1、2014 年 山 东 省 高 考 模 拟 数 学 （ 四 ） （ 文 科 ）一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.（ 5分 ） 已 知 集 合 A=1， 2， 3， 4， B=x|x2=n， n A， 则 A B=（ ）A.1， 4B. 1， 1C.1， 2D.解 ： 根 据 x 2=n， n A， 求 出 x的 值 ， 确 定 B， 集 合 A=1， 2， 3， 4， B=x|x2=n， n A， x= 1， ， ， 2，即 B= 1
2、， 1， ， ， ， ， 2， 2，则 A B=1， 2.答 案 ： C2.（ 5分 ） 复 数 z=i（ 2 i） （ i为 虚 数 单 位 ） 在 复 平 面 内 所 对 应 的 点 在 （ ）A.第 一 象 限B.第 二 象 限C.第 三 象 限D.第 四 象 限 解 析 ： 化 简 可 得 复 数 z=i（ 2 i） = 2i i2=1 2i，故 复 数 在 复 平 面 内 所 对 应 的 点 的 坐 标 为 （ 1， 2） 在 第 四 象 限 ，答 案 ： D.3.（ 5 分 ） 已 知 命 题 ： p： “ x 1， 2， x2 a 0” ， 命 题 q： “ x R， x2+2a
3、x+2 a=0” ，若 命 题 “ p 且 q” 是 真 命 题 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 （ ）A.a 1 或 a=1B.a 1 或 1 a 2C.a 1D.a 1解 析 ： 因 为 命 题 “ p 且 q” 是 真 命 题 ，因 此 p 且 q， 均 为 真 命 题 ，命 题 p： “ x 1， 2， x 2 a 0” ， 为 真 命 题 ， 则 a 1， 所 以 p为 真 命 题 时 ， a 1；命 题 q： “ x R， x2+2ax+2 a=0” ， 为 真 命 题 ， 则 =4a2 4（ 2 a） 0， 所 以 a 2 或a 1，所 以 a 1，答 案 ： D.4
4、.（ 5分 ） “ （ 2x 1） x=0” 是 “ x=0” 的 （ ）A.充 分 不 必 要 条 件B.必 要 不 充 分 条 件C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： 若 （ 2x 1） x=0 则 x=0或 1x= x=0.2， 不 一 定 推 出 x=若 x=0， 则 （ 2x 1） x=0， 即 x=0推 出 （ 2x 1） x=0所 以 “ （ 2x 1） x=0” 是 “ x=0” 的 必 要 不 充 分 条 件 .答 案 ： B5.（ 5 分 ） 若 曲 线 C 1： x2+y2 2x=0与 曲 线 C2： y（ y mx m） =0
5、有 四 个 不 同 的 交 点 ， 则 实 数m的 取 值 范 围 是 （ ）A.（ ， ）B.（ ， 0） （ 0， ）C. ， D.（ ， ） （ ， + ）解 析 ： 可 知 曲 线 C 1表 示 一 个 圆 ， 曲 线 C2表 示 两 条 直 线 y=0和 y mx m=0，曲 线 C1： x2+y2 2x=0 化 为 标 准 方 程 得 ： （ x 1） 2+y2=1， 所 以 圆 心 坐 标 为 （ 1， 0） ， 半 径 r=1；曲 线 C2： y（ y mx m） =0表 示 两 条 直 线 y=0和 y mx m=0，由 直 线 y mx m=0 可 知 ： 此 直 线 过
6、定 点 （ 1， 0） ，在 平 面 直 角 坐 标 系 中 画 出 图 象 如 图 所 示 ： 当 直 线 y mx m=0 与 圆 相 切 时 ， 圆 心 到 直 线 的 距 离 d= =r=1，化 简 得 ： m2= ， 解 得 m= ，而 m=0时 ， 直 线 方 程 为 y=0， 即 为 x 轴 ， 不 合 题 意 ，则 直 线 y mx m=0 与 圆 相 交 时 ， m （ ， 0） （ 0， ） .答 案 ： B 6.（ 5分 ） 已 知 正 方 体 的 棱 长 为 1， 其 俯 视 图 是 一 个 面 积 为 1 的 正 方 形 ， 侧 视 图 是 一 个 面 积为 的 矩
