1、2014年 四 川 省 达 州 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 ： (每 小 题 3 分 ， 共 30 分 )1.(3分 )向 东 行 驶 3km， 记 作 +3km， 向 西 行 驶 2km记 作 ( )A.+2kmB.-2kmC.+3kmD.-3km解 析 ： 向 东 行 驶 3km， 记 作 +3km， 向 西 行 驶 2km记 作 -2km，答 案 ： B.2.(3分 )2014 年 5 月 21 日 ， 中 国 石 油 天 然 气 集 团 公 司 与 俄 罗 斯 天 然 气 工 业 股 份 公 司 在 上 海 签 署 了 中 俄 东 线 供 气 购 销 合 同 ， 这
2、份 有 效 期 为 30年 的 合 同 规 定 ， 从 2018年 开 始 供 气 ，每 年 的 天 然 气 供 应 量 为 380亿 立 方 米 ， 380亿 立 方 米 用 科 学 记 数 法 表 示 为 ( )A.3.8 1010m3B.38 109m3C.380 108m3D.3.8 1011m3解 析 ： 将 380亿 立 方 米 用 科 学 记 数 法 表 示 为 ： 3.8 1010m3.答 案 ： A.3.(3分 )二 次 根 式 有 意 义 ， 则 实 数 x 的 取 值 范 围 是 ( )A. x -2B. x -2 C. x 2D. x 2解 析 ： 由 题 意 得 ，
3、-2x+4 0，解 得 x 2.答 案 ： D.4.(3分 )小 颖 同 学 到 学 校 领 来 n 盒 粉 笔 ， 整 齐 地 摞 在 讲 桌 上 ， 其 三 视 图 如 图 ， 则 n 的 值 是( ) A. 6B. 7C. 8D. 9 解 析 ： 由 俯 视 图 可 得 最 底 层 有 4 盒 ， 由 正 视 图 和 左 视 图 可 得 第 二 层 有 2盒 ， 第 三 层 有 1 盒 ，共 有 7盒 ，答 案 ： B.5.(3分 )一 家 特 色 煎 饼 店 提 供 厚 度 相 同 、 直 径 不 同 的 两 种 煎 饼 ， 甲 种 煎 饼 直 径 20厘 米 卖 价10元 ， 乙 种
4、 煎 饼 直 径 30厘 米 卖 价 15 元 ， 请 问 ： 买 哪 种 煎 饼 划 算 ？ ( )A. 甲B. 乙C. 一 样D. 无 法 确 定解 析 ： 甲 的 面 积 =100 平 方 厘 米 ， 甲 的 卖 价 为 元 /平 方 厘 米 ； 乙 的 面 积 =225 平 方 厘 米 ， 乙 的 卖 价 为 元 /平 方 厘 米 ； ， 乙 种 煎 饼 划 算 ，答 案 ： B.6.(3分 )下 列 说 法 中 错 误 的 是 ( )A. 将 油 滴 入 水 中 ， 油 会 浮 出 水 面 是 一 个 必 然 事 件B. 1、 2、 3、 4这 组 数 据 的 中 位 数 是 2.5
5、C. 一 组 数 据 的 方 差 越 小 ， 这 组 数 据 的 稳 定 性 越 差D. 要 了 解 某 种 灯 管 的 使 用 寿 命 ， 一 般 采 用 抽 样 调 查解 析 ： A.必 然 事 件 是 一 定 会 发 生 的 事 件 ， 将 油 滴 入 水 中 ， 油 会 浮 出 水 面 是 一 个 必 然 事 件 ， 故 A选 项 正 确 ；B.1、 2、 3、 4 这 组 数 据 的 中 位 数 是 =2.5， 故 B选 项 正 确 ；C.一 组 数 据 的 方 差 越 小 ， 这 组 数 据 的 稳 定 性 越 强 ， 故 C 选 项 错 误 ；D.要 了 解 某 种 灯 管 的
