1、2014年 广 东 省 广 州 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (共 10小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 30 分 )1.(3分 )a(a 0)的 相 反 数 是 ( )A.-aB.a2C.|a|D.解 析 ： a 的 相 反 数 为 -a.答 案 ： A.2.(3分 )下 列 图 形 中 ， 是 中 心 对 称 图 形 的 是 ( ) A.B.C.D. 解 析 ： A、 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；B、 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；C、 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；
2、D、 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 正 确 ；答 案 ： D.3.(3分 )如 图 ， 在 边 长 为 1 的 小 正 方 形 组 成 的 网 格 中 ， ABC 的 三 个 顶 点 均 在 格 点 上 ， 则tanA=( ) A. B.C.D.解 析 ： 在 直 角 ABC中 ， ABC=90 ， tanA= = .答 案 ： D.4.(3分 )下 列 运 算 正 确 的 是 ( )A.5ab-ab=4B. + = C.a6 a2=a4D.(a2b)3=a5b3解 析 ： A、 原 式 =4ab， 错 误 ；B、 原 式 = ， 错 误 ；C、 原 式 =a4， 正 确 ；
3、D、 原 式 =a6b3， 错 误 ，答 案 ： C5.(3分 )已 知 O 1和 O2的 半 径 分 别 为 2cm 和 3cm， 若 O1O2=7cm， 则 O1和 O2的 位 置 关 系 是( )A.外 离B.外 切C.内 切D.相 交解 析 ： O1与 O2的 半 径 分 别 为 3cm、 2cm， 且 圆 心 距 O1O2=7cm，又 3+2 7， 两 圆 的 位 置 关 系 是 外 离 .答 案 ： A.6.(3分 )计 算 ， 结 果 是 ( ) A.x-2B.x+2C.D.解 析 ： = =x+2， 答 案 ： B.7.(3分 )在 一 次 科 技 作 品 制 作 比 赛 中
4、， 某 小 组 八 件 作 品 的 成 绩 (单 位 ： 分 )分 别 是 7， 10， 9，8， 7， 9， 9， 8， 对 这 组 数 据 ， 下 列 说 法 正 确 的 是 ( )A.中 位 数 是 8B.众 数 是 9C.平 均 数 是 8D.极 差 是 7解 析 ： A、 按 从 小 到 大 排 列 为 ： 7， 7， 8， 8， 9， 9， 9， 10， 中 位 数 是 ： (8+9) 2=8.5， 故 本选 项 错 误 ；B、 9 出 现 了 3 次 ， 次 数 最 多 ， 所 以 众 数 是 9， 故 本 选 项 正 确 ；C、 平 均 数 =(7+10+9+8+7+9+9+8
5、) 8=8.375， 故 本 选 项 错 误 ；D、 极 差 是 ： 10-7=3， 故 本 选 项 错 误 . 答 案 ： B.8.(3分 )将 四 根 长 度 相 等 的 细 木 条 首 尾 相 接 ， 用 钉 子 钉 成 四 边 形 ABCD， 转 动 这 个 四 边 形 ， 使它 形 状 改 变 ， 当 B=90 时 ， 如 图 1， 测 得 AC=2， 当 B=60 时 ， 如 图 2， AC=( )A.B.2 C.D.2解 析 ： 如 图 1， AB=BC=CD=DA， B=90 ， 四 边 形 ABCD是 正 方 形 ，连 接 AC， 则 AB2+BC2=AC2， AB=BC=