7、形 ， 则 该 正 方 体 的 正 视 图 的 面 积 等 于 （ ）A.B.1C.D.解 析 ： 因 为 正 方 体 的 棱 长 为 1， 俯 视 图 是 一 个 面 积 为 1的 正 方 形 ， 侧 视 图 是 一 个 面 积 为 的矩 形 ， 说 明 侧 视 图 是 底 面 对 角 线 为 边 ， 正 方 体 的 高 为 一 条 边 的 矩 形 ， 几 何 体 放 置 如 图 ：那 么 正 视 图 的 图 形 与 侧 视 图 的 图 形 相 同 ， 所 以 正 视 图 的 面 积 为 ： . 答 案 ： D.7.（ 5分 ） 将 函 数 f（ x） =2sin（ 2x+ ） 的 图 象
8、向 右 平 移 个 单 位 ， 再 将 图 象 上 每 一 点 的横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 倍 ， 所 得 图 象 关 于 直 线 x= 对 称 ， 则 的 最 小 正 值 为 （ ）A.B.C. D.解 析 ： 根 据 三 角 函 数 图 象 的 变 换 规 律 .将 函 数 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 所 得 图 象 的 解 析 式 = ， 再 将 图 象 上 每 一 点 的 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 倍 所 得 图 象 的 解 析 式 f（ x）=因 为 所 得 图 象 关 于 直 线 对 称 ， 所 以 当 时 函 数 取 得 最 值 ， 所 以=k +
9、 ， k Z整 理 得 出 = ， k Z当 k=0时 ， 取 得 最 小 正 值 为 .答 案 ： B. 8.（ 5 分 ） 已 知 函 数 f（ x） 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 且 满 足 f（ x+2） = f（ x） ， 当 0 x 1时 ， ， 则 使 的 x 的 值 是 （ ）A.2n（ n Z）B.2n 1（ n Z）C.4n+1（ n Z）D.4n 1（ n Z）解 析 ： 因 为 f（ x） 是 奇 函 数 且 f（ x+2） = f（ x） ， 那 么 f（ x+4） = f（ x+2） =f（ x） ， 即函 数 f（ x） 的 周 期 T=4.因 为
10、当 0 x 1时 ， f（ x） = x， 又 f（ x） 是 奇 函 数 ， 所 以 当 1 x 0 时 ， f（ x） = x；令 x= 解 得 ： x= 1 而 函 数 f（ x） 是 以 4为 周 期 的 周 期 函 数 ，所 以 方 程 f（ x） = 的 x 的 值 是 ： x=4k 1， k Z.答 案 ： D.9.（ 5分 ） 设 函 数 f（ x） =ex+x 2， g（ x） =lnx+x2 3.若 实 数 a， b 满 足 f（ a） =0， g（ b）=0， 则 （ ）A.g（ a） 0 f（ b）B.f（ b） 0 g（ a）C.0 g（ a） f（ b）D.f（ b
11、） g（ a） 0解 析 ： 判 断 函 数 的 单 调 性 ， 利 用 二 分 法 .由 于 y=e x及 y=x 2 关 于 x 是 单 调 递 增 函 数 ， 因 此 函 数 f（ x） =ex+x 2在 R上 单 调 递 增 ，分 别 作 出 y=ex， y=2 x 的 图 象 ， f（ 0） =1+0 2 0， f（ 1） =e 1 0， f（ a） =0， 0 a 1.同 理 g（ x） =lnx+x2 3 在 R+上 单 调 递 增 ， g（ 1） =ln1+1 3= 2 0， g（ ）= ， g（ b） =0， . g（ a） =lna+a2 3 g（ 1） =ln1+1 3=
12、 2 0，f（ b） =eb+b 2 f（ 1） =e+1 2=e 1 0. g（ a） 0 f（ b） .答 案 ： A.10.（ 5 分 ） 已 知 函 数 ， 且 函 数 y=f（ x） x 恰 有 3 个 不同 的 零 点 ， 则 实 数 a的 取 值 范 围 是 （ ） A.（ 0， + ）B. 1， 0）C. 1， + ）D. 2， + ）解 析 ： 当 x 0 时 ， f（ x） =f（ x 1） ， 所 以 此 时 周 期 是 1， 当 x 1， 0） 时 ， y= x2 2x+a= （ x+1） 2+1+a，图 象 为 开 口 向 下 的 抛 物 线 ， 对 称 轴 x= 1
