1、2014年 山 东 省 泰 安 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 共 20小 题 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 个 是 正 确 的 ， 请 把 正确 的 选 项 选 出 来 ， 每 小 题 选 对 得 3 分 ， 选 错 、 不 选 或 选 出 的 答 案 超 过 一 个 ， 均 记 零 分 )1.(3分 )在 ， 0， -1， - 这 四 个 数 中 ， 最 小 的 数 是 ( )A.B.0C.-D.-1 解 析 ： -1 - 0 .答 案 ： D.2.(3分 )下 列 运 算 ， 正 确 的 是 ( )A. 4a-2a=2B.
2、a6 a3=a2C. (-a 3b)2=a6b2D. (a-b)2=a2-b2解 析 ： A、 是 合 并 同 类 项 结 果 是 2a， 不 正 确 ；B、 是 同 底 数 幂 的 除 法 ， 底 数 不 变 指 数 相 减 ， 结 果 是 a3；C、 是 考 查 积 的 乘 方 正 确 ；D、 等 号 左 边 是 完 全 平 方 式 右 边 是 平 方 差 ， 所 以 不 相 等 .答 案 ： C.3.(3分 )下 列 几 何 体 ， 主 视 图 和 俯 视 图 都 为 矩 形 的 是 ( )A. B.C.D.解 析 ：B、 圆 锥 主 视 图 是 等 腰 三 角 形 ， 俯 视 图 是
3、圆 ， 故 此 选 项 错 误 ； C、 三 棱 柱 主 视 图 是 矩 形 ， 俯 视 图 是 三 角 形 ， 故 此 选 项 错 误 ；D、 长 方 体 主 视 图 和 俯 视 图 都 为 矩 形 ， 故 此 选 项 正 确 ；答 案 ： D.4.(3分 )PM2.5 是 指 大 气 中 直 径 0.0000025米 的 颗 粒 物 ， 将 0.0000025用 科 学 记 数 法 表 示为 ( )A. 2.5 10-7B. 2.5 10 -6C. 25 10-7D. 0.25 10-5解 析 ： 0.0000025=2.5 10-6，答 案 ： B.5.(3分 )如 图 ， 把 一 直
4、尺 放 置 在 一 个 三 角 形 纸 片 上 ， 则 下 列 结 论 正 确 的 是 ( ) A. 1+ 6 180B. 2+ 5 180C. 3+ 4 180D. 3+ 7 180解 析 ： A、 DG EF， 3+ 4=180 ， 6= 4， 3 1， 6+ 1 180 ， 故 本 选 项 错 误 ；B、 DG EF， 5= 3， 2+ 5= 2+ 3=(180 - 1)+(180 - ALH)=360 -( 1+ ALH)=360 -(180 - A)=180 + A 180 ， 故 本 选 项 错 误 ；C、 DG EF， 3+ 4=180 ， 故 本 选 项 错 误 ；D、 DG
5、EF， 2= 7， 3+ 2=180 + A 180 ， 3+ 7 180 ， 故 本 选 项 正 确 ；答 案 ： D. 6.(3分 )下 列 四 个 图 形 ：其 中 是 轴 对 称 图 形 ， 且 对 称 轴 的 条 数 为 2 的 图 形 的 个 数 是 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4解 析 ： 第 一 个 是 轴 对 称 图 形 ， 有 2条 对 称 轴 ；第 二 个 是 轴 对 称 图 形 ， 有 2 条 对 称 轴 ；第 三 个 是 轴 对 称 图 形 ， 有 2 条 对 称 轴 ； 第 四 个 是 轴 对 称 图 形 ， 有 3 条 对 称 轴 ；答 案 ： C.7.(