6、= = ，如 图 2， B=60 ， 连 接 AC， ABC为 等 边 三 角 形 ， AC=AB=BC= . 9.(3分 )已 知 正 比 例 函 数 y=kx(k 0)的 图 象 上 两 点 A(x1， y1)、 B(x2， y2)， 且 x1 x2， 则 下 列不 等 式 中 恒 成 立 的 是 ( )A. y1+y2 0 B.y1+y2 0C.y1-y2 0D.y1-y2 0解 析 ： 直 线 y=kx 的 k 0， 函 数 值 y 随 x 的 增 大 而 减 小 ， x1 x2， y1 y2， y1-y2 0.答 案 ： C.10.(3分 )如 图 ， 四 边 形 ABCD、 CEF
7、G都 是 正 方 形 ， 点 G在 线 段 CD上 ， 连 接 BG、 DE， DE和 FG相 交 于 点 O， 设 AB=a， CG=b(a b).下 列 结 论 ： BCG DCE； BG DE； = ； (a-b) 2 S EFO=b2 S DGO.其 中 结 论 正 确 的 个 数 是 ( )A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个 解 析 ： 四 边 形 ABCD 和 四 边 形 CEFG是 正 方 形 ， BC=DC， CG=CE， BCD= ECG=90 ， BCG= DCE，在 BCG和 DCE中 ， ， BCG DCE(SAS)， BCG DCE， CBG= CDE，又 CB
8、G+ BGC=90 ， CDE+ DGH=90 ， DHG=90 ， BH DE； 四 边 形 GCEF是 正 方 形 ， GF CE， = ， = 是 错 误 的 . DC EF， GDO= OEF， GOD= FOE， OGD OFE， =( ) 2=( )2= ， (a-b)2 S EFO=b2 S DGO.故 应 选 B二 、 填 空 题 (共 6 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 18分 )11.(3分 ) ABC中 ， 已 知 A=60 ， B=80 ， 则 C 的 外 角 的 度 数 是 .解 析 ： A=60 ， B=80 ， C的 外 角 = A+ B=60 +80
9、 =140 .答 案 ： 140. 12.(3分 )已 知 OC是 AOB的 平 分 线 ， 点 P在 OC上 ， PD OA， PE OB， 垂 足 分 别 为 点 D、 E，PD=10， 则 PE 的 长 度 为 .解 析 ： OC是 AOB的 平 分 线 ， PD OA， PE OB， PE=PD=10.答 案 ： 10.13.(3分 )代 数 式 有 意 义 时 ， x应 满 足 的 条 件 为 . 解 析 ： 由 题 意 得 ， |x|-1 0， 解 得 x 1.答 案 ： x 1.14.(3分 )一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 ， 根 据 图 示 的 数 据 计 算 该
10、 几 何 体 的 全 面 积 为 .(结果 保 留 ) 解 析 ： 如 图 所 示 可 知 ， 圆 锥 的 高 为 4， 底 面 圆 的 直 径 为 6， 圆 锥 的 母 线 为 ： 5， 根 据 圆 锥 的 侧 面 积 公 式 ： rl= 3 5=15 ，底 面 圆 的 面 积 为 ： r2=9 ， 该 几 何 体 的 表 面 积 为 24 .故 答 案 为 ： 24 .15.(3分 )已 知 命 题 ： “ 如 果 两 个 三 角 形 全 等 ， 那 么 这 两 个 三 角 形 的 面 积 相 等 .” 写 成 它 的 逆命 题 ： ， 该 逆 命 题 是 命 题 (填 “ 真 ” 或 “