6、使 用 寿 命 ， 具 有 破 坏 性 ， 一 般 采 用 抽 样 调 查 ， 故 D选 项 正 确 .答 案 ： C.7.(3分 )如 图 ， 在 四 边 形 ABCD中 ， A+ D= ， ABC 的 平 分 线 与 BCD的 平 分 线 交 于 点 P，则 P=( ) A. 90 - B. 90 + C.D. 360 -解 析 ： 四 边 形 ABCD中 ， ABC+ BCD=360 -( A+ D)=360 - ， PB 和 PC分 别 为 ABC、 BCD的 平 分 线 ， PBC+ PCB= ( ABC+ BCD)= (360 - )=180 - ，则 P=180 -( PBC+
7、PCB)=180 -(180 - )= .答 案 ： C. 8.(3分 )直 线 y=kx+b不 经 过 第 四 象 限 ， 则 ( )A. k 0， b 0B. k 0， b 0C. k 0， b 0D. k 0， b 0解 析 ： 直 线 y=kx+b不 经 过 第 四 象 限 ， 即 直 线 过 第 一 、 二 、 三 象 限 且 与 y 轴 的 交 点 不 在 x轴 的 下 方 ， k 0， b 0.答 案 ： C.9.(3分 )如 图 ， 以 点 O 为 支 点 的 杠 杆 ， 在 A端 用 竖 直 向 上 的 拉 力 将 重 为 G 的 物 体 匀 速 拉 起 ，当 杠 杆 OA
8、水 平 时 ， 拉 力 为 F； 当 杠 杆 被 拉 至 OA 1时 ， 拉 力 为 F1， 过 点 B1作 B1C OA， 过 点 A1作 A1D OA， 垂 足 分 别 为 点 C、 D. OB1C OA1D； OA OC=OB OD； OC G=OD F1； F=F1.其 中 正 确 的 说 法 有 ( ) A. 1个B. 2个C. 3个 D. 4个解 析 ： B1C OA， A1D OA， B1C A1D， OB1C OA1D， 故 正 确 ； = ，由 旋 转 的 性 质 得 ， OB=OB 1， OA=OA1， OA OC=OB OD， 故 正 确 ；由 杠 杆 平 衡 原 理 ，
9、 OC G=OD F1， 故 正 确 ； = = = 是 定 值 ， F1的 大 小 不 变 ， F=F 1， 故 正 确 .综 上 所 述 ， 说 法 正 确 的 是 .答 案 ： D.10.(3分 )如 图 是 二 次 函 数 y=ax2+bx+c 的 图 象 的 一 部 分 ， 对 称 轴 是 直 线 x=1. b2 4ac； 4a-2b+c 0； 不 等 式 ax 2+bx+c 0 的 解 集 是 x 3.5； 若 (-2， y1)， (5， y2)是 抛 物 线 上 的 两 点 ， 则 y1 y2.上 述 4个 判 断 中 ， 正 确 的 是 ( )A. B. C. D. 解 析 ：
10、 抛 物 线 与 x 轴 有 两 个 交 点 ， b2-4ac 0， b2 4ac， 故 正 确 ； x=-2时 ， y=4a-2b+c， 而 题 中 条 件 不 能 判 断 此 时 y的 正 负 ， 即 4a-2b+c可 能 大 于 0， 可 能等 于 0， 也 可 能 小 于 0， 故 错 误 ； 如 果 设 ax2+bx+c=0的 两 根 为 、 ( )， 那 么 根 据 图 象 可 知 不 等 式 ax2+bx+c 0 的 解集 是 x 或 x ， 故 错 误 ； 二 次 函 数 y=ax 2+bx+c的 对 称 轴 是 直 线 x=1， x=-2与 x=4时 的 函 数 值 相 等
11、， 4 5， 当 抛 物 线 开 口 向 上 时 ， 在 对 称 轴 的 右 边 ， y 随 x 的 增 大 而 增 大 ， y1 y2， 故 正 确 .答 案 ： B.二 、 填 空 题 (本 题 6 个 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 18 分 .把 最 后 答 案 直 接 填 在 题 中 的 横 线 上 )11.(3分 )化 简 ： (-a2b3)3= .解 析 ： 原 式 =(-1)3a2 3b3 3=-a6b9，答 案 ： -a 6b9.12.(3分 ) “ 每 天 锻 炼 一 小 时 ， 健 康 生 活 一 辈 子 ” ， 自 开 展 “ 阳 光 体 育 运 动 ” 以 来