13、， 顶 点 （ 1， 1+a） ，（ 1） 如 果 a 1， 函 数 y=f（ x） x至 多 有 2个 不 同 的 零 点 ；（ 2） 如 果 a= 1， 则 y有 一 个 零 点 在 区 间 （ 1， 0） ， 有 一 个 零 点 在 （ ， 1） ， 一 个 零点 是 原 点 ；（ 3） 如 果 a 1， 则 有 一 个 零 点 在 （ ， 1） ， y 右 边 有 两 个 零 点 ，综 上 可 得 ： 实 数 a 的 取 值 范 围 是 1， + ）答 案 ： C. 二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 25分 .11.（ 5分 ） 观 察
14、 等 式 ： ， ， 根 据 以 上 规 律 ， 写 出 第四 个 等 式 为 ： .解 析 ： 类 比 推 理观 察 前 面 两 个 等 式 可 得 ： 出 第 四 个 等 式 为 ： + + + + = ，答 案 ： + + + + = .12.（ 5分 ） 在 ABC中 ， ， ， 则 AB边 的 长 度 为 .解 析 ： 将 向 量 用 ， 表 示 ， 即 = = +| |=1+| |=2， 因 此 | |=3. 答 案 ： 3.13.（ 5 分 ） 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 an满 足 a1a7=4， a6=8， 若 函 数 f（ x） =a1x+a2x2+a3x3
15、+ +a10 x10的 导 数 为 f （ x） ， 则 f （ ） = .解 析 ： 等 比 数 列 an， 由 已 知 ， 所 以 ， 解 得 ， 所 以 .所 以 f （ x） = + ，因 为 =n 2 n 3 21 n= ，所 以 = = = .答 案 ： .14.（ 5 分 ） 设 m 2， 点 P（ x， y） 为 所 表 示 的 平 面 区 域 内 任 意 一 点 ， M（ 0， 5） ，O坐 标 原 点 ， f（ m） 为 的 最 小 值 ， 则 f（ m） 的 最 大 值 为 . 解 ： 易 知 = 5y， 设 z= = 5y，作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区
16、 域 如 图 ： 即 当 y取 得 最 大 值 时 ， z取 得 最 小 值 ， 则 由 ， 解 得 ， f（ m） = 5 ， m 2， 当 m=2时 ， f（ m） 取 得 最 大 值 f（ 2） = ，答 案 ：15.（ 5分 ） 给 出 下 列 四 个 命 题 ： 命 题 “ x R， cosx 0” 的 否 定 是 “ x R， cosx 0” ； 若 0 a 1， 则 函 数 f（ x） =x 2+ax 3只 有 一 个 零 点 ； 函 数 y=sin（ 2x ） 的 一 个 单 调 增 区 间 是 ， ； 对 于 任 意 实 数 x， 有 f（ x） =f（ x） ， 且 当 x
17、 0 时 ， f （ x） 0， 则 当 x 0 时 ， f （ x） 0. 若 m （ 0， 1， 则 函 数 y=m+ 的 最 小 值 为 2 ；其 中 真 命 题 的 序 号 是 （ 把 所 有 真 命 题 的 序 号 都 填 上 ） .解 析 ： 命 题 “ x R， cosx 0” 的 否 定 是 “ x R， cosx 0” ， 正 确 ； 当 0 a 1 时 ， y=a x为 减 函 数 ， y=3 x2为 开 口 向 下 的 二 次 函 数 ， 两 曲 线 有 两 个 交 点 ， 函数 f（ x） =x2+ax 3 有 两 个 零 点 ， 故 错 误 ； 由 2x 得 ： x