6、3分 )方 程 5x+2y=-9与 下 列 方 程 构 成 的 方 程 组 的 解 为 的 是 ( )A. x+2y=1B. 3x+2y=-8C. 5x+4y=-3D. 3x-4y=-8解 析 ： 方 程 5x+2y=-9与 下 列 方 程 构 成 的 方 程 组 的 解 为 的 是 3x-4y=-8. 答 案 ： D8.(3分 )如 图 ， ACB=90 ， D 为 AB 的 中 点 ， 连 接 DC并 延 长 到 E， 使 CE= CD， 过 点 B作BF DE， 与 AE 的 延 长 线 交 于 点 F.若 AB=6， 则 BF的 长 为 ( ) A. 6B. 7C. 8D. 10 解
7、析 ： 如 图 ， ACB=90 ， D 为 AB 的 中 点 ， AB=6， CD= AB=3.又 CE= CD， CE=1， ED=CE+CD=4.又 BF DE， 点 D 是 AB 的 中 点 ， ED是 AFB 的 中 位 线 ， BF=2ED=8.答 案 ： C. 9.(3分 )以 下 是 某 校 九 年 级 10名 同 学 参 加 学 校 演 讲 比 赛 的 统 计 表 ：则 这 组 数 据 的 中 位 数 和 平 均 数 分 别 为 ( )A. 90， 90B. 90， 89C. 85， 89D. 85， 90解 析 ： 共 有 10名 同 学 ， 中 位 数 是 第 5 和 6
8、 的 平 均 数 ， 这 组 数 据 的 中 位 数 是 (90+90) 2=90；这 组 数 据 的 平 均 数 是 ： (80+85 2+90 5+95 2) 10=89；答 案 ： B. 10.(3分 )在 ABC和 A1B1C1中 ， 下 列 四 个 命 题 ：(1)若 AB=A1B1， AC=A1C1， A= A1， 则 ABC A1B1C1；(2)若 AB=A1B1， AC=A1C1， B= B1， 则 ABC A1B1C1；(3)若 A= A1， C= C1， 则 ABC A1B1C1；(4)若 AC： A1C1=CB： C1B1， C= C1， 则 ABC A1B1C1.其 中
9、 真 命 题 的 个 数 为 ( )A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个解 析 ： (1)若 AB=A 1B1， AC=A1C1， A= A1， 能 用 SAS 定 理 判 定 ABC A1B1C1， 正 确 ；(2)若 AB=A1B1， AC=A1C1， B= B1， 不 能 判 定 ABC A1B1C1， 错 误 ；(3)若 A= A1， C= C1， 能 判 定 ABC A1B1C1， 正 确 ；(4)若 AC： A1C1=CB： C1B1， C= C1， 能 利 用 两 组 对 应 边 的 比 相 等 且 夹 角 相 等 的 两 三 角 形 相 似判 定 ABC A1B1C
10、1， 正 确 . 答 案 ： B.11.(3分 )在 一 个 口 袋 中 有 4 个 完 全 相 同 的 小 球 ， 它 们 的 标 号 分 别 为 1， 2， 3， 4， 从 中 随 机摸 出 一 个 小 球 记 下 标 号 后 放 回 ， 再 从 中 随 机 摸 出 一 个 小 球 ， 则 两 次 摸 出 的 小 球 的 标 号 之 和 大于 4 的 概 率 是 ( )A.B.C.D. 解 析 ： 画 树 状 图 得 ： 共 有 16 种 等 可 能 的 结 果 ， 两 次 摸 出 的 小 球 的 标 号 之 和 大 于 4 的 有 10种 情 况 ， 两 次 摸 出 的 小 球 的 标
11、号 之 和 大 于 4 的 概 率 是 ： = .答 案 ： C.12.(3分 )如 图 是 一 个 直 角 三 角 形 纸 片 ， A=30 ， BC=4cm， 将 其 折 叠 ， 使 点 C落 在 斜 边 上 的 点 C 处 ， 折 痕 为 BD， 如 图 ， 再 将 沿 DE折 叠 ， 使 点 A 落 在 DC 的 延 长 线 上 的 点 A处 ， 如 图 ， 则 折 痕 DE 的 长 为 ( )A. cmB.2 cmC.2 cm D.3cm解 析 ： ABC是 直 角 三 角 形 ， A=30 ， ABC=90 -30 =60 ， 沿 折 痕 BD折 叠 点 C 落 在 斜 边 上 的