12、 ， 学 校 师生 的 锻 炼 意 识 都 增 强 了 ， 某 校 有 学 生 8200 人 ， 为 了 解 学 生 每 天 的 锻 炼 时 间 ， 学 校 体 育 组 随机 调 查 了 部 分 学 生 ， 统 计 结 果 如 表 . 表 格 中 ， m= ； 这 组 数 据 的 众 数 是 ； 该 校 每 天 锻 炼 时 间 达 到 1 小 时 的 约 有 人 .解 析 ： 每 天 锻 炼 时 间 在 29 分 钟 及 以 下 的 频 数 为 108， 对 应 的 频 率 为 0.54， 调 查 的 总 人 数 为 108 0.54=200(人 )， m=200 0.15=30(人 )， 每
13、 天 锻 炼 时 间 在 29分 钟 及 以 下 的 有 108 人 ， 人 数 最 多 ， 这 组 数 据 的 众 数 是 ： 29分 钟 及 以 下 ；该 校 每 天 锻 炼 时 间 达 到 1小 时 的 约 有 8200 0.1=820(人 ).答 案 ： 30； 29分 钟 及 以 下 ； 820.13.(3分 ) 庄 子 天 下 篇 中 写 道 ： “ 一 尺 之 棰 ， 日 取 其 半 ， 万 世 不 竭 ” 意 思 是 ： 一 根 一尺 的 木 棍 ， 如 果 每 天 截 取 它 的 一 半 ， 永 远 也 取 不 完 ， 如 图 . 由 图 易 得 ： =_ .解 析 ：=1=
14、 . 答 案 ： .14.(3分 )己 知 实 数 a、 b满 足 a+b=5， ab=3， 则 a b= .解 析 ： 将 a+b=5两 边 平 方 得 ： (a+b)2=a2+b2+2ab=25，将 ab=3代 入 得 ： a2+b2=19， (a-b)2=a2+b2-2ab=19-6=13，则 a-b= .答 案 ： 15.(3分 )如 图 ， 在 ABC中 ， AB=BC=2， ABC=90 ， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 是 . 解 析 ： 在 ABC中 ， AB=BC=2， ABC=90 ， ABC是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 图 中 阴 影 部 分 的 面 积
15、是 ：S 阴 影 部 分 面 积 =S 半 圆 AB的 面 积 +S 半 圆 BC的 面 积 S ABC的 面 积= -2.答 案 ： -2.16.(3分 )如 图 ， 折 叠 矩 形 纸 片 ABCD， 使 点 B 落 在 边 AD 上 ， 折 痕 EF的 两 端 分 别 在 AB、 BC上 (含 端 点 )， 且 AB=6cm， BC=10cm.则 折 痕 EF的 最 大 值 是 _ cm. 解 析 ： 如 图 ， 点 F 与 点 C重 合 时 ， 折 痕 EF 最 大 ，由 翻 折 的 性 质 得 ， BC=B C=10cm，在 Rt B DC 中 ， B D= = =8cm， AB =
16、AD-B D=10-8=2cm，设 BE=x， 则 B E=BE=x，AE=AB-BE=6 x，在 Rt AB E 中 ， AE2+AB 2=B E2，即 (6-x)2+22=x2，解 得 x= ，在 Rt BEF中 ， EF= = = cm.答 案 ： . 三 、 解 答 题 (72分 ， 解 答 时 应 写 出 必 要 的 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 )17.(6分 )计 算 ： .解 析 ： 原 式 第 一 项 利 用 负 指 数 幂 法 则 计 算 ， 第 二 项 利 用 零 指 数 幂 法 则 计 算 ， 第 三 项 化 为 最 简二 次 根 式 ， 最
