1、2014年 广 东 省 中 山 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 10 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 30 分 )1.(3分 )在 1， 0， 2， -3这 四 个 数 中 ， 最 大 的 数 是 ( )A.1B.0C.2D.-3解 析 ： -3 0 1 2，答 案 ： C.2.(3分 )在 下 列 交 通 标 志 中 ， 既 是 轴 对 称 图 形 ， 又 是 中 心 对 称 图 形 的 是 ( ) A.B.C. D.解 析 ： A、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 .故 此 选 项 错 误 ；B、 不 是 轴 对 称 图
2、形 ， 也 不 是 中 心 对 称 图 形 .故 此 选 项 错 误 ；C、 是 轴 对 称 图 形 ， 也 是 中 心 对 称 图 形 .故 此 选 项 正 确 ；D、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 .故 此 选 项 错 误 .答 案 ： C.3.(3分 )计 算 3a-2a的 结 果 正 确 的 是 ( )A.1B.aC.-aD.-5a解 析 ： 原 式 =(3-2)a=a， 答 案 ： B.点 评 ： 本 题 考 查 了 合 并 同 类 项 ， 系 数 相 加 字 母 部 分 不 变 是 解 题 关 键 .4.(3分 )把 x3-9x分 解 因 式 ， 结
3、果 正 确 的 是 ( ) A.x(x2-9)B.x(x-3)2C.x(x+3)2D.x(x+3)(x-3)解 析 ： x3-9x， =x(x2-9)， =x(x+3)(x-3).答 案 ： D.5.(3分 )一 个 多 边 形 的 内 角 和 是 900 ， 这 个 多 边 形 的 边 数 是 ( )A.4B.5C.6D.7解 析 ： 设 这 个 多 边 形 是 n边 形 ， 根 据 题 意 得 ， (n-2) 180 =900 ， 解 得 n=7.答 案 ： D.6.(3分 )一 个 不 透 明 的 布 袋 里 装 有 7 个 只 有 颜 色 不 同 的 球 ， 其 中 3个 红 球 ，
4、4 个 白 球 ， 从 布袋 中 随 机 摸 出 一 个 球 ， 摸 出 的 球 是 红 球 的 概 率 是 ( )A.B.C.D. 解 析 ： 装 有 7个 只 有 颜 色 不 同 的 球 ， 其 中 3个 红 球 ， 从 布 袋 中 随 机 摸 出 一 个 球 ， 摸 出 的球 是 红 球 的 概 率 = .答 案 ： B.7.(3分 )如 图 ， ABCD中 ， 下 列 说 法 一 定 正 确 的 是 ( )A.AC=BDB.AC BD C.AB=CDD.AB=BC解 析 ： A、 AC BD， 故 此 选 项 错 误 ；B、 AC不 垂 直 BD， 故 此 选 项 错 误 ；C、 AB
5、=CD， 利 用 平 行 四 边 形 的 对 边 相 等 ， 故 此 选 项 正 确 ； D、 AB BC， 故 此 选 项 错 误 ；答 案 ： C.8.(3分 )关 于 x的 一 元 二 次 方 程 x2-3x+m=0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 则 实 数 m 的 取 值 范 围 为( )A.B.C.D. 解 析 ： 根 据 题 意 得 =(-3)2-4m 0， 解 得 m .答 案 ： B.9.(3分 )一 个 等 腰 三 角 形 的 两 边 长 分 别 是 3和 7， 则 它 的 周 长 为 ( )A.17B.15C.13D.13或 17解 析 ： 当 等 腰 三 角
6、 形 的 腰 为 3， 底 为 7 时 ， 3+3 7不 能 构 成 三 角 形 ； 当 等 腰 三 角 形 的 腰 为 7， 底 为 3时 ， 周 长 为 3+7+7=17.故 这 个 等 腰 三 角 形 的 周 长 是 17.答 案 ： A. 10.(3分 )二 次 函 数 y=ax2+bx+c(a 0)的 大 致 图 象 如 图 ， 关 于 该 二 次 函 数 ， 下 列 说 法 错 误 的是 ( ) A.函 数 有 最 小 值B.对 称 轴 是 直 线 x=C.当 x ， y 随 x 的 增 大 而 减 小 D.当 -1 x 2时 ， y 0解 析 ： A、 抛 物 线 开 口 向 上
