1、2014年 山 东 省 日 照 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (共 大 题 共 12小 题 ， 其 中 1-8 题 每 小 题 3 分 ， 9-12 题 每 小 题 3 分 ， 满 分 40分 .每 小 题 所 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 )1.(3分 )在 已 知 实 数 ： -1， 0， ， -2中 ， 最 小 的 一 个 实 数 是 ( )A.-1B.0C.D.-2解 析 ： -2、 -1、 0、 1中 ， 最 小 的 实 数 是 -2. 答 案 ： D.2.(3分 )下 列 运 算 正 确 的 是 ( )A.3a3
2、 2a2=6a6B.(a2)3=a6C.a8 a2=a4D.x3+x3=2x6解 析 ： A、 3a 3 2a2=6a5， 故 A选 项 错 误 ；B、 (a2)3=a6， 故 B 选 项 正 确 ；C、 a8 a2=a6， 故 C 选 项 错 误 ；D、 x3+x3=2x3， 故 D 选 项 错 误 .答 案 ： B.3.(3分 )在 下 列 图 案 中 ， 是 中 心 对 称 图 形 的 是 ( )A. B.C. D.解 析 ： A、 不 是 中 心 对 称 图 形 .故 A选 项 错 误 ；B、 不 是 中 心 对 称 图 形 .故 B 选 项 错 误 ；C、 是 中 心 对 称 图 形
3、 .故 C选 项 正 确 ；D、 不 是 中 心 对 称 图 形 .故 D 选 项 错 误 .答 案 ： C.4.(3分 )某 养 殖 场 2013年 底 的 生 猪 出 栏 价 格 是 每 千 克 a 元 ， 受 市 场 影 响 ， 2014 年 第 一 季 度出 栏 价 格 平 均 每 千 克 下 降 了 15%， 到 了 第 二 季 度 平 均 每 千 克 比 第 一 季 度 又 上 升 了 20%， 则 第三 季 度 初 这 家 养 殖 场 的 生 猪 出 栏 价 格 是 每 千 克 ( )A.(1-15%)(1+20%)a元B.(1-15%)20%a元 C.(1+15%)(1-20%
4、)a元D.(1+20%)15%a元解 析 ： 第 三 季 度 初 这 家 养 殖 场 的 生 猪 出 栏 价 格 是 每 千 克 (1-15%)(1+20%)a元 .答 案 ： A.5.(3分 )已 知 ABC 的 周 长 为 13， 且 各 边 长 均 为 整 数 ， 那 么 这 样 的 等 腰 ABC有 ( )A.5 个B.4 个C.3 个D.2 个解 析 ： 周 长 为 13， 边 长 为 整 数 的 等 腰 三 角 形 的 边 长 只 能 为 ： 3， 5， 5； 或 4， 4， 5； 或 6， 6，1， 共 3 个 .答 案 ： C. 6.(3分 )李 大 伯 在 承 包 的 果 园
5、 里 种 植 了 100棵 樱 桃 树 ， 今 年 已 经 进 入 收 获 期 ， 收 获 时 ， 从 中任 意 采 摘 了 6 棵 树 上 的 樱 桃 ， 分 别 称 得 每 棵 树 的 产 量 (单 位 ： 千 克 )如 下 表 ：这 组 数 据 的 中 位 数 为 m， 樱 桃 的 总 产 量 约 为 n， 则 m， n 分 别 是 ( )A.18， 2000B.19， 1900C.18.5， 1900D.19， 1850解 析 ： 先 对 这 组 数 据 按 从 小 到 大 的 顺 序 重 新 排 序 ： 17， 18， 19， 19， 20， 21.位 于 最 中 间 的 数 是 1
6、9， 19， 所 以 这 组 数 的 中 位 数 是 m=(19+19) 2=19； 从 100棵 樱 桃 中 抽 样 6 棵 ， 每 颗 的 平 均 产 量 为 (17+18+19+19+20+21)=19(千 克 )， 所 以 估 计 樱 桃 的 总 产 量 n=19 100=1900(千 克 )；答 案 ： B.7.(3分 )关 于 x的 一 元 二 次 方 程 x2+2x+k+1=0 的 两 个 实 根 x1， x2， 满 足 x1+x2-x1x2 -1， 则 k的 取 值 范 围 在 数 轴 上 表 示 为 ( )A.B.C.D. 解 析 ： 关 于 x的 一 元 二 次 方 程 x