17、后 一 项 利 用 乘 方 的 意 义 化 简 ， 计 算 即 可 得 到 结 果 .答 案 ： 原 式 = +1+2 -1= +2 .18.(6分 )化 简 求 值 ： ， a 取 -1、 0、 1、 2中 的 一 个 数 .解 析 ： 先 根 据 分 式 混 合 运 算 的 法 则 把 原 式 进 行 化 简 ， 再 选 取 合 适 的 a 的 值 代 入 进 行 计 算 即 可 . 答 案 ： 原 式 = -= -=- ，当 a=2时 ， 原 式 =- =-1.19.(7分 )四 张 背 面 完 全 相 同 的 纸 牌 (如 图 ， 用 、 、 、 表 示 )， 正 面 分 别 写 有
18、四 个 不同 的 条 件 .小 明 将 这 4 张 纸 牌 背 面 朝 上 洗 匀 后 ， 先 随 机 抽 出 一 张 (不 放 回 )， 再 随 机 抽 出 一 张 . (1)写 出 两 次 摸 牌 出 现 的 所 有 可 能 的 结 果 (用 、 、 、 表 示 )；(2)以 两 次 摸 出 的 牌 面 上 的 结 果 为 条 件 ， 求 能 判 断 四 边 形 ABCD为 平 行 四 边 形 的 概 率 .解 析 ： (1)利 用 树 状 图 展 示 所 有 等 可 能 的 结 果 数 ； (2)由 于 共 有 12 种 等 可 能 的 结 果 数 ， 根 据 平 行 四 边 形 的 判
19、 定 能 判 断 四 边 形 ABCD为 平 行 四 边形 有 6 种 ， 则 根 据 概 率 公 式 可 得 到 能 判 断 四 边 形 ABCD 为 平 行 四 边 形 的 概 率 = .答 案 ： (1)画 树 状 图 为 ：(2)共 有 12种 等 可 能 的 结 果 数 ， 其 中 能 判 断 四 边 形 ABCD为 平 行 四 边 形 有 6种 ： 、 、 、 、 、 ， 所 以 能 判 断 四 边 形 ABCD 为 平 行 四 边 形 的 概 率 = = .20.(7分 )某 服 装 商 预 测 一 种 应 季 衬 衫 能 畅 销 市 场 ， 就 用 8000元 购 进 一 批
20、衬 衫 ， 面 市 后 果 然供 不 应 求 ， 服 装 商 又 用 17600元 购 进 了 第 二 批 这 种 衬 衫 ， 所 购 数 量 是 第 一 批 购 进 数 量 的 2 倍 ， 但 单 价 贵 了 8元 .商 家 销 售 这 种 衬 衫 时 每 件 定 价 都 是 100元 ， 最 后 剩 下 10 件 按 8 折 销 售 ，很 快 售 完 .在 这 两 笔 生 意 中 ， 商 家 共 盈 利 多 少 元 ？解 析 ： 设 第 一 批 进 货 的 单 价 为 x 元 ， 则 第 二 批 进 货 的 单 价 为 (x+8)元 ， 根 据 第 二 批 进 货 是 第一 批 购 进 数
21、 量 的 2 倍 ， 列 方 程 求 出 x 的 值 ， 然 后 求 出 盈 利 .答 案 ： 设 第 一 批 进 货 的 单 价 为 x 元 ， 则 第 二 批 进 货 的 单 价 为 (x+8)元 ，由 题 意 得 ， 2= ，解 得 ： x=80，经 检 验 ； x=80是 原 分 式 方 程 的 解 ， 且 符 合 题 意 ，则 第 一 次 进 货 100件 ，第 二 次 进 货 的 单 价 为 88 元 ， 第 二 次 进 货 200件 ，总 盈 利 为 ： (100-80) 100+(100-88) (200-10)+10 (100 0.8-88)=4200(元 ).答 ： 在 这