12、 点 C 处 ， BDC= BDC ， CBD= ABD= ABC=30 ， 沿 DE折 叠 点 A 落 在 DC 的 延 长 线 上 的 点 A 处 ， ADE= A DE， BDE= ABD+ A DE= 180 =90 ，在 Rt BCD中 ， BD=BC cos30 =4 = cm，在 Rt ADE中 ， DE=BD tan30 = = cm.答 案 ： A.13.(3分 )某 种 花 卉 每 盆 的 盈 利 与 每 盆 的 株 数 有 一 定 的 关 系 ， 每 盆 植 3株 时 ， 平 均 每 株 盈 利 4元 ； 若 每 盆 增 加 1 株 ， 平 均 每 株 盈 利 减 少 0
13、.5元 ， 要 使 每 盆 的 盈 利 达 到 15 元 ， 每 盆 应 多 植多 少 株 ？ 设 每 盆 多 植 x 株 ， 则 可 以 列 出 的 方 程 是 ( )A.(3+x)(4-0.5x)=15 B.(x+3)(4+0.5x)=15C.(x+4)(3-0.5x)=15D.(x+1)(4-0.5x)=15解 析 ： 设 每 盆 应 该 多 植 x株 ， 由 题 意 得 (3+x)(4-0.5x)=15，答 案 ： A.14.(3分 )如 图 ， ABC中 ， ACB=90 ， A=30 ， AB=16.点 P 是 斜 边 AB 上 一 点 .过 点 P作 PQ AB， 垂 足 为 P
14、， 交 边 AC(或 边 CB)于 点 Q， 设 AP=x， APQ的 面 积 为 y， 则 y 与 x 之 间的 函 数 图 象 大 致 为 ( ) A.B.C. D.解 析 ： 当 点 Q 在 AC 上 时 ， A=30 ， AP=x， PQ=xtan30 = ， y= AP PQ= x = x2；当 点 Q在 BC上 时 ， 如 下 图 所 示 ： AP=x， AB=16， A=30 ， BP=16-x， B=60 ， PQ=BP tan60 = (16-x). = = . 该 函 数 图 象 前 半 部 分 是 抛 物 线 开 口 向 上 ， 后 半 部 分 也 为 抛 物 线 开 口
15、 向 下 .答 案 ： B.15.(3分 )若 不 等 式 组 有 解 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ( )A. a -36B. a -36C. a -36D. a -36 解 析 ： ，解 得 ： x a-1，解 得 ： x -37，则 a-1 -37， 解 得 ： a -36.答 案 ： C.16.(3分 )将 两 个 斜 边 长 相 等 的 三 角 形 纸 片 如 图 放 置 ， 其 中 ACB= CED=90 ， A=45 ， D=30 .把 DCE绕 点 C顺 时 针 旋 转 15 得 到 D 1CE1， 如 图 ， 连 接 D1B， 则 E1D1B的 度数 为 ( )
16、 A. 10B. 20C. 7.5D. 15解 析 ： CED=90 ， D=30 ， DCE=60 ， DCE绕 点 C顺 时 针 旋 转 15 ， BCE1=15 ， BCD1=60 -15 =45 ， BCD1= A，在 ABC和 D 1CB中 ， ， ABC D1CB(SAS)， BD1C= ABC=45 ， E1D1B= BD1C- CD1E1=45 -30 =15 .答 案 ： D.17.(3分 )已 知 函 数 y=(x-m)(x-n)(其 中 m n)的 图 象 如 图 所 示 ， 则 一 次 函 数 y=mx+n 与 反 比例 函 数 y= 的 图 象 可 能 是 ( ) A