7、2+2x+k+1=0 有 两 个 实 根 ， 0， 4-4(k+1) 0，解 得 k 0， x1+x2=-2， x1 x2=k+1， -2-(k+1) -1， 解 得 k -2，不 等 式 组 的 解 集 为 -2 k 0， 在 数 轴 上 表 示 为 ：答 案 ： D.8.(3分 )如 图 ， 正 六 边 形 ABCDEF 是 边 长 为 2cm的 螺 母 ， 点 P 是 FA延 长 线 上 的 点 ， 在 A、 P之 间 拉 一 条 长 为 12cm的 无 伸 缩 性 细 线 ， 一 端 固 定 在 点 A， 握 住 另 一 端 点 P 拉 直 细 线 ， 把 它全 部 紧 紧 缠 绕 在
8、 螺 母 上 (缠 绕 时 螺 母 不 动 )， 则 点 P 运 动 的 路 径 长 为 ( ) A.13 cmB.14 cmC.15 cmD.16 cm解 析 ： 点 P运 动 的 路 径 长 为 ：+ + + + + = (12+10+8+6+4+2)=14 (cm).答 案 ： B. 9.(4分 )当 k 时 ， 直 线 kx-y=k 与 直 线 ky+x=2k的 交 点 在 ( )A.第 一 象 限B.第 二 象 限C.第 三 象 限D.第 四 象 限解 析 ： 解 方 程 组 得 ，两 直 线 的 交 点 坐 标 为 ( ， )， k ， 0， = 0， 所 以 交 点 在 第 一
9、象 限 .答 案 ： A.10.(4分 )如 图 ， 已 知 ABC的 面 积 是 12， 点 E、 I分 别 在 边 AB、 AC上 ， 在 BC 边 上 依 次 作 了n个 全 等 的 小 正 方 形 DEFG， GFMN， ， KHIJ， 则 每 个 小 正 方 形 的 边 长 为 ( )A. B.C.D.解 析 ： 过 C作 CM AB， 垂 足 为 M， 交 GH于 点 N. CMB=90 ， 四 边 形 EFGH 是 正 方 形 ， GH AB， GH=GF， GF AB， CGH= A， CNH= CMB=90 . GCH= ACB， CGH CAB. ， GF=MN=GH， 设
10、 GH=x， 三 角 形 ABC的 底 为 a， 高 为 h， CN=CM-MN=CM-GH=CM-x. ， 以 此 类 推 ， 由 此 ， 当 为 n个 正 方 形 时 以 x= ， 答 案 ： D. 11.(4分 )如 图 ， 是 抛 物 线 y=ax2+bx+c(a 0)图 象 的 一 部 分 .已 知 抛 物 线 的 对 称 轴 为 x=2， 与x轴 的 一 个 交 点 是 (-1， 0).有 下 列 结 论 ： abc 0； 4a-2b+c 0； 4a+b=0； 抛 物 线 与 x轴 的 另 一 个 交 点 是 (5， 0)； 点 (-3，y1)， (6， y2)都 在 抛 物 线
11、上 ， 则 有 y1 y2.其 中 正 确 的 是 ( )A. B. C. D. 解 析 ： 二 次 函 数 的 图 象 开 口 向 上 ， a 0， 二 次 函 数 的 图 象 交 y 轴 的 负 半 轴 于 一 点 ， c 0， 对 称 轴 是 直 线 x=2， - =2， b=-4a 0， abc 0.故 正 确 ； 把 x=-2 代 入 y=ax 2+bx+c 得 ： y=4a-2b+c，由 图 象 可 知 ， 当 x=-2时 ， y 0， 即 4a-2b+c 0.故 错 误 ； b=-4a， 4a+b=0.故 正 确 ； 抛 物 线 的 对 称 轴 为 x=2， 与 x轴 的 一 个
12、 交 点 是 (-1， 0)， 抛 物 线 与 x 轴 的 另 一 个 交 点 是 (5， 0).故 正 确 ； (-3， y1)关 于 直 线 x=2的 对 称 点 的 坐 标 是 (7， y1)，又 当 x 2 时 ， y 随 x 的 增 大 而 增 大 ， 7 6， y 1 y2.故 错 误 ；综 上 所 述 ， 正 确 的 结 论 是 .答 案 ： C. 12.(4分 )下 面 是 按 照 一 定 规 律 排 列 的 一 列 数 ：第 1 个 数 ： -(1+ )；第 2 个 数 ： -(1+ ) (1+ ) (1+ )；第 3 个 数 ：-(1+ ) (1+ ) (1+ ) (1+