7、 ， 二 次 函 数 有 最 小 值 ， 所 以 A 选 项 的 说 法 正 确 ；B、 抛 物 线 与 x 轴 的 交 点 坐 标 为 (-1， 0)， (2， 0)， 则 抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 x= ， 所 以 B选 项 的 说 法 正 确 ；C、 当 x ， y 随 x 的 增 大 而 减 小 ， 所 以 C 选 项 的 说 法 正 确 ；D、 当 -1 x 2时 ， y 0， 所 以 D选 项 的 说 法 错 误 .答 案 ： D.二 、 填 空 题 (本 大 题 6 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 24 分 )11.(4分 )计 算 2x 3 x= .解 析
8、 ： 2x3 x=2x2.答 案 ： 2x2.12.(4分 )据 报 道 ， 截 止 2013年 12月 我 国 网 民 规 模 达 618 000 000人 .将 618 000 000 用 科学 记 数 法 表 示 为 .解 析 ： 将 618 000 000用 科 学 记 数 法 表 示 为 ： 6.18 108.答 案 ： 6.18 10 8.13.(4分 )如 图 ， 在 ABC中 ， D， E分 别 是 边 AB， AC的 中 点 ， 若 BC=6， 则 DE= .解 析 ： D、 E 是 AB、 AC中 点 ， DE 为 ABC的 中 位 线 ， ED= BC=3.答 案 ： 3
9、. 14.(4分 )如 图 ， 在 O中 ， 已 知 半 径 为 5， 弦 AB的 长 为 8， 那 么 圆 心 O 到 AB 的 距 离 为 .解 析 ： 作 OC AB于 C， 连 结 OA， 如 图 ， OC AB， AC=BC= AB= 8=4，在 Rt AOC中 ， OA=5， OC= = =3， 即 圆 心 O 到 AB 的 距 离 为 3.答 案 ： 3. 15.(4分 )不 等 式 组 的 解 集 是 .解 析 ： ，由 得 ： x 4； 由 得 ： x 1， 则 不 等 式 组 的 解 集 为 1 x 4.答 案 ： 1 x 4.16.(4分 )如 图 ， ABC绕 点 A顺
10、 时 针 旋 转 45 得 到 A B C ， 若 BAC=90 ， AB=AC= ，则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 等 于 . 解 析 ： ABC绕 点 A 顺 时 针 旋 转 45 得 到 A B C ， BAC=90 ， AB=AC= ， BC=2， C= B= CAC = C =45 ， AD BC， B C AB， AD= BC=1， AF=FC = AC =1， 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 等 于 ： S AFC -S DEC = 1 1- ( -1)2= -1.答 案 ： -1. 三 、 解 答 题 (一 )(本 大 题 3小 题 ， 每 小 题 6分 ， 共 1
11、8 分 ) 17.(6分 )计 算 ： +|-4|+(-1)0-( )-1.解 析 ： 本 题 涉 及 零 指 数 幂 、 负 指 数 幂 、 二 次 根 式 化 简 3 个 考 点 .在 计 算 时 ， 需 要 针 对 每 个 考点 分 别 进 行 计 算 ， 然 后 根 据 实 数 的 运 算 法 则 求 得 计 算 结 果 .答 案 ： 原 式 =3+4+1-2=6.18.(6分 )先 化 简 ， 再 求 值 ： ( + ) (x2-1)， 其 中 x= .解 析 ： 先 根 据 分 式 混 合 运 算 的 法 则 把 原 式 进 行 化 简 ， 再 把 x 的 值 代 入 进 行 计
12、算 即 可 .答 案 ： 原 式 = (x 2-1)=2x+2+x-1=3x+1，当 x= 时 ， 原 式 = .19.(6分 )如 图 ， 点 D在 ABC的 AB边 上 ， 且 ACD= A.(1)作 BDC的 平 分 线 DE， 交 BC 于 点 E(用 尺 规 作 图 法 ， 保 留 作 图 痕 迹 ， 不 要 求 写 作 法 )； (2)在 (1)的 条 件 下 ， 判 断 直 线 DE 与 直 线 AC的 位 置 关 系 (不 要 求 证 明 ).解 析 ： (1)根 据 角 平 分 线 基 本 作 图 的 作 法 作 图 即 可 ；(2)根 据 角 平 分 线 的 性 质 可 得