18、， 即 函 数 y=sin（ 2x ） 的 一 个 单 调 增 区 间是 ， ， 即 正 确 ； f（ x） =f（ x） ， 故 y=f（ x） 为 偶 函 数 ， 又 当 x 0时 ， f （ x） 0， y=f（ x） 在区 间 （ 0， + ） 上 单 调 递 增 ，由 偶 函 数 在 对 称 区 间 上 单 调 性 相 反 知 ， y=f（ x） 在 区 间 （ ， 0） 上 单 调 递 减 ， 即 当 x 0时 ， f （ x） 0， 故 正 确 ； y=m+ ， y =1 ， 当 m （ 0， 1时 ， y 0， 即 函 数 y=m+ 在 区 间 （ 0， 1上单 调 递 减 ，
19、 当 x=1时 ， ymin=1+3=4， 故 错 误 ；综 上 所 述 ， 真 命 题 的 序 号 是 .答 案 ： .三 、 解 答 题 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 75 分 .16.（ 12分 ） 已 知 函 数 .（ 1） 求 的 值 ； （ 2） 若 ， 求 .解 析 ： （ 1） 将 x= 直 接 代 入 函 数 解 析 式 求 值 .（ 2） 利 用 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 求 出 sin 的 值 ， 利 用 两 角 和 与 差 公 式 求 值 .答 案 ： （ 1）（ 2） ， ， . 17.（ 12分 ） 某 校 研 究 性 学 习 小 组 ， 为
20、 了 分 析 2012年 某 小 国 的 宏 观 经 济 形 势 ， 查 阅 了 有 关材 料 ， 得 到 2011年 和 2012年 1 5 月 该 国 CPI 同 比 （ 即 当 年 某 月 与 前 一 年 同 月 比 ） 的 增 长数 据 （ 见 下 表 ） ， 但 2012年 3， 4， 5三 个 月 的 数 据 （ 分 别 记 为 x， y， z） 没 有 查 到 ， 有 的 同学 清 楚 记 得 2012年 1 5月 的 CPI数 据 成 等 差 数 列 .（ ） 求 x， y， z 的 值 ；（ ） 求 2012 年 1 5 月 该 国 CPI数 据 的 方 差 ；（ ） 一 般
21、 认 为 ， 某 月 CPI 达 到 或 超 过 3 个 百 分 点 就 已 经 通 货 膨 胀 ， 而 达 到 或 超 过 5 个 百 分点 则 严 重 通 货 膨 胀 .现 随 机 的 从 下 表 2011年 的 五 个 月 和 2012 年 的 五 个 月 的 数 据 中 各 抽 取 一个 数 据 ， 求 相 同 月 份 2011年 通 货 膨 胀 ， 并 且 2012年 严 重 通 货 膨 胀 的 概 率 .附 表 ： 2011 年 和2012年 1 5 月 CPI数 据 （ 单 位 ： 百 分 点 注 ： 1个 百 分 点 =1%）年 份月 份 1 2 3 4 5 2011 2.7
22、2.4 2.8 3.1 2.92012 4.9 5.0 x y z解 析 ： （ ） 因 为 呈 现 的 等 差 数 列 ， 由 图 得 该 数 列 的 公 差 为 0.1， 可 求 x、 y、 z 的 值 ；（ ） 求 出 2012年 1-5 月 的 平 均 数 ， 再 利 用 方 差 公 式 求 方 差 . （ ） 用 （ m， n） 表 示 随 机 地 从 2011 年 的 五 个 月 和 2012年 的 五 个 月 的 数 据 中 各 抽 取 一 个 数据 的 基 本 事 件 ， 列 举 抽 取 数 据 的 情 况 ， 分 析 可 得 事 件 “ 相 同 月 份 2011 年 通 货
23、膨 胀 ， 并 且 2012年 严 重 通 货 膨 胀 ” 包 含 的 基 本 事 件 的 数 目 ， 由 古 典 概 型 公 式 ， 计 算 可 得 答 案 .答 案 ： （ ） 依 题 意 得 4.9， 5.0， x， y， z 成 等 差 数 列 ， 所 以 公 差 d=5.0 4.9=0.1，故 x=5.0+0.1=5.1， y=x+0.1=5.2， z=y+0.1=5.3；（ ） 由 （ ） 知 2012 年 1 5 月 该 国 CPI的 数 据 为 ： 4.9， 5.0， 5.1， 5.2， 5.3， ，=0.02；（ ） 根 据 题 意 ， 用 m 表 示 2011 年 的 数