13、) (1+ )； 依 此 规 律 ， 在 第 10 个 数 、 第 11 个 数 、 第 12个 数 、 第 13个 数 中 ， 最 大 的 数 是 ( )A.第 10 个 数B.第 11 个 数 C.第 12 个 数D.第 13 个 数解 析 ： 第 1个 数 ： -(1+ )；第 2 个 数 ： -(1+ ) (1+ ) (1+ )；第 3 个 数 ：-(1+ ) (1+ ) (1+ ) (1+ ) (1+ )； 第 n个 数 为 -(1+ )1+ 1+ 1+ = - ， 第 10个 数 、 第 11个 数 、 第 12 个 数 、 第 13 个 数 分 别 为 - ， - ， - ， -
14、 ， 其 中 最大 的 数 为 - ， 即 第 10个 数 最 大 .答 案 ： A.二 、 填 空 题 (共 4 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 满 分 16分 ， 不 需 写 出 解 答 过 程 ， 请 将 答 案 直 接 写 在答 题 卡 相 应 的 位 置 上 )13.(4分 )分 解 因 式 ： x 3-xy2= .解 析 ： x3-xy2=x(x2-y2)=x(x+y)(x-y).答 案 ： x(x+y)(x-y). 14.(4分 )小 明 从 市 环 境 监 测 网 随 机 查 阅 了 若 干 天 的 空 气 质 量 数 据 作 为 样 本 进 行 统 计 ， 分 别绘 制
15、了 如 图 的 条 形 统 计 图 和 扇 形 统 计 图 ， 根 据 图 中 提 供 的 信 息 ， 可 知 扇 形 统 计 图 中 表 示 空 气质 量 为 优 的 扇 形 的 圆 心 角 的 度 数 为 .解 析 ： 根 据 题 意 得 ： 随 机 查 阅 的 总 天 数 是 ： =30(天 )， 优 的 天 数 是 ： 30-18-3=9(天 )，则 空 气 质 量 为 优 的 扇 形 的 圆 心 角 的 度 数 为 ： 360 =108 ；答 案 ： 108 .15.(4分 )已 知 a b， 如 果 + = ， ab=2， 那 么 a-b 的 值 为 .解 析 ： + = = ，
16、将 ab=2代 入 得 ： a+b=3， (a-b) 2=(a+b)2-4ab=9-8=1， a b， a-b 0， 则 a-b=1.答 案 ： 116.(4分 )如 图 ， 在 Rt OAB中 ， OA=4， AB=5， 点 C在 OA上 ， AC=1， P 的 圆 心 P 在 线 段 BC上 ， 且 P与 边 AB， AO 都 相 切 .若 反 比 例 函 数 y= (k 0)的 图 象 经 过 圆 心 P， 则 k= . 解 析 ： 设 P 与 边 AB， AO分 别 相 切 于 点 E、 D， 连 接 PE、 PD、 PA， 如 图 所 示 .则 有 PD OA， PE AB.设 P
17、的 半 径 为 r， AB=5， AC=1， S APB= AB PE= r， S APC= AC PD= r. OAB=90 ， OA=4， AB=5， OB=3. S ABC= AC OB= 1 3= . S ABC=S APB+S APC， = r+ r. r= . PD= . PD OA， AOB=90 ， PDC= BOC=90 . PD BO. PDC BOC. = . PD OC=CD BO. (4-1)=3CD. CD= . OD=OC-CD=3- = . 点 P 的 坐 标 为 ( ， ). 反 比 例 函 数 y= (k 0)的 图 象 经 过 圆 心 P， k= = .答