22、 两 笔 生 意 中 ， 商 家 共 盈 利 4200 元 . 21.(8分 )如 图 ， 直 线 PQ与 O 相 交 于 点 A、 B， BC 是 O的 直 径 ， BD 平 分 CBQ交 O 于 点D， 过 点 D 作 DE PQ， 垂 足 为 E.(1)求 证 ： DE与 O 相 切 ；(2)连 结 AD， 己 知 BC=10， BE=2， 求 sin BAD的 值 .解 析 ： (1)连 结 OD， 利 用 角 平 分 线 的 定 义 得 CBD= QBD， 而 OBD= ODB， 则 ODB= QBD，于 是 可 判 断 OD BQ， 由 于 DE PQ， 根 据 平 行 线 的 性
23、 质 得 OD DE， 则 可 根 据 切 线 的 判 定 定 理得 到 DE与 O 相 切 ； (2)连 结 CD， 根 据 圆 周 角 定 理 由 BC是 O 的 直 径 得 到 BDC=90 ， 再 证 明 Rt BCD BDE，利 用 相 似 比 可 计 算 出 BD=2 ， 在 Rt BCD中 ， 根 据 正 弦 的 定 义 得 到 sin C= = ， 然 后根 据 圆 周 角 定 理 得 BAD= C， 即 有 sin BAD= .答 案 ： (1)连 结 OD， 如 图 ， BD 平 分 CBQ交 O 于 点 D， CBD= QBD， OB=OD， OBD= ODB， ODB=
24、 QBD， OD BQ， DE PQ， OD DE， DE 与 O相 切 ；(2) BC是 O 的 直 径 ， BDC=90 ， DE AB， BED=90 ， CBD= QBD， Rt BCD BDE， = ， 即 = ， BD=2 ，在 Rt BCD中 ， sin C= = = ， BAD= C， sin BAD= .22.(8分 )达 州 市 凤 凰 小 学 位 于 北 纬 21 ， 此 地 一 年 中 冬 至 日 正 午 时 刻 ， 太 阳 光 与 地 面 的 夹角 最 小 ， 约 为 35.5 ； 夏 至 日 正 午 时 刻 ， 太 阳 光 的 夹 角 最 大 ， 约 为 82.5
25、.己 知 该 校 一 教 学楼 窗 户 朝 南 ， 窗 高 207cm， 如 图 (1).请 你 为 该 窗 户 设 计 一 个 直 角 形 遮 阳 棚 BCD， 如 图 (2)， 要 求 最 大 限 度 地 节 省 材 料 ， 夏 至 日 正 午 刚 好 遮 住 全 部 阳 光 ， 冬 至 日 正 午 能 射 入 室 内 的 阳 光 没 有遮 挡 . (1)在 图 (3)中 画 出 设 计 草 图 ；(2)求 BC、 CD 的 长 度 (结 果 精 确 到 个 位 )(参 考 数 据 ： sin35.5 0.58， cos35.5 0.81，tan35.5 0.71， sin82.5 0.9
26、9， cos82.5 0.13， tan82.5 7.60)解 析 ： 根 据 题 意 结 合 入 射 角 度 进 而 画 出 符 合 题 意 的 图 形 即 可 ；(2)首 先 设 CD=x， 则 tan35.5 = ， 表 示 出 BC 的 长 ， 进 而 利 用 tan82.5 = 求 出 DC 的 长 ，进 而 得 出 答 案 .答 案 ： (1)如 图 所 示 ： (2)由 题 意 可 得 出 ： CDB=35.5 ， CDA=82.5 ，设 CD=x， 则 tan35.5 = ， BC=0.71x， 在 Rt ACD中 ，tan82.5 = = =0.76，解 得 ： x 30，
27、BC=0.71 30 21(cm)，答 ： BC的 长 度 是 21cm， CD的 长 度 是 30cm.23.(8分 )如 图 ， 直 线 L： y=-x+3与 两 坐 标 轴 分 别 相 交 于 点 A、 B. (1)当 反 比 例 函 数 (m 0， x 0)的 图 象 在 第 一 象 限 内 与 直 线 L 至 少 有 一 个 交 点 时 ， 求 m的 取 值 范 围 . (2)若 反 比 例 函 数 (m 0， x 0)在 第 一 象 限 内 与 直 线 L 相 交 于 点 C、 D， 当 CD= 时 ，求 m 的 值 .(3)在 (2)的 条 件 下 ， 请 你 直 接 写 出 关