13、 BDE= BDC， 根 据 三 角 形 内 角 与 外 角 的 性 质 可 得 A= BDE， 再 根 据 同 位 角 相 等 两 直 线 平 行 可 得 结 论 .答 案 ： (1)如 图 所 示 ： (2)DE AC， DE平 分 BDC， BDE= BDC， ACD= A， ACD+ A= BDC， A= BDC， A= BDE， DE AC.四 、 解 答 题 (二 )(本 大 题 3小 题 ， 每 小 题 8分 ， 共 24 分 )20.(8分 )如 图 ， 某 数 学 兴 趣 小 组 想 测 量 一 棵 树 CD的 高 度 ， 他 们 先 在 点 A 处 测 得 树 顶 C 的
14、仰角 为 30 ， 然 后 沿 AD方 向 前 行 10m， 到 达 B 点 ， 在 B 处 测 得 树 顶 C 的 仰 角 高 度 为 60 (A、 B、 D 三 点 在 同 一 直 线 上 ).请 你 根 据 他 们 测 量 数 据 计 算 这 棵 树 CD的 高 度 (结 果 精 确 到0.1m).(参 考 数 据 ： 1.414， 1.732)解 析 ： 首 先 利 用 三 角 形 的 外 角 的 性 质 求 得 ABC 的 度 数 ， 得 到 BC的 长 度 ， 然 后 在 直 角 BDC中 ， 利 用 三 角 函 数 即 可 求 解 . 答 案 ： CBD= A+ ACB， ACB
15、= CBD- A=60 -30 =30 ， A= ACB， BC=AB=10(米 ).在 直 角 BCD中 ， CD=BC sin CBD=10 =5 5 1.732=8.7(米 ).答 ： 这 棵 树 CD的 高 度 为 8.7米 .21.(8分 )某 商 场 销 售 的 一 款 空 调 机 每 台 的 标 价 是 1635元 ， 在 一 次 促 销 活 动 中 ， 按 标 价 的 八折 销 售 ， 仍 可 盈 利 9%.(1)求 这 款 空 调 每 台 的 进 价 (利 润 率 = = ).(2)在 这 次 促 销 活 动 中 ， 商 场 销 售 了 这 款 空 调 机 100 台 ， 问
16、 盈 利 多 少 元 ？解 析 ： (1)利 用 利 润 率 = = 这 一 隐 藏 的 等 量 关 系 列 出 方 程 即 可 ； (2)用 销 售 量 乘 以 每 台 的 销 售 利 润 即 可 .答 案 ： (1)设 这 款 空 调 每 台 的 进 价 为 x 元 ， 根 据 题 意 得 ： =9%，解 得 ： x=1200，经 检 验 ： x=1200是 原 方 程 的 解 .答 ： 这 款 空 调 每 台 的 进 价 为 1200 元 ；(2)商 场 销 售 这 款 空 调 机 100台 的 盈 利 为 ： 100 1200 9%=10800元 .22.(8分 )某 高 校 学 生
17、会 发 现 同 学 们 就 餐 时 剩 余 饭 菜 较 多 ， 浪 费 严 重 ， 于 是 准 备 在 校 内 倡 导“ 光 盘 行 动 ” ， 让 同 学 们 珍 惜 粮 食 ， 为 了 让 同 学 们 理 解 这 次 活 动 的 重 要 性 ， 校 学 生 会 在 某 天午 餐 后 ， 随 机 调 查 了 部 分 同 学 这 餐 饭 菜 的 剩 余 情 况 ， 并 将 结 果 统 计 后 绘 制 成 了 如 图 所 示 的 不完 整 的 统 计 图 . (1)这 次 被 调 查 的 同 学 共 有 名 ；(2)把 条 形 统 计 图 补 充 完 整 ；(3)校 学 生 会 通 过 数 据
18、分 析 ， 估 计 这 次 被 调 查 的 所 有 学 生 一 餐 浪 费 的 食 物 可 以 供 200 人 用 一餐 .据 此 估 算 ， 该 校 18 000名 学 生 一 餐 浪 费 的 食 物 可 供 多 少 人 食 用 一 餐 ？解 析 ： (1)用 没 有 剩 的 人 数 除 以 其 所 占 的 百 分 比 即 可 ；(2)用 抽 查 的 总 人 数 减 去 其 他 三 类 的 人 数 ， 再 画 出 图 形 即 可 ；(3)根 据 这 次 被 调 查 的 所 有 学 生 一 餐 浪 费 的 食 物 可 以 供 200 人 用 一 餐 ， 再 根 据 全 校 的 总 人 数是 1
