 2)，第 3 次 变 换 后 的 点 B的 对 应 点 的 坐 标 为 (2-3， -2)， 即 (-1， -2)，第 n 次 变 换 后 的 点 B的 对 应 点 的 为 ： 当 n为 奇 数 时 为 (2-n， -2)， 当 n为 偶 数 时 为 (2-n， 2)， 连 续 经 过 2014次 变 换 后 ， 正 方 形 ABCD的 对 角 线 交 点 M的 坐 标 变 为 (-2012， 2).答 案 ： A. 二 、 填 空 题13.(3分 )
13、分 解 因 式 ： 2x(x-3)-8= .解 析 ： 2x(x-3)-8=2x2-6x-8=2(x2-3x-4)=2(x-4)(x+1).答 案 ： 2(x-4)(x+1).14.(3分 )计 算 ： 82014 (-0.125)2015= .解 析 ： 原 式 =82014 (-0.125)2014 (-0.125)=(-8 0.125)2014 (-0.125)=-0.125，答 案 ： -0.125.15.(3分 )如 图 ， 两 个 半 径 均 为 的 O 1与 O2相 交 于 A、 B 两 点 ， 且 每 个 圆 都 经 过 另 一 个圆 的 圆 心 ， 则 图 中 阴 影 部 分
14、 的 面 积 为 .(结 果 保 留 )解 析 ： 连 接 O 1O2， 过 点 O1作 O1C AO2于 点 C，由 题 意 可 得 ： AO 1=O1O2=AO2= ， AO1O2是 等 边 三 角 形 ， CO1=O1O2sin60 = ， S = = ，= = ， = -S = - ， 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 ： 4( - )=2 -3 .答 案 ： 2 -3 .16.(3分 )已 知 一 组 数 据 -3， x， -2， 3， 1， 6 的 中 位 数 为 1， 则 其 方 差 为 .解 析 ： 数 据 -3， x， -2， 3， 1， 6的 中 位 数 为 1， =
15、1， 解 得 x=1， 数 据 的 平 均 数 = (-3-2+1+1+3+6)=1， 方 差 = (-3-1)2+(-2-1)2+(1-1)2+(1-1)2+(3-1)2+(6-1)2=9.答 案 ： 9.17.(3分 )如 图 ， 某 水 平 地 面 上 建 筑 物 的 高 度 为 AB， 在 点 D 和 点 F 处 分 别 竖 立 高 是 2 米 的 标杆 CD 和 EF， 两 标 杆 相 隔 50 米 ， 并 且 建 筑 物 AB、 标 杆 CD和 EF在 同 一 竖 直 平 面 内 ， 从 标 杆CD后 退 2 米 到 点 G 处 ， 在 G 处 测 得 建 筑 物 顶 端 A和 标
16、 杆 顶 端 C在 同 一 条 直 线 上 ； 从 标 杆 FE后 退 4米 到 点 H处 ， 在 H 处 测 得 建 筑 物 顶 端 A和 标 杆 顶 端 E在 同 一 条 直 线 上 ， 则 建 筑 物 的 高是 米 . 解 析 ： AB BH， CD BH， EF BH， AB CD EF， CDG ABG， EFH ABH， = ， = ， CD=DG=EF=2m， DF=50m， FH=4m， = ， = ， = ， 解 得 BD=50m， = ， 解 得 AB=52m.答 案 ： 52. 18.(3分 )我 国 古 代 有 这 样 一 道 数 学 问 题 ： “ 枯 木 一 根 直
17、 立 地 上 ， 高 二 丈 ， 周 三 尺 ， 有 葛 藤自 根 缠 绕 而 上 ， 五 周 而 达 其 顶 ， 问 葛 藤 之 长 几 何 ？ ” 题 意 是 ： 如 图 所 示 ， 把 枯 木 看 作 一 个 圆柱 体 ， 因 一 丈 是 十 尺 ， 则 该 圆 柱 的 高 为 20尺 ， 底 面 周 长 为 3尺 ， 有 葛 藤 自 点 A 处 缠 绕 而 上 ，绕 五 周 后 其 末 端 恰 好 到 达 点 B处 ， 则 问 题 中 葛 藤 的 最 短 长 度 是 尺 .解 析 ： 如 图 ， 一 条 直 角 边 (即 枯 木 的 高 )长 20尺 ， 另 一 条 直 角 边 长 5