24、据 ， n表 示 2012年 的 数 据 ， 则 （ m， n） 表 示 随 机 地从 2011年 的 五 个 月 和 2012年 的 五 个 月 的 数 据 中 各 抽 取 一 个 数 据 的 基 本 事 件 ， 则 所 有 基 本 事 件 有 ： （ 2.7， 4.9） ， （ 2.7， 5.0） ， （ 2.7， 5.1） ， （ 2.7， 5.2） ， （ 2.7， 5.3） ，（ 2.4， 4.9） ， （ 2.4， 5.0） ， （ 2.4， 5.1） ， （ 2.4， 5.2） ， （ 2.4， 5.3） ，（ 2.8， 4.9） ， （ 2.8， 5.0） ， （ 2.8， 5
25、.1） ， （ 2.8， 5.2） ， （ 2.8， 5.3） ，（ 3.1， 4.9） ， （ 3.1， 5.0） ， （ 3.1， 5.1） ， （ 3.1， 5.2） ， （ 3.1， 5.3） ，（ 2.9， 4.9） ， （ 2.9， 5.0） ， （ 2.9， 5.1） ， （ 2.9， 5.2） ， （ 2.9， 5.3） ； 共 25个 基 本 事 件 ；其 中 满 足 相 同 月 份 2011 年 通 货 膨 胀 ， 并 且 2012年 严 重 通 货 膨 胀 的 基 本 事 件 有 （ 3.1， 5.0） ，（ 3.1， 5.1） ， （ 3.1， 5.2） ， （ 3.1
26、， 5.3） ， 有 4 个 基 本 事 件 ； P= =0.16， 即 相 同 月 份 2011年 通 货 膨 胀 ， 并 且 2012 年 严 重 通 货 膨 胀 的 概 率 为 0.16.18.（ 12 分 ） 如 图 1， 在 边 长 为 1 的 等 边 三 角 形 ABC中 ， D， E分 别 是 AB， AC 边 上 的 点 ， AD=AE，F是 BC的 中 点 ， AF 与 DE 交 于 点 G， 将 ABF 沿 AF折 起 ， 得 到 如 图 2所 示 的 三 棱 锥 A BCF， 其 中 BC= .（ 1） 证 明 ： DE 平 面 BCF；（ 2） 证 明 ： CF 平 面
27、 ABF；（ 3） 当 AD= 时 ， 求 三 棱 锥 F DEG的 体 积 VF DEG. 分 析 ：（ 1） 利 用 线 面 平 行 的 判 定 定 理 ， 易 知 DE BC， 可 证 DE 平 面 BCF. （ 2） 可 证 得 AF CF ， 利 用 勾 股 定 理 和 已 知 数 据 CF BF， 利 用 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 证 CF 平 面 ABF.（ 3） 利 用 等 积 法 ， 运 算 求 得 结 果 .答 案 ： （ 1） 在 等 边 三 角 形 ABC中 ， AD=AE， ， 在 折 叠 后 的 三 棱 锥 A BCF中 也 成 立 ， DE BC.又
28、 DE平 面 BCF， BC平 面 BCF， DE 平 面 BCF.（ 2） 在 等 边 三 角 形 ABC 中 ， F是 BC的 中 点 ， 所 以 AF BC， 即 AF CF ， 且 . 在 三 棱 锥 A BCF 中 ， ， BC 2=BF2+CF2， CF BF .又 BF AF=F， CF 平 面 ABF.（ 3） 由 （ 1） 可 知 GE CF， 结 合 （ 2） 可 得 GE 平 面 DFG. = .19.（ 12分 ） 已 知 等 比 数 列 a n的 前 n 项 和 a， 数 列 bn（ bn 0） 的 首 项 为 b1=a，且 其 前 n 项 和 Sn满 足 Sn+Sn
29、 1=1+2 （ n 2， n N*）（ ） 求 数 列 an和 bn的 通 项 公 式 ；（ ） 若 数 列 的 前 n 项 和 为 Pn.解 析 ：（ 1） 数 列 a n成 等 比 数 列 ， 可 得 = ， 解 得 a=1， 设数 列 an的 公 比 为 q， 则 .由 bn 0， 得 ， 数 列 构 成 一 个首 项 为 1， 公 差 为 1的 等 差 数 列 ， 由 此 能 求 出 数 列 an和 bn的 通 项 公 式 .（ 2） = ， 利 用 裂 项 相 消 求 和 法 能 求出 数 列 的 前 n项 和 为 P n.答 案 ： （ 1） 根 据 已 知 条 件 知 ：= ，