17、.B. C.D.解 析 ： 由 图 可 知 ， m -1， n=1， 所 以 m+n 0，所 以 一 次 函 数 y=mx+n经 过 第 二 四 象 限 ， 且 与 y 轴 相 交 于 点 (0， 1)，反 比 例 函 数 y= 的 图 象 位 于 第 二 四 象 限 ，纵 观 各 选 项 ， 只 有 C选 项 图 形 符 合 . 答 案 ： C.18.(3分 )如 图 ， P为 O 的 直 径 BA 延 长 线 上 的 一 点 ， PC与 O 相 切 ， 切 点 为 C， 点 D 是 上一 点 ， 连 接 PD.已 知 PC=PD=BC.下 列 结 论 ：(1)PD与 O 相 切 ； (2)
18、四 边 形 PCBD是 菱 形 ； (3)PO=AB； (4) PDB=120 .其 中 正 确 的 个 数 为 ( )A. 4 个 B. 3 个C. 2 个D. 1 个解 析 ： (1)连 接 CO， DO， PC 与 O相 切 ， 切 点 为 C， PCO=90 ，在 PCO和 PDO中 ， ， PCO PDO(SSS)， PCO= PDO=90 ， PD 与 O相 切 ， 故 此 选 项 正 确 ；(2)由 (1)得 ： CPB= BPD，在 CPB和 DPB中 ， ， CPB DPB(SAS)， BC=BD， PC=PD=BC=BD， 四 边 形 PCBD 是 菱 形 ， 故 此 选
19、项 正 确 ；(3)连 接 AC， PC=CB， CPB= CBP， AB 是 O直 径 ， ACB=90 ，在 PCO和 BCA中 ， ， PCO BCA(ASA)， AC=CO， AC=CO=AO， COA=60 ， CPO=30 ， CO= PO= AB， PO=AB， 故 此 选 项 正 确 ；(4) 四 边 形 PCBD是 菱 形 ， CPO=30 ， DP=DB， 则 DPB= DBP=30 ， PDB=120 ， 故 此 选 项 正 确 ； 答 案 ： A.19.(3分 )如 图 ， 半 径 为 2cm， 圆 心 角 为 90 的 扇 形 OAB中 ， 分 别 以 OA、 OB为
20、 直 径 作 半 圆 ，则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 ( ) A.( -1)cm2B.( +1)cm2C.1cm2D. cm2解 析 ： 扇 形 OAB 的 圆 心 角 为 90 ， 假 设 扇 形 半 径 为 2， 扇 形 面 积 为 ： = (cm 2)，半 圆 面 积 为 ： 12= (cm2)， SQ+SM =SM+SP= (cm2)， SQ=SP，连 接 AB， OD， 两 半 圆 的 直 径 相 等 ， AOD= BOD=45 ， S 绿 色 =S AOD= 2 1=1(cm2)， 阴 影 部 分 Q 的 面 积 为 ： S 扇 形 AOB-S 半 圆 -S 绿 色
21、= - -1= -1(cm2).答 案 ： A.20.(3分 )二 次 函 数 y=ax 2+bx+c(a， b， c 为 常 数 ， 且 a 0)中 的 x与 y的 部 分 对 应 值 如 下 表 ：下 列 结 论 ：(1)ac 0；(2)当 x 1时 ， y 的 值 随 x 值 的 增 大 而 减 小 .(3)3是 方 程 ax 2+(b-1)x+c=0 的 一 个 根 ；(4)当 -1 x 3时 ， ax2+(b-1)x+c 0.其 中 正 确 的 个 数 为 ( )A.4个B.3个C.2个D.1个解 析 ： 由 图 表 中 数 据 可 得 出 ： x=1时 ， y=5 值 最 大 ，
22、所 以 二 次 函 数 y=ax 2+bx+c 开 口 向 下 ， a 0； 又 x=0时 ， y=3， 所 以 c=3 0， 所 以 ac 0， 故 (1)正 确 ； 二 次 函 数 y=ax2+bx+c 开 口 向 下 ， 且 对 称 轴 为 x= =1.5， 当 x 1.5时 ， y 的 值 随 x 值的 增 大 而 减 小 ， 故 (2)错 误 ； x=3时 ， y=3， 9a+3b+c=3， c=3， 9a+3b+3=3， 9a+3b=0， 3 是 方 程 ax2+(b-1)x+c=0的 一 个 根 ， 故 (3)正 确 ； x=-1时 ， ax 2+bx+c=-1， x=-1时 ，