18、 3=15(尺 )， 因 此 葛 藤 长 为 =25(尺 ).答 案 ： 25.三 、 解 答 题19.(9 分 )今 年 我 市 把 男 生 “ 引 体 向 上 ” 项 目 纳 入 学 业 水 平 体 育 考 试 内 容 ， 考 试 前 某 校 为 了解 该 项 目 的 整 体 水 平 ， 从 九 年 级 220名 男 生 中 ， 随 机 抽 取 20名 进 行 “ 引 体 向 上 ” 测 试 ， 测试 成 绩 (单 位 ： 个 )如 图 1： 其 中 有 一 数 据 被 污 损 ， 统 计 员 只 记 得 11.3 是 这 组 样 本 数 据 的 平 均 数 .(1)求 该 组 样 本 数
19、 据 中 被 污 损 的 数 据 和 这 组 数 据 的 极 差 ；(2)请 补 充 完 整 下 面 的 频 数 、 频 率 分 布 表 和 频 数 分 布 直 方 图 (如 图 2)； 频 数 、 频 率 分 布 表 ： (3)估 计 在 学 业 水 平 体 育 考 试 中 该 校 九 年 级 有 多 少 名 男 生 能 完 成 11个 以 上 (包 含 11 个 )“ 引体 向 上 ” ？解 析 ： (1)直 接 利 用 平 均 数 求 法 得 出 x 的 值 ， 进 而 求 出 极 差 即 可 ；(2)直 接 利 用 已 知 数 据 得 出 各 组 频 数 ， 进 而 求 出 频 率 ，
20、 填 表 和 补 全 条 形 图 即 可 ；(3)利 用 样 本 估 计 总 体 的 方 法 得 出 ， 能 完 成 11个 以 上 的 是 后 两 组 所 占 百 分 比 ， 进 而 得 出 九 年级 男 生 能 完 成 11 个 以 上 (包 含 11个 )“ 引 体 向 上 ” 的 人 数 .答 案 ： (1)设 被 污 损 的 数 据 为 x，由 题 意 知 ： =11.3， 解 得 ： x=19，根 据 极 差 的 定 义 ， 可 得 该 组 数 据 的 极 差 是 ： 19-3=16，(2)由 样 本 数 据 知 ， 测 试 成 绩 在 6 10 个 的 有 6 名 ， 该 组 频
21、 数 为 6， 相 应 频 率 是 ： =0.30， 测 试 成 绩 在 11 15 个 的 有 9 名 ， 该 组 频 数 为 9， 相 应 频 率 是 ： =0.45，补 全 的 频 数 、 频 率 分 布 表 和 频 数 分 布 直 方 图 如 下 所 示 ： (3)由 频 率 分 布 表 可 知 ， 能 完 成 11个 以 上 的 是 后 两 组 ， (0.45+0.15) 100%=60%，由 此 估 计 在 学 业 水 平 体 育 考 试 中 能 完 成 11 个 以 上 “ 引 体 向 上 ” 的 男 生 数 是 ：220 60%=132(名 ). 20.(10分 )如 图 ，
22、在 梯 形 ABCD中 ， AD BC， B=90 ， 以 AB为 直 径 作 O， 恰 与 另 一 腰 CD相 切 于 点 E， 连 接 OD、 OC、 BE.(1)求 证 ： OD BE；(2)若 梯 形 ABCD的 面 积 是 48， 设 OD=x， OC=y， 且 x+y=14， 求 CD 的 长 .解 析 ： (1)连 接 OE， 证 出 RT OAD RT OED， 利 用 同 弦 对 圆 周 角 是 圆 心 角 的 一 半 ， 得 出 AOD= ABE， 利 用 同 位 角 相 等 两 直 线 平 行 得 到 OD BE， (2)由 RT COE RT COB， 得 到 COD
23、是 直 角 三 角 形 ， 利 用 S 梯 形 ABCD=2S COD，求 出 xy=48， 结 合 x+y=14， 求 出 CD.答 案 (1)如 图 ， 连 接 OE， CD 是 O的 切 线 ， OE CD，在 Rt OAD和 Rt OED， ， Rt OAD Rt OED(SAS)， AOD= EOD= AOE，在 O中 ， ABE= AOE， AOD= ABE， OD BE.(2)与 (1)同 理 可 证 ： Rt COE Rt COB， COE= COB= BOE， DOE+ COE=90 ， COD是 直 角 三 角 形 ， S DEO=S DAO， S OCE=S COB， S
24、 梯 形 ABCD=2(S DOE+S COE)=2S COD=OC OD=48， 即 xy=48，又 x+y=14， x2+y2=(x+y)2-2xy=142-2 48=100，在 RT COD中 ， CD= = = =10， CD=10.21.(10分 )如 图 ， 某 海 域 有 两 个 海 拔 均 为 200米 的 海 岛 A和 海 岛 B， 一 勘 测 飞 机 在 距 离 海 平面 垂 直 高 度 为 1100米 的 空 中 飞 行 ， 飞 行 到 点 C处 时 测 得 正 前 方 一 海 岛 顶 端 A的 俯 角 是 45 ，然 后 沿 平 行 于 AB的 方 向 水 平 飞 行