11、 假 ” ).解 析 ： “ 如 果 两 个 三 角 形 全 等 ， 那 么 这 两 个 三 角 形 的 面 积 相 等 .” 写 成 它 的 逆 命 题 ： 如 果 两个 三 角 形 的 面 积 相 等 ， 那 么 这 两 个 三 角 形 全 等 ， 该 逆 命 题 是 假 命 题 ，答 案 ： 如 果 两 个 三 角 形 的 面 积 相 等 ， 那 么 这 两 个 三 角 形 全 等 ， 假 .16.(3分 )若 关 于 x 的 方 程 x 2+2mx+m2+3m-2=0有 两 个 实 数 根 x1、 x2， 则 x1(x2+x1)+x22的 最 小 值为 .解 析 ： 由 题 意 知 ，
12、 方 程 x2+2mx+m2+3m-2=0有 两 个 实 数 根 ，则 =b2-4ac=4m2-4(m2+3m-2)=8-12m 0， m ， x1(x2+x1)+x22=(x2+x1)2-x1x2=(-2m)2-(m2+3m-2)=3m2-3m+2=3(m2-m+ + )+2=3(m- )2 + ； 当 m= 时 ， 有 最 小 值 ； ， m= 成 立 ； 最 小 值 为 ；答 案 ： .三 、 解 答 题 (共 9 小 题 ， 满 分 102分 )17.(9分 )解 不 等 式 ： 5x-2 3x， 并 在 数 轴 上 表 示 解 集 .解 析 ： 移 项 ， 合 并 同 类 项 ， 系
13、 数 化 成 1 即 可 . 答 案 ： 5x-2 3x，5x-3x 2，2x 2，x 1，在 数 轴 上 表 示 为 ： .18.(9分 )如 图 ， ABCD 的 对 角 线 AC、 BD 相 交 于 点 O， EF过 点 O 且 与 AB， CD分 别 相 交 于 点E、 F， 求 证 ： AOE COF. 解 析 ： 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 得 出 OA=OC， AB CD， 推 出 EAO= FCO， 证 出 AOE COF即 可 .答 案 ： 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， OA=OC， AB CD， EAO= FCO，在 AOE和 COF中 ， ，
14、 AOE COF(ASA).19.(10分 )已 知 多 项 式 A=(x+2) 2+(1-x)(2+x)-3.(1)化 简 多 项 式 A；(2)若 (x+1)2=6， 求 A的 值 .解 析 ： (1)先 算 乘 法 ， 再 合 并 同 类 项 即 可 ；(2)求 出 x+1 的 值 ， 再 整 体 代 入 求 出 即 可 .答 案 ： (1)A=(x+2)2+(1-x)(2+x)-3=x2+4x+4+2+x-2x-x2-3=3x+3；(2) (x+1)2=6， x+1= ， A=3x+3=3(x+1)= 3 . A= 3 . 20.(10分 )某 校 初 三 (1)班 50名 学 生 需
15、 要 参 加 体 育 “ 五 选 一 ” 自 选 项 目 测 试 ， 班 上 学 生 所 报自 选 项 目 的 情 况 统 计 表 如 下 ：(1)求 a， b的 值 ；(2)若 将 各 自 选 项 目 的 人 数 所 占 比 例 绘 制 成 扇 形 统 计 图 ， 求 “ 一 分 钟 跳 绳 ” 对 应 扇 形 的 圆 心角 的 度 数 ； (3)在 选 报 “ 推 铅 球 ” 的 学 生 中 ， 有 3 名 男 生 ， 2 名 女 生 ， 为 了 了 解 学 生 的 训 练 效 果 ， 从 这 5名 学 生 中 随 机 抽 取 两 名 学 生 进 行 推 铅 球 测 试 ， 求 所 抽 取