28、 于 x 的 不 等 式 -x+3 的 解 集 .解 析 ： (1)根 据 方 程 至 少 有 一 个 交 点 ， 得 判 别 式 大 于 或 等 于 0， 可 得 答 案 ； (2)根 据 韦 达 定 理 ， 可 得 方 程 两 根 的 关 系 ， 根 据 两 点 间 距 离 公 式 ， 可 得 答 案 ；(3)根 据 反 比 例 函 数 图 象 在 上 方 的 区 域 ， 可 得 不 等 式 的 解 集 .答 案 ： (1)当 反 比 例 函 数 (m 0， x 0)的 图 象 在 第 一 象 限 内 与 直 线 L 至 少 有 一 个 交 点 ，得-x+3= ， 整 理 得 ： x2-3
29、x+m=0， =(-3) 2-4m 0，解 得 m . m 的 取 值 范 围 为 ： 0 m .(2) x2-3x+m=0， x 1+x2=3， x1 x2=m， CD= ， ，即 2(9-4m)=8，解 得 m= ；(3)当 m= 时 ， x 2 3x+m=0，解 得 x1= ， x2= ，由 反 比 例 函 数 图 象 在 直 线 上 方 的 区 域 得 0 x 或 x .24.(10分 )倡 导 研 究 性 学 习 方 式 ， 着 力 教 材 研 究 ， 习 题 研 究 ， 是 学 生 跳 出 题 海 ， 提 高 学 习 能力 和 创 新 能 力 的 有 效 途 径 .下 面 是 一
30、案 例 ， 请 同 学 们 认 真 阅 读 、 研 究 ， 完 成 “ 类 比 猜 想 ” 及后 面 的 问 题 . 习 题 解 答 ：如 图 (1)， 点 E、 F 分 别 在 正 方 形 ABCD的 边 BC、 CD上 ， EAF=45 ， 连 接 EF， 则 EF=BE+DF，说 明 理 由 . 正 方 形 ABCD 中 ， AB=AD， BAD= ADC= B=90 ， 把 ABE绕 点 A 逆 时 针 旋 转 90 至 ADE ， 点 F、 D、 E 在 一 条 直 线 上 . E AF=90 45 =45 = EAF，又 AE =AE， AF=AF AE F AEF(SAS) EF
31、=E F=DE +DF=BE+DF.习 题 研 究观 察 分 析 ： 观 察 图 (1)， 由 解 答 可 知 ， 该 题 有 用 的 条 件 是 ABCD是 四 边 形 ， 点 E、 F 分 别 在边 BC、 CD 上 ； AB=AD； B= D=90 ； EAF= BAD. 类 比 猜 想 ： (1)在 四 边 形 ABCD中 ， 点 E、 F 分 别 在 BC、 CD上 ， 当 AB=AD， B= D 时 ， 还 有EF=BE+DF吗 ？研 究 一 个 问 题 ， 常 从 特 例 入 手 ， 请 同 学 们 研 究 ： 如 图 (2)， 在 菱 形 ABCD中 ， 点 E、 F 分 别
32、在BC、 CD上 ， 当 BAD=120 ， EAF=60 时 ， 还 有 EF=BE+DF吗 ？(2)在 四 边 形 ABCD中 ， 点 E、 F 分 别 在 BC、 CD 上 ， 当 AB=AD， B+ D=180 ， EAF= BAD时 ， EF=BE+DF吗 ？归 纳 概 括 ： 反 思 前 面 的 解 答 ， 思 考 每 个 条 件 的 作 用 ， 可 以 得 到 一 个 结 论 “ EF=BE+DF” 的 一 般命 题 ： . 解 析 ： (1)把 ABE绕 点 A逆 时 针 旋 转 120 至 ADE ， 如 图 (2)， 连 结 E F， 根 据 菱 形 和旋 转 的 性 质