25、1.99 10 4米 到 达 点 D 处 ， 在 D 处 测 得 正 前 方 另 一 海 岛 顶端 B 的 俯 角 是 60 ， 求 两 海 岛 间 的 距 离 AB. 解 析 ： 首 先 过 点 A 作 AE CD于 点 E， 过 点 B 作 BF CD于 点 F， 易 得 四 边 形 ABFE为 矩 形 ， 根据 矩 形 的 性 质 ， 可 得 AB=EF， AE=BF.由 题 意 可 知 ： AE=BF=1100-200=900 米 ， CD=1.99 104米 ， 然 后 分 别 在 Rt AEC与 Rt BFD 中 ， 利 用 三 角 函 数 即 可 求 得 CE 与 DF 的 长
26、， 继 而 求 得 两海 岛 间 的 距 离 AB.答 案 ： 过 点 A 作 AE CD 于 点 E， 过 点 B作 BF CD于 点 F， AB CD， AEF= EFB= ABF=90 ， 四 边 形 ABFE 为 矩 形 . AB=EF， AE=BF.由 题 意 可 知 ： AE=BF=1100-200=900米 ， CD=1.99 10 4米 =19900米 .在 Rt AEC中 ， C=60 ， AE=900米 . CE= = =300 (米 ).在 Rt BFD中 ， BDF=45 ， BF=900 米 . DF= = =900(米 ). AB=EF=CD+DF-CE=19900
27、+300 -900=19000+300 (米 ).答 ： 两 海 岛 间 的 距 离 AB 为 (19000+300 )米 .22.(12分 )如 图 1， 在 正 方 形 ABCD中 ， E、 F分 别 为 BC、 CD的 中 点 ， 连 接 AE、 BF， 交 点 为G. (1)求 证 ： AE BF；(2)将 BCF沿 BF对 折 ， 得 到 BPF(如 图 2)， 延 长 FP到 BA 的 延 长 线 于 点 Q， 求 sin BQP的 值 ；(3)将 ABE绕 点 A 逆 时 针 方 向 旋 转 ， 使 边 AB正 好 落 在 AE上 ， 得 到 AHM(如 图 3)， 若 AM和
28、BF 相 交 于 点 N， 当 正 方 形 ABCD的 面 积 为 4 时 ， 求 四 边 形 GHMN的 面 积 .解 析 ： (1)运 用 Rt ABE Rt BCF， 再 利 用 角 的 关 系 求 得 BGE=90 求 证 ；(2) BCF沿 BF对 折 ， 得 到 BPF， 利 用 角 的 关 系 求 出 QF=QB， 解 出 BP， QP 求 解 ；(3)先 求 出 正 方 形 的 边 长 ， 再 根 据 面 积 比 等 于 相 似 边 长 比 的 平 方 ， 求 得 S AGN= ， 再 利 用 S 四边 形 GHMN=S AHM-S AGN求 解 .答 案 ： (1)如 图 1
29、， E， F 分 别 是 正 方 形 ABCD边 BC， CD 的 中 点 ， CF=BE， 在 Rt ABE和 Rt BCF中 ， Rt ABE Rt BCF(SAS)， BAE= CBF，又 BAE+ BEA=90 ， CBF+ BEA=90 ， BGE=90 ， AE BF.(2)如 图 2， 根 据 题 意 得 ， FP=FC， PFB= BFC， FPB=90 CD AB， CFB= ABF， ABF= PFB， QF=QB，令 PF=k(k 0)， 则 PB=2k在 Rt BPQ中 ， 设 QB=x， x 2=(x-k)2+4k2， x= ， sin BQP= = = .(3) 正
30、 方 形 ABCD的 面 积 为 4， 边 长 为 2， BAE= EAM， AE BF， AN=AB=2， AHM=90 ， GN HM， = ， = ， S AGN= ， S 四 边 形 GHMN=S AHM-S AGN=1- = ， 四 边 形 GHMN 的 面 积 是 .23.(12分 )经 统 计 分 析 ， 某 市 跨 河 大 桥 上 的 车 流 速 度 v(千 米 /小 时 )是 车 流 密 度 x(辆 /千 米 )的 函 数 ， 当 桥 上 的 车 流 密 度 达 到 220辆 /千 米 时 ， 造 成 堵 塞 ， 此 时 车 流 速 度 为 0 千 米 /小 时 ；当 车 流