16、 的 两 名 学 生 中 至 多 有 一 名 女 生 的 概率 .解 析 ： (1)根 据 表 格 求 出 a 与 b 的 值 即 可 ；(2)根 据 表 示 做 出 扇 形 统 计 图 ， 求 出 “ 一 分 钟 跳 绳 ” 对 应 扇 形 的 圆 心 角 的 度 数 即 可 ；(3)列 表 得 出 所 有 等 可 能 的 情 况 数 ， 找 出 抽 取 的 两 名 学 生 中 至 多 有 一 名 女 生 的 情 况 ， 即 可 求出 所 求 概 率 .答 案 ： (1)根 据 题 意 得 ： a=1-(0.18+0.16+0.32+0.10)=0.24； b= 0.32=16；(2)作 出
17、 扇 形 统 计 图 ， 如 图 所 示 ： 根 据 题 意 得 ： 360 0.16=57.6 ；(3)列 表 如 下 ：所 有 等 可 能 的 情 况 有 20 种 ， 其 中 抽 取 的 两 名 学 生 中 至 多 有 一 名 女 生 的 情 况 有 18种 ，则 P= = . 21.(12分 )已 知 一 次 函 数 y=kx-6 的 图 象 与 反 比 例 函 数 y=- 的 图 象 交 于 A、 B两 点 ， 点 A 的横 坐 标 为 2.(1)求 k 的 值 和 点 A 的 坐 标 ；(2)判 断 点 B 所 在 象 限 ， 并 说 明 理 由 .解 析 ： (1)先 把 x=2
18、代 入 反 比 例 函 数 解 析 式 得 到 y=-k， 则 A 点 坐 标 表 示 为 (2， -k)， 再 把 A(2，-k)代 入 y=kx-6可 计 算 出 k， 从 而 得 到 A 点 坐 标 ；(2)由 (1)得 到 一 次 函 数 与 反 比 例 函 数 的 解 析 式 分 别 为 y=2x-6， y=- ， 根 据 反 比 例 函 数 与 一次 函 数 的 交 点 问 题 ， 解 方 程 组 即 可 得 到 B 点 坐 标 .答 案 ： (1)把 x=2代 入 y=- 得 y=-k， 把 A(2， -k)代 入 y=kx-6得 2k-6=k， 解 得 k=2， 所 以 A 点
19、 坐 标 为 (2， -2)；(2)B点 在 第 四 象 限 .理 由 如 下 ：一 次 函 数 与 反 比 例 函 数 的 解 析 式 分 别 为 y=2x-6， y=- ，解 方 程 组 得 或 ，所 以 B点 坐 标 为 (1， -4)，所 以 B 点 在 第 四 象 限 .22.(12分 )从 广 州 到 某 市 ， 可 乘 坐 普 通 列 车 或 高 铁 ， 已 知 高 铁 的 行 驶 路 程 是 400千 米 ， 普 通列 车 的 行 驶 路 程 是 高 铁 的 行 驶 路 程 的 1.3倍 .(1)求 普 通 列 车 的 行 驶 路 程 ； (2)若 高 铁 的 平 均 速 度
20、(千 米 /时 )是 普 通 列 车 平 均 速 度 (千 米 /时 )的 2.5 倍 ， 且 乘 坐 高 铁 所 需时 间 比 乘 坐 普 通 列 车 所 需 时 间 缩 短 3 小 时 ， 求 高 铁 的 平 均 速 度 .解 析 ： (1)根 据 高 铁 的 行 驶 路 程 是 400 千 米 和 普 通 列 车 的 行 驶 路 程 是 高 铁 的 行 驶 路 程 的 1.3倍 ， 两 数 相 乘 即 可 得 出 答 案 ；(2)设 普 通 列 车 平 均 速 度 是 x 千 米 /时 ， 根 据 高 铁 所 需 时 间 比 乘 坐 普 通 列 车 所 需 时 间 缩 短 3小 时 ，
21、列 出 分 式 方 程 ， 然 后 求 解 即 可 ；答 案 ： (1)根 据 题 意 得 ： 400 1.3=520(千 米 )，答 ： 普 通 列 车 的 行 驶 路 程 是 520千 米 ；(2)设 普 通 列 车 平 均 速 度 是 x 千 米 /时 ， 根 据 题 意 得 ： - =3， 解 得 ： x=120，经 检 验 x=120 是 原 方 程 的 解 ， 则 高 铁 的 平 均 速 度 是 120 2.5=300(千 米 /时 )，答 ： 高 铁 的 平 均 速 度 是 300 千 米 /时 . 23.(12分 )如 图 ， ABC 中 ， AB=AC=4 ， cosC= .