18、 案 ： . 三 、 解 答 题 (本 大 题 共 6 小 题 ， 满 分 64分 ， 请 在 答 题 卡 指 定 区 域 内 作 答 ， 解 答 时 应 写 出 必要 的 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 )17.(8分 )为 了 进 一 步 落 实 “ 节 能 减 排 ” 措 施 ， 冬 季 供 暖 来 临 前 ， 某 单 位 决 定 对 7200平 方 米的 “ 外 墙 保 温 ” 工 程 进 行 招 标 ， 现 有 甲 、 乙 两 个 工 程 队 参 与 投 标 ， 比 较 这 两 个 工 程 队 的 标 书发 现 ： 乙 队 每 天 完 成 的 工 程 量 是
19、甲 队 的 1.5倍 ， 这 样 乙 队 单 独 干 比 甲 队 单 独 干 能 提 前 15 天完 成 任 务 .问 甲 队 每 天 完 成 多 少 平 方 米 ？解 析 ： 设 甲 队 每 天 完 成 x米 2， 乙 队 每 天 完 成 1.5 x 米 2， 根 据 题 意 得 - =15，解 得 x=160，经 检 验 ， x=160， 是 所 列 方 程 的 解 .答 ： 甲 队 每 天 完 成 160 米 2.18.(8分 )在 某 班 “ 讲 故 事 ” 比 赛 中 有 一 个 抽 奖 活 动 ， 活 动 规 则 是 ： 只 有 进 入 最 后 决 赛 的 甲 、乙 、 丙 三 位
20、 同 学 ， 每 人 才 能 获 得 一 次 抽 奖 机 会 .在 如 图 所 示 的 翻 奖 牌 正 面 的 4 个 数 字 中 选 一个 数 字 ， 选 中 后 就 可 以 得 到 该 数 字 后 面 的 相 应 奖 品 ： 前 面 的 人 选 中 的 数 字 ， 后 面 的 人 就 不 能再 选 择 数 字 了 . (1)请 用 树 状 图 (或 列 表 )的 方 法 求 甲 、 乙 二 人 得 到 的 奖 品 都 是 计 算 器 的 概 率 .(2)有 的 同 学 认 为 ， 如 果 甲 先 翻 奖 牌 ， 那 么 他 得 到 篮 球 的 概 率 会 大 些 ， 这 种 说 法 正 确
21、 吗 ？ 请说 明 理 由 .解 析 ： (1)首 先 画 树 形 图 可 知 ： 一 共 有 24种 情 况 ， 甲 、 乙 二 人 都 得 到 计 算 器 共 有 4 种 情 况 除以 总 情 况 数 即 为 所 求 概 率 ；(2)根 据 (1)中 的 树 形 图 ， 分 别 求 出 甲 、 乙 、 丙 得 到 篮 球 的 概 率 即 可 .解 答 (1)所 有 获 奖 情 况 的 树 状 图 如 下 ： 共 有 24种 可 能 的 情 况 ， 其 中 甲 、 乙 二 人 都 得 到 计 算 器 共 有 4 种 情 况 ，所 以 ， 甲 、 乙 二 人 都 得 计 算 器 的 概 率 为
22、 ： P= ；(2)这 种 说 法 是 不 正 确 的 .由 上 面 的 树 状 图 可 知 共 有 24种 可 能 情 况 ：甲 得 到 篮 球 有 六 种 可 能 情 况 ： P(甲 )= = ，乙 得 到 篮 球 有 六 种 可 能 情 况 ： P(乙 )= = ，丙 得 到 篮 球 有 六 种 可 能 情 况 ： P(丙 )= = ，所 以 甲 、 乙 、 丙 三 人 不 管 谁 先 翻 奖 牌 得 到 篮 球 的 概 率 都 相 等 .19.(10分 )如 图 ， 在 正 方 形 ABCD中 ， 边 长 AB=3， 点 E(与 B， C 不 重 合 )是 BC 边 上 任 意 一 点
23、 ， 把 EA 绕 点 E 顺 时 针 方 向 旋 转 90 到 EF， 连 接 CF.(1)求 证 ： CF是 正 方 形 ABCD的 外 角 平 分 线 ；(2)当 BAE=30 时 ， 求 CF 的 长 .解 析 ： (1)过 点 F 作 FG BC 于 点 G， 易 证 ABE EGF， 所 以 可 得 到 AB=EG， BE=FG， 由 此 可得 到 FCG= 45 ， 即 CF平 分 DCG， 所 以 CF 是 正 方 形 ABCD外 角 的 平 分 线 ；(2)首 先 可 求 出 BE 的 长 ， 即 FG 的 长 ， 再 在 Rt CFG中 ， 利 用 cos45 即 可 求