31、 密 度 不 超 过 20辆 /千 米 时 ， 车 流 速 度 为 80千 米 /小 时 ， 研 究 表 明 ： 当 20 x 220 时 ，车 流 速 度 v是 车 流 密 度 x的 一 次 函 数 .(1)求 大 桥 上 车 流 密 度 为 100 辆 /千 米 时 的 车 流 速 度 ；(2)在 交 通 高 峰 时 段 ， 为 使 大 桥 上 的 车 流 速 度 大 于 40千 米 /小 时 且 小 于 60 千 米 /小 时 ， 应 控制 大 桥 上 的 车 流 密 度 在 什 么 范 围 内 ？(3)车 流 量 (辆 /小 时 )是 单 位 时 间 内 通 过 桥 上 某 观 测 点
32、 的 车 辆 数 ， 即 ： 车 流 量 =车 流 速 度 车流 密 度 .求 大 桥 上 车 流 量 y 的 最 大 值 .解 析 ： (1)当 20 x 220时 ， 设 车 流 速 度 v与 车 流 密 度 x的 函 数 关 系 式 为 v=kx+b， 根 据 题 意 的 数 量 关 系 建 立 方 程 组 求 出 其 解 即 可 ；(2)由 (1)的 解 析 式 建 立 不 等 式 组 求 出 其 解 即 可 ；(3)设 车 流 量 y 与 x 之 间 的 关 系 式 为 y=vx， 当 x 20和 20 x 220时 分 别 表 示 出 函 数 关 系由 函 数 的 性 质 就 可
33、以 求 出 结 论 .答 案 ： (1)设 车 流 速 度 v 与 车 流 密 度 x 的 函 数 关 系 式 为 v=kx+b， 由 题 意 ， 得， 解 得 ： ， 当 20 x 220时 ， v=- x+88，当 x=100 时 ， v=- 100+88=48(千 米 /小 时 )；(2)由 题 意 ， 得 ， 解 得 ： 70 x 120. 应 控 制 大 桥 上 的 车 流 密 度 在 70 x 120 范 围 内 ； (3)设 车 流 量 y 与 x 之 间 的 关 系 式 为 y=vx，当 0 x 20时 y=80 x， k=80 0， y 随 x 的 增 大 而 增 大 ， x
34、=20时 ， y 最 大 =1600；当 20 x 220 时 y=(- x+88)x=- (x-110)2+4840， 当 x=110 时 ， y最 大 =4840. 4840 1600， 当 车 流 密 度 是 110辆 /千 米 ， 车 流 量 y 取 得 最 大 值 时 4840辆 /小 时 .24.(13分 )如 图 ， 抛 物 线 y=ax2+bx+c(a 0)与 y 轴 交 于 点 C(0， 4)， 与 x 轴 交 于 点 A和 点 B，其 中 点 A 的 坐 标 为 (-2， 0)， 抛 物 线 的 对 称 轴 x=1与 抛 物 线 交 于 点 D， 与 直 线 BC交 于 点
35、 E. (1)求 抛 物 线 的 解 析 式 ；(2)若 点 F是 直 线 BC上 方 的 抛 物 线 上 的 一 个 动 点 ， 是 否 存 在 点 F使 四 边 形 ABFC的 面 积 为 17，若 存 在 ， 求 出 点 F 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 ；(3)平 行 于 DE 的 一 条 动 直 线 l与 直 线 BC相 交 于 点 P， 与 抛 物 线 相 交 于 点 Q， 若 以 D、 E、 P、Q为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ， 求 点 P 的 坐 标 .解 析 ： (1)先 把 C(0， 4)代 入 y=ax2+bx+c， 得
36、出 c=4 ， 再 由 抛 物 线 的 对 称 轴 x=- =1， 得到 b=-2a ， 抛 物 线 过 点 A(-2， 0)， 得 到 0=4a-2b+c ， 然 后 由 可 解 得 ， a=- ， b=1，c=4， 即 可 求 出 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=- x 2+x+4；(2)假 设 存 在 满 足 条 件 的 点 F， 连 结 BF、 CF、 OF， 过 点 F 作 FH x 轴 于 点 H， FG y轴 于 点 G.设 点 F的 坐 标 为 (t， - t2+t+4)， 则 FH=- t2+t+4， FG=t， 先 根 据 三 角 形 的 面 积 公 式 求 出S OB