33、得 到 AE=AE ， EAF= E AF， 利 用 “ SAS” 证 明 AEF AE F， 得 到 EF=E F；由 于 ADE + ADC=120 ， 则 点 F、 D、 E 不 共 线 ， 所 以 DE +DF EF， 即 由 BE+DF EF；(2)把 ABE绕 点 A逆 时 针 旋 转 BAD 的 度 数 至 ADE ， 如 图 (3)， 根 据 旋 转 的 性 质 得 到AE =AE， EAF= E AF， 然 后 利 用 “ SAS” 证 明 AEF AE F， 得 到 EF=E F， 由 于 ADE + ADC=180 ， 知 F、 D、 E 共 线 ， 因 此 有 EF=D
34、E +DF=BE+DF； 根 据 前 面 的 条 件 和结 论 可 归 纳 出 结 论 .答 案 ： (1)当 BAD=120 ， EAF=60 时 ， EF=BE+DF不 成 立 ， EF BE+DF.理 由 如 下 ： 在 菱 形 ABCD中 ， BAD=120 ， EAF=60 ， AB=AD， 1+ 2=60 ， B= ADC=60 ， 把 ABE绕 点 A 逆 时 针 旋 转 120 至 ADE ， 如 图 (2)， 连 结 E F， EAE =120 ， 1= 3， AE =AE， DE =BE， ADE = B=60 ， 2+ 3=60 ， EAF= E AF，在 AEF和 AE
35、 F 中， AEF AE F(SAS)， EF=E F， ADE + ADC=120 ， 即 点 F、 D、 E 不 共 线 ， DE +DF EF BE+DF EF； (2)当 AB=AD， B+ D=180 ， EAF= BAD 时 ， EF=BE+DF成 立 .理 由 如 下 ： 如 图 (3)， AB=AD， 把 ABE绕 点 A 逆 时 针 旋 转 BAD的 度 数 至 ADE ， 如 图 (3)， EAE = BAD， 1= 3， AE =AE， DE =BE， ADE = B， B+ D=180 ， ADE + D=180 ， 点 F、 D、 E 共 线 ， EAF= BAD，
36、1+ 2= BAD， 2+ 3= BAD， EAF= E AF，在 AEF和 AE F 中， AEF AE F(SAS)， EF=E F， EF=DE +DF=BE+DF；归 纳 ： 在 四 边 形 ABCD中 ， 点 E、 F 分 别 在 BC、 CD上 ， 当 AB=AD， B+ D=180 ， EAF= BAD时 ， EF=BE+DF. 25.(12分 )如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 己 知 点 O(0， 0)， A(5， 0)， B(4， 4).(1)求 过 O、 B、 A 三 点 的 抛 物 线 的 解 析 式 .(2)在 第 一 象 限 的 抛 物 线 上 存
37、 在 点 M， 使 以 O、 A、 B、 M 为 顶 点 的 四 边 形 面 积 最 大 ， 求 点 M 的坐 标 .(3)作 直 线 x=m 交 抛 物 线 于 点 P， 交 线 段 OB于 点 Q， 当 PQB为 等 腰 三 角 形 时 ， 求 m 的 值 . 解 析 ： (1)由 于 抛 物 线 与 x 轴 的 两 个 交 点 已 知 ， 因 此 抛 物 线 的 解 析 式 可 设 成 交 点 式 ， 然 后 把点 B 的 坐 标 代 入 ， 即 可 求 出 抛 物 线 的 解 析 式 .(2)以 O、 A、 B、 M 为 顶 点 的 四 边 形 中 ， OAB的 面 积 固 定 ， 因
38、 此 只 要 另 外 一 个 三 角 形 面 积 最大 ， 则 四 边 形 面 积 即 最 大 ； 求 出 另 一 个 三 角 形 面 积 的 表 达 式 ， 利 用 二 次 函 数 的 性 质 确 定 其 最值 ； 本 问 需 分 类 讨 论 ： 当 0 x 4 时 ， 点 M 在 抛 物 线 OB段 上 时 ， 如 答 图 1 所 示 ； 当 4 x 5 时 ， 点 M 在 抛 物 线 AB段 上 时 ， 图 略 .(3) PQB为 等 腰 三 角 形 时 ， 有 三 种 情 形 ， 需 要 分 类 讨 论 ， 避 免 漏 解 ： 若 点 B 为 顶 点 ， 即 BP=BQ， 如 答 图