22、 (1)动 手 操 作 ： 利 用 尺 规 作 以 AC 为 直 径 的 O， 并 标 出 O与 AB的 交 点 D， 与 BC的 交 点 E(保留 作 图 痕 迹 ， 不 写 作 法 )；(2)综 合 应 用 ： 在 你 所 作 的 图 中 ， 求 证 ： = ； 求 点 D 到 BC 的 距 离 .解 析 ： (1)先 作 出 AC的 中 垂 线 ， 再 画 圆 . (2)边 接 AE， AE是 BC的 中 垂 线 ， DAE= CAE， 得 出 = ；(3)利 用 BDE BCA求 出 BD， 再 利 用 余 弦 求 出 BM， 用 勾 股 定 理 求 出 DM.答 案 ： (1)如 图
23、(2)如 图 ， 连 接 AE， AC 为 直 径 ， AEC=90 ， AB=AC， DAE= CAE， = ；(3)如 图 ， 连 接 AE， DE， 作 DM BC交 BC于 点 M， AC 为 直 径 ， AEC=90 ， AB=AC=4 ， cosC= . EC=BE=4， BC=8， 点 A、 D、 E、 C 共 圆 ADE+ C=180 ， 又 ADE+ BDE=180 ， BDE= C， BDE BCA， = ， 即 BD BA=BE BC， BD 4 =4 8 BD= ， B= C， cos C=cos B= ， = ， BM= ， DM= = = .24.(14分 )已 知
24、 平 面 直 角 坐 标 系 中 两 定 点 A(-1， 0)、 B(4， 0)， 抛 物 线 y=ax2+bx-2(a 0)过点 A， B， 顶 点 为 C， 点 P(m， n)(n 0)为 抛 物 线 上 一 点 .(1)求 抛 物 线 的 解 析 式 和 顶 点 C 的 坐 标 ；(2)当 APB为 钝 角 时 ， 求 m 的 取 值 范 围 ；(3)若 m ， 当 APB为 直 角 时 ， 将 该 抛 物 线 向 左 或 向 右 平 移 t(0 t )个 单 位 ， 点 C、 P平 移 后 对 应 的 点 分 别 记 为 C 、 P ， 是 否 存 在 t， 使 得 首 位 依 次 连
25、 接 A、 B、 P 、 C 所 构 成 的 多 边 形 的 周 长 最 短 ？ 若 存 在 ， 求 t的 值 并 说 明 抛 物 线 平 移 的 方 向 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理由 .解 析 ： (1)待 定 系 数 法 求 解 析 式 即 可 ， 求 得 解 析 式 后 转 换 成 顶 点 式 即 可 .(2)因 为 AB为 直 径 ， 所 以 当 抛 物 线 上 的 点 P在 C 的 内 部 时 ， 满 足 APB为 钝 角 ， 所 以 -1 m 0， 或 3 m 4.(3)左 右 平 移 时 ， 使 A D+DB 最 短 即 可 ， 那 么 作 出 点 C 关 于 x 轴
26、 对 称 点 的 坐 标 为 C ， 得到 直 线 P C 的 解 析 式 ， 然 后 把 A 点 的 坐 标 代 入 即 可 .答 案 ： (1) 抛 物 线 y=ax 2+bx-2(a 0)过 点 A， B， ， 解 得 ： ， 抛 物 线 的 解 析 式 为 ： y= x2- x-2； y= x2- x-2= (x- )2- ， C( ， - ).(2)如 图 1， 以 AB为 直 径 作 圆 M， 则 抛 物 线 在 圆 内 的 部 分 ， 能 是 APB为 钝 角 ， M( ， 0)， M的 半 径 = . P 是 抛 物 线 与 y 轴 的 交 点 ， OP=2， MP= = ，
27、P 在 M 上 ， P 的 对 称 点 (3， -2)， 当 -1 m 0 或 3 m 4 时 ， APB为 钝 角 .(3)存 在 ； 抛 物 线 向 左 或 向 右 平 移 ， 因 为 AB、 P C 是 定 值 ， 所 以 A、 B、 P 、 C 所 构 成 的 多 边 形 的周 长 最 短 ， 只 要 AC +BP 最 小 ；第 一 种 情 况 ： 抛 物 线 向 右 平 移 ， AC +BP AC+BP，第 二 种 情 况 ： 向 左 平 移 ， 如 图 2 所 示 ， 由 (2)可 知 P(3， -2)， 又 C( ， - )， C( -t， - )， P(3-t， -2)， AB