24、出 CF的 长 .答 案 ： (1)过 点 F 作 FG BC 于 点 G. AEF= B= 90 ， 1= 2. 在 ABE和 EGF中 ， ABE EGF(AAS). AB=EG， BE=FG.又 AB=BC， BE=CG， FG=CG， FCG= 45 ， 即 CF平 分 DCG， CF 是 正 方 形 ABCD外 角 的 平 分 线 .(2) AB=3， BAE=30 ， tan30 = ，BE=AB tan30 =3 ， 即 CG= .在 Rt CFG中 ， cos45 = ， CF= . 20.(10分 )如 图 ， 为 了 绿 化 小 区 ， 某 物 业 公 司 要 在 形 如
25、五 边 形 ABCDE 的 草 坪 上 建 一 个 矩 形 花坛 PKDH.已 知 ： PH AE， PK BC， DE=100 米 ， EA=60米 ， BC=70 米 ， CD=80 米 .以 BC 所 在 直线 为 x轴 ， AE 所 在 直 线 为 y 轴 ， 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 坐 标 原 点 为 O.( )求 直 线 AB 的 解 析 式 .( )若 设 点 P 的 横 坐 标 为 x， 矩 形 PKDH的 面 积 为 S.(1)用 x 表 示 S；(2)当 x 为 何 值 时 ， S取 最 大 值 ， 并 求 出 这 个 最 大 值 . 解 析 ： ( )根
26、据 题 意 易 求 A、 B 的 坐 标 为 (0， 20)、 (30， 0).利 用 待 定 系 数 法 可 以 求 得 直 线AB的 解 析 式 ；( )(1)点 P 的 坐 标 可 以 表 示 为 (x， - x+20)， 则 PK=100-x， PH=80-(- x+20)=60+ x， 所以 根 据 矩 形 的 面 积 公 式 可 以 求 得 函 数 解 析 式 为 ： S=(100-x)(60+ x)；(2)利 用 (1)中 的 二 次 函 数 的 性 质 来 求 S 的 最 大 值 .答 案 ： ( )如 图 所 示 ， OE=80 米 ， OC=ED=100米 ， AE=60
27、米 ， BC=70 米 ， OA=20 米 ， OB=30米 ，即 A、 B 的 坐 标 为 (0， 20)、 (30， 0).设 直 线 AB 的 解 析 式 为 y=kx+b(k 0)， 则 ， 解 得 ， ， 则 直 线 AB 的 解 析 式 为 y=- x+20；( )(1)设 点 P 的 坐 标 为 P(x， y). 点 P在 直 线 AB上 ， 所 以 点 P 的 坐 标 可 以 表 示 为 (x， - x+20)， PK=100-x， PH=80-(- x+20)=60+ x， S=(100-x)(60+ x)； (2)由 S=(100-x)(60+ x)=-( x-10)2+
28、，所 以 当 x=10时 ， 矩 形 面 积 的 最 大 值 为 ： S 最 大 = 平 方 米 . 21.(14分 )阅 读 资 料 ： 小 明 是 一 个 爱 动 脑 筋 的 学 生 ， 他 在 学 习 了 有 关 圆 的 切 线 性 质 后 ， 意 犹未 尽 ， 又 查 阅 到 了 与 圆 的 切 线 相 关 的 一 个 问 题 ：如 图 1， 已 知 PC是 O 的 切 线 ， AB 是 O的 直 径 ， 延 长 BA 交 切 线 PC与 P， 连 接 AC、 BC、 OC.因 为 PC是 O 的 切 线 ， AB是 O 的 直 径 ， 所 以 OCP= ACB=90 ， 所 以 B=
29、 2.在 PAC与 PCB中 ， 又 因 为 ： P= P， 所 以 PAC PCB， 所 以 = ， 即 PC2=PA PB.问 题 拓 展 ：( )如 果 PB不 经 过 O 的 圆 心 O(如 图 2)等 式 PC 2=PA PB， 还 成 立 吗 ？ 请 证 明 你 的 结 论 ；综 合 应 用 ：( )如 图 3， O是 ABC 的 外 接 圆 ， PC 是 O的 切 线 ， C 是 切 点 ， BA的 延 长 线 交 PC于 点 P；(1)当 AB=PA， 且 PC=12 时 ， 求 PA的 值 ；(2)D是 BC的 中 点 ， PD 交 AC 于 点 E.求 证 ： = . 解