19、8000 人 ， 列 式 计 算 即 可 .答 案 ： (1)这 次 被 调 查 的 同 学 共 有 400 40%=1000(名 )；故 答 案 为 ： 1000；(2)剩 少 量 的 人 数 是 ； 1000-400-250-150=200，补 图 如 下 ； (3)18000 =3600(人 ).答 ： 该 校 18000 名 学 生 一 餐 浪 费 的 食 物 可 供 3600 人 食 用 一 餐 .五 、 解 答 题 (三 )(本 大 题 3小 题 ， 每 小 题 9分 ， 共 27 分 )23.(9分 )(2014中 山 )如 图 ， 已 知 A(-4， )， B(-1， 2)是
20、一 次 函 数 y=kx+b 与 反 比 例 函 数(m 0， m 0)图 象 的 两 个 交 点 ， AC x 轴 于 C， BD y 轴 于 D.(1)根 据 图 象 直 接 回 答 ： 在 第 二 象 限 内 ， 当 x 取 何 值 时 ， 一 次 函 数 大 于 反 比 例 函 数 的 值 ？(2)求 一 次 函 数 解 析 式 及 m 的 值 ； (3)P是 线 段 AB上 的 一 点 ， 连 接 PC， PD， 若 PCA和 PDB面 积 相 等 ， 求 点 P 坐 标 .解 析 ： (1)观 察 函 数 图 象 得 到 当 -4 x -1 时 ， 一 次 函 数 图 象 都 在
21、反 比 例 函 数 图 象 上 方 ；(2)先 利 用 待 定 系 数 法 求 一 次 函 数 解 析 式 ， 然 后 把 B 点 坐 标 代 入 y= 可 计 算 出 m 的 值 ； (3)设 P 点 坐 标 为 (t， t+ )， 利 用 三 角 形 面 积 公 式 可 得 到 (t+4)= 1 (2- t- )，解 方 程 得 到 t=- ， 从 而 可 确 定 P点 坐 标 .答 案 ： (1)当 -4 x -1 时 ， 一 次 函 数 大 于 反 比 例 函 数 的 值 ；(2)把 A(-4， )， B(-1， 2)代 入 y=kx+b得 ， 解 得 ，所 以 一 次 函 数 解 析
22、 式 为 y= x+ ， 把 B(-1， 2)代 入 y= 得 m=-1 2=-2；(3)设 P 点 坐 标 为 (t， t+ )， PCA和 PDB面 积 相 等 ， (t+4)= 1 (2- t- )， 即 得 t=- ， P 点 坐 标 为 (- ， ). 24.(9分 )如 图 ， O是 ABC的 外 接 圆 ， AC是 直 径 ， 过 点 O 作 OD AB 于 点 D， 延 长 DO交 O 于 点 P， 过 点 P 作 PE AC于 点 E， 作 射 线 DE交 BC的 延 长 线 于 F 点 ， 连 接 PF.(1)若 POC=60 ， AC=12， 求 劣 弧 PC 的 长 ；
23、 (结 果 保 留 )(2)求 证 ： OD=OE； (3)求 证 ： PF是 O 的 切 线 .解 析 ： (1)根 据 弧 长 计 算 公 式 l= 进 行 计 算 即 可 ；(2)证 明 POE ADO可 得 DO=EO；(3)连 接 AP， PC， 证 出 PC为 EF的 中 垂 线 ， 再 利 用 CEP CAP 找 出 角 的 关 系 求 解 .答 案 ： (1) AC=12， CO=6， = =2 ； (2) PE AC， OD AB， PEA=90 ， ADO=90在 ADO和 PEO中 ， ， POE AOD(AAS)， OD=EO；(3)如 图 ， 连 接 AP， PC，
24、OA=OP， OAP= OPA，由 (2)得 OD=EO， ODE= OED， 又 AOP= EOD， OPA= ODE， AP DF， AC 是 直 径 ， APC=90 ， PQE=90 PC EF，又 DP BF， ODE= EFC， OED= CEF， CEF= EFC， CE=CF， PC为 EF 的 中 垂 线 ， EPQ= QPF， CEP CAP EPQ= EAP， QPF= EAP， QPF= OPA， OPA+ OPC=90 ， QPF+ OPC=90 ， OP PF， PF是 O 的 切 线 .25.(9分 )如 图 ， 在 ABC中 ， AB=AC， AD AB于 点