23、 ax2+(b-1)x+c=0， x=3时 ， ax2+(b-1)x+c=0， 且 函 数有 最 大 值 ， 当 -1 x 3时 ， ax2=(b-1)x+c 0， 故 (4)正 确 .答 案 ： B.二 、 填 空 题 (本 大 题 共 4 小 题 ， 满 分 12分 。 只 要 求 填 写 最 后 结 果 ， 每 小 题 填 对 得 3分 )21.(3分 )化 简 (1+ ) 的 结 果 为 .解 析 ： 原 式 = = =x-1.答 案 ： x-1 22.(3分 )七 (一 )班 同 学 为 了 解 某 小 区 家 庭 月 均 用 水 情 况 ， 随 机 调 查 了 该 小 区 部 分
24、家 庭 ， 并将 调 查 数 据 整 理 如 下 表 (部 分 )：若 该 小 区 有 800户 家 庭 ， 据 此 估 计 该 小 区 月 均 用 水 量 不 超 过 10m3的 家 庭 约 有 560 户 .解 析 ： 根 据 题 意 得 ： =100(户 )，15 x 20的 频 数 是 0.07 100=7(户 )，5 x 10 的 频 数 是 ： 100-12-20-7-3=58(户 )，则 该 小 区 月 均 用 水 量 不 超 过 10m 3的 家 庭 约 有 800=560(户 )；答 案 ： 560.23.(3分 )如 图 ， AB是 半 圆 的 直 径 ， 点 O 为 圆
25、心 ， OA=5， 弦 AC=8， OD AC， 垂 足 为 E， 交 O于 D， 连 接 BE.设 BEC= ， 则 sin 的 值 为 .解 析 ： 连 结 BC， 如 图 ， AB 是 半 圆 的 直 径 ， ACB=90 ， 在 Rt ABC中 ， AC=8， AB=10， BC= =6， OD AC， AE=CE= AC=4，在 Rt BCE中 ， BE= =2 ， sin = = = .答 案 ： . 24.(3分 )如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 将 ABO绕 点 A 顺 时 针 旋 转 到 AB1C1的 位 置 ， 点 B、O分 别 落 在 点 B1、 C1
26、处 ， 点 B1在 x轴 上 ， 再 将 AB1C1绕 点 B1顺 时 针 旋 转 到 A1B1C2的 位 置 ，点 C2在 x 轴 上 ， 将 A1B1C2绕 点 C2顺 时 针 旋 转 到 A2B2C2的 位 置 ， 点 A2在 x 轴 上 ， 依 次 进 行下 去 .若 点 A( ， 0)， B(0， 4)， 则 点 B2014的 横 坐 标 为 . 解 析 ： 由 题 意 可 得 ： AO= ， BO=4， AB= ， OA+AB1+B1C2= + +4=6+4=10， B2的 横 坐 标 为 ： 10， B4的 横 坐 标 为 ： 2 10=20， 点 B2014的 横 坐 标 为
27、： 10=10070.答 案 ： 10070.三 、 解 答 题 (本 大 题 共 5 小 题 ， 满 分 48分 。 解 答 应 写 出 必 要 的 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 推 演步 骤 )25.(8分 )某 超 市 用 3000元 购 进 某 种 干 果 销 售 ， 由 于 销 售 状 况 良 好 ， 超 市 又 调 拨 9000元 资金 购 进 该 种 干 果 ， 但 这 次 的 进 价 比 第 一 次 的 进 价 提 高 了 20%， 购 进 干 果 数 量 是 第 一 次 的 2 倍 还 多 300千 克 ， 如 果 超 市 按 每 千 克 9 元 的 价 格 出 售