30、析 ： ( )证 法 一 ： 如 图 2-1， 连 接 PO并 延 长 交 O于 点 D， E， 连 接 BD、 AE， 易 证 得 PBD PEA，然 后 由 相 似 三 角 形 的 对 应 边 成 比 例 ， 可 得 PA PB=PD PE， 由 图 1知 ， PC 2=PD PE， 即 可 证得 结 论 ；证 法 二 ： 如 图 2-2， 过 点 C 作 O 的 直 径 CD， 连 接 AD， BC， AC， 由 PC 是 O的 切 线 ， 易 证得 PBC PCA， 然 后 由 相 似 三 角 形 的 对 应 边 成 比 例 ， 证 得 结 论 ；( )(1)由 (1)得 ， PC 2
31、=PA PB， PC=12， AB=PA， 即 可 求 得 PC 2=PA PB=PA(PA+AB)=2PA2， 继而 求 得 答 案 ； (2)证 法 一 ： 过 点 A 作 AF BC， 交 PD于 点 F， 由 平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理 即 可 求 得 = ，= ， 又 由 PC 2=PA PB， 即 可 证 得 结 论 ；证 法 二 ： 过 点 A作 AG BC， 交 BC于 点 G， 由 平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理 即 可 求 得 = ， = ，又 由 PC 2=PA PB， 即 可 证 得 结 论 .答 案 ： ( )当 PB 不 经 过 O的 圆
32、 心 O时 ， 等 式 PC 2=PAPB 仍 然 成 立 .证 法 一 ： 如 图 2-1， 连 接 PO 并 延 长 交 O 于 点 D， E， 连 接 BD、 AE， B= E， BPD= APE， PBD PEA， ， 即 PA PB=PD PE，由 图 1知 ， PC2=PD PE， PC2=PA PB.证 法 二 ： 如 图 2-2， 过 点 C 作 O 的 直 径 CD， 连 接 AD， BC， AC， PC 是 O的 切 线 ， PC CD， CAD= PCD=90 ， 即 1+ 2=90 ， D+ 1=90 ， D= 2. D= B， B= 2， P= P， PBC PCA，
33、 所 以 ， 即 PC 2=PA PB.( )由 (1)得 ， PC2=PA PB， PC=12， AB=PA， PC2=PA PB=PA(PA+AB)=2PA2， 2PA2=144， PA= 6 (负 值 无 意 义 ， 舍 去 ). PA=6 .(2)证 法 一 ： 过 点 A 作 AF BC， 交 PD 于 点 F， = ， = . D 为 BC 的 中 点 ， BD=CD， = ， = . PC 2=PA PB， = = = ， 即 = .证 法 二 ： 过 点 A作 AG BC， 交 BC于 点 G， = ， = . D 为 BC 的 中 点 ， BD=CD， = ， = . PC
34、2=PA PB， = = = ， 即 = . 22.(14分 )如 图 1， 在 菱 形 OABC中 ， 已 知 OA=2 ， AOC=60 ， 抛 物 线 y=ax2+bx+c(a 0)经 过 O， C， B 三 点 .( )求 出 点 B、 C 的 坐 标 并 求 抛 物 线 的 解 析 式 .( )如 图 2， 点 E 是 AC的 中 点 ， 点 F 是 AB 的 中 点 ， 直 线 AG 垂 直 BC 于 点 G， 点 P 在 直 线 AG上 .(1)当 OP+PC 的 最 小 值 时 ， 求 出 点 P 的 坐 标 ；(2)在 (1)的 条 件 下 ， 连 接 PE、 PF、 EF