37、F= OB FH=-t2+2t+8， S OFC= OC FG=2t， 再 由 S 四 边 形 ABFC=S AOC+S OBF+S OFC， 得 到 S 四 边 形 ABFC=-t2+4t+12.令 -t2+4t+12=17， 即 t2-4t+5=0， 由 =(-4)2-4 5=-4 0， 得 出 方 程 t2-4t+5=0无 解 ， 即 不 存 在 满 足 条 件 的 点 F.(3)先 运 用 待 定 系 数 法 求 出 直 线 BC 的 解 析 式 为 y=-x+4， 再 求 出 抛 物 线 y=- x2+x+4的 顶 点D(1， )， 由 点 E 在 直 线 BC 上 ， 得 到 点
38、E(1， 3)， 于 是 DE= -3= .若 以 D、 E、 P、 Q 为 顶点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ， 因 为 DE PQ， 只 须 DE=PQ， 设 点 P 的 坐 标 是 (m， -m+4)， 则 点 Q的 坐 标 是 (m， - m 2+m+4).分 两 种 情 况 进 行 讨 论 ： 当 0 m 4时 ，PQ=(- m2+m+4)-(-m+4)=- m2+2m， 解 方 程 - m2+2m= ， 求 出 m 的 值 ， 得 到 P1(3， 1)； 当 m 0或 m 4 时 ， PQ=(-m+4)-(- m2+m+4)= m2-2m， 解 方 程 m2-2m= ，
39、 求 出 m 的 值 ， 得 到P2(2+ ， 2- )， P3(2- ， 2+ ).答 案 ： (1) 抛 物 线 y=ax2+bx+c(a 0)过 点 C(0， 4)， c=4 . 对 称 轴 x=- =1， b=-2a . 抛 物 线 过 点 A(-2， 0)， 0=4a-2b+c ，由 解 得 ， a=- ， b=1， c=4， 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=- x 2+x+4；(2)假 设 存 在 满 足 条 件 的 点 F， 如 图 所 示 ， 连 结 BF、 CF、 OF， 过 点 F 作 FH x 轴 于 点 H， FG y轴 于 点 G. 设 点 F的 坐 标 为 (t
40、， - t2+t+4)， 其 中 0 t 4， 则 FH=- t2+t+4， FG=t， S OBF= OB FH= 4 (- t2+t+4)=-t2+2t+8， S OFC= OC FG= 4 t=2t， S 四 边 形 ABFC=S AOC+S OBF+S OFC=4-t2+2t+8+2t=-t2+4t+12.令 -t2+4t+12=17， 即 t2-4t+5=0， 则 =(-4)2-4 5=-4 0， 方 程 t2-4t+5=0无 解 ，故 不 存 在 满 足 条 件 的 点 F.(3)设 直 线 BC 的 解 析 式 为 y=kx+n(k 0)， B(4， 0)， C(0， 4)， ，
41、 解 得 ， 直 线 BC的 解 析 式 为 y=-x+4.由 y=- x 2+x+4=- (x-1)2+ ， 顶 点 D(1， )，又 点 E在 直 线 BC上 ， 则 点 E(1， 3)， 于 是 DE= -3= .若 以 D、 E、 P、 Q 为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ， 因 为 DE PQ， 只 须 DE=PQ，设 点 P的 坐 标 是 (m， -m+4)， 则 点 Q 的 坐 标 是 (m， - m2+m+4). 当 0 m 4 时 ， PQ=(- m 2+m+4)-(-m+4)=- m2+2m，由 - m2+2m= ， 解 得 ： m=1或 3.当 m=1时 ， 线 段 PQ 与 DE重 合 ， m=1舍 去 ， m=3， P1(3， 1). 当 m 0 或 m 4 时 ， PQ=(-m+4)-(- m2+m+4)= m2-2m，由 m2-2m= ， 解 得 m=2 ， 经 检 验 适 合 题 意 ， 此 时 P2(2+ ， 2- )， P3(2- ， 2+ ).综 上 所 述 ， 满 足 题 意 的 点 P 有 三 个 ， 分 别 是 P1(3， 1)， P2(2+ ， 2- )， P3(2- ， 2+ ).