28、 ， 当 大 部 分 干 果 售 出 后 ， 余 下 的 600 千 克按 售 价 的 8折 售 完 .(1)该 种 干 果 的 第 一 次 进 价 是 每 千 克 多 少 元 ？(2)超 市 销 售 这 种 干 果 共 盈 利 多 少 元 ？解 析 ： (1)设 该 种 干 果 的 第 一 次 进 价 是 每 千 克 x 元 ， 则 第 二 次 进 价 是 每 千 克 (1+20%)x元 .根据 第 二 次 购 进 干 果 数 量 是 第 一 次 的 2 倍 还 多 300千 克 ， 列 出 方 程 ， 解 方 程 即 可 求 解 ；(2)根 据 利 润 =售 价 -进 价 ， 可 求 出
29、结 果 .答 案 ： (1)设 该 种 干 果 的 第 一 次 进 价 是 每 千 克 x 元 ， 则 第 二 次 进 价 是 每 千 克 (1+20%)x元 ，由 题 意 ， 得 =2 +300， 经 检 验 x=5是 方 程 的 解 .答 ： 该 种 干 果 的 第 一 次 进 价 是 每 千 克 5元 ； (2) + -600 9+600 9 80%-(3000+9000)=(600+1500-600) 9+4320-12000=1500 9+4320-12000=13500+4320-12000=5820(元 ).答 ： 超 市 销 售 这 种 干 果 共 盈 利 5820 元 .26
30、.(8分 )如 图 ， OAB中 ， A(0， 2)， B(4， 0)， 将 AOB向 右 平 移 m个 单 位 ， 得 到 O A B .(1)当 m=4 时 ， 如 图 .若 反 比 例 函 数 y= 的 图 象 经 过 点 A ， 一 次 函 数 y=ax+b的 图 象 经 过A 、 B 两 点 .求 反 比 例 函 数 及 一 次 函 数 的 表 达 式 ； (2)若 反 比 例 函 数 y= 的 图 象 经 过 点 A 及 A B 的 中 点 M， 求 m 的 值 .解 析 ： (1)根 据 题 意 得 出 ： A 点 的 坐 标 为 ： (4， 2)， B 点 的 坐 标 为 ：
31、(8， 0)， 进 而 利 用 待定 系 数 法 求 一 次 函 数 解 析 式 即 可 ；(2)首 先 得 出 A B 的 中 点 M的 坐 标 为 ： (m+4-2， 1)则 2m=m+2， 求 出 m 的 值 即 可 .答 案 ： (1)由 图 值 ： A 点 的 坐 标 为 ： (4， 2)， B 点 的 坐 标 为 ： (8， 0)， k=4 2=8， y= ， 把 (4， 2)， (8， 0)代 入 y=ax+b得 ： ， 解 得 ： ， 经 过 A 、 B 两 点 的 一 次 函 数 表 达 式 为 ： y=- x+4；(2)当 AOB向 右 平 移 m 个 单 位 时 ， A
32、点 的 坐 标 为 ： (m， 2)， B 点 的 坐 标 为 ： (m+4， 0)则 A B 的 中 点 M 的 坐 标 为 ： (m+4-2， 1) 2m=m+2， 解 得 ： m=2， 当 m=2 时 ， 反 比 例 函 数 y= 的 图 象 经 过 点 A 及 A B 的 中 点 M.27.(10分 )如 图 ， ABC=90 ， D、 E分 别 在 BC、 AC 上 ， AD DE， 且 AD=DE， 点 F 是 AE的 中点 ， FD与 AB相 交 于 点 M. (1)求 证 ： FMC= FCM；(2)AD与 MC垂 直 吗 ？ 并 说 明 理 由 .解 析 ： (1)根 据 等
33、 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 得 出 DF AE， DF=AF=EF， 进 而 利 用 全 等 三 角 形 的 判 定得 出 DFC AFM(AAS)， 即 可 得 出 答 案 ；(2)由 (1)知 ， MFC=90 ， FD=EF， FM=FC， 即 可 得 出 FDE= FMC=45 ， 即 可 理 由 平 行 线 的判 定 得 出 答 案 .答 案 ： (1) ADE是 等 腰 直 角 三 角 形 ， F 是 AE 中 点 ， DF AE， DF=AF=EF，又 ABC=90 ， DCF， AMF都 与 MAC互 余 ， DCF= AMF，在 DFC和 AFM中 ， ， DFC