30、有 数 列 an成 等 比 数 列 ， 得 ，即 = ， 解 得 a=1， 设 数 列 an的 公 比 为 q， 则 ，所 以 （ 3 分 ）， 其 中 n 2， n N*，又 b n 0， 得 ，数 列 构 成 一 个 首 项 为 1， 公 差 为 1 的 等 差 数 列 ，所 以 ，所 以 ， 当 n 2， n N*时 ，b 1=1 也 适 合 这 个 公 式 ，所 以 bn=2n 1（ n N*） （ 6 分 ）（ 2） 由 （ 1） 知 = ，则 Pn= . （ 12分 ）20.（ 13分 ） 已 知 函 数 f（ x） =mx ， g（ x） =2lnx（ 1） 当 m=2时 ， 求
31、 曲 线 y=f（ x） 在 点 （ 1， f（ 1） ） 处 的 切 线 方 程 ； （ 2） 当 m=1时 ， 证 明 方 程 f（ x） =g（ x） 有 且 仅 有 一 个 实 数 根 ；（ 3） 若 x （ 1， e时 ， 不 等 式 f（ x） g（ x） 2恒 成 立 ， 求 实 数 m的 取 值 范 围 .解 析 ： （ 1） 当 m=2时 ， 确 定 f（ x） ， 求 导 确 定 斜 率 ， 利 用 点 斜 式 求 出 切 线 方 程 .（ 2） 当 m=1时 ， 构 造 h（ x） =f（ x） -g（ x） ,求 出 h（ x） ， 判 断 在 定 义 域 上 的 单
32、调 性 ， 判定 的 符 号 ， 根 据 根 的 存 在 性 定 理 可 得 结 论 ；（ 3） 即 恒 成 立 ， 即 m（ x2 1） 2x+2xlnx恒 成 立 ， 利 用 分 离 变 量 法 ，研 究 右 侧 的 最 值 ， 讨 论 m的 取 值 范 围 .答 案 ： （ 1） m=2时 ， ， ，切 点 坐 标 为 （ 1， 0） ， 切 线 方 程 为 y=4x 4 （ 2 分 ） （ 2） m=1时 ， 令 ， ， h（ x） 在 （ 0， + ） 上 为 增 函 数 . （ 4 分 ）又 ， y=h（ x） 在 （ 0， + ） 内 有 且 仅 有 一 个 零 点 在 （ 0，
33、 + ） 内 f（ x） =g（ x） 有 且 仅 有 一 个 实 数 根 （ 6分 ）（ 或 说 明 h（ 1） =0 也 可 以 ）（ 3） 恒 成 立 ， 即 m（ x 2 1） 2x+2xlnx恒 成 立 ，又 x2 1 0， 则 当 x （ 1， e时 ， 恒 成 立 ，令 ， 只 需 m小 于 G（ x） 的 最 小 值 ， 1 x e， lnx 0， 当 x （ 1， e时 G（ x） 0， G（ x） 在 （ 1， e上 单 调 递 减 ， G（ x） 在 （ 1， e的 最 小 值 为 ，则 m 的 取 值 范 围 是 . （ 12分 ）21.（ 14分 ） 椭 圆 C： =
34、1（ a b 0） 的 离 心 率 ， a+b=3.（ 1） 求 椭 圆 C 的 方 程 ；（ 2） 如 图 ， A， B， D是 椭 圆 C的 顶 点 ， P 是 椭 圆 C 上 除 顶 点 外 的 任 意 点 ， 直 线 DP交 x 轴 于点 N 直 线 AD交 BP 于 点 M， 设 BP 的 斜 率 为 k， MN的 斜 率 为 m， 证 明 2m k 为 定 值 . 解 析 ：（ 1） 根 据 离 心 率 及 a+b=3， 结 合 条 件 a2=b2+c2列 式 求 出 a， b， 确 定 椭 圆 方 程 .（ 2） 需 要 求 出 P， M， N 的 坐 标 ， 利 用 两 点 求
35、 斜 率 m， 代 入 整 理 出 2m-k是 定 值 . 答 案 ： （ 1） 因 为 ， 所 以 ， 即 a2=4b2， a=2b.又 a+b=3， 得 a=2， b=1.所 以 椭 圆 C的 方 程 为 ；（ 2） 因 为 B（ 2， 0） ， P 不 为 椭 圆 顶 点 ， 则 可 设 直 线 BP 的 方 程 为.联 立 ， 得 （ 4k 2+1） x2 16k2x+16k2 4=0.所 以 ， .则 .所 以 P（ ） . 又 直 线 AD 的 方 程 为 .联 立 ， 解 得 M（ ） .由 三 点 D（ 0， 1） ， P（ ） ， N（ x， 0） 共 线 ，得 ， 所 以 N（ ） . 所 以 MN的 斜 率 为 = .则 .所 以 2m k为 定 值 .