25、D， BC=10cm， AD=8cm.点 P 从 点 B 出 发 ，在 线 段 BC 上 以 每 秒 3cm 的 速 度 向 点 C 匀 速 运 动 ， 与 此 同 时 ， 垂 直 于 AD的 直 线 m从 底 边 BC出 发 ， 以 每 秒 2cm的 速 度 沿 DA 方 向 匀 速 平 移 ， 分 别 交 AB、 AC、 AD于 E、 F、 H， 当 点 P到 达点 C 时 ， 点 P 与 直 线 m 同 时 停 止 运 动 ， 设 运 动 时 间 为 t 秒 (t 0). (1)当 t=2 时 ， 连 接 DE、 DF， 求 证 ： 四 边 形 AEDF为 菱 形 ；(2)在 整 个 运
26、 动 过 程 中 ， 所 形 成 的 PEF的 面 积 存 在 最 大 值 ， 当 PEF 的 面 积 最 大 时 ， 求 线 段BP的 长 ；(3)是 否 存 在 某 一 时 刻 t， 使 PEF为 直 角 三 角 形 ？ 若 存 在 ， 请 求 出 此 时 刻 t 的 值 ； 若 不 存 在 ，请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)如 答 图 1 所 示 ， 利 用 菱 形 的 定 义 证 明 ；(2)如 答 图 2 所 示 ， 首 先 求 出 PEF的 面 积 的 表 达 式 ， 然 后 利 用 二 次 函 数 的 性 质 求 解 ；(3)如 答 图 3 所 示 ， 分 三 种 情 形
27、 ， 需 要 分 类 讨 论 ， 分 别 求 解 .答 案 ： (1)当 t=2时 ， DH=AH=2， 则 H 为 AD 的 中 点 ， 如 答 图 1 所 示 .又 EF AD， EF 为 AD的 垂 直 平 分 线 ， AE=DE， AF=DF. AB=AC， AD BC于 点 D， AD BC， B= C. EF BC， AEF= B， AFE= C， AEF= AFE， AE=AF， AE=AF=DE=DF， 即 四 边 形 AEDF为 菱 形 . (2)如 答 图 2 所 示 ， 由 (1)知 EF BC， AEF ABC， ， 即 ， 解 得 ： EF=10- t.S PEF=
28、EF DH= (10- t) 2t=- t2+10t=- (t-2)2+10 当 t=2秒 时 ， S PEF存 在 最 大 值 ， 最 大 值 为 10， 此 时 BP=3t=6.(3)存 在 .理 由 如 下 ： 若 点 E 为 直 角 顶 点 ， 如 答 图 3 所 示 ， 此 时 PE AD， PE=DH=2t， BP=3t. PE AD， ， 即 ， 此 比 例 式 不 成 立 ， 故 此 种 情 形 不 存 在 ； 若 点 F 为 直 角 顶 点 ， 如 答 图 3 所 示 ， 此 时 PE AD， PF=DH=2t， BP=3t， CP=10-3t. PF AD， ， 即 ， 解
29、 得 t= ； 若 点 P 为 直 角 顶 点 ， 如 答 图 3 所 示 .过 点 E作 EM BC于 点 M， 过 点 F 作 FN BC于 点 N， 则 EM=FN=DH=2t， EM FN AD. EM AD， ， 即 ， 解 得 BM= t， PM=BP-BM=3t- t= t.在 Rt EMP中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： PE2=EM2+PM2=(2t)2+( t)2= t2. FN AD， ， 即 ， 解 得 CN= t， PN=BC-BP-CN=10-3t- t=10- t.在 Rt FNP中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： PF2=FN2+PN2=(2t)2+(10- t)2= t2-85t+100. 在 Rt PEF中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： EF2=PE2+PF2， 即 ： (10- t)2=( t2)+( t2-85t+100)化 简 得 ： t2-35t=0， 解 得 ： t= 或 t=0(舍 去 )， t= .综 上 所 述 ， 当 t= 秒 或 t= 秒 时 ， PEF为 直 角 三 角 形 .