34、AFM(AAS)， CF=MF， FMC= FCM； (2)AD MC，理 由 ： 由 (1)知 ， MFC=90 ， FD=EF， FM=FC， FDE= FMC=45 ， DE CM， AD MC.28.(11分 )如 图 ， 在 四 边 形 ABCD中 ， AB=AD， AC与 BD交 于 点 E， ADB= ACB.(1)求 证 ： = ；(2)若 AB AC， AE： EC=1： 2， F 是 BC 中 点 ， 求 证 ： 四 边 形 ABFD是 菱 形 .解 析 ： (1)利 用 相 似 三 角 形 的 判 定 得 出 ABE ACB， 进 而 求 出 答 案 ； (2)首 先 证
35、 明 AD=BF， 进 而 得 出 AD BF， 即 可 得 出 四 边 形 ABFD 是 平 行 四 边 形 ， 再 利 用 AD=AB，得 出 四 边 形 ABFD 是 菱 形 .答 案 ： (1) AB=AD， ADB= ABE，又 ADB= ACB， ABE= ACB，又 BAE= CAB， ABE ACB， = ，又 AB=AD， = ；(2)设 AE=x， AE： EC=1： 2， EC=2x，由 (1)得 ： AB 2=AE AC， AB= x，又 BA AC， BC=2 x， ACB=30 ， F 是 BC 中 点 ， BF= x， BF=AB=AD，又 ADB= ACB= A
36、BD， ADB= CBD=30 ， AD BF， 四 边 形 ABFD 是 平 行 四 边 形 ，又 AD=AB， 四 边 形 ABFD是 菱 形 .29.(11分 )二 次 函 数 y=ax 2+bx+c 的 图 象 经 过 点 (-1， 4)， 且 与 直 线 y=- x+1相 交 于 A、 B 两点 (如 图 )， A 点 在 y轴 上 ， 过 点 B作 BC x轴 ， 垂 足 为 点 C(-3， 0).(1)求 二 次 函 数 的 表 达 式 ； (2)点 N 是 二 次 函 数 图 象 上 一 点 (点 N 在 AB 上 方 )， 过 N 作 NP x 轴 ， 垂 足 为 点 P，
37、交 AB 于点 M， 求 MN的 最 大 值 ；(3)在 (2)的 条 件 下 ， 点 N 在 何 位 置 时 ， BM 与 NC相 互 垂 直 平 分 ？ 并 求 出 所 有 满 足 条 件 的 N 点的 坐 标 .解 析 ： (1)首 先 求 得 A、 B的 坐 标 ， 然 后 利 用 待 定 系 数 法 即 可 求 得 二 次 函 数 的 解 析 式 ；(2)设 M 的 横 坐 标 是 x， 则 根 据 M 和 N 所 在 函 数 的 解 析 式 ， 即 可 利 用 x 表 示 出 M、 N 的 坐 标 ，利 用 x表 示 出 MN的 长 ， 利 用 二 次 函 数 的 性 质 求 解
38、；(3)BM与 NC互 相 垂 直 平 分 ， 即 四 边 形 BCMN是 菱 形 ， 则 BC=MC， 据 此 即 可 列 方 程 ， 求 得 x 的值 ， 从 而 得 到 N 的 坐 标 .答 案 ： (1)由 题 设 可 知 A(0， 1)， B(-3， )， 根 据 题 意 得 ： ， 解 得 ： ，则 二 次 函 数 的 解 析 式 是 ： y=- - x+1；(2)设 N(x， - x2- x+1)， 则 M、 P 点 的 坐 标 分 别 是 (x， - x+1)， (x， 0). MN=PN-PM=- x 2- x+1-(- x+1)=- x2- x=- (x+ )2+ ，则 当 x=- 时 ， MN的 最 大 值 为 ；(3)连 接 MN、 BN、 BM与 NC互 相 垂 直 平 分 ， 即 四 边 形 BCMN是 菱 形 ，由 于 BC MN， 即 MN=BC， 且 BC=MC， 即 - x2- x= ， 且 (- x+1)2+(x+3)2= ，解 得 ： x=-1， 故 当 N(-1， 4)时 ， MN和 NC 互 相 垂 直 平 分 .