35、得 PEF， 问 在 抛 物 线 上 是 否 存 在 点 M， 使 得 以 M， B，C为 顶 点 的 三 角 形 与 PEF相 似 ？ 若 存 在 ， 请 求 出 点 M 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 . 解 析 ： ( )作 CH OA 于 点 H， 通 过 解 三 角 函 数 求 得 A、 C的 坐 标 ， 由 菱 形 的 性 质 得 出 B 点 的坐 标 ， 然 后 应 用 待 定 系 数 法 即 可 求 得 解 析 式 .( )(1)先 求 得 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 和 与 x 轴 的 另 一 个 交 点 坐 标 ， 当 OP+PC 最 小 时 ，
36、 由 对 称 性可 知 ， OP+PC=OB.由 于 OB是 菱 形 ABCO 的 对 角 线 ， 即 可 求 得 AOB=30 ， 然 后 通 过 解 直 角 三角 函 数 即 可 求 得 AP 的 长 ， 进 而 求 得 P 点 的 坐 标 ；(2)先 求 得 PEF是 底 角 为 30 的 等 腰 三 角 形 ， 根 据 OC=BC=BD=2 ， BOC= BDC=30 ，求 得 OBC BCD PEF， 又 因 为 AQ=4， AG=3， BC=2 ， 所 以 GQ=1， BG= ， 所 以 ，tan GBQ= = ， 即 GBQ=30 ， 得 出 BQC也 是 底 角 为 30 的
37、等 腰 三 角 形 ， 即 可 求 得符 合 条 件 的 点 M 的 坐 标 .答 案 ： ( )如 图 1， 作 CH OA于 点 H， 四 边 形 OABC是 菱 形 ， OA=2 ， AOC=60 ， OC=2 ，OH=sin60 2 = ， CH=cos60 2 =3，A点 坐 标 为 (2 ， 0)， C 点 的 坐 标 为 ( ， 3)，由 菱 形 的 性 质 得 B 点 的 坐 标 为 (3 ， 3).设 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=ax2+bx+c， 根 据 题 意 得 ，解 得 a=- ， b= ， c=0， 所 以 y=- x 2+ x.( )(1)如 图 2， 由
38、 ( )知 抛 物 线 的 解 析 式 为 ： y=- x2+ x，所 以 对 称 轴 为 x=2 ， 顶 点 为 Q(2 ， 4).设 抛 物 线 与 x 轴 的 另 一 个 交 点 为 D， 令 y=0， 得 ， x 2-4 x=0，解 得 x1=0， x2=4 ， 所 以 点 D的 坐 标 为 (4 ， 0)， 点 A的 坐 标 为 (2 ， 0)， 对 称 轴 为 x=2 ， 且 AG BC， 直 线 AG 为 抛 物 线 的 对 称 轴 . B、 C两 点 关 于 直 线 AG对 称 ，当 OP+PC 最 小 时 ， 由 对 称 性 可 知 ， OP+PC=OB.即 OB， AG 的
39、 交 点 为 点 P， AOC=60 ， OB 为 菱 形 OABC的 对 角 线 ， AOB=30 ，即 AP=OAtan30 =2 =2， 所 以 点 P的 坐 标 为 (2 ， 2).(2)连 接 OB， CD， CQ， BQ， 由 (1)知 直 线 AG为 抛 物 线 的 对 称 轴 ， 则 四 边 形 ODBC 是 关 于 AG成 轴 对 称 的 图 形 . 点 E是 OB中 点 ， 点 F 是 AB的 中 点 ， 点 P在 抛 物 ，线 的 对 称 轴 上 ， PE=PF， EF OD， CQ=BQ， PEF= BOA=30 ，即 PEF是 底 角 为 30 的 等 腰 三 角 形 .在 OBC、 BCD中 ， OC=BC=BD=2 ， BOC= BDC=30 ， 所 以 OBC BCD PEF，所 以 符 合 条 件 的 点 的 坐 标 为 (0， 0)， (4 ， 0).又 因 为 AQ=4， AG=3， BC=2 ， 所 以 GQ=1， BG= ， 所 以 tan GBQ= = ， 即 GBQ=30 ， BQC也 是 底 角 为 30 的 等 腰 三 角 形 ， Q 点 的 (2 ， 4)，所 以 符 合 条 件 的 点 M的 坐 标 为 (0， 0)， (4 ， 0)， (2 ， 4).