28、=5， P (-2-t， -2)，要 使 AC +BP 最 短 ， 只 要 AC +AP 最 短 即 可 ，点 C 关 于 x 轴 的 对 称 点 C ( -t， )，设 直 线 P C 的 解 析 式 为 ： y=kx+b， 解 得 ， 直 线 y= x+ t+ ，点 A 在 直 线 上 ， - + t+ =0， t= . 故 将 抛 物 线 向 左 平 移 个 单 位 连 接 A、 B、 P 、 C 所 构 成 的 多 边 形 的 周 长 最 短 .25.(14分 )如 图 ， 梯 形 ABCD中 ， AB CD， ABC=90 ， AB=3， BC=4， CD=5.点 E为 线 段 CD
29、上 一 动 点 (不 与 点 C 重 合 )， BCE关 于 BE 的 轴 对 称 图 形 为 BFE， 连 接 CF.设 CE=x， BCF的 面 积 为 S1， CEF的 面 积 为 S2.(1)当 点 F 落 在 梯 形 ABCD的 中 位 线 上 时 ， 求 x 的 值 ；(2)试 用 x 表 示 ， 并 写 出 x 的 取 值 范 围 ；(3)当 BFE的 外 接 圆 与 AD相 切 时 ， 求 的 值 . 解 析 ： (1)利 用 梯 形 中 位 线 的 性 质 ， 证 明 BCF是 等 边 三 角 形 ； 然 后 解 直 角 三 角 形 求 出 x 的值 ；(2)利 用 相 似
30、三 角 形 (或 射 影 定 理 )求 出 线 段 EG 与 BE 的 比 ， 然 后 利 用 = 求 解 ；(3)依 题 意 作 出 图 形 ， 当 BFE的 外 接 圆 与 AD相 切 时 ， 线 段 BC的 中 点 O 成 为 圆 心 .作 辅 助 线 ，如 答 图 3， 构 造 一 对 相 似 三 角 形 OMP ADH， 利 用 比 例 关 系 列 方 程 求 出 x 的 值 ， 进 而 求 出的 值 .答 案 ： (1)当 点 F 落 在 梯 形 ABCD中 位 线 上 时 ，如 答 图 1， 过 点 F 作 出 梯 形 中 位 线 MN， 分 别 交 AD、 BC于 点 M、 N
31、. 由 题 意 ， 可 知 ABCD 为 直 角 梯 形 ， 则 MN BC， 且 BN=CN= BC.由 轴 对 称 性 质 ， 可 知 BF=BC， BN= BF， BFN=30 ， FBC=60 ， BFC为 等 边 三 角 形 . CF=BC=4， FCB=60 ， ECF=30 .设 BE、 CF 交 于 点 G， 由 轴 对 称 性 质 可 知 CG= CF=2， CF BE.在 Rt CEG中 ， x=CE= = = . 当 点 F 落 在 梯 形 ABCD 的 中 位 线 上 时 ， x 的 值 为 .(2)如 答 图 2， 由 轴 对 称 性 质 ， 可 知 BE CF. G
32、EC+ ECG=90 ， GEC+ CBE=90 ， GEC= CBE， 又 CGE= ECB=90 ， Rt BCE Rt CGE， ， CE2=EG BE ，同 理 可 得 ： BC2=BG BE ， 得 ： = = . = = = = . = (0 x 5).(3)当 BFE的 外 接 圆 与 AD相 切 时 ， 依 题 意 画 出 图 形 ， 如 答 图 3 所 示 .设 圆 心 为 O， 半 径 为 r， 则 r= BE= . 设 切 点 为 P， 连 接 OP， 则 OP AD， OP=r= .过 点 O作 梯 形 中 位 线 MN， 分 别 交 AD、 BC于 点 M、 N， 则
33、 OM 为 梯 形 ABED的 中 位 线 ， OM= (AB+DE)= (3+5-x)= (8-x).过 点 A作 AH CD于 点 H， 则 四 边 形 ABCH为 矩 形 ， AH=BC=4， CH=AB=3， DH=CD-CH=2.在 Rt ADH中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： AD= = =2 . MN CD， ADH= OMP， 又 AHD= OPM=90 ， OMP ADH， ， 即 ， 化 简 得 ： 16-2x= ， 两 边 平 方 后 ， 整 理 得 ： x2+64x-176=0，解 得 ： x1=-32+20 ， x2=-32-20 (舍 去 )， x=-32+20 ， = =139-80 .