39、2-1 所 示 ； 若 点 P 为 顶 点 ， 即 PQ=PB， 如 答 图 2-2 所 示 ； 若 点 P 为 顶 点 ， 即 PQ=QB， 如 答 图 2-3所 示 .答 案 ： (1) 该 抛 物 线 经 过 点 A(5， 0)， O(0， 0)， 该 抛 物 线 的 解 析 式 可 设 为 y=a(x-0)(x-5)=ax(x-5). 点 B(4， 4)在 该 抛 物 线 上 ， a 4 (4-5)=4. a=-1. 该 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=-x(x-5)=-x2+5x.(2)以 O、 A、 B、 M 为 顶 点 的 四 边 形 中 ， OAB的 面 积 固 定 ， 因
40、 此 只 要 另 外 一 个 三 角 形 面 积 最大 ， 则 四 边 形 面 积 即 最 大 . 当 0 x 4 时 ， 点 M 在 抛 物 线 OB段 上 时 ， 如 答 图 1 所 示 . B(4， 4)， 易 知 直 线 OB 的 解 析 式 为 ： y=x.设 M(x， -x2+5x)，过 点 M作 ME y轴 ， 交 OB于 点 E， 则 E(x， x)， ME=(-x2+5x)-x=-x2+4x.S OBM=S MEO+S MEB= ME(xE-0)+ ME(xB-xE)= ME xB= ME 4=2ME， S OBM=-2x2+8x=-2(x-2)2+8 当 x=2时 ， S
41、OBM最 大 值 为 8， 即 四 边 形 的 面 积 最 大 . 当 4 x 5 时 ， 点 M 在 抛 物 线 AB段 上 时 ， 图 略 .可 求 得 直 线 AB 解 析 式 为 ： y=-4x+20.设 M(x， -x2+5x)，过 点 M作 ME y轴 ， 交 AB于 点 E， 则 E(x， -4x+20)， ME=(-x2+5x)-(-4x+20)=-x2+9x-20.S ABM=S MEB+S MEA= ME(xE-xB)+ ME(xA-xE)= ME(xA-xB)= ME 1= ME， S ABM=- x2+ x-10=- (x- )2+ 当 x= 时 ， S ABM最 大
42、值 为 ， 即 四 边 形 的 面 积 最 大 .比 较 可 知 ， 当 x=2时 ， 四 边 形 面 积 最 大 .当 x=2时 ， y=-x 2+5x=6， M(2， 6).(3)由 题 意 可 知 ， 点 P 在 线 段 OB 上 方 的 抛 物 线 上 .设 P(m， -m2+5m)， 则 Q(m， m)当 PQB为 等 腰 三 角 形 时 ， 若 点 B 为 顶 点 ， 即 BP=BQ， 如 答 图 2-1 所 示 .过 点 B作 BE PQ于 点 E， 则 点 E 为 线 段 PQ中 点 ， E(m， ). BE x 轴 ， B(4， 4)， =4，解 得 ： m=2或 m=4(与
43、 点 B重 合 ， 舍 去 ) m=2； 若 点 P 为 顶 点 ， 即 PQ=PB， 如 答 图 2-2 所 示 .易 知 BOA=45 ， PQB=45 ， 则 PQB为 等 腰 直 角 三 角 形 . PB x 轴 ， -m2+5m=4，解 得 ： m=1或 m=4(与 点 B重 合 ， 舍 去 ) m=1； 若 点 P 为 顶 点 ， 即 PQ=QB， 如 答 图 2-3 所 示 . P(m， -m 2+5m)， Q(m， m)， PQ=-m2+4m.又 QB= (xB-xQ)= (4-m)， -m2+4m= (4-m)，解 得 ： m= 或 m=4(与 点 B 重 合 ， 舍 去 )， m= .综 上 所 述 ， 当 PQB为 等 腰 三 角 形 时 ， m 的 值 为 1， 2 或 .
